Cours d'analyse infinitésimale

COURS D'ANALYSE INFINITÉSIMALE

COURS

d'Analyse Infinitésimale

PAR

Ch.-J. de la Vallée Poussin

Professeur b. l'Université de Louvain
Membre de l'Académie Royale de Belgique

TOME I

Troisième édition
Considérablement remaniée

LOUVAIN

A. Uystpruyst-Dieudonné

ÉDITEUR

10, rue de la Monnaie, 10.

PARIS

Gauthier-Villars

ÉDITEUR

55, Quai des Grands Augustins, 55.

1914

lllf

JXa ^ ÎU«4 f^ t^^WjJJIis^^^^^d^ Sif^.

Avertissement de la troisième édition.

Le texte de cette troisième édition a été revu avec le plus
grand soin et nous lui avons apporté un grand nombre d'amé-
liorations de détail. Toutefois nous ne signalerons ici que les
modifications les plus importantes.

En ce qui concerne la partie élémentaire ou le grand texte,
nous avons abandonné l'ancienne définition de la différentielle
totale et adopté celle de Stolz (*). La supériorité de cette défi-
nition a été mise en lumière par les travaux de MM. S. Pier-
PONT (**), Fréchet (***) et surtout W. H. Young (****). Elle est
indiscutable ; les théorèmes découlant plus directement des
principes, la théorie de la différentiation des fonctions explicites
et implicites devient plus serrée et, par le fait, plus satisfai-
sante. Signalons encore que nous avons précisé les démonstra-
tions relatives aux applications géométriques en introduisant
les hypothèses de continuité ou de dérivabilité au fur et à
mesure de leur nécessité seulement.

Passons maintenant aux théories plus élevées données dans
le petit texte. Nous avons rejeté dans l'introduction et simplifié
la théorie de la mesure des ensembles qui embarrassait précé-
demment le chapitre relatif aux intégrales définies. Nous avons
refondu tout entière la théorie de l'intégrale de Lebesgue, mais
nous avons conservé le procédé que nous avions introduit précé-
demment pour remonter de la dérivée à sa primitive. Plusieurs

(*) Stolz. Grunzuge der Differeniiaî und Integral-Rechnung, 1. 1, Leipzig ;
I893.

(") J. PlERPONT. Theory of fonctions ofreal variables, t. I, Bos'on ; igoS.

(•") M. Fréchet. Sur la Notion de différentielle totale. Nouvelles aiiuales
de mathématiques, 4*^ série, t. XII ; 191a.

(****) W. H. Young. The fundamental theorems of Differeniiaî Calculas,
Cambridge, 1910.

VI AVERTISSEMENT DE LA TROISIEME EDITION

années d'expérience et nos recherches personnelles nous ont
suffisamment montré ses avantages et sa fécondité. Aussi bien
son utilité apparaîtra-t-elle dans deux paragraphes nouveaux,
l'un consacré au problème du changement de variable dans une
intégrale définie, problème qui paraît recevoir ici sa solution
définitive, l'autre consacré à la recherche de la primitive d'une
dérivée seconde généralisée, question fondamentale dans la
théorie des séries de Fourier.

Nous avions donné, dès notre première édition, une démon-
stration très intuitive du théorème de Jordan sur les courbes
fermées. On lui a reproché de n'être qu'indiquée (*). Parmi d'au-
tres, ce reproche est le seul qui nous ait paru réellement fondé.
C'est pourquoi l'on trouvera dans cette édition la démonstration
développée dans tous ses détails. Pour éviter toute équivoque,
il convient d'ajouter que nous considérons tous les termes de
cette démonstration comme susceptibles d'un sens purement
arithmétique.

Puisse ce livre inspirer le goût de la réflexion et rendre ser-
vice aux jeunes gens qui désirent approfondir les principes de
l'Analyse.

Louvain, le 12 septembre igiS.

(*) Encyclopédie des sciences mathématiques, t. II, v. I, p. loo.

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION

§ I. Nombres réels i

§ 2. Variables réelles. Théorie des limites 8

§ 3. Des fonctions d'une variable réelle 20

§ 4, Fonctions de plusieurs variables réelles .... 27

§ 5. Fonctions élémentaires 3o

§ 6. Nombres complexes Sy

§ 7. Variables complexes et fonctions rationnelles d'une variable

complexe 42

§ 8. Des ensembles en général. Leur puissance . . -. . 44

§ g. Ensembles de points 49

§ 10. Fonctions considérées dans un ensemble .... 56

§11. Mesures des ensembles linéaires 5g

§ 12. Fonctions mesurables d'une variable 67

§ i3. Fonctions (d'une variable) à variation bornée. Fonctions

absolument continues 72

CHAPITRE I.

Dérivation des fonctions explicites d'une variable.

§ I. Dérivées et différentielles 77

§ 2. Propriétés de la dérivée. Nombres dérivés .... 92

§ 3. Dérivées et différentielles successives . . . . . 102

CHAPITRE II.

Formule de Taylor. Applications diverses.

î^ I. Formules de Taylor et de Maclaurin . . . . . 108

§ 2. Vraies valeurs des expressions indéterminées . . . 121

§ 3. Maximes et minimes des fonctions d'une seule variable . 120

§ 4. Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples i34

CHAPITRE III.

Fonctions explicites de plusieurs variables.

§ 1. Dérivées partielles et différentielles partielles ou totales des

fonctions de deux variables 139

VIII TABLE DES MATIERES

§ 2. Extension à un nombre quelconque de variables . . i5o
§ 3. Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plu-
sieurs variables iSj

§ 4. Maximes et minimes (extrêmes) libres des fonctions de plu-
sieurs variables iSg

CHAPITRE IV.

Fonctions implicites. Changement de variables.

§ I. Théorèmes d'existences 167

§ 2. Différentiations des fonctions implicites . . . .171

§ 3. Extrêmes liés i?^

§ 4. Changement de variables 180

CHAPITRE V.

Intégrales indéfinies. Méthodes classiques d'intégration.

§ I . Procédés généraux d'intégration 190

§ 2. Intégration des fractions rationnelles 200

§ 3. Intégration des irrationnelles algébriques .... 207

§ 4. Intégration des fonctions transcendantes .... 217

CHAPITRE VI.

Théorie élémentaire des intégrales définies.
Intégrale de Riemann. ,

§ I. Intégrales définies considérées comme limites de sommes . 229
§ 2. Relation entre les intégrales définies et indéfinies. Calcul

des intégrales définies 237

§ 3. Intégrale de Riemann 25o

CHAPITRE VIL

Intégrale de Lebesgue.

§ I. Définition et propriétés de l'intégrale de Lebesgue . . 257

§ 2. Recherche des fonctions primitives 268

§ 3. Intégration par substitution 280

§ 4, Théorèmes sur la dérivée seconde généralisée. Recherche

de sa fonction primitive» 285

CHAPITRE VIII.

Formules fondamentales de la théorie des courbes planes.

§ I. Tangente et normale aux courbes planes .... 292

TABLE DES MATIERES IX

§ 2. Longueur d'un arc de courbe plane. Inclinaison de la tan-
gente 3o3

§ 3. Sens de la concavité. Points d'inflexion des courbes planes 3o6

§ 4. Courbure et développée d'une courbe plane. . . . 3o8

CHAPITRE IX.

Formules fondamentales de la théorie des surfaces
et des courbes gauches.

§ I. Tangente à une courbe. Longueur d'un arc. Plan tangent

à une surface 324

§ 2. Plan osculateur. Courbure et torsion des courbes gauches. 335

CHAPITRE X.

Calcul des aires, des arcs et des volumes.
Evaluation approchée des intégrales définies.

§ I . Quadrature des aires planes 357

§ 2. Rectification des courbes 368

§ 3. Courbes continues. Courbes fermées 374

§ 4. Courbes rectiiiables et quarrables. Intégrales curvilignes . 38o

§ 5. Vclurne d'un solide. Aire d'une surface de révolution. . 386

§ 6. Calcul des intégrales définies par approximation. . . 392

CHAPITRE XI.

Des séries.

§ I . Généralités sur les séries à termes constants. Séries positives Sgg

§ 2. Séries numériques quelconques. Opérations sur les séries . 409

§ 3. Séries de fonctions 417

§ 4. Séries potentielles 426

§ 5. Développement des fonctions réelles en séries potentielles.

Discussion du reste 4.33

§ 6. Fonctions entières élémentaires. Exponentielles imaginaires 441

COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE

INTRODUCTION

§ 1. Nombres réels

1. Nombres rationnels. — Les nombres entiers et les nombres
fractionnaires positifs ou négatifs, y compris le nombre zéro,
forment l'ensemble des nombres rationnels. Nous supposerons
que l'on connaît les propriétés les plus élémentaires de ces
nombres et que l'on sait effectuer sur eux les quatre opérations
fondamentales de l'arithmétique. Toutefois il y a lieu de rap-
peler ici les propriétés suivantes :

1° L'ensemble des nombres rationnels est ordonné, c'est-à-
dire que de deux nombres rationnels différents a et b l'un est
plus grand que l'autre, par exemple b est plus grand que a, ce
qu'on écrit

a < b ou. b > a.

La notion d'ordre exprimée par cette relation se réduit d'ail-
leurs à cette seule propriété du signe d'inégalité que si a est <
b et b < c, on a, aussi a < c.

2!^ Entre deux nombres rationnels différents a et b, on peut
toujours en intercaler une infinité d'autres > que l'un et < que
l'autre. On dit qu'un ensemble de nombres qui jouit de cette
propriété est un ensemble dense et cette propriété s'appelle la
densité.

2. Nombres irrationnels. — L'introduction des nombres irra-
tionnels repose sur les considérations suivantes :

Supposons que par un procédé quelconque, et nous allons en
indiquer plusieurs, on ait partagé tous les nombres rationnels
en deux classes, une classe iiiféri<'ui-e A et une classe supérieure

INTRODUCTION

B, telles que tout nombre a de la première soit < que tout
nombre b de la seconde. Un tel partage s'appelle une coupure.
D'abord il est clair, ce partage étant fait, que, si le nombre a
est de la classe A, il en sera de même j)Our tout nombre < a et
que, si b est de la classe B, il en sera encore de même pour
tout nombre > b. Ce premier point admis, je dis que trois cas
pourront se présenter :

1° La classe inférieure A renferme un nombre m plus grand
que tous les autres de la même classe, de sorte que tout nom-
bre < m est de la classe A et tout nombre > m de la classe B.
Le nombre m sépare donc la classe A de la classe B et nous
l'appelons le nombre frontière des deux classes.

2° La classe supérieure B renferme un nombre m plus petit
que tous les autres de la même classe. Dans ce cas encore, m
est la frontière des deux classes : tout nombre < m est de la
classe A et tout nombre > m de la classe B.

Ces deux premiers cas s'excluent l'un l'autre, car, s'il y
avait deux nombres frontières différents m et m', tous les
nombres compris entre m et m' seraient à la fois de la classe A
et de la classe B, ce qui est en contradiction avec la définition
de ces classes. Donc, s'il y a un plus grand nombre dans la
classe A, il n'y en a pas de plus petit dans la classe B, et réci-
proquement.

Ces deux premiers cas sont faciles à réaliser. Il suffit de se
donner un nombre quelconque m, on range les nombres < m
dans la classe A, les nombres > m dans la classe B. Le nom-
bre m peut encore se ranger dans l'une ou dans l'autre. On
obtient ainsi, à son choix, le premier ou le second des deux cas
que nous venons d'examiner. Nous disons, dans l'un et dans
l'autre, que le nombre m détermine la coupure (A, B) et que
cette coupure est rationnelle.

3*^ Enfin il peut se faire qu'il n'y ait pas de plus grand nombre
dans la classe A ni de plus petit nombre dans la classe B. Des
considérations très simples conduisent à une semblable coupure.
Soit, par exemple, m un nombre > 0 non carré parfait ; tous
les nombres rationnels pourront se ranger en deux classes A et
B, la classe A contenant tous les nombres négatifs et les nom-
bres positifs dont le carré est < m, la classe B les nombres

NOMBRES REELS

positifs dont le carré est > m. Il n'y aura pas de plus grand
nombre dans la classe A, car, étant donné un nombre quel-
conque a dont le carré est < m, on peut en trouver un autre
plus grand en extrayant la racine carrée de m par défaut avec
un nombre suffisant de décimales pour que le carré de cette
racine soit plus rapproché de m que ne l'est de a*. Pour une
raison analogue, il n'y aura pas de plus petit nombre dans la
classe B.

Lorsque cette circonstance se présente, nous disons que la
coupure est irrationnelle. Il n'y a plus de nombre frontière
séparant les deux classes, car ce nombre ne pourrait être que
le plus grand de A ou le plus petit de B. Nous créons alors un
nouveau symbole, par exemple \/2, 7t,..., défini par la condition
d'être plus grand que tous les nombres de A et plus petit que
tous ceux de B, et nous disons que ce nouvel élément, qui s'in-
tercale entre les nombres rationnels, est un nombre irrationnel.
L'ensemble des nombres irrationnels correspond à toutes les
coupures possibles. Chaque nombre irrationnel est défini par
la coupure (A, B) qui lui correspond, et nous pouvons désormais
le représenter par une lettre tout comme un nombre rationnel.
Lorsqu'un nombre irrationnel a est compris entre deux nom-
bres rationnels a et 6 dont la différence est égale ou inférieure
à une fraction positive e, on dit que a et 5 sont des valeurs ap-
prochées par défaut ou par excès de a à moins de e près. Un
nombre irrationnel a étant défini, on peut toujours en trouver
des valeurs aussi rapprochées que l'on veut, ainsi qu'il résulte
du théorème suivant :

Soit a le nombre irrationnel défini par la coupure (A, B) ;
quelque petite que soit la fraction positive e, on })eut trouver
respectivement dans les classes A et B deux nombres a et b dont
la différence soit é^-ale à e.

En effet, soit a, un nombre de A, la progression

a,, a, -f e, a, + 2e, a, -}- 3e,...

croissant indéfiniment, renfermera un premier terme de la
classe B, par exemple a, + ne == t. Alors le nom.bre précédent
a -= a, 4- (/? — i) e sera de la classe A et ces deux nombres a et b
satisferont aux conditions du théorème.

4 INTRODUCTION

3. Nombres réels. — L'ensemble des nombres rationnels et des
nombres irrationnels forme Vensemble des nombres réels.

Pour l'ordonner, il faut indiquer les relations de grandeur
entre ses éléments. Pour cela, il ne reste plus à définir que
celles entre nombres irrationnels.

Soit a un nombre irrationnel défini par la coupure (A, B) ;
un nombre irrationnel a' sera égal à a, s'il est défini par la même
coupure, c'est-à-dire s'il est aussi supérieur à tous les nombres
de A et inférieur à tous ceux de B ; mais a' sera différent de a
s'il existe un nombre rationnel compris entre eux. Ainsi a' sera
> a s'il est > qu'un nombre de B, il sera < a s'il est < qu'un
nombre de A.

Le théorème suivant prouve que la densité est aussi une
propriété de l'ensemble des nombres réels :

Entre deux nombres réels différents, on peut toujours inter-
caler un nombre rationnel et, par suite, une infinité.

Si les deux nombres sont irrationnels, le théorème se confond
avec la définition même de l'inégalité. Si l'un des nombres est
irrationnel et défini par la coupure (A, B), tandis que l'autre
est rationnel, celui-ci sera de la classe A ou de la classe B et
ne pourra être ni le plus grand de A ni le plus petit de B, la
conclusion est donc la môme. Enfin le théorème est supposé
connu (n** i, 2°) si les deux nombres sont rationnels.

L'ensemble des nombres réels jouit d'une propriété que ne
possédait pas l'ensemble des nombres rationnels et que l'on peut
exprimer par le théorème suivant :

Si, par un procédé quelconque, on fait une coupure (A, B)
dans l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire si l'on partage ces
nombres en deux classes A et B, telles que tout nombre de la
première soit < que tout nombre de la seconde, il existe néces-
sairement un nombre frontière, rationnel ou non, m, qui déter-
mine la coupure, c'est-à-dire tel que tout nombre < m soit de la
classe A et tout nombre > m de la classe li.

Kn effet, soit m le nombre rationnel ou irrationnel qui fait la
frontière des deux classes de nombres rationnels respective-
ment comprises dans A et dans B. Tout nombre rationnel > m
est de la classe B et tout nombre rationnel < m de la classe A.
llcste à montrer que ces conclusions subsistent pour un nombre
irrationnel.

NOMBUKS REELS

Mais cela s'aperçoit de suite, car un nombre irrationnel > m
est > qu'une infinité de nombres rationnels > m, lesquels sont
de la classe B, donc il est de la classe B ; un nombre irrationnel
< m est < qu'une infinité de nomlires rationnels < ni et est
avec eux de la classe A.

Les considérations i)récé(lentes laissent eucore incomplète la
définition mathématique des nombres irrationnels, il reste à y
ajouter les définitions des quatre opérations fondamentales
de l'arithmétique.

4. Symétrique d'un nombre réel. — Nous appelons symétrique
d'un nombre rationnel ce nombre changé de signe. La définition
peut s'étendre aux nombres irrationnels. Soit a un nombre
irrationnel défini par la coupure (A, li) ; désignons par — B la
classe formée parles symétriques des nombr(^s de B et par — A
la classe formée par les symétriques des nombres de A ; tout
nombre rationnel étant le symétrique d'un autre et tout nombre
de lu classe — B < que tout nombre, de la classe — A, la cou-
pure ( — B. — A) définit un nombre irrationnel que nous dési-
gnerons par — a et que nous appellerons le symétritpie de a. On
aura encore d'après cette définition — ( — a) -- a,

5. Nombres positifs et négatifs. Valeur absolue. — Les nombres
positifs sont ceux qui sont > 0 et ils sont > qu'une infinité de
nombres rationnels également jjositifs. Les nombres négatifs
sont ceux qui sont < 0 et ils sont < (qu'une infinité de nombres
rationnels négatifs. Si un nombre est négatif, son symétrique
est positif. Celui des deux nombres a ou — a (]ui est positif
s'appelle la valeur absolue de a et se désigne par |ai.

6. Inverse d'un nombre réel. — Soit a un nombre différent de

zéro ; s'il est rationnel son inverse est - ou i : a. Supposons a

a

irrationnel ; alors a partage tous les nombres rationnels de
même signe que lui en deux classes A et B, dont la connaissance
suffit évidemment pour le définir. Désignons par B""' la classe
formée par les inverses des nombres de B et par A-' la
classe formée par les inverses des nombres de A. Tout nombre
rationnel autre que zéro étant l'inverse d'un autre, la coupure
(B-'j A') de tous les nombres rationnels de même signe que a

INTRODUCTION

en deux classes définit un nombre irrationnel de même signe,
que nous désignerons par i : a et que nous appellerons encore
l'inverse de a.

7. Addition. — Soient a et a' deux nombres réels quelconques.
Désignons par a et a', b et b' , des nombres rationnels quel-
conques satisfaisant aux conditions :

n< a. <b, a' < a' < 6'.

Tous les nombres de la forme a -\- a' seront < que ceux de la
forme 6 + //. D'ailleurs on pourra supposer (n° 2) les valeurs
de a et de [) suffisamment rapprochées de a, celles de a' et de b'
suffisamment rapprochées de a', pour que les différences b — a,
b' — a' et par suite (b -{- b') — (a -f- a') deviennent aussi petites
que l'on veut.

Je dis qu'il existe un nombre réel a" et un seul > que tout
nombre de la forme a -{- a' et < que tout nombre de la forme
b + b' et dont ces deux sommes représentent des valeurs aussi
rapprochées que l'on veut par excès ou par défaut, Ce nombre
a" s'appelle la somme de a et de a' et se désigne par a -\- 7.'.

En effet, considérons la coupure (A, B) de l'ensemble des
nombres réels, la classe B contenant ceux qui surpassent tous
les nombres de la forme a -}- a' et la classe A lès autres nombres.
En particulier, tous les nombres de la forme a -\- a' sont de la
classe A et tous ceux de la forme b -{- b' de la classe B. Comme
il n'y a pas de plus grand nombre de la forme a -f- a' ni de plus
petit de la forme b + b' , le nombre frontière a" entre les deux
classes A et B sera plus grand que tous les premiers et plus
l>etit que tous les seconds. Il reste donc seulement à montrer
que le nombre qui jouit de cette propriété est unique. A cet
effet, remarquons que, s'il existait deux nombres fixes toujours
supérieurs aux nombres a -j- a' et inférieurs aux nombres b + b',
on pourrait trouver deux nombres rationnels r et r' compris
entre ces nombres fixes et qui jouiraient de la même propriété.
Or ceci est impossible, car on peut supposer la différence
{b + b') — (a + a') inférieure à r — ;•'.

Cette définition, qui contient comme cas particulier celle de
l'addition des nombres rationnels, permet de vérifier immé-

NOMBRES REELS

diatement que l'on a conservé les propriétés commutative et
associative de l'addition, exprimées par les équations :

a -{- a' = a.' -\- et.,
(a 4- a') + a" = a -j- (a' + a"),

que l'on a encore

a + 0 - a, a + (— a) = 0,

enfin que la valeur absolue d'une somme ne peut surpasser la
somme des valeurs absolues de tous ses termes.

8. Multiplication, — Soient a et a' deux nombres réels positifs :
désignons encore par a et b, a' et b' des nombres rationnels et
positifs quelconques assujettis à vérifier les inégalités :

a < a. < b, a' < a.' < b' .

Tous les produits de la forme aa' sci'ont < que ceux de la
forme bb' et l'on pourra supposer les différences b — a, // — a
et bb' — aa' aussi petites que l'on voudra. On montrera, en
raisonnant comme dans le cas de l'addition, qu'il existe un
nombre réel positif et un seul a" > que tout produit de la forme
aa' et < que tout produit de la forme bb'. Ces produits peuvent
être supposés aussi rapprochés (ju'on veut du nombre a". Celui-
ci se nomme le produit des nombres a et a' et se désigne pur aa'.

Si l'un des deux nombres a, a' ou tous les deux sont négatifs,
la définition du produit se ramène à la précédente par la règle
des signes, c'est-à-dire par les relations

aa' = — a (— a') = (— a) (— a').

Ces définitions permettent de vérifier immédiatement que l'on
a conservé les propriétés commutative, associative et distribu-
tive de la multiplication, exprimées par les relations générales :

aa' = a'a, (aa') a" = a (a'a"), a (a' + a") = aa' -\- aa".

On a encoi'c

a. ^ = I . a. 1 - a, | aa' | - | a | | a' | .

Enfin un produit de plusieurs facteurs ne peut être nul que
si l'un des facteurs est nul et est toujours nul dans ce cas.

9. La soustraction est l'opération inverse de l'addition. Sous-

8 INTRODUCTION

traire a' de a c'est déterminer le nombre qu'il faut ajouter à a'
pour obtenir a. Ce nombre s'appelle la différence de a et a' et on
le désigne par a — a'. Pour le déterminer, posons x = n — a' ;
on aura la condition a' -|- a' -^ a, et, en ajoutant — a' aux deux
membres, on obtient, par les propriétés de l'addition, x = a. -\-
( — a'). Donc la différence a — a' s'obtient en ajoutant à a le sy-
métrique de a'. Cette règle ramène la soustraction à l'addition
et prouve que cette opération a toujours une solution et une
seule.

10, La division est l'opération inverse de la multiplication.
Diviser a par a' c'est déterminer un nombre dont le produit par
a' reproduise a. Ce nombre s'appelle le quotient de a par a' et se
représente par a : a'. Pour le déterminer, posons x = a : a' ; on
aura la condition x a' == a. Si a n'est pas nul, on peut multiplier
les deux membres de cette égalité par i : a', et on en tire, jjar les
propriétés de la multiplication, a: ^ a (i : a'). Donc le quotient de
a par a' est égal au produit de a par l'inverse de a'. Cette règle
ramène la division à la multiplication et prouve que cette
opération a toujours une solution et une seule, pourvu que le
diviseur soit différent de zéro.

11 est maintenant facile de montrer que toutes les règles de
l'algèbre élémentaire pour la transformation et la combinaison
des égalités et des inégalités, subsistent avec les quantités
généralisées. Nous ne nous y arrêterons pas davantage.

§ 2. Variables réelles. Théorie des limites

1 1 . Continuité de l'ensemble des nombres réels. — Les nombres
réels, c'est-à-dire les nombres tant rationnels qu'irrationnels,
servent à exprimer la mesure des grandeurs continues, lon-
gueurs, aires, volumes, etc. On dit aussi que l'ensemble des
nombres réels est un ensemble continu et l'on peut, au point de
vue mathématique, définir la continuité de cet ensemble par les
deux propriétés suivantes :

1" Entre deux nombres réels différents on peut toujours en
intercaler une infinité d'autres > que l'un et < que l'autre.

2." Si l'on partage tous les nombres réels en deux classes A et
B, telles que tout nombre de A soit < que tout nombre de B,

THEORIE DES LIMITES

ces deux classes seront séparées par un nombre frontière m
qui sera le plus grand de A ou le plus petit de B, mais tout
nombre < m sera de la classe A et tout nombre > m de la
classe B.

Nous avons montré dans un paragraphe précédent (n'^ 3)
comment on peut démontrer ces propriétés en toute rigueur,
en les faisant reposer sur des définitions purement arithmé-
tiques. Mais, quand on applique les nombres réels à la mesure
des grandeurs concrètes, on admet comme un postulat qu'à
toute grandeur correspond un nombre et réciproquement.

12. Bornes d'un ensemble de nombres. — Souvent on considère
l'ensemble fini ou infini de tous les nombres qui satisfont à
certaines conditions précises. Par exemple, on peut considérer
l'ensemble deâ restes d'une division, celui des réduites d'une
fraction continue (limitée ou non), celui des nombres ration-
nels, celui des fractions proprement dites comprises entre 0
et I, etc. La notion des bornes d'un ensemble est alors fonda-
mentale.

Un ensemble est borné supérieurement si l'on peut assigner
un nombre A plus grand que tous ceux de l'ensemble ; il sera
borné inférieurement si l'on peut assigner un nombre a plus
petit que tous ceux de l'ensemble. S'il est borné dans les deux
sens, on dira simplement qu'il est borné.

Quand un ensemble est borné supérieurement, il existe un
plus petit nombre qui n'est inférieur à aucun de ceux de l'en-
semble : c'est la frontière des deux classes de nombres A et B,
A contenant les nombres inférieurs à un nombre au moins de
l'ensemble, et B les autres nombres. Cette frontière s'appelle la
borne supérieure de l'ensemble. C'est le plus petit nombre de
la classe B, car il ne peut y en avoir de plus grand dans la
classe A. L'ensemble d'un nombre limité de nombres est évi-
demment borné par le plus grand d'entre eux, mais un ensemble
infini peut ne pas renfermer un nombre plus grand que tous les
autres (égalité non exclue). Dans ce dernier cas, la borne
supérieure n'est pas un nombre de l'ensemble et l'on dit qu'elle
est inaccessible. C'est ainsi que la borne supérieure des frac-
tions comprises entre 0 et i est i et n'appartient pas à l'ensem-
ble (car I n'est pas une fraction).

10 INTKODtJCTION

De même, un ensemble borné inférieurement admet une borne
inférieure : c'est le plus grand nombre qui n'est supérieur à
aucun de ceux de l'ensemble.

En résumé, on voit (jne si m et M sont les bornes inférieure
et supérieure d'un ensemble l)orné, l'ensemble ne contient
aucun nombre < m ni > M, mais il en contient certainement
de < m + e et de > M — e quelque petit que soit le nombre
positif e.

La différence entre les bornes supérieure et inférieure s'ap-
pelle Voscillaton de l'ensemble.

13. Variables réelles en général. — Soit ;v une variable réelle,
c'est-à-dire une quantité qui passe par une infinité de valeurs
réelles. Considérons l'ensemble de toutes les valeurs que peut
recevoir x. Si cet ensemble est borné supérieurement ou infé-
rieurement, la variable x est aussi bornée supérieurement ou
inférieurement et les bornes de l'ensemble sont les bornes supé-
rieure ou inférieure de x.

On dit que la variable x varie dans r intervalle (a, b), lorsqu'elle
peut recevoir toutes les valeurs comprises entre a et b, y com-
pris ces valeurs extrêmes. Nous supposons toujours, sauf indi-
cation contraire, que l'on a a < 6. Ces nombres sont donc les
bornes inférieure et supérieure de x et elles sont accessibles.

Si X reçoit toutes ces mêmes valeurs sauf la seule valeur a,
ou bien sauf la seul valeur b, ou bien encore sauf les deux seules
valeurs a et 6, on écrit respectivement, pour indiquer que ces
bornes sont alors inaccessibles, que ;x; varie dans les intervalles
(a + 0, b). ou bien (a, b — 0), ou enfin (a ~\- 0, b — 0).

Quand x peut prendre toutes les valeurs comprises entre a
et b et ces deux valeurs elles-mêmes, on dit que x varie dans
(;et intervalle au sens large. Au contraire, x varie dans l'inter-
valle (a, b) au sens étroit si x ne peut pas prendre les valeurs
a et /).

Les valeurs de x qui sont > a et < fc sont dites intérieures k
l'intervalle (a, b). Quand x varie dans l'intervalle (a, b) au sens
étroit, x ne prend donc que les valeurs intérieures à l'inter-
valle (a. b).

La variation de x se représente géométriquement par le
déplacement d'un point sur une droite indéfinie 00' ; on porte

THEORIE DES LIMITES II

sur 00' une longueur OX = x dans un sens déterminé par le
signe de ;x;. Sauf indication contraire, on suppose la droite
horizontale et les segments positifs comptés de gauche à droite.
Par allusion à cette représentation, une valeur particulière de
X s'appelle un point, la valeur x ^ aie point a, etc.

14. Limite d'une variable. — Soit x une variable réelle qui
passe successivement par une infinité de Valeurs suivant une
loi quelconque, de telle sorte qu'à chaque valeur prise par x,
on puisse distinguer les valeurs qui précèdent de celles qui
suivent et qu'aucune valeur de x ne soit la dernière. On dit
que X tend vers une limite déterminée, si les valeurs succes-
sives de X se rapprochent d'un nombre déterminé a, de telle
sorte que la différence .v — a finisse par décroître en valeur
absolue en dessous de tout nombre positif donné e si petit
qu'il soit. On dit alors que .v a pour limite a et l'on écrit

lim X = a.

Suivant cette définition, une même variable ne peut pas
tendre simultanément vers deux limites différentes a et b
{b > a), car {x — a) et {x — b) ne peuvent être simultanément
inférieurs en valeur absolue à la moitié de (6 — a).

Si les valeurs de x finissent par surpasser définitivement tout
nombre assignable, on dit, par extension, que .v a une limite
infinie et tend vers -\- ce.

De même, si x décroît définitivement en dessous de tout
nombre négatif assignable, on dira que x a pour limite — oo.

15. Plus grande et plus petite limite. — Considérons encore une
variable x qui passe successivement par une infinité de valeurs
finies. Si oc est bornée supérieurement, il y a des nombres
auxquels x finit par rester définitivement inférieur. Si ceux-ci
ont une borne inférieure A, on l'appelle la plus grande limite
de X ; et on écrit

lim X = K.

De même, si x est bornée inférieurement, il y a des nombres
auxquels x finit par rester définitivement supérieur. Si ceux-ci

12 INTRODUCTION

ont une borne supérieure a, on l'appelle la plus petite limite de x

et l'on écrit

lim .V =^ a.

Les plus gi'ande et plus petite liinites s'appellent aussi les
limites d' indétermination, de .v.

Si la variable .y est bornée supérieurement et intérieurement,
ces deux limites existeront toujours et seront comprises entre
les bornes supérieure et inférieure de x, la coïncidence avec
ces bornes étant également possible.

La plus grande limite A est donc définie par cette propriété
que, quelque petit que soit le nombre positif e, la variable a*
finit par rester < A + e, tandis qu'elle n'est jamais définitive-
ment < A — e. — Pareillement, la ])lus petite limite a est définie
par cette propriété (jue la variable ,v finit ])ar rester > h — e,
tandis ([u'elle n'est jamais définitivement > a + e. D'api-ès cela.
A est supérieur ou égal à a.

Si les deux limites a et A sont différentes, on peut prendre e
assez petit jjour que A — e soit encore > a 4- e ; dans ce cas,
a; oscille indéfiniment dans tout l'intervalle de a + e à A — e et
en sort : jc ne peut avoir de limite déterminée. Au contraire, si
\ — a, X finit par rester dans un intervalle (a — e, a + e) aussi
resserré qu'on le voudra et .v a pour limite a. De là. le théo-
rème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une uariable x
ait une limite finie et déterminée est qu'elle soit bornée et que
l'on ait

lim .V = lim .v.

Lorsque a* n'est pas borné supérieurement, on dit, par exten-
sion, que sa plus grande limite est 4- x : si x n'est pas borné
ini'érieurement, on dit encore que sa plus })etite limite est — go.

Si la variable x a une limite infinie, soit + ^o soit — x>, on dit
encore que les plus grande et plus petite limites coïnc dent et
sont égales à cette limite infinie.

Avec (îette extension, la relation

lim .Y = lim x

expi-ime la condition nécessaire et suffisante pour que v ait une
limite (finie ou infinie).

TIIÉORIK DEK JilMITKS 13

16. Critère de convergence (Cauchy). — La condition nécessaire
cl su/flsiintc pour (jaune variable x qui passe par une succeft-
sion illimitée de valeurs, ait une limite finie et déterminée est
que, à tout nombre positif si petit <ju'il soit z. corresponde au
moins une valeur de x qui diffère de moins de e de toutes les
suivantes.

Il est clair que, dans ce cas, la variable a- est bornée et je dis
que ses plus grande et plus petite limites A et a ne peuvent
différer.

Sinon, en effet, on pourrait choisir un nombre positif e' assez
petit pour que a -\- e' fût encore < A — e', la variable x oscille-
rait indéfiniment d'un de ces deux nombres à l'autre (même en
les dépassant), aucune valeur de x ne pourrait donc différer de
toutes les suivantes d'une quantité inférieure à la moitié de cet
intervalle, ni, par suite, inférieure à e (si e est supposé moindre
que cette moitié).

La condition est donc suffisante. Il est évident qu'elle est
nécessaire, car, si les valeurs de a: se rapprochent indéfiniment
d'un nombre a, elles finissent ])ar différer aussi peu qu'on veut
les unes des autres. Le théorème est démontré.

Le critère de convergence est plus simple si la variable x est
monotone, c'est-à-dire si elle est : soit constamment croissante
(ou stationnaire), soit constamment décroissante (ou station-
naire). On l'énonce comme il suit :

Si la variable x varie toujours dans le même sens (est mono-
tone), la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle ait une
limite finie est qu'elle soit bornée.

En effet, si la variable est croissante, elle tendra vers sa
borne supérieure A, car elle ne peut surpasser A, tandis qu'elle
surpasse définitivement tout nombre moindre. De même, si elle
décroit, elle a sa borne inférieure pour limite.

On énonce souvent cette i-ègle en disant qn une variable qui
varie toujours dans le même sens a une limite finie ou infinie.

Les critères de convergence sont généraux et s'appliquent
quel que soit le mode de variation de a*.

Ces modes sont très variés. Tantôt x tendra vers sa limite
d'une manière continue en passant par toutes les valeurs inter-
médiaires, tantôt d'une manière discontinue en passant par une

i4

INTRODUCTION

suite illimitée de valeurs isolées. Dans ce dernier cas, il arrive
le plus souvent que les valeurs successives de x peuvent être
toutes numérotées dans l'ordre de leur succession :

X = Xi, X2, X^,... Xn ,... X„+p,...

Tel est le cas pour les sommes successives des termes d'une
série, les réduites successives d'une fraction continue, etc..
Le critère de Cauchy peut alors s'énoncer comme il suit :

La condition nécessaire et suffisante pour que la suite x^, x.^,
Xa,... Xn,... azï une limite finie et déterminée est qu'à tout nom-
bre positif s si petit qu'il soit, corresponde un indice n tel que
la condition

I ^n+p — ^n i *-- ^

ait lieu pour tous les indices n + P supérieurs à n.

17. Limite d'une fonction. — Quand les valeurs d'une variable
y sont déterminées par celles que reçoit une autre variable x,
on dit que y est une fonction de x.

Il peut alors se faire que, quand on donne à x une suite de
valeurs ayant pour limite a (la valeur a elle-même étant généra-
lement exclue), la suite des valeurs correspondantes de y ait
pour limite b. On écrit alors ,

lim y = b.

x=a

La condition nécessaire et suffisante pour que y ait une limite
finie b quand x tend vers a est donc qu'à tout nombre positifs
corresponde un nombre positif l, tel que l'inégalité | :v — a ] < 0
entraîne \ y — b \ < e.

Si l'on observe qu'une valeur de y suffisamment éloignée dans
la suite correspond à une valeur de .v suffisamment voisine de a,
on voit que le critère de convergence de Cauchy prend la forme
suivante :

La condition nécessaire et sufpsante pour que y ait une limite
finie quand x tend vers a est qu'à tout nombre positif e corres-
ponde un nombre positif à tel que, à deux valeurs de x qui dif-
fèrent de a de moins de 8, correspondent deux valeurs de y qui
diffèrent entre elles de moins de e.

Il est important de remarquer que y peut avoir une limite

THÉORIE DES LIMITES l5

quand on fait tendre x vers a par une suite de valeurs soumises
à certaines restrictions, par exemple toutes > a, ou toutes
rationnelles, etc. Ce sont alors ces A^aleurs seulement que l'on
doit considérer dans la condition de convergence.
On représente souvent par

lim y. Uni y,

x=a-\-o x=a—o

les limites de y quand x tend vers a en restant soit > a, soit < a.

Si y a une plus grande ou une plus petite limite quand x
tend vers a, on pourra aussi les représenter par

iim y ou lim y.

x=a x=a

Si y a une limite b quand x tend vers T'infini, c'est à dire si,
y diffère aussi peu qu'on veut de 5 à condition que x soit suffi-
samment grand, les notations seront analogues aux précédentes
en faisant a = oo.

Ces considérations s'étendent aux fonctions de plusieurs
variables. Si la valeur de ii dépend des valeurs de x, y,... on
dira que u a pour limite m quand ;x:, y,... tendent respectivement
vers a, b,... d'une manière quelconque, si à tout e positif cor-
respond un 8 positif tel que la différence | w — m \ soit < e
sous la condition que \ x — a \ , \ y — b \ ,,.. soient < 8.

Il est souvent utile d'observer que, si u et ly dépendent des
mêmes variables, on a évidemment

iim (u -f y) <C lim u -\- lim v.

Cette relation est susceptible d'un grand nombre de formes
équivalentes, en vertu de l'identité

lim u = — lim (— //).

En changeant d'abord le signe de v, ensuite u en u -f v, on a

lim (u — v) ^ lim u — lim v,

lim (« -f /)) > lim u + lim v,

lim (m — y) ^ lim u — ïim v

et, en changeant les signes des deux membres, puis ceux de u, v,

lim {u — y) > lim u — Uni «
lim (a -\- v) ^ lim u -f lïm v, etc.

l6 INTRODUCTION

Toutes ces relations s'a^jerçoiveiit d'ailleurs directement
comme la première.

1 8 . Principes de la théorie des limites. — I. La limite d'une somme,
d'une différence, d'un produit de variables qui tendent vers des
limites finies et déterminées, est égale à la somme, à la différence,
au produit de ces limites. La limite d'un quotient de varia-
bles qui tendent vers des limites finies et déterminées, est égale
au quotient de ces limites, pourvu que la limite du dénumi-
nsbteur soit différente de zéro.

Ces propositions se démontrent toutes de la même façon,
choisissons la dernière comme exemple. Soient deux variables x
et r ayant respectivement pour limites a et 6 ; on pourra poser

X = a -\- oL, y ^ b -{-p,

a et p ayant pour limite zéro. On en tire

X a a + a a cb — ^a

Si b est différent de zéro, cette dernière quantité peut être
rendue aussi petite que l'on veut avec a et (3, donc -~ a pour li-
mite r •

De la combinaison des propositions précédentes, on déduit
le théorème suivant :

II. Soit K(a% r,...) une expression rationnelle quelconque des
variables x, y,..., c'est-à-dire une expression dont le calcul ne
comporte que les quatre opérations fondamentales, si les varia-
bles x, y... ont respectivement pour limites a, b,..., R (x, y...)
aura pour limite R (a, b,...).

Ce théorème est soumis toutefois à cette restriction que, si
parmi les opérations à effectuer sur les nombres a, b,... figure
une division, le diviseur ne soit pas nul.

III. Si deux variables restent constamment égales et si l'une
tend vers une limite déterminée, finie ou infinie, l'autre tend
vers la même limite.

En effet, si u a pour limite a, u — a décroit indéfiniment ;
ëi u = V, V — a -= u — a décroît aussi indéfiniment et y a aussi
pour limite a. La démonstration est analogue si la limite est
infinie.

THEORIE DES LIMITES

^7

IV. Une quantité variable qui reste constamment comprise
entre deux autres qui ont la même limite finie ou infinie, tend
aussi vers la même limite.

En effet, si w est compris entre deux variables u et /; qui
tendent vers a fini, w — a sera compris entre u—aetv~a qui
décroissent indéfiniment et décroîtra lui-même indéfiniment.
Donc w a pour limite a. Le raisonnement est analogue si la
limite est infinie.

19, Méthode des limites. —Lorsqu'on a obtenu une relation
entre des variables qui subsiste pour une infinité de valeurs des
variables, on peut, en s'appuyant sur les principes précédents,
y remplacer les variables par leurs limites. Cette opération
porte le nom de passage à la limite. Cette nouvelle opération
qui s'ajoute aux quatre opérations fondamentales de l'arithmé-
tique, caractérise Vanalyse infinitésimale.

La méthode des limites consiste à trouver des relations entre
les quantités ])ar passage à la limite.

La méthode des limites se décompose en plusieurs branches
suivant la nature des variables que l'on considère dans ce pas-
sage à la limite (séries, produits infinis, fractions continues,
calcul différentiel, calcul intégral).

20. Méthode infinitésimale. — Lorsqu'une quantité variable a
pour limite zéro, on dit que c'est une quantité infiniment petite
ou un infiniment petit. Au contraire, une quantité in liniment
grande est une quantité variable qui augmente au-delà de toute
limite assignable.

La méthode infinitésimale est celle où l'on se sert de la con-
sidération des infiniment petits. Dans le calcul différentiel, on
considère les quantités comme limites du rapport de deux
infiniment petits. Dans le calcul intégral, on les considère
comme limites d'une somme d'un nombre indéfiniment croissant
d'infiniment petits.

Dans les questions où on les considère, on établit le plus
souvent, entre les divers infiniment petits que l'on rencontre,
une classification très importante, qui s'appuie sur les défini-
tions suivantes :

On dit qu'une quantité a est infiniment petite par rapport à une

2

l8 INTRODUCTION

autre ^, lorsque le rapport ^ a pour limite 0. Au contraire, les
deux infiniment petits sont du même ordre si leur rapport a une
limite finie et différente de zéro.

Dans beaucoup de questions, on est amené à choisir un
infiniment' petit particulier a, que l'on appelle infiniment petit
principal, et qui sert à classer tous les autres. Un infiniment
petit du même ordre que a s'appelle alors du premier ordre et
un infiniment petit de l'ordre de ol^ est de l'ordre r.

Lorsqu'une quantité est décomposée en une somme de termes
qui sont des infiniment petits d'ordres différents, on donne le
nom de terme principal à celui qui est de l'ordre le moins élevé.

On appelle expression asymptotique d'une quantité une ex-
pression qui n'en diffère que par un infiniment petit d'un ordre
assigné.

21. Principes de substitution des infiniment petits. — Les avan-
tages de la méthode infinitésimale résultent des deux principes
fondamentaux connus sous ce nom.

I. La limite du rapport de deux infiniment petits a. et ^ n'est
pas changée quand on leur substitue respectivement deux
autres infiniment petits a' et (3', pourvu que -^et-^y «len^ pour

limite l'unité.
En effet, de l'identité

a' _a _a^ J_

on conclut, par les principes de la méthode des limites,

lim ^7- = lim yr hm — lim -^ = lim ^ -

La remarque suivante sert souvent à reconnaître que le rap-
port de deux infiniment petits tend vers l'anité :

Si (3 reste compris entre deux infiniment petits « et a' dont le
rapport tend vers l'unité, il en sera de même des rapports p : a
et ^ : a'.

En effet, en divisant les inégalités

a > ^ > a'

par a supposé positif, il vient

S a

I >-^> —

a a

THKORIE DES LIMITES I9

et, comme a': a est suppose tendre vers ruiiité, il suit du prin-
cipe TV (n" 18) {[ue ^ -/i tend vers l'unité. La même démonstra-
tion s'applique au rapport (B : a'.

]I. La limite d'une somme d'infiniment petits de même signe

a,, ajj, (x„, dont le nombre n augmente indéfiniment, n'est

pas changée quand on remplace ces infiniment petits par d'au-
tres [3,, ^2,.,,, [tn> pourvu que les rapports ^z : o-i tendent unifor-
mément vers l'unité.

Le mot uniformément doit être entendu en ce sens que, (juel-
que petit que soit e positif, on peut prendre n assez grand
pour qu'on ait, quel que soit l'indice /,

I— e < -^ < I -f e.

«e

S'il en est ainsi, on aura, en supposant les a positifs,
(i— e) a^ < Pi < (i -t-e)»,;
puis, en additionnant toutes les inégalités semblables,

(i-e)i:a,< S(ï,< (i +e)Xa,
et, par conséquent,

I — e < ^ < I -he.
La,

D'ailleurs, e étant aussi petit qu'on le veut avec — , on en
conclut

«1 + «2 -h + «u

ce qui exige que pi + P^ 4- pn et «i + «^ -i- + a„ aient la

même limite finie, nulle ou infinie.

Ces deux principes généraux peuvent revêtir un autre énoncé
moyennant la remarque suivante :

Quand deux infiniment petits a et ol' ont pour limite de leur
rapport l'unité, leur différence 8 est infiniment petite par rap-
port à chacun d'eux, et réciproquement.

En effet, l'équation Ô = a — a' peut s'écrire

L-1 _

a' ~ a' ^*
J.e second membre ayant pour limite zéro, il en est de même

20 INTRODUCTION

du premier et S est infiniment petit par rapport à a'. Récipro-
quement, si 0 est infiniment petit par rapport à a', B : a' tend
vers zéro, et, par conséquent, a : a' tend vers l'unité,

Les principes de substitution peuvent donc aussi s'énoncer
comme il suit :

On peut, sans changer la limite d'un rapport ou d'une somme
d'infiniment petits, négliger dans chaque terme une quantité
infiniment petite par rapport à lui.

Toutefois l'énoncé de ce principe doit être complété, dans le
cas d'une somme, par la condition contenue sous le mot unifor-
mément dans l'énoncé primitif.

L'utilité de ces principes consiste en ce qu'ils permettent de
négliger dans bien des cas précisément les parties des infini-
ment petits qui font la difficulté du problème.

§ 3. Des fonctions d'une variable réelle.

22. Fonctions d'une variable. — Etant données deux variables
X et y, on dit qu'elles sont fonctions l'une de l'autre dans le
sens le plus général, s'il existe une dépendance quelconque entre
les valeurs que l'on peut attribuer à ces deux variables. En géné-
ral, on considère une des deux variables comme indépendante,
par exemple x. La valeur de x peut être choisie à volonté,
mais, x étant donnée, y n'est plus arbitraire. On dit alors que y
est fonction de ;x; et cette dépendance s'exprime par la notation

y = f{x)-

On étudie dans les éléments des mathématiques un certain
nombre de fonctions relativement simples, dont les propriétés
sont bien connues et que l'on représente par des symboles par-
ticuliers. Ce sont les fonctions élémentaires :

x'^, A^ , sin X, etc.

On dit que la fonction f{x) est uniforme, ou univoque, ou à
détermination simple, si elle n'est susceptible que d'une seule
valeur pour chaque valeur de x, telles sont A^ , sin x,... Au con-
traire, la fonction est multiforme, ou. plurivoque, ou à détermi-
nations multiples, si elle est susceptible de plusieurs valeurs
pour chaque valeur de x. Telle est la fonction \Jx qui peut rece-
voir deux valeurs de signes contraires pour chaque valeur de x.

FONCTIONS I) UNE VARIABLE REELLE 21

On classe les fonctions en fonctions explicites ou implicites
suivant que la relation entre y et x est donnée par une équa-
tion résolue par rapport à la fonction y ou non résolue par
rapport à cette fonction ; en fonctions algébriques ou transcen-
dantes suivant que la relation entre y et x peut ou ne peut pas
être exprimée par une équation dont les deux membres sont
des polynômes entiers en x et en y, Les fonctions algébriques
se partagent elles-mêmes en rationnelles ou irrationnelles, sui-
vant que l'équation qui lie y à x est du premier degré par rap-
port à y ou ne l'est pas. Une fonction rationnelle s'exprime
donc par le quotient de deux polynômes en x ; en particulier, si
elle se réduit à un polynôme, on dit qu'elle est rationnelle et
entière.

Lorsque la relation y = f{x) qui lie y à .v peut être résolue
par rapporta a', de telle sorte qu'on en tire A' = 'f(3'), la fonc-
tion (p(y) s'appelle la fonction inverse de f{x). C'est ainsi que
les fonctions x^, A^, sin a, tgx,... ont respectivement pour

inverses x"^, Log x, arc sin x, arc tg x, etc.

La variation d'une fonction se représente géométriquement
en utilisant les principes de la géométrie analytique. On trace
généralement deux axes rectangulaires OX et OY, par rapport
auxquels on détermine les coordonnées x et y d'un point.
L'équation y -= f{x) sera généralement celle d'une courbe plane,
que l'on considère comme une représentation géométrique de
la fonction f{x).

Remarque. — 11 arrive souvent que l'on est amené à consi-
dérer une constante ou bien la variable indépendante elle-même
comme des cas particuliers d'une fonction. Il n'y a là rien qui
doive surprendre, car ces cas particuliers se rencontrent déjà
dans les fonctions élémentaires et ce sont même les plus sim-
ples. Ainsi, la fonction x*^ se réduit à i pour m = 0 et à a pour
m =^ I. Dans la représentation géométrique correspondante,
la courbe se réduit à une droite, parallèle à l'axe des x ou bis-
sectrice de l'angle des axes.

23. Oscillation d'une fonction dans un intervalle. — Si la fonction
/"(a-) est bornée dans l'intervalle (a, b), c'est-à-dire quand x
varie dans (a, b), elle a, comme on le sait (i3), une borne infé-

22 INTRODUCTION

rieure m et une borne supérieure M. La différence M — m entre
les bornes supérieure et inférieure de /(^v) dans l'intervalle (a, b)
s'appelle Voscillation de la fonction dans cet intervalle. Si la
fonction n'est pas bornée dans l'intervalle (a, b), on dit que son
oscillation est infinie dans cet intervalle.

Suivant ces définitions, si l'oscillation de f{x) est finie et
égale à M — m dans l'intervalle {a, b) et que l'on partage, cet
intervalle en plusieurs autres consécutifs par des points inter-
médiaires : I" la borne supérieure de la fonction sera encore M
dans un au moins des intervalles partiels et ne pourra surpas-
ser M dans aucun ; a° la borne inférieure sera m dans un au
moins des intervalles partiels et ne sera inférieure à m dans
aucun ; 3" la somme des oscillations dans les intervalles par-
tiels sera au moins égale à M — m et l'oscillation ne sera supé-
rieure à M — m dans aucun de ces intervalles. Enfin, si l'oscilla-
tion de f{x) est infinie dans l'intervalle (a, b), elle le sera
encore dans un au moins des intervalles partiels.

24. Oscillation en un point. Définitions relatives à la continuité. — Si
la fonction f{x) n'est bornée dans l'intervalle (a — 8, a -f 5) pour
aucune valeur positive si petite qu'elle soit de 8, on dit que
Voscillation de f{x) est infinie au point a. Sinon l'oscillation
de f{x) dans l'intervalle (a — 5, a -f 8), qui est constante ou
décroissante quand 8 diminue, tend vers une limite déterminée
quand 8 tend vers 0. Cette limite est Voscillation de f{x) au
point a.

Si l'oscillation est nulle en ce point, la fonction est continue
au point a, ou pour x — a. — La fonction f{x) est donc conti-
nue au point a, si f{x) a pour limite f{a) quand x tend vers a
d'une manière quelconque.

L'oscillation définie ci-dessus est Voscillation totale âu point a,
par opposition avec les oscillations à gauche et à droite du point a
qui se définissent comme la première, mais en considérant les
limites des oscillations dans les deux intervalles (a — 8, a) et
(a, a + o). D'après ces définitions, toutes les oscillations sont
des quantités essentiellement positives ou nulles.

La fonction f{x) est continue à droite du point a si son oscil-
lation est nulle à droite du point a. Elle est continue ù gauche

PONCTIONS n'UNK VARIABLE REELLE 2,3

du point a si son oscillation est nulle à gauche du point a. Si les
deux oscillations sont nulles, la fonction est continue au
point a.

La fonction f'{x) est continue dans l'intervalle (a, b) si elle
est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et h.
à droite du point a et à gauche du point b.

Elle est continue dans le voisinage du point a, si elle l'est
dans l'intervalle (a — s, a + e) à partir d'une valeur positive
suffisamment petite de e.

Si la fonction /"(a) n'est pas continue pour jc = a ou dans
l'intervalle (a, b), elle est discontinue au point a ou dans l'inter-
valle (a, b). — Si elle est discontinue au point a, celui-ci est un
point de discontinuité.

25. Continuité des fonctions composées. — 1. La somme, le pro-
duit le quotient de deux fonctions continues au point a ou dans
l'intervalle (a, b), sont des fonctions continues en ce point ou
dans cet intervalle, à moins qu'une fonction prise comme divi-
seur ne s'annule.

Ces théorèmes résultent immédiatement des principes cor-
respondants de la théorie des limites (n** i8). Démontrons, par
exemple, le dernier. Soient /(.v) et F{x) deux fonctions conti-
nues au point a ; si F (a) n'est pas nul et si .v tend vers a.
la limite du quotient f{x) : F (.y) sera égale au quotient des
limites f{a) : F (a). Donc f{x) est continue au point a. En second
lieu, si f{x) et F(.y) sont continues dans l'intervalle (a, b) et que
y{x) ne s'annule pas dans cet intervalle, le quotient /(.v) : F(jc)
sera continu pour toutes les valeurs de .\', donc dans l'inter-
valle (a, b).

II. Soient u = f{x) et y = F(u); si f{x) est continue pour
X = a et F{u) continue pour u =- f{a), y sera fonction continue
de X au point de a.

On a, en effet, x tendant vers a.

lim V[f{x) = F[lim f{x)] = K[/(a)].

Nous concluons de là que les fonctions composées par addi-
tion, multiplication, division ou superposition du signe fonc-
tionnel ne peuvent être discontinues que si l'une des fonctions
composantes est discontinue ou si l'une des fonctions prises
comme diviseur s'annule.

24 INTRODUCTION

26. Théorème. — Soit e un nombre positif ; s'il est impossible,
en intercalant un nombre convenable de points de subdivision
entre a et b, de partager l'intervalle (a, b) en intervalles consé-
cutifs, de telle sorte que l'oscillation de f{x) soit < e dans cha-
cune de ces parties consécutives, il existe dans l' intervalle (a, b)
un point au moins où l'oscillation de f{x) est ^ e. Ce point peut
être a ou b, mais c'est alors l'oscillation à droite du point a ou
celle à gauche du point b qui sera ^ e.

Admettons que l'impossibilité supposée dans cet énoncé ait
lieu pour l'intervalle (a, b) et partageons cet intervalle en
deux autres par son point milieu. L'impossibilité subsistera
dans l'une au moins de ces deux parties, sinon elle n'existerait
pas dans l'intervalle total. Soit (a^, 6,) celle des deux moitiés
dans laquelle l'impossibilité subsiste, ou l'une quelconque des
deux moitiés si l'impossibilité subsiste dans toutes les deux.
Partageons de même (ai, b^ en deux parties égales et désignons
par (aj, b^) l'une des deux moitiés dans laquelle l'impossibilité
subsiste encore. Partageons {a^, b.^) en parties égales et conti-
nuons ainsi de suite. Nous formerons deux suites de nombres
aj, âg,.. an,., et b^, b^,.. b,i,.. l'une stationnaire ou croissante,
l'autre stationnaire ou décroissante, et tendant vers la même
limite c, puisque bn — an -= (6 — a) : 2" a ppur limite 0. Le
point c appartient donc à un intervalle (a„ , bn ) aussi petit que
l'on veut et intérieur à (a, b) dans lequel l'oscillation de f(x)
est ^ e. Donc l'oscillation au point c est ^ e. Enfin, si c coïn-
cide avec a ou avec b, l'oscillation se détermine en ne tenant
compte que des valeurs de f{x) à droite de a ou à gauche de b,
ce qui achève la démonstration du théorème.

27. Propriétés des fonctions continues d'une variable. — 1. Si la
fonction f{x) est continue au point a et ne s'annule pas en ce
point, elle sera de même signe que f{a) dans l' intervalle (a — 5,
a -f- 8), pourvu qu'on choisisse B suffisamment petit.

En effet, f{x) ayant pour limite f{a) quand x tend vers a, on
peut choisir 8 assez petitpour que f{x) soit plus rapproché de f{a)
que ne l'est 0, sous la condition \ x — a \ < 8. Cela fait, f{x)
aura le signe de f[a) dans l'intervalle (a — 8, a + 8).

II. Si f{x) est continue dans l'intervalle {a, b), elle est bornée
supérieurement el inférieurement dans cet intervalle.

PONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE 25

Ce théorème est une conséquence immédiate de celui du
n° 26. Puisque f{x) n'a pas de discontinuité dans l'intervalle
(a, b), on peut, le nombre positif e étant donné, trouver un mode
de division de cet intervalle en parties telles que l'oscillation
de f{x) soit ^ e dans chacune d'elles. Soit n le nombre de ces
parties ; la fonction f{x) restera comprise entre f{a} — n e et
/•(a) + /ie.

ni. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b),
ses bornes supérieure et inférieure sont toujours accessibles,
c'est-à-dire qu'il existe toujours au moins deux valeurs de x
dans l'intervalle (a, b) qui donnent respectivement à f{x) ses
plus grande et plus petite valeurs M et m (Weierstrass).

Faisons la démonstration pour la borne M. A cet effet, con-
sidérons la fonction continue, non négative, M — f[x). Cette
fonction peut décroître en dessous de tout nombre positif e,
puisque f{x) peut surpasser tout nombre inférieur à M . Donc la
fonction i : [M — /(-^)1 peut surpasser tout nombre assignable
et elle n'est pas bornée dans l'intervalle (a, b). Par conséquent,
cette nouvelle fonction est discontinue (II), ce qui n'a lieu
(n" 25) que si M — f{x) s'annule dans l'intervalle (a, b).

IV. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b) et
qu'on divise cet intervalle en intervalles partiels consécutifs, à
tout nombre positif 2z, si petit qu'il soit, correspond un nombre
S tel que l'oscillation de f{x) dans chaque intervalle partiel soit
inférieure à 2£, pourvu que l'amplitude de chaque intervalle
partiel soit inférieure à S. (Cantoh),

En effet, on peut trouver un premier mode de décomposition,
tel que l'oscillation de f{x) soit inférieure à e dans chaque inter-
valle partiel, sinon la fonction aurait une oscillation > e en un
point de l'intervalle (a, b) et ne serait pas continue (n° 26). Soit 8
l'étendue du plus petit de ces intervalles. Si l'on considère un
autre mode de subdivision en intervalles < 8, un intervalle de
ce second mode de subdivision ne pourra empiéter sur plus de
deux intervalles du premier mode. Donc l'oscillation de la fonc-
tion dans cet intervalle ne supassera pas la somme des oscilla-
tions de f{x) dans deux intervalles du premier mode. Elle res-
tera, par conséquent, inférieure à e -{- e = 2e.

26 INTRODUCTION

On énonce souvent ce théorème en disant qu'une fonction
continue dans un intervalle (a, h) l'est uniformément dans cet
intervalle.

V. Si la fonction /(a) est continue dans l'intervalle (a, b) et
si f{a) et f{b) sont de signes contraires, f{x) s'annule pour une
valeur ^ de x comprise entre a et b.

Marquons entre a et b une suite de points consécutifs assez
rapprochés pour que la variation de f{x) soit < e d'un point au
suivant, ce qui est possible quelque petit que soit e (IV). Si la
fonction ne s'annule pas en l'un de ces points, elle change de
signe entre deux points consécutifs où sa valeur absolue sera
< £. Donc I : f{x) surpasse i : e en valeur absolue quelque petit
que soit e, et cette fonction n'est pas bornée ni continue, ce qui
n'a lieu (25) que si f{x) s'annule dans l'intervalle (a, b).

VI. Si la fonction f{x) est continue dans (a, b), elle prend,
dans cet intervalle, toute valeur comprise entre f{a) et f{b).

En effet, soit A une quantité comprise entre ces deux valeurs ;
la fonction continue f{x) — A, prenant des valeurs de signes
contraires pour x = a et x = b, s'annule en un point intermé-
diaire Ç et l'on a, par conséquent, f{^) = A.

On énonce cette propriété en disant qu'une, fonction continue
dans un intervalle (a, b) ne peut passer d'une valeur à une autre
sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Exercices.

1. Soit X une valeur positive et [x] le plus grand entier contenu
dans X. On considère la fonction x — [x]. Prouver : 1°) qu'elle est dis-
continue pour les valeurs entières de x et continue pour les autres
valeurs; 2°) que sa borne inférieure est 0 et sa borne supérieure i,
dans tout intervalle comprenant un nombre entier; 3°) que cette borne
inférieure est accessible et cette borne supérieure inaccessible.

2. La fonction sin -~ est définie, sauf pour ;t = 0 ; on lui donne, pour

compléter sa définition, la valeur 0 pour a; = 0. Prouver : i») que cette
fonction est discontinue pour a; ^ 0 et que son oscillation en chaque
point est égale à 2 ; 2°) que cependant, dans tout intervalle compre-
nant le point 0, la fonction ne peut passer d'une valeur à une autre
sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

3. On définit la fonction ?? [x) en posant <p {x) ^ - quand x est

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES 27

rationnel et égal à une fraction irréductible ± p : q et 'f (x) ^= 0 quand
X est irrationnel. Prouver : i») que o (x) est continue pour toute valeur
irrationnelle de x ; 2°) discontinue pour toute valeur rationnelle ;
3") que l'oscillation est égale à la fonction elle-même.

Cet exemple prouve qu'il existe des fonctions telles qu'il y ait,
dans tout intervalle si petit qu'il soit, une infinité de points où elles
sont continues et une infinité d'autres où elles sont discontinues.

4. On peut définir la continuité en un point et dans un intervalle
(a, b) comme au n» 24, mais en ne donnant à la variable indépendante
X que des valeurs rationnelles. Ceci posé, soit/(;»;) une fonction définie
pour les valeurs rationnelles de x seulement, et continue pour toutes
ces valeurs dans l'intervalle (a, b). Existe-t-il une fonction F{x), conti-
nue pour toutes les valeurs réelles de x dans l'intervalle (a, b) et qui
coïncide avec /(a;) pour x rationnel?

R. Oui, si la continuité de/{x) est uniforme [c'est à dire si la pro-
priété IV du n» 27 s'applique kf{x)] ; non dans le cas contraire. On le
prouvera en montrant que, dans le cas de l'affirmative, /(;t) tend vers
une limite déterminée F (a) quand x tend vers une valeur irration-
nelle a.

§. 4. Fonctions de plusieurs variables réelles.

28. Des variables, des fonctions et de leurs limites. — Si les valeurs
que reçoit la variable u dépendent des valeurs qu'on attribue à
plusieurs autres variables x, y,... on dit que u est une fonction
de ces variables et l'on écrit u -^ f{x, y,.--)* ^^ fonction est
uniforme, ou univoque, oxik détermination simple, — multiforme,
ou plurivoque, ou à déterminations multiples, selon qu'elle est
susceptible d'une seule ou bien de plusieurs valeurs pour
chaque système de valeurs de x. y,... La fonction est algébrique
ou transcendante, rationnelle ou irrationnelle, implicite ou e.v-
plicite comme dans le cas des fonctions d'une seule variable.

On dit que les variables x, y,... varient dans le domaine rec-
tangulaire D limité par les valeurs ai et ag de x, b^ et b^^ de y.-..
lorsqu'on peut donner à x, y,... respectivement toutes les va-
leurs comprises entre ces limites et, de plus, ces valeurs-limites
elles-mêmes. Les points où l'une des variables au moins prend
une de ses valeurs-limites forment la frontière du domaine D.
Les autres points sont intérieurs au domaine D.

Plus généralement, les variables x, y,... peuvent prendre
tous les systèmes de valeurs qui satisfont à certaines inégalités
de la forme F {x, y,...) > 0 où F est continue. On dit encore,

a8 INTRODUCTION

dans ce cas, qu'elles varient dans un domaine D, défini par ces
conditions. Sur la frontière du domaine une des inégalités se
change en égalité.

Lorsque les variables (.v, y,...) varient dans un domaine D, la
fonction f{x, y,...) peut être bornée supérieurement et infé-
rieurement. Dans ce cas, ses bornes supérieure et inférieure
et son oscillation se définissent comme dans le cas des fonctions
d'une seule variable.

Ce que nous avons dit (n° 22) de ces divers éléments, dans le
cas où l'on considère le partage d'un intervalle en plusieurs
autres, peut évidemment se répéter si l'on considère le partage
en plusieurs autres d'un domaine D.

29. Représentation géométrique. — Quand on considère deux
variables x et y seulement, leur variation simultanée se repré-
sente géométriquement par le déplacement d'un point M du plan
qui a pour coordonnées rectangulaires x et y. Le domaine D
limité par les valeurs a, et aj de x, fe, et b^ de y est alors figuré
par le rectangle dont les côtés ont pour équations x = ai,
X — a^ et y ^ by, y =^ b2. Quand x et y varient dans ce domaine,
le point représentatif du système peut prendre toutes les posi-
tions comprises dans l'intérieur et sur le contour du rectangle.
Par allusion à cette représentation, un système de valeurs de
X et y s'appelle un point, le système a, b le point (a, b), etc. La
représentation géométrique s'étend au cas de trois variables à
condition de considérer le déplacement du point M dans l'es-
pace. Dans ce cas, un domaine rectangulaire est figuré par un
prisme rectangle.

Plus généralement, dans le cas de deux variables, on peut
faire varier le point x, y dans la portion du plan limité par un
contour fermé. Le domaine D comprend alors tous les points
de la courbe frontière et de la région intérieure.

Dans le cas de trois variables, le point x, y, z peut varier
dans un domaine I) limité par une surface fermée. Cette surface
est la frontière du domaine.

Au delà, la représentation géométrique fait défaut, mais il
est commode d'étendre la terminologie au cas général, le point
variant alors dans l'hyperespace.

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES 29

30. Définitions relatives à la continuité. — Une fonction f{x, y,...)
est continue au point (a, b,...) si f{x,y,...) a pour limite f(a, l),...)
quand x, y,... tendent respectivement vers a, b... d'une manière
quelconque, c'est-à-dire quand \ x — a \ -{- \ y — b \ ~{- ... tend
vers 0 ; ou, ce qui revient encore au même, si l'oscillation de
f{x, y,...) dans le domaine infiniment petit limité par les
valeurs a ± t de x, b zk 'r\ de y,... a pour limite 0 quand t, yj,...
tendent vers 0.

La fonction f{x, y,...) est continue dans un domaine 1) si elle
est continue en tout point intérieur à ce domaine et en tout
point de sa frontière. Seulement, sur la frontière du domaine D,
la condition de continuité, exprimée par l'équation

lim f{x, y,...) = /"(lim x, lim y,...),

est seulement relative au cas où les variables tendent vers leurs
limites sans sortir du domaine D.

La fonction est continue dans le voisinage d'un point {a, b,...)
lorsqu'elle est continue dans un domaine suffisamment petit
comprenant ce point dans son intérieur (au sens étroit).

Lorsqu'une fonction n'est pas continue au point (a, b,...), elle
est discontinue en ce point.

D'après ces définitions, une fonction peut être continue par
rapport à chaque variable x, y,... variant seule, sans l'être par
rapport à l'ensemble de ces variables.

31. Continuité des fonctions composées. — 1. La somme, le pro-
duit, le quotient de deux fonctions continues sont des fonctions
continues, sauf si une fonction prise comme diviseur s'annule.

La démonstration est la même que pour les fonctions d'une
seule variable (n° 25).

II. Si u, V..., sont des fonctions continues de x, y..., et si
F (u, V,...) est une fonction continue de u, v,..., F sera aussi
fonction continue de x, y....

Faisons tendre x, y,... vers .Yq, yo,--- et soient u^, Vç,.... les
valeurs de u, v,... en ce point. Les fonctions étant continues,
on aura effectivement :

lim F {u, V,...) = F (lim u, lim v,...) = F (uo, Vo,...).

De là, nous concluons encore que les fonctions composées de
plusieurs variables ne peuvent devenir discontinues que si l'une

30 INTRODUCTION

des lonctioiis composantes devient diseontiniie ou si l'on doit
faire une division pai" zéro. Ce résultat généralise eelui obtenu
au n° 23 et le renferme eomme cas particuliei*.

32. Convergence uniforme. — Soit f{x, y, z,...) une fonction de
plusieurs variables. Il se peut qu'elle tende vers une limite
déterminée 'f {y, z,...) quand on fait tendre a' vers une valeur
particulière a. On dit que f{x, y, z,...) converge uniformément
vers sa limite dans un domaine déterminé y, 3,... si, à tout
nombre ])ositif e, correspond un nombre 8, iNOÉPENnAN'i m-: y,
z,..., tel qu'on ait

(1) \f{x,y,z,...)-f(y,z,...)\ <e,

sous la seule condition | a- — a | < 8, et cela dans tout le domaine
y, z,... considéré.

La fonction f{x, y, z,...) peut aussi converger vers une limite
© {y, z,...) quand x tend vers l'infini. Pour que la convergence
soit uniforme, il faut qu'à tout nombre e corresponde un nom-
bre N INDÉPENDANT DE y, Z,..., tel quc la relation (1) ait lieu sous
la seule condition a > N dans tout le domaine y, z,... considéré.

Ainsi, par exemple, la l'onction

I
x—y

a pour limite 0 quand x tend vers l'infini, et cela pour chaque
valeur de y, mais la convergence n'est pas uniforme si y peut
varier d'une manière quelconque, car, quelque grand que soit
X, on peut encore choisir y de manière à rendre la fonction
aussi grande qu'on veut.

§ 5. Fonctions élémentaires*.

33. Exposants fractionnaires. — Dans sa signification primitive,
un exposant indique le nombre des facteurs égaux d'un produit :

(*) Les déliuitions des fonctions exponentielle et logarithme appar-
tiennent aux éléments de l'algèbre. Ces définitions et les propriétés fon-
damentales de ces fonctions sont déjà familières à ceux qni abordent
l'étude de l'analyse infinitésimale. Kn les rai)pelant brièvement ci-des-
sous, notre but est de les rattacher aux principes généraux et de faire
saisir dans sou ensemble la chaîne des déductions qui y conduisent.

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 3l

.V" désigne le produit de îu facteurs égaux à .v. On généralise
déjà en algèbre élémentaire la notion des exposants par la défi-
nition des exposants fractionnaires et négatifs. Si a désigne un
nombre positif quelconque, l'équation a:" = h, où n est un entier
positif, a une racine positive et une seule que l'on appelle la

racine arithmétique n^"^'^ de a. On la représente par "\/a ou a".

m.

On pose ensuite, par définition, a" = ^^\la^, a:" =■ i, a- « = —,

a désignant une fraction quelconque. Ces définitions suffisent
pour établir, sans aucune difficulté, toutes les règles du calcul
des exposants rationnels positifs et négatifs. Nous supposerons
ces résultats acquis dans les éléments.

34. Fonction exponentielle. — Soit a un nombre positif, la défi-
nition de la fonction a^ résulte de celle des exposants fraction-
naires pour toutes les valeurs rationnelles de .v. Lorsque x
varie sans cesser d'être rationnel, la fonction a^ est continue
pour chaque valeur de x et elle varie en croissant de 0 à i et de
I à 00 quand a: lui-même varie dans le même sens de — x à 0 et
de 0 à 00. Cette i^ropriété permet de définir, par un passage à la
limite, la fonction a^ pour les valeurs irrationnelles de .v et de
donner, par conséquent, la définition des exposants irration-
nels. Si a est irrationnel, a'=^ est la limite de a^ quand x tend
vers a sans cesser d'être rationnel. La fonction a^ se trouve
maintenant définie pour toutes les valeurs réelles de x, elle est
encore constamment croissante avec .v et continue pour toutes
les valeurs de cette variable.

Les propriétés essentielles de la fonction exponentielle sont
exprimées par les équations

a^ a'^ = a^ + î', (a^ "') -= a"»^.

(yelles-ci se démontrent directement dans le cas des exposants
fractionnaires et elles s'étendent, par un passage à la limite,
au cas des exposants irrationnels. Nous supposerons encore ces
résultats acquis dans les éléments.

35. Fonction log-arithme. Puissance quelconque. — Soit a un nom-
bre > 1 ; le logarithme d'un nombre positif/», dans le système
de logarithmes dont la base est a, est l'exposant auquel il faut

32 INTRODUCTION

élever a pour reproduire m. Tout nombre positif m a un loga-
rithme et un seul dans la base a, car, a^ croissant de 0 à x
quand x croît de — oo à 4- co» l'équation a^ = m a une racine et
une seule. înTous représenterons cette racine par LogaA*.

La fonction JjOgaX est définie par là pour toutes les valeurs
réelles et positives de .v sauf x = 0 ; elle croît successivement
de — GO à 0, de 0 à I et de I à l'infini, quand x lui-même croît
de 0 à I de I à a et de a à l'infini. Elle est continue pour toutes
les valeurs de x sauf x = 0.

Les propriétés fondamentales du logarithme correspondent à
celles de l'exponentielle a^, elles sont exprimées par les équa-
tions :

Log« A- -h Loga y = Loga xy, Loga x"^ =- m Log« x.

Lorsque la variable x est positive, une puissance, x*^ , est dé-
finie par ce qui précède pour toutes les valeurs réelles de a.
On a, en effet, le logarithme étant pris dans la base A,

Cette fonction s'exprime donc par les fonctions exponentielle
et logarithme. Elle est continue pour toutes les valeurs posi-
tives de X.

36. Logarithmes naturels. Nombre e. — Les logarithmes naturels
sont ceux qui ont pour base le nombre e que nous allons défi-
nir. Comme on le verra, ce sont ceux qui se présentent le plus
naturellement dans le calcul différentiel et nous n'en aurons
guère d'autre à considérer. Nous conviendrons de désigner par
LogA a; le logarithme de a dans la base A, et par LogA (sans in-
dice) son logarithme naturel.

On définit d'abord le nombre e comme limite de l'expression

'+^

quand n est un entier qui tend vers l'infini, et cette limite est
finie et déterminée, car nous allons montrer (juc cette expres-
sion est croissante et bornée.

Elle est croissante, car elle se développe par la formule du
binôme dans une somme de n 4- i termes :

INTRODUCTION 33

i.2...pV Wv ny V /i y

Or le nombre des termes augmente avec n et chaque terme
aussi.

Ensuite l'expression est bornée, car le terme de rang {p -4- i) •
(écrit en dernier lieu) est moindre que

I I

<

1.2.,. p 2P-'^'
et la somme entière, moindre que

Donc le nombre e est compris entre 2 et 3. Nous apprendrons
plus tard le moyen de le calculer. Sa valeur approchée est

e = 2,7 1828 1828 459045 ...

Théorème. — Plus généralement, a tendant vers 0 d'une ma-
nière quelconque, on a

i_
lim (i 4- a)« = e.

En effet, si a est positif, i : a est compris entre deux entiers
consécutifs n et n + i qui augmentent à l'infini, et l'on a

r\n+i

I A" * / T\'

1

Donc (I + a)=' est compris entre deux quantités qui ont pour
limite e :

^+.^T :ri4-^-.^ et ri+^T.r. -

Si a est négatif et > — i, on pose i + a = i : (i + p), de sorte
que (3 tend vers 0 en restant positif, et l'on a

(l+a)a=(H-{3) ? =(i+|3).(i4.p)P,

ce qui ran)ène au cas précédent.

3

34 FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES.

37. Fonctions circulaires directes. — Les fonctions trigonomé-
triques sont définies dans les éléments par des considérations
géométriques. Nous supposerons connues leurs propriétés les
plus élémentaires.

Toutes les fonctions trigonom étriqués peuvent se définir au
moyen de l'une d'elles, considérée comme fondamentale, par
exemple sin^x, au moyen des formules :

cosa; = sin ( a* ), tg^; = —, cotA' = tg( -—x ),

sec A' = , cosec a —

cosA sinx

Dans toute l'étendue de ce cours, les angles sont supposés
mesurés par la longueur de l'arc qu'ils interceptent sur la cir-
conférence de rayon un. Dans les formules précédentes, x dé-
signe donc un arc de cercle.

38. Fonctions circulaires inverses. — Les fonctions circulaires
étant périodiques, reprennent la même valeur pour une infinité
de valeurs de la variable. Donc leurs inverses, ayant une infinité
de valeurs pour chaque valeur de la variable, sont des fonctions
à déterminations multiples. Nous allons montrer toutefois que
l'on peut associer ces valeurs entre elles, de manière à définir
une infinité de fonctions distinctes, dont chacune sera uniforme
et continue et constituera une branche de la fonction.

1^ La fonction y =- arc sin x est la fonction inverse du sinus,
c'est la fonction implicite y. définie par l'équation

X = sin y.
Quand y croît de — - à + -, x passe une seule fois par cha-
cune des valeurs comprises entre — i + i. Donc, à chaque va-
leur de X dans l'intervalle (— i, + i), ne correspond qu'une
seule valeur de y dans l'intervalle (^— -, + -j. Nous dirons

que cette valeur est la valeur principale de arc sin x.

La valeur principale de arc sin x varie d'une manière conti-
nue avec X et elle croît de — - à -f - quand x croît de — i à
+ I ; elle d^éfinit la branche principale de la fonction et nous
considérerons celle-là chaque fois que le contraire ne sera pas
dit expressément.

INTRODUCTION 35

La fonction arc sin x a une infinité d'autres branches. Mais
il est facile de les ramener à la princiipale. En effet, les seules
valeurs qui laissent sin y invariable s'obtiennent en changeant
y en Tc — y ou en ajoutant à ces deux arcs un nombre k entier
(positif ou négatif) de circonférences. Donc toutes les autres
valeurs de l'arc sinus s'expriment au moyen de la principale
par les deux formules :

y = arc sin x + 2kr., y = {i^ — arc sin x) + a/c-,

où l'on donne à arc sin x sa valeur principale. En même temps,
chacune de ces formules définit, pour chaque valeur de k, une
branche distincte de la fonction.

La fonction arc sin x n'a de sens jusqu'ici que si x est com-
pris dans l'intervalle ( — i, -f i) ; en dehors de cet intervalle,
l'expression arc sin x ne représente plus rien.

2° La fonction y =- arc cos x se ramène à la précédente par
les relations :

X ^ cos y ^ sin ( ; y

y = ai'c sm x,

arc cos x = arc sm x.

2

La valeur principale de arc cos x s'obtient par cette formule
en donnant la sienne à arc sin x. C'est une fonction uniforme
et continue de x, qui varie de tt à 0 quand x varie de — i à 4- i.
et c'est la branche principale de la fonction. Les autres branches
s'obtiennent en fonction de la principale par les formules '.

y = 2/f TT 4- arc cos x, y = a/c tt — arc cos .v.

Comme l'arc sinus, l'arc cosinus n'a de sens qiie si la variable
est comprise dans l'intervalle ( — i, -f i).

3"^ La fonction y = arc tg x a, pour chaque valeur de .v, une
valeur et une seule satisfaisant aux conditions :

< arc tg A' < - .

2 ^2

C'est sa valeur principale, qui définit la branche principale

de la fonction. Elle croît de -' à + - quand x croit de — oc à

2 2 ^

36 FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

4- 00 . Les valeurs de l'arc pour lesquelles la tangente reprend
la même valeur diffèrent entre elles d'un multiple de n ; donc
les autres branches de la fonction arc tg x s'expriment, au
moyen de la première, par la seule formule

y = arc tg ^ + kn.

4° Les autres fonctions inverses se ramènent aux précédentes
par les formules, correspondant aux trois dernières du ii2_37 :

arc cot X = arc tg x,

1
arc sec x == arc cos —,

X

. I
arc cosec x = arc sm - .

X

Exercices.

1. Toute fonction f{x) gui reste bornée dans l'intervalle (0, e) et qui satis-
fait, pour toutes valeurs réelles de x et de y, à la relation

f{x+y)=^f{x)+Ay)

est de la forme f{x) = ax, a constant (e peut être aussi petit 'qu'on veut).

En raisonnant de proche en proche, on déduit d'abord de la relation
donnée que l'on a , w et « étant des entiers quelconques,

f{mx + «) = mf(x) + «/ (i).

Prenons w > i : e ; faisons varier x d'une manière quelconque dans

l'intervalle (0, — ) et faisons tendre l'entier n vers l'infini. La variable

\ m J

mx -{-n = ^ tendra vers l'infini d'une manière arbitraire et l'on déduira
de l'équation précédente, puisque /(a;) reste bornée par hypothèse,

lim /(?) ..rnf{x) + nf{i)_

— = lim . j{i) — a.

ç==oo^ mx -\- n

Prenons ensuite m = 0 et faisons tendre m vers l'infini ; on déduira
de la même équation, en tenant compte du résultat précédent,

f{x) ^Vim f^A=.f(^^) = a.
X m =^ <X) mx

2. La seule fonction qui reste bornée dans V intervalle (0, e), qui n'est pas
constamment nulle et qui satisfait pour toute valeur de x à l'égalité

f{x+y)=^f{x)f{y)

est la fonction f{x^ =- A^ , A constant. (Quelque petit que soit s).

INTRODUCTION 3^

On déduit d'abord de cette relation /(2;tr) -^f{xYJ[z) ■=. f(^x)f{z-~x) ;
donc : i° f{x) est toujours positif; 2° s\ f{t) n'est pas nul, la limite
inférieure àef{x) est > 0 dans l'intervalle (0, e).

On posera donc Log/W = tp {x), tf {x) sera borné dans l'intervalle
(0, e) et on appliquera la propriété de l'exercice précédent.

On remarquera : lo que, dans ces théorèmes, on ne postule pas la
continuité de la fonction ; 2° que, si l'on ne considérait que les valeurs
rationnelles de x, il serait inutile de supposer d'avance /(at) borné.

§ 6. Nombres complexes.

39. Notation du nombre complexe, — On donne le nom de nom-
bre complexe ou imaginaire à l'ensemble de deux nombres réels
a et b, rangés dans un certain ordre, et l'on représente et
ensemble par la notation

a + bi.

Les expressions de cette forme sont soumises à des règles de
calcul conventionnelles. C'est dans l'énoncé de ces règles que
consiste la définition mathématique des quantités complexes.
Le symbole / n'a aucun sens par lui-même, il sert seulement à
maintenir séparés l'un de l'autre les deux nombres a et 6 qui
jouent un rôle différent dans les opérations que nous allons
définir. Le signe + sert à marquer la connexion des deux nom-
bres a et 6 et son emploi se justifiera de lui-même un peu plus
loin.

Le calcul des quantités complexes repose sur les huit conven-
tions suivantes que nous indiquerons en les numérotant :

40. Premières conventions. — La première convention est rela-
tive à l'égalité. On écrit

(1) a + 6/ = a' 4- bi',

si l'on a séparément a =- a' et 6 =- b'. de sorte qu'une équation
entre quantités complexes revient à deux équations entre quan-
tités réelles.

Les trois conventions suivantes, où la notation elle-même
joue un rôle essentiel, sont exprimées par les trois équations :

(II) a-hOi = a,

(III) 0-\-bi = bi,

(IV) 0 -fi/ = /.

38 NOMBRES COMPLEXES

Elles font rentrer respectivement dans l'ensemble des quan-
tités complexes les quantités réelles, les expressions de la
forme bi que l'on appelle purement imaginaires et enfin le sym-
bole i lui-même que l'on appelle Yunité imaginaire.

Les quantités réelles rentrant maintenant dans les quantités
complexes, il faudra prendre soin, dans les définitions sui-
vantes, de n'introduire aucune règle qui contredise celles déjà
établies pour les quantités réelles.

La règle II montre qu'une quantité imaginaire n'est nulle ou
égale à zéro que si l'on a séparément :

a = 0, 6 = 0.

La quantité réelle et positive sja^ -\- b^ s'appelle le module de
la quantité (a \- bi) et se représente par \ a + bi \ . Un nombre
complexe est nul si son module est nul et seulement dans ce cas.

4 1 . L'addition et la multiplication sont définies par les équations

(V) (a + bi) -i- (a' + b'i) == (a + a') + (6 + b'}i,

(VI) (a + bi) (a' + b'i) - {aa' — bb') -|- {ab' + a'b)i,

que l'on est en droit de poser, car elles se réduisentàdes identités
quand leurs termes sont réels. Donc la somme et le produit de
deux nombres complexes sont de nouveaux nombres complexes
entièrement déterminés. Il est à peine nécessaire de faire re-
marquer que ces définitions sont faites de manière à conserver
les propriétés commutative, associative et distributive, qui
correspondent aux relations :

a + P = P 4- a,

(a + i3) + Y = a + (P -f y),

aux relations analogues dans la multiplication et à l'équation

a([3 + y) = a§ + aY.

Les équations Y et VI donnent lieu à des cas particuliers
remarquables ;

1° Eu égard à II et III, l'équation V montre que a + bi est la
somme des deux nombres a et bi. Le nombre a est la partie
réelle de a -f bi et le nombre bi est sa partie imaginaire.

2° Eu égard à IV, l'équation VI montre aussi que bi est le
produit des deux nombres b et i.

Il résulte de là que l'emploi des signes d'opération dans la

INTRODUCTION Sg

notation du nombre complexe a 4- bi ne peut prêter à aucune
confusion.

3° Si l'on fait, dans l'équation VI, a -^ a' — 0 et b = b' = i,
elle se réduit à

i' = — i.

Donc tous les calculs relatifs à l'addition et à la multiplica-
tion des quantités complexes pourront se faire par l'application
des règles du calcul algébrique habituel, à condition de traiter
le symbole i comme une quantité dont le carré serait égal
à — I. Cette propriété explique comment il se fait que le nom-
bre i se soit introduit en algèbre sous la forme \/ — i. L'usage
que l'on a fait de cette notation sans la définir a fait considérer
parfois l'existence des quantités complexes comme une sorte de
paradoxe.

4° Si l'on fait, dans l'équation VI, a' = a et b' = — b, elle
donne

(a + bi) (a — bi) =^a^ -\- b^.

Deux quantités complexes qui ne diffèrent que par le sig-ne
de la partie imaginaire sont dites conjuguées. On voit que le
produit des deux quantités conjuguées est réel et positif et égal
au carré du module de chacune de ces deux quantités. La quan-
tité a^ + ^^ s'appelle aussi la norme de la quantité complexe
a ± bi.

42. La soustraction et la division sont, par définition, les opéra-
tions inverses de l'addition et de la multiplication.

Soustraire (a' + bi) de (a -|- bi) c'est déterminer le nombre
X -\- yi qui vérifie la condition

(a + bi) = (a' + b'i) + (x 4- yi) = (a' -f x) -{- {b' -j- y)i.

Ce nombre x -\- yi se représente par (a + bi) — (a' 4- b'i). On
aura doilc, par la définition de l'égalité,

(VII) (a -h bi) — (a' -f b'i) = (a — a') -h {b — b')i

et cette équation définit la soustraction.

Diviser (a 4- ^0 par (a' -\-Lb')i c'est trouver un nombre x -|- yi
appelé quotient qui vérife la condition

(a 4- bi) - (a' + b'i) {x -\- yi),

ou, en multipliant les deux membres par a' — b'i,

4o NOMBRES COMPLEXES

(a + M) (a' - b'i) = (a'^ + b'') {x + yi).

Le quotient se représente par , , ,,. et l'on a

a + b i

/VTTT\ a + bi _ faa' + bb'^ fba' — aô'

Cette équation définit la division. Elle montre que la division
est toujours possible et conduit à un résultat unique et bien
déterminé pourvu que le diviseur ne soit pas nul.

43, Théorème. — Si, dans une somme, un produit, une diffé-
rence, un quotient de nombres complexées, on remplace chaque
terme par son conjugué, les résultats seront aussi remplacés par
leurs conjugués. C'est ce qui résulte immédiatement des for-
mules précédentes. Donc, dans toute relation entre quantités
complexes qui ne comporte que les quatre opérations ration-
nelles, il est permis de remplacer i par — i.

Soit, par exemple, l'équation

(a + bi) (a' + b'i) = {aa' — hb') + / (a// + hsi') ;

en la multipliant membre à membre avec sa conjuguée, on trouve

(a2 + 62) (a'2 + 6'2) =. (aa' — bb'y + {ab' + ba'f

Donc le module (la norme) d'un produit est égal au produit
des modules (des normes) de chaque facteur.

On conclut de là qu'un produit de plusieurs facteurs s'annule
seulement si l'un des facteurs est nul.

44. Théorème. — Le module d'une somme ne peut pas surpas-
ser la somme des modules de chaque terme.

Ce théorème se vérifie d'abord pour les deux nombres i et
(a + bi), c'est-à-dire que l'on a

I -r \Ja' + Z>2 ^ V(i + a)' + bK
En effet, élevée au carré, cette relation revient à la suivante

2 sja^ + b^ ^ 2a,

qui est apparente et dans laquelle l'égalité ne peut avoir lieu
que si b est nul et a positif, donc a + bi réel et positif.

Ensuite la démonstration s'étend au cas général. En effet,
soient a et a' deux nombres différents de zéro, et p leur quotient
a' : a : ou a

INTRODUCTION ^i

I a 1 + I a' I = I a I (1 + 1 M )
I a + a' I - I a I | i + M •

Donc I a -f- a' | sera inférieur à | a | + | a' | sauf si ^ est réel
et positif.

D'autre part, le module d'une somme est au moins égal à la
difjféi-encc des modules de ses deux termes, car les deux relations

ia±a' I < |a| + |a' I ,
I a ± a' I > I a I - I a' I ,

se ramènent Tune à l'autre par le changement de a en a =F a'.

45. Représentation géométrique des quantités complexes. — La
quantité complexe (a -f bi) se représente géométriquement par
une droite de longueur et de direction déterminée, menée à
partir d'une origine arbitraire, et ayant comme projections
suivant deux axes rectangulaires les quantités a et b.

Si cette droite est menée à partir de l'origine des coordon-
nées, son extrémité M s pour coordonnées rectangulaires a et b.
Le point M s'appelle Vaffixe (Cauchy) de la quantité complexe
et peut aussi lui servir de représentation géométrique.

Les coordonnées polaires r et 9 de l'affixe M jouent un rôle
important dans l'étude de la quantité complexe. Elle sont défi-
nies par les relations a^ r cos ^, b = r sin G ; d'où

a . . b

r = yJa^ -i- b^, cos9=-, sin 9 =-

r /•

Le rayon vecteur r est le module de la quantité complexe.
L'angle 9 s'appelle son argument, il n'est déterminé qu'à un
multiple près de 2tt quand a et b sont donnés.

Cette représentation géométrique et la considération du mo-
dule et de l'argument ont un intérêt particulier dans les diverses
opérations précédemment définies.

La somme de plusieurs nombres complexes est représentée
géométriquement par la résultante des droites représentatives
de ses termes.

Si l'on fait le produit et le quotient de deux nombres com-
plexes

a -}- bi =- r (cos 9 -|- i sin 9)
a' + b'i =-- r' (cos 9' -f i sin 9'),

42 VARIABLES COMPLEXES

on trouve, par les propriétés connues des fonctions trigonomé-
triques,

(a + bi) (a' + b'i) = rr' [cos (9 +■ 0') + i sin (ô + 6')],

l+|| = ^[eOB(e_e') + ,-Bin(e-9')

Donc le module d'un produit est égal au produit des modules
de ses facteurs et son argument à la somme de leurs arguments ;
le module d'un quotient est égal au quotient des modules de ses
deux termes et son argument à la différence de leurs arguments.

§ 7. Variables complexes et fonctions rationnelles
d^une variable complexe.

46. Variables complexes. — Si a; et y sont deux variables
réelles, x -f yi est une variable complexe.

Si X et y ont respectivement pour limites a et b, on dit que
X -\- yi 3b pour limite a -f bi et l'on écrit

lim (x 4- yi) = a 4- bi.

La condition nécessaire et suffisante pour que x + yi ait pour
limite a -\- bi est que la quantité

I (x + yi) - (a + bi) I =-- \{x - af 4- (y — bf

ait pour limite 0.

Cette condition est suffisante, car, si ce radical tend vers
zéro, chacune des quantités de valeur absolue moindre {x — a)
et {y — b) aura pour limite 0. Elle est nécessaire, car ce radical
tend aussi vers 0 avec (;x" — a) et {y — b).

Le critère de convergence de Caucliy (n^ i6) s'étend de lui-
même aux variables complexes.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une variable
complexe z qui passe par une succession illimitée de valeurs ait
une limite finie, est qu'à tout nombre i)Ositif' donné s, corres-
ponde une valeur de z qui diffère de moins de e de toutes les
suivantes.

Les principes généraux relatifs à la limite d'une somme, d'un
produit, d'un quotient de variables réelles (n° i8) s'appliquent
évidemment aussi aux variables complexes.

Une variable complexe qui a pour limite 0 est dite infiniment

INTRODUCTION 4^

petite. Pour qu'une variable complexe soit infiniment petite, il
est nécessaire et suffisant que son module soit infiniment petit.

47. Polynôme entier. — Soit z une variable complexe, et

f(z) = Ao z" + A,2"-^ + ... + A„

un polynôme de degré n à coefficients réels ou complexes. A
chaque valeur de z correspond une valeur bien déterminée de
ce polynôme. On peut donc dire que ce polynôme est une fonc-
tion de la variable complexe z. De plus, c'est une fonction con-
tinue pour toute valeur de z, ce qui veut dire que, si l'on fait
tendre z vers une valeur particulière a d'une manière quel-
conque, on aura la condition

lim f{z) = fia).

On démontre, en algèbre, que le polynôme f(z) peut toujours
se décomposer en un produit de facteurs linéaires

f{z) = Ao{z-a)\z-^r ...,

les lettres a, p,... désignant des quantités réelles ou complexes
et A, [ji,... des entiers positifs. Le polynôme ne peut s'annuler
que pour les valeurs 2 = a, 2 =- p,... que l'on appelle ses racines.
Celles-ci sont simples ou multiples : les nombres "k, p.,... sont
les degrés de multiplicité des racines respectives a, ^,... La
somme X + [J^ + ••• est égale à n. On énonce cette propriété en
disant qu'un polynôme de degré n a toujours n racines.

48. Fonction rationnelle. — Le quotient de deux polynômes,

est ce qu'on appelle une fonction rationnelle de z. Sa valeur est
bien déterminée pour toute valeur de z qui n'annule pas le
dénominateur. On a, d'après les principes rappelés plus haut
(no 46),

lim f{z) = fia),

sauf si a annale le dénominateur. Donc une fonction ration-
nelle est continue, sauf pour les valeurs de 2 qui sont racines
du dénominateur et qui rendent la fraction infinie.

44 PUISSAJÏCE DES ENSEMBLES

Quand le dénominateur se réduit à une constante, la fraction
se réduit à un polynôme entier. On dit aussi qu'un polynôme
est une fonction rationnelle et entière de z.

L'expression P (z) : Q {z) est une fraction proprement dite
lorsque le degré du numérateur est moindre que celui du déno-
minateur. Si P était du même degré ou de degré plus élevé que
Q, en effectuant la division, on décomposerait P : Q en un
quotient entier et une fraction proprement dite.

§ 8. Des ensembles en général. Leur puissance.

49. Puissance d'un ensemble. — Un ensemble est une collection
d'objets ou d'éléments quelconques en nombre fini ou infini. Nous
avons déjà parlé de l'ensemble des nombres entiers, de celui des
nombres rationnels, réels... Mais on peut aussi considérer l'ensemble
des polygones inscrits dans une courbe, l'ensemble des fonctions de x,
l'ensemble des équations algébriques, etc.

On dit que deux ensembles E et Ei ont même puissance (Cantor) si
l'on peut établir une correspondance parfaite ou uniforme entre les
éléments des deux ensembles, de sorte qu'à chaque élément de l'un
corresponde un élément de l'autre et réciproquement.

Si les deux ensembles soni finis, c'est-à-dire composés d'un nombre
limité d'objets, l'idée de puissance se confond avec celle du nombre
des objets. Une collection finie ne peut avoir le même nombre qu'une
de ses parties ; au contraire, on peut établir une correspondance par-
faite entre une collection infinie et l'une de ses parties. C'est ainsi, par
exemple, que l'on peut établir une correspondance parfaite entre tous
les nombres entiers et tous les nombres pairs, chaque nombre entier
correspondant au nombre double : l'ensemble des nombres pairs a
même puissance que celui de tous les entiers.

Après les ensembles finis, les plus simples sont les ensembles
dénombrables.

50. Ensembles dénombrables. — a) Un ensemble qui a la même
puissance que celui des nombres entiers i, 2, 3,... «,... est un ensemble
dénombrable. C'est donc un ensemble dont on peut numéroter tous
les éléments, car, à chaque élément, correspond un entier qui sera son
numéro. Par conséquent, les éléments peuvent être distingués par un
indice et rangés dans une suite illimitée

«1, %,... Un....,

analogue à la suite des entiers où chaque terme est précédé et suivi
d'un autre.

INTRODUCTION 4^

b) Tout ensemble d'éléments u {r, s,... t) qui se distinguent par les valeurs
d'un nombre limité de paramètres ou d'indices r, s,... t susceptibles de toutes les
valeurs entières i, 2,... «,..., est un ensemble dénombrable.

Soit, en effet, r-\-s-\-...-\-t^n la somme de ces indices ; il n'y
a qu'un nombre limité d'éléments pour chaque valeur de n et on peut
les numéroter ; on peut donc numéroter tous les éléments en commen
çant par la plus petite valeur de n et en passant successivement aux
valeurs plus grandes.

En particulier , l'ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable, car
ces nombres peuvent se mettre sous forme de fraction irréductible
p : q = u {p, q) et ils se distinguent par deux indices. D'ailleurs, l'en-
semble de tous les nombres rationnels est aussi dénombrable, en vertu du
théorème suivant :

c) L'ensemble formé par la réunion d'un nombre limité d^ ensembles dénom-
brables est dénombrable, car on peut numéroter d'abord tous les premiers
éléments, puis tous les seconds, etc. — Plus généralement, l'ensemble

formé par la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables est
dénombrable, car on peut désigner par u (m, n) le w'«'"* élément du «'<*»««
ensemble, de sorte que les éléments de l'ensemble total se distinguent
par deux indices : celui-ci est dénombrable.

dj Toute infinité d'éléments comprise dans un ensemble dénombrable est
dénombrable.

En effet, on peut ranger les éléments de l'ensemble partiel dans
l'ordre où ils se rencontrent dans l'ensemble total (supposé dénombré).

e) On ne change pas la puissance d'un ensemble non dénombrable, si Von
supprime une partie de ses éléments formant un ensemble dénombrable.

Partageons un ensemble E non dénombrable en deux autres D et
E' dont D soit dénombrable : nous écrirons

E = D + E'.

L'ensemble E' ne sera pas dénombrable, sinon E le serait aussi (c).
Partageons arbitrairement E' en deux ensembles D' et E" dont D' soit
dénombrable ; nous pouvons encore écrire

E' =- D' 4- E".

Soit (D + D') l'ensemble dénombrable (c) formé par la réunion de D
et D' ; il vient

E = (D + D') + E", E' = D' + E"

Donc E a même puissance que E', car on peut établir une corres-
pondance uniforme entre les deux ensembles D -f- D' et D'.

fj Réciproquement, on ne change pas la puissance d'un ememble non dénom-
brable en lui ajoutant un ensemble dénombrable.

En effet, l'ensemble somme n'est pas dénombrable, donc sa puis-
sance ne change pas quand on en retranche l'ensemble ajouté {ei.

46 PUISSANCE DBS ENSEMBLES

51. Ensembles qui ont la pui8Sâ.nce du continu. — a) Un ensemble
qui a la même puissance que celui des nombres réels compris entre
0 et 1, est un ensemble qui a la puissance du continu.

L'ensemble des nombres compris dans un intervalle {a. b) quel-
conque a la puissance du continu, car la relation a; = a + (è — a) y fait
correspondre à tout nombre x de l'intervalle {a, b) un nombre jv com-
pris entre 0 et i et réciproquement.

b) V ensemble des nombres irrationnels de V intervalle Oi a aussi la puissance
du continu.

En effet, la suppression de l'ensemble dénombrable des nombres
rationnels ne change pas la puissance de l'ensemble des nombres entre
0 et I ( n" 5o, d et e).

c) Un ensemble qui a la puissance du continu n'est pas dénombrable.
Considérons l'ensemble des nombres irrationnels de l'intervalle ôi.

Ils se développent chacun d'une seule manière en fraction continue
illimitée (sans partie entière). Supposons, par impossible, que ces
nombres puissent se ranger dans une suite dénombrable Xx, x^,... Xn ,...
et soit, en général,

l n n n \

x„ = [a^, a^,... a«,...j

le développement de Xn. On peut écrire immédiatement une fraction
continue, de valeur irrationnelle < i,

x = {bx,bi,...b„,...),

non comprise dans la suite, en prenant bi différent de a[, è^ différent
de a^,... &„ différent de a",... Donc le dénombrement n'est pas com-
plet : l'ensemble considéré n'est pas dénombrable.

d) En réunissant deux ensembles (sans éléments communs) E £^ Ei qui ont la
puissance du continu, on forme un ensemble E + Ei qui a la puissance du
continu.

En effet, on peut faire correspondre E aux nombres compris entre
0 et I, El aux nombres compris entre i et 2 (i exclu), alors E + Ei
correspond aux nombres de l'intervalle (0,2) : sa puissance est celle
du continu.

e) Plus généralement, l'ensemble formé par la réunion d'une infinité dénom-
brable d'ensembles (sans éléments communs) qui ont la puissance du continu, a
encore la même puissance.

En effet, soient Ei, E2,... E„ ,... ces ensembles; choisissons une suite
de nombres croissants a^, a^,,... an,... ayant une limite b. Faisons cor-
respondre El aux nombres compris entre ai et a-i, E^ aux nombres
compris entre «2 et ^3 («o exclu), et ainsi de suite ; l'ensemble somme
correspondra aux nombres compris entre aetb {b exclu) ; il aura donc
la puissance du continu.

En particulier, l'ensemble de tous les nombres réels a la puissance du
continu, puisqu'ils appartiennent à une infinité dénombrable d'm-
tervalles consécutifs.

INTRODUCTION 4?

f) Tout ensemble d'éléments ufai, a^,... an,...) gai se distinguent par les
valeurs d'une infinité dénombrable de paramètres, a, susceptibles des deux
valeurs 0 et i, a la puissauce du continu.

On fait correspondre les éléments u aux nombres de l'intervalle
(0,i) en écrivant ceux-ci dans le système binaire, lequel n'emploie que
les deux chiffres 0 et i.

L'ensemble de toutes les fractions illimitées écrites avec 0 et i,

0, «1 «2... On ...

correspond bien uniformément à celui des éléments u, mais pas à
celui des nombres de l'intervalle (o,i), car un même nombre rationnel
dont le dénominateur est une puissance de 2 admet deux représen-
tations différentes en fraction illimitée (l'une avec une infinité de 0,
l'autre avec une infinité de i). Par exemple,

I

^0,100 ... =0,0111 ...
2

L'ensemble des fractions illimitées correspond donc à l'ensemble
des nombres de l'intervalle (0,1) avec, en plus, celui des nombres
rationnels précédents. Mais celui-ci est dénombrable, de sorte que la
puissance de l'ensemble des fractions, donc de l'ensemble des u, reste
celle du continu (n» 5o,f).

g) Tout ensemble d'éléments u (xi, x-i,... Xr,...) qui se distinguent par les
valeurs d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable de paramètres x
susceptibles d'un ensemble de valeurs ayant la puissance du continu, a encore
la puissance du continu.

En effet, en vertu de/, la valeur de A;r peut se définir par celles (0 ou i)
d'une infinité dénombrable de paramètres correspondants :

flri, ari,... ars,... (uu iudice variable).

Mais alors l'élément u (x^, x.,,... Xr,...) est défini par les valeurs
(0 ou i) de l'infinité dénombrable {n° 5o, c) des paramètres ars (deux
indices variables), ce qui ramène au théorème précédent.

52. Critérium d'égalité pour les puissances (*). — Soient AetB deux

ensembles ; si l'on peut faire correspondre à tous les éléments de A des éléments
différents de B et à tous ceux de B des éléments différents de A, les deux
ensembles ont même puissance. Autrement dit, 5^ A a même puissance qu'une
partie de B et B même puissance qu'une partie de A, les deux ensembles h et B
ont même puissance.

Désignons par ôA la partie de A qui a même puissance que B et par
rA l'ensemble restant ; par aB la partie de B qui a même puissance
que A et par pB l'ensemble restant. Nous pourrons écrire

A = èA-f-rA, B = aB + pB,

(*) Les résultats des 11° 52 et 53 ne seront pas utilisés dans la suite du cours.

^8 PUISSANCE DES ENSEMBLES

et, bK ayant la puissance de B, il suffit d'établir que A et 6A ont même
puissance.

Remarquons que tout ensemble Ai qui a la puissance de A admet
un partage qui correspond à celui de A, car, après avoir établi la
correspondance entre A et Ai on peut réunir dans un ensemble èAi
les éléments de Ai qui correspondent à ceux de 6Aet dans un ensemble
rBi les éléments de Ai qui correspondent à ceux de rh. En parti-
culier, l'ensemble aB peut ainsi se partager en deux autres, baB et
roB. A ce point de vue, on peut donc considérer b eir comme des
symboles d'opération, applicables à tout ensemble de même puissance
que A, et destinés à le partager en deux autres de mêmes puissances
que 6A et rh. Entre ces deux opérations, on aura donc les relations
symboliques :

[■=b-\-r, r =1 — b.

De même, on peut interpréter les lettres a et p comme deux signes
d'opération, applicables à tout ensemble de même puissance que B,
par exemple ôA, et fournissant respectivement deux ensembles abA
et pèA de mêmes puissances que aB et pB respectivement. On aura
encore

I = fl + p, p =- I — fl,

Ceci entendu, la démonstration est très simple.

Nous pouvons former une suite illimitée d'ensembles ayant alterna-
tivement mêmes puissances que A ou que B comme c'est indiqué
ci-dessous :

A, bPi., abA., obabA,...

Chaque ensemble contient tous les suivants. Désignons par D
l'ensemble (infini, fini ou nul) des éléments communs à toute la suite.
On peut obtenir D, en supprimant dans A : d'abord les éléments
étrangers à bA, puis les éléments de bA qui sont étrangers à abA, etc.
Il vient

D = A — (A — èA) — (*A — flèA) — ...

Ces parenthèses sont alternativement des ensembles des types r
et p ; on peut donc écrire

A = D -j- yA + p*A + rabA + ^babA + ...

Supprimons rA de part et d'autre et intervertissons les termes en r
et en p, il viendra, en observant que A — rA est bA,

6A = D + rabA + p6A + rababA + pbabA -\- ...

On voit ainsi que A et bA sont décomposés en une infinité dénom-
brable d'ensembles ayant deux à deux même puissance. On établira
la correspondance entre A et bA en faisant correspondre les éléments
des ensembles de même rang dans les deux sommes écrites ci-dessus.
Tous les éléments auront leurs correspondants.

ENSEMBLES DE POINTS 49

53. Puissance de l'ensemble des fonctions. — Comme application du
théorème précédent, montrons que l'ensemble des fonctions continues d'une
variable a la puissance du continu.

Une fonction continue de x est définie par les valeurs qu'elle prend
aux points rationnels, donc par un ensemble dénombrable de para-
mètres (soumis encore à certaines restrictions). La puissance de l'en-
semble est donc au plus égal à celle du continu (n^ 5i, g). Elle ne peut
être moindre, car, à chaque nombre différent N, on peut faire corres-
pondre une fonction continue différente, prenant la valeur N pour
x=^ a. Donc cette puissance est égale à celle du continu.

D'après cela, l'ensemble de toutes les fonctions continues d'une variable peut
être compris dans une famille F (x, c) à un seul paramètre arbitraire (chaque
fonction correspondant à une valeur particulière du paramètre).
Toutefois ¥{x, c) ne sera pas fonction continue des variables x, c,
car alors V{x, x) -\- 1 serait une fonction continue non comprise dans
la famille (elle diffère de chaque ¥{x, c) pour x = c).

Par contre, l'ensemble de toutes les fonctions discontinues de x a une puissance
supérieure à celle du continu. En effet, il est impossible de les comprendre
toutes dans une famille F{x, c) dépendant d'un paramètre c qui varie
de 0 à I, puisque F(.r, x) -|- i n'est pas comprise dans la famille.

§ 9. Ensembles de points.

54. Dimensions. Puissance des ensembles de points. — Soient x, y,...
des variables réelles. Chaque système de valeurs particulières de ces
variables s'appelle un point : les valeurs àe x,y,... sont ses coordonnées.
Un ensemble de points a autant de dimensions qu'il entre de variables dans
la définition de ses points. L'ensemble est linéaire s'il n'y a qu'une
variable, et les points sont alors situés sur une droite. Les points sont
dans un plan s'il y a deux variables ; dans l'espace, s'il y en a trois ;
dans un espace à « dimensions, s'il y en a n.

On peut considérer l'ensemble des points d'un carré dans le plan,
celui des pomts d'un cube dans l'espace et, plus généralement encore,
celui des points d'un cube dans l'hyperespace à n dimensions. On
pourrait penser que la puissance de l'ensemble augmente avec ses
dimensions, mais il n'en est rien. Tous ces ensembles ont la puissance
du continu (n» 5i, g), parce qu'ils sont définis par un certain nombre
de paramètres (leurs coordonnées) qui varient dans un intervalle, par
exemple entre 0 et i. Donc le nombre des dimensions est sans influence sur la
puissance (Cantor).

55. Bornes d'un ensemble de points. Point-limite. Ensemble dérivé.

— Un ensemble est borné si chacune des coordonnées variables est
bornée et les bornes des variables sont les bornes de. l'ensemble. En par-
ticulier, un ensemble linéaire est borné par deux valeurs a et è de x.

50 INTRODUCTION

Soient (a, b,...) et {a', b',...) deux points/» et^' ; on appelle distance
des deux points la quantité

Si l'ensemble est borné, la distance de deux de ses points l'est aussi
et elle a une borne supérieure que l'on appelle le diamètre de l'ensemble.

Etant donnée une suite illimitée de points différents pi, pi.... pn ,...
on dit qu'un point /> est la limite de cette suite, si la distance ^^« a pour
limite 0 quand n tend vers l'infini.

On nomme point-limite d'un ensemble E tout point p (appartenant ou
non à E) qui est la limite d'une suite de points de E. Donc, si/> est un
point-limite, on peut, quelque petit que soit 8 positif, trouver un point
de E dont la distance à p soit <û. Réciproquement, tout point p jouis-
sant de cette propriété est un point-limite.

Observons que, si l'on peut trouver un point de E dont la distance à p
soit < 8 quel que soit 8, on peut en trouver une infinité. C'est pourquoi
on donne aussi aux points-limites le nom de points d'accumulation de
l'ensemble. Les points de E qui ne sont pas des points-limites sont
des points isolés.

L'ensemble des points-limites de E est un nouvel ensemble que l'on
désigne par E' et que l'on appelle le dérivé de E.

56. Ensembles complémentaires. Points-frontières. Distance d'un
point à un ensemble. — Soit E un ensemble. Si cet ensemble ne con-
tient pas tous les points possibles (dans l'espace considéré), les points
qui n'appartiennent pas à E forment un nouvel ensemble Ei. Les
deux ensembles E et Ei sont appelés complémentaires.

Soit p un point de E, on dit qu'il est intérieur à E et extérieur à Ei
si l'on peut assigner un nombre positif o, tel que tout point p' dont la
distance à p est <8 soit aussi un point de E.

Tout point qui n'est ni intérieur ni extérieur à E ne l'est pas non
plus à El et s'appelle un point-frontière de chacun des deux ensembles.

Soit q un point non compris dans l'ensemble E ; la distance du
point ^ à un point quelconque ^ de E a une borne inférieure (qui peut
être nulle). Cette borne c'est la distance du point q à l'ensemble E.

Si E et H sont deux ensembles sans points communs, la distance des
deux ensembles est la borne inférieure de la distance entre un point de
l'un et un point de l'autre.

D'après cela, un point extérieur à E est un point dont la distance à E
n'est pas nulle ; un point intérieur, un point dont la distance au complé-
mentaire El n'est pas nulle ; un point-frontière, un point de E ou de Ei
dont la distance à l'autre ensemble est nulle. Un point de Ei dont la
distance à E est nulle est un point-limite de E. Définissons une fonction

ENSEMBLES DE POINTS 5l

t {x,y...) égale à i en tout point de E, et à 0 en tout autre point : les
points-frontières seront évidemment les points de discontinuité de
cette fonction.

Tout ensemble compris dans un domaine rectajigulaire R et qui ne contient
pas tous les points de ce domaine admet au moins un point- frontière.

En effet, soient p et /»' deux points du domaine dont le premier seul
appartienne à E. Faisons varier le point {x,y,...) en ligne droite de
p k P' 'Aa. fonction e{x, y,...), qui ne dépend que d'une variable sur
cette droite, passera de i à 0. Comme elle ne passe pas par les valeurs
intermédiaires, elle est discontinue en un point au moins de cette
droite : celui-ci sera un point-frontière.

57. Ensembles fermés. — On dit qu'un ensemble E esi fermé s'il
contient tous les points de son dérivé E'.

Tout ensemble E' dérivé d'un autre E est fermé.

En effet, soient 28 un nombre positif arbitraire et p" un point-limite
de E'. Je dis que p" est aussi un point-limite de E. En effet p" est à
une distance <ô d'un point p' de E', qui est lui-même à une distance
<8 d'un point de E. Donc p" est à une distance <28 d'un point de E
et est un point-limite de E. Donc E', contenant ses points-limites, est
fermé.

58. Principe de Bolzano-Weierstrass. — Tout ensemble borné E qui
contient une infinité de points, renferme au moins un point-limite.

Considérons, pour fixer les idées, un ensemble borné E à deux dimen-
sions. On peut l'enfermer dans un rectangle R. Divisons ce rectangle
en morceaux par des transversales : il y aura au moins un morceau Ri
contenant une infinité de points. Divisons, de même, Ri en morceaux
plus petits: il y aura encore un morceau Rg contenant une infinité de
points. Poursuivons indéfinitivement cette subdivision, de manière à
former une suite illimitée de régions Ri, Rg, R3,... contenant toutes une
infinité de points, chacune intérieure à toutes les précédentes et décrois-
sant indéfiniment dans tous les sens. Ces régions auront évidemment
un point p pour limite. Ce point p sera à l'intérieur de toutes les
régions R ou sur leur contour et ce sera un point-limite, puisqu'il y a
une infinité de points de E aussi rapprochés de lui qu'on le voudra.

59. Points de condensation d'un ensemble. — On appelle point de
condensation (Lindelof) un point p tel qu'il y ait une infinité non dénom-
brable de points de E à une distance du point p inférieure à S, quelque
petit que soit le nombre positif S.

Tout ensemble de points E qui nest pas dénombrable, admet au moins un
point de condensation, qu'il soit borné ou non.

Considérons, pour fixer les idées, un ensemble E à deux dimensions.
On peut toujours supposer R assez grand pour que l'ensemble des

52 INTRODUCTION

points de E compris dans un cercle de rayon R autour de l'origine ne
soit pas dénombrable. Sinon, en donnant à R une suite dénombrable
de valeurs Ri, R^,... R« ,,.. croissante l'infini, on pourrait décomposer
E dans une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables, formés
respectivement : le premier des points compris dans le cercle de
rayon Ri ; le second, des points compris entre les cercles de rayons
Ri et R^ ; le troisième, des points compris entre les cercles R2 et R3,
et ainsi de suite : l'ensemble E serait dénombrable.

On est ainsi ramené à démontrer le théorème pour un ensemble
borné. Il suffit, pour cela, de répéter la démonstration du théorème
de Bolzano Weierstrass (n» 58) en remplaçant les mots : infinité de points
par infinité non dénombrable de points et point- limite par point de condensation.

60. Ensembles parfaits. — On appelle ensemble par/ait un ensemble
qui coïncide avec son dérivé E'. D'après cela, un ensemble parfait est
un ensemble fermé qui ne contient pas de point isolé.

L'ensemble K des points de condensation d'un ensemble E non dénombrable,
est un ensemble parfait.

Il faut prouver : 1°) que K est fermé ; 2°) que K ne contient pas de
point isolé :

D'abord tout point-limite, p/, de K appartient à K, car il y a des
points de K aussi voisins qu'on veut de p', donc aussi une infinité non
dénombrable de points de E, et p' est un point de condensation. Donc
K est fermé.

2° Il faut montrer que tout point p de K n'est pas un point isolé.
Soient Si, Bo,... S„,... une suite de quantités positives décroissantes
ayant pour limite 0 ; supposons, par impossible, qu'il n'y ait pas
d'autre point de condensation que p dans un rayon Sj autour de ce
point. L'ensemble des points de E situés à une distance <8i du point
p se partagera dans une infinité dénombrable d'ensembles dénom-
brables, formés respectivement des points dont la distance à p est
comprise entre o^ et S^, entre So et 03, etc. Donc cet ensemble serait
dénombrable et p ne serait pas un point de condensation de E.

61. Théorème de Cantor-Bendixson. — Tout ensemble fermé F est dénom-
brable ou peut se décomposer en un ensemble par/ait P et un ensemble dénom-
brable D.

J'observe d'abord que F (supposé non dénombrable) contient tous
ses points de condensation. En effet, tout point de condensation de F
est évidemment un point-limite de F", donc un point de F (car F,
étant fermé, contient ses points-limites).

Soient donc P l'ensemble des points de F" qui sont des points de
condensation, et D l'ensemble des autres pomts de F ; P est parfait
(n" 60) ; reste à montrer que D est dénombrable.

KNSKMBLKS PARFAITS LINEAIRES 53

A cet effet, je remarque que, quelque petit que l'on se donne le
nombre positif S, l'ensemble des points de E dont la distance àP
(no 56) surpasse 8, est dénombrable ; sinon cet ensemble admettrait un
point de condensation {n° 5q), il renfermerait des points infiniment
voisins de ce point de condensation (qui est un point de P) et sa
distance à P ne serait pas > o.

Ceci posé, D peut se décomposer dans une infinité dénombrable
d'ensembles dénombrables formés respectivement : le premier des
points dont la distance à P surpasse S ; le second des points restants
dont la distance à P surpasse o : 2 ;... le «'«"'« des points restants dont
la distance à P surpasse 8:2", etc. On atteindra bien ainsi tous les
points de D, car un point déterminé qui ne serait pas à distance finie
de P serait un point-limite de P et appartiendrait non à D mais à P
qui est parfait. Donc D est dénombrable.

62. Structure d'un ensemble parfait linéaire. — Un ensemble linéaire
est un ensemble de points sur une droite, ou un ensemble de valeurs
d'une seule variable. Nous nous contenterons de considérer les
ensembles bornés, ce qui ne porte pas atteinte à la généralité des
conclusions.

Soit P un ensemble borné et parfait, il sera borné par deux points
a et b {a <^b) qui lui appartiennent (car un ensemble parfait contient
ses points-limites). Si P comprend tous les points de l'intervalle ab ou,
plus généralement, d'un nombre, fini et déterminé, d'intervalles com-
pris entre a et b, l'ensemble est complètement défini par la connais-
sance de ces intervalles. C'est l'hypothèse la plus simple. Supposons
que ce ne soit pas le cas.

Soit q un point de l'intervalle ab qui n'appartient pas à P ; ce point
partage l'ensemble P en deux autres : un ensemble Pi formé des points
de P qui sont à gauche de q et un ensemble P2 formé de ceux qui
sont à droite de q. Les deux ensembles sont parfaits. L'ensemble Ps
a pour borne supérieure un point M de P et l'ensemble Po, pour
borne inférieure un point N de P. Donc ni M ni N ne coïncide avec q ;
et q tombe dans un intervalle MN dont les extrémités seules appar-
tiennent à P. On dit que l'intervalle MN ainsi défini est un intervalle
coniigu à l'ensemble P (Baire). Tout point de l'intervalle ab qui n'appar-
tient pas à P est donc intérieur au sens étroit à un intervalle contigu
à l'ensemble P.

Ceci posé, l'ensemble des intervalles contigus à l'ensemble P est
nécessairement dénombrable, car, comme ces intervalles n'empiètent
pas, il n'y en a qu'un nombre limité dont l'amplitude surpasse un
nombre donné. On s'en assure en remarquant que la somme de ces
amplitudes ne peut surpasser celle de l'intervalle ab qui contient tous
ces intervalles. Donc ces intervalles peuvent se dénombrer en les
rangeant par ordre de grandeur décroissante.

54 INTRODUCTION

De là le théorème de Cantor : ^

Un ensemble parfait P s'obtient en supprimant de V intervalle ab qui le con-
tient tous les points intérieurs à un ensemble dénombrable d'intervalles MN
sans points communs, et même sans extrémités communes (car P, étant parfait,
ne peut contenir de point isolé).

Réciproquement, si l'on supprime de Vititervalle ah tous les points intérieurs
à une infinité dénombrable d'intervalles sans points communs ni extrémités
communes, l'ensemble P restant sera parfait.

D'abord il reste un ensemble de points P, puisque les extrémités
des intervalles ne sont pas enlevées ; d'oîi il suit encore qu'un inter-
valle qui ne renferme plus de points de P a été enlevé en une fois.
Montrons que P est : i» fermé ; 2" sans points isolés :

lo Tout point étranger à P est intérieur (au sens étroit) à un inter-
valle enlevé et ne peut être un point-limite de P. Donc P est fermé.

2" Un point isolé de P ne pourrait être que l'extrémité commune de
deux intervalles enlevés. Donc P est sans points isolés.

63. Ensembles parfaits linéaires qui ne sont denses dans aucun inter-
valle. — On dit qu'un ensemble est dense lorsque, entre deux points de
l'ensemble, on peut toujours en trouver un troisième et, par suite, une
infinité. On peut, par le procédé de suppressions indiqué ci-dessus,
construire des ensembles parfaits qui ne sont denses dans aucun inter-
valle. En voici d'ailleurs un exemple très simple. Nous nous bornons,
pour simplifier, à l'intervalle 01.

L'ensemble P de toutes les fractions décimales (limitées ou non) qui s' écrivent
avec les chiffres 0 et 1, est parfait et nest dense dans aucun intervalle (*).

En effet, cet ensemble est fermé, car une fraction étrangère à l'en-
semble n'est pas limite de fractions de l'ensemble. Il ne contient pas
de point isolé, car on peut, en modifiant des décimales très éloignées,
altérer aussi peu qu'on veut une fraction de l'ensemble. Il est donc
parfait. Enfin il n'est dense dans aucun intervalle, car il y a, dans tout
intervalle, des fractions qui s'écrivent avec d'autres chiffres que 0 et i
et appartiennent, par conséquent, à des intervalles contigus à P.

64. Ensembles ordonnés et semblables. Application de deux ensembles
l'un sur l'autre. — Un ensemble E est ordonné, lorsque ses éléments

(*) Plus généralement, est dans ce cas l'ensemble de toutes les fractions
illimUées dans la base de numération B qui prennent une partie seulement
des chiffres 0, i, 2,...B — i (au moins deux et le chiffre B — i ne peut
être pris sans 0). — Est encore dans ce cas l'ensemble de toutes les frac-
tions continues illimitées qui s'écrivent avec un nombre hmite de quotients
incomplets différents. — La démonstration se fait comme celle du texte. —
Il serait facile de générahser encore bien davantage ces modes de généra-
tion.

ENSEMBLES PARFAITS LINÉAIRES 55

sont rangés dans un ordre déterminé, de telle sorte que, étant donnés
deux éléments quelconques a et è de l'ensemble, l'un précède l'autre.
Cette notion comporte que, si a précède 6 et si è précède c, a précède c.

Les ensembles de nombres ou de points sur une droite peuvent tou-
jours être ordonnés en rangeant les nombres par ordre de grandeur.

Lorsque deux ensembles sont ordonnés et de même puissance et que
l'on peut établir, entre leurs éléments, une correspondance uniforme
dans laquelle l'ordre relatif des éléments est conservé, on dit que les
deux ensembles sont semblables.

La loi qui définit la correspondance s'appelle une application d'un
des ensembles sur l'autre.

65. Similitudes de tous les ensembles parfaits linéaires non denses. —

Soient P et P' deux ensembles parfaits linéaires non denses, compris
sur les segments ab et a'b'. On peut les appliquer l'un sur l'autre de
manière que l'ordre de grandeur entre les éléments correspondants soit
conservé. Nous allons réaliser cette application en faisant correspondre
les intervalles S contigus à P à ceux S' contigus à P', de manière que
les intervalles correspondants soient disposés dans le même ordre sur
les deux segments ab et a'V.

Pour cela, faisons correspondre un intervalle Sj de P à un intervalle
oi de P' (ces deux intervalles étant le plus grand possible) ; puis un
intervalle ^2 entre a et Si à un intervalle Sg entre a' et Sj, et un inter-
valle ^3 entre Sj et 6 à un intervalle 83 entre 8^ et b' (tous quatre le plus
grand possible). Continuons ainsi indéfiniment à prendre dans chaque
ensemble un intervalle (le plus grand possible) entre chacun de ceux
déjà choisis et à faire correspondre ceux qui tombent entre les inter-
valles déjà correspondants ; nous rencontrerons tous les intervalles et
nous les disposerons dans le même ordre.

L'application de P' sur P en résulte, car, les extrémités des inter-
valles se correspondent uniformément dans le même ordre et, avec
elles, tous leurs points-limites, puisque les ensembles sont fermés. Or
ce sont là tous les points de P et P' ; donc la correspondance entre P
et P' est parfaite.

Deux ensembles parfaits non denses quelconques sont donc applicables l'un sur
l'autre avec conservation des points-limites.

66. Application (incomplète) d'un ensemble parfait non dense sur le
continu. Puissance des ensembles parfaits. — Une application rigou-
reuse d'un ensemble P parfait et non dense sur le segment 01 est
impossible, parce que les extrémités d'un intervalle contigu à P sont
deux points de P entre lesquels il n'y en a pas d'autre, tandis qu'entre
deux nombres, il y en a toujours une infinité. Mais l'application peut
être réalisée, sauf pour l'infinité dénombrable de ces extrémités. Nous
allons, en effet, démontrer le théorème suivant ;

56 INTRODUCTION

Si P est un ensemble parfait no7i dense, on peut faire correspondre uniformé-
ment et DANS LE MÊME ORDRE DE GRANDEUR ks nombres de r ensemble P et
ceux de l'ititervalle oi, sauf que les deux extrémités d'un intervalle contigu à P
correspondront au même nombre du segment oi.

Comme deux ensembles parfaits non denses sont applicables l'un
sur l'autre, il suffit d'établir le théorème pour un ensemble particulier.

Considérons donc l'ensemble de toutes les fractions décimales, limi-
tées ou non, dont le développement ne contient que les deux chiffres
différents 0 et i. C'est un ensemble parfait non dense (no 63). Pour
réaliser la correspondance par ordre de grandeur avec le segment oi,
il suffit de faire correspondre chaque fraction décimale à celle qui
s'écrit de la même manière dans la base de numération 2. Chaque
nombre du segment oi s'obtient ainsi une fois, sauf les nombres ra-
tionnels dont le dénominateur est une puissance de 2. Chacun de ceux-
ci admet deux expressions différentes dans la base 2, l'une finie et
l'autre pas (par exemple, o.i et o,oiii...). Ces deux expressions repré-
sentent dans la base lo deux nombres différents, entre lesquels ne
peut donc exister aucun autre nombre de l'ensemble P. Ces deux
nombres différents sont, par conséquent, les extrémités d'un intervalle
contigu à P et ils ont le même correspondant sur le segment oi.

Un ensemble dénombrable pouvant être négligé, on conclut de là
que tout ensemble parfait a la puissance du continu. (Le théorème est évi-
dent pour un ensemble parfait dense, celui-ci contenant un intervalle
entier).

67. Fonctions définies par la correspondance précédente. — La corres
pondance par ordre de grandeur entre les nombres jv d'un ensemble
parfait non dense P et tous ceux x du segment oi, définit une fonction
y --= cp {%) discontinue et croissante dans toute portion du segment oi. La
fonction est ambiguë en chaque point de discontinuité, où j peut
désigner les deux extrémités de l'intervalle contigu correspondant,
mais on lève l'ambiguité en choisissant toujours l'extrémité de gauche.

D'autre part, si l'on considère a; comme fonction dey, on obtient
une fonction continue x = '^ {y), stationnaire ou croissante, mais qui pos-
sède des intervalles de stationnement entre deux valeurs quelconques
de X. On suppose, en effet, x stationnaire chaque fois que y parcourt
un intervalle contigu à P.

§ 10. Fonctions considérées dans un ensemble.

68. Définitions. — Une fonction /d'une ou plusieurs variables est
définie sur un ensemble E de points (chaque point ayant les valeurs
des variables pour coordonnées) si l'on donne la valeur de cette fonc-
tion en chaque point de l'ensemble.

Les bornes supérieure ou inférieure et V oscillation de la fonction/ dans E
se définissent comme dans le cas d'un intervalle (n» 23).

FONCTIONS CONSIDEREES DANS UN ENSEMBLE 57

Soit p un point-limite de E. Si E est fermé, ce sera un point de E non
isolé ; mais nous ne supposons pas que E soit fermé, de sorte que p
peut être hors de E. Considérons l'ensemble des points de E dont la
distance au point j!» ne surpasse pas un nombre positif donné ô. L'os-
cillation de /dans cet ensemble partiel tend vers une limite déterminée
(ou reste infinie) quand S tend vers 0, cette limite (ou l'infini) est
\' oscillation {relative à E) de f au point-limite p .

Si cette oscillation est nulle, on dit que f est continue {relativement à E)
au point p. — En particulier donc, la fonction/ est continue en un
point/» de E non isolé, quand la valeur de /en un point de E qui tend
vers/» a pour limite la valeur de /au point ^.

Si la fonction /est continue (relativement à E) en chaque point non
isolé de E, on dit qu'elle est continue sur E.

Il résulte de ces définitions, comme au n» 25, que la somme, le pro-
duit, le quotient de fonctions continues sont encore continues {en un point ou sur
E), sauf si une fonction prise comme diviseur s'annule.

Lorsqu'une fonction n'est pas continue (en un point ou sur E), on dit
qu'elle est discontinue (en ce point ou sur E, toujours relativement à E).

69. Fonctions discontinues sur un ensemble parfait, — Considérons
maintenant un ensemble parfait P, auquel cas les points-limites se
confondent avec ceux de l'ensemble.

Pour faciliter le langage, appelons portion de P la partie de P com-
prise dans un domaine (d'autant de dimensions que P) contenant
intérieurement un point au moins de P. Cette portion de P (contenue
dans un intervalle, une aire,...) sera encore un ensemble parfait.

Quand la fonction/ est discontinue sur P, deux cas seulement sont
possibles :

1°) Quelque petit que soit e positif, il y a, dans toute portion de P,
des points de P où l'oscillation de /(relativement à P) est < e. On dit,
dans ce cas (Dmi), que f est ponctuellement discontinue sur P.

2°) Il existe une valeur positive de e et une portion de P, telles que,
dans cette portion, l'oscillation de/ soit > e en chaque point de P. On
dit alors que /est totalement discontinue sur P.

Il y a lieu de remarquer le théorème suivant :

Si la fonction f est ponctuellement discontinue sur un ensemble parfait P,
il y a dans toute portion de P des points où f est continue.

Pour fixer les idées, considérons un ensemble à deux dimensions.
Soit Si, e^, s„ ,... une suite positive convergeant vers 0. Quand l'oscil-
lation de /est < e en un point p, on peut décrire autour de p un cercle,
tel que l'oscillation de /dans la portion de P comprise dans ce cercle
soit < e. Donc, puisqu'on peut, par hypothèse, trouver, dans l'intérieur
de tout cercle, un point ^ satisfaisant à cette condition, on peut former

5Ô INTRODUCTION

une suite illimitée de cercles Ci, C;^,... C« ,..., chacun intérieur à tous
les précédents et tels que l'oscillation de/ sur la portion de P comprise
dans C« soit < £« . Les centres de ces cercles ont au moins un point-
limite p intérieur à tous les cerclas, l'oscillation en ce point sera infé-
rieure à tous les £« (donc nulle) et / sera continue en ce point de P.
Comme le même raisonnement s'applique dans toute portion de P, le
théorème est démontré.

70. Propriétés des fonctions. — I. Soit F un ensemble fermé ; l'ensemble
E des points de F où, V oscillation (relative à ¥ ) de la fonction f est ^ s,
est un ensemble fermé.

En effet, si p est la limite d'une suite de points pi, p^,... où l'oscilla-
tion de /est ^ e. /> est un point de F où l'oscillation sera évidemment
^ e. Ce point-limite appartient donc à l'ensemble E.

II. Soit F un ensemble borné et fermé. Si, étant donné un nombre positif z,
on ne peut pas lui faire correspondre un nombre S, tel que l'oscillation de la
fonction f dans toute partie de F de diamètre < S, soit < e, il y a au moins
un point de ¥ où, l'oscillation [relative, à ¥) de f sera ^ e.

En effet, étant donnée une suite de nombres positifs Sj, S2,... tendant
vers 0, on peut lui faire correspondre une suite de portions de F de
diamètres < 81, < «î,... où l'oscillation est toujours ^ e. Soient pi,
pi,... des points de F pris dans ces portions successives ; F" étant borné,
ils ont au moins un point-limite p (appartenant à l'ensemble fermé F).
Ce point est intérieur à un domaine aussi petit qu'on veut contenant
une infinité de portions successives de F où l'oscillation est ^ e. Elle
est donc aussi "5= £ au point p.

71. Fonctions continues. — I. Une fonction, continue sur un ensemble
borné et fermé ¥, est uniformément continue sur l'ensemble.

Cela veut dire qu'à tout nombre positif e correspond un nombre 8,
tel que l'oscillation de la fonction soit < e dans toute portion de F de
diamètre < 8, ce qui est un cas particulier du théorème précédent
(70, II).

II. Une fonction qui est continue sur un ensemble borné et fermé F, est
aussi bornée.

C'est une conséquence de la propriété précédente.

Soit A le diamètre de l'ensemble F ; prenons 8 assez petit pour que
l'oscillation de la fonction soit < t dans toute portion de F'' de diamètre
< 8, puis l'entier n assez grand pour que «0 soit > A ; l'oscillation de
la fonction dans ¥ sera < m.

III. Une fonction continue sur un ensemble borné et fermé atteint ses
bornes inférieure et supérieure dans l'ensemble. (Même démonstration qu'au
n» 27, III).

MESURE DES ENSEMBLES LINEAIRES 5g

72. Ensemble d'un seul tenant. — Un ensemble parfait est d'un seul
tenant, si, étant donnés arbitrairement deux points petq de l'ensemble
et un nombre positif o, on peut former une suite de points de l'ensemble
Pi Piy p2,--- pH, q, allant de /> à jet telle que la distance de deux points
consécutifs soit < S (*).

Avec cette définition, les deux propriétés suivantes s'établissent
comme celles V et VI du n» 27 :

Si une fonction continue prend deux valeurs de signes contraires dans un
ensemble parfait d'un seul tenant, elle s'annule en un point de T ensemble.

Une fonction, continue dans un ensemble parfait d'un seul tenant, ne peut
passer d'une valeur à une autre dans Pensemble sans passer aussi par toutes
les valeurs intermédiaires.

73. Remarque. — Les définitions et les théorèmes précédents s'ap-
pliquent, en particulier, au cas où l'ensemble considéré devient le
continu, soit un intervalle, soit une aire, un volume, etc. Les limites
de l'intervalle, de l'aire, etc. sont comprises dans l'ensemble s'il est
fermé (et, par suite, parfait).

§11. Mesure des ensembles linéaires.

La question de la mesure des ensembles de points a été posée de
diverses manières. MM. Borel et Lebesgue lui ont donné une solu-
tion complètement satisfaisante, que nous allons exposer. Mais nous
nous bornerons ici aux ensembles linéaires, renvoyant au tome II
pour l'extension aux ensembles de plusieurs dimensions.

74. Lemmes préliminaires. — Définitions. Nous dirons qu'un en
semble de points E est enfermé au sens étroit dans un ensemble d'in-
tervalles a, si tout point de E est intérieur au sens étroit à l'un au
moins des intervalles a, ou bien s'il existe au moins deux intervalles a
contigus dont ce point soit la frontière commune. Dans ce second cas,
le point est donc intérieur au sens étroit à l'ensemble de deux inter-
valles a réunis.

Par contre, les points de E sont enfermés au sens large dans l'ensem-
ble des intervalles a, si tout point de E est intérieur, au sens large
seulement, à l'un au moins des intervalles a.

Nous commencerons par un lemme fondamental qui, à part une
légère variante dans l'énoncé, est dû à M. Rorei.. Cette variante n'a
aucune importance en elle-même, mais elle facilite l'exposition de ce
qui suivra.

(*) Un ensemble fermé doué de cette propriété serait parfait.

6o INTRODUCTION

Lemme I. — Si les points de l'intervalle {a, h) sont enfermés au sens étroit
dans un ensemble d'intervalles a en nombre infini, on peut extraire de cet en-
semble un système d'intervalles a en nombre fini jouissant de la même pro-
priété {Tout point de {a, b) est iniirieur au sens étroit à un intervalle a ou
à l'ensemble de deux d'entre eux).

Supposons, par impossible, aue la proposition ne s'applique pas à
l'intervalle {a, b). Divisons cet intervalle en deux autres par son point
milieu ; il y aura au moins une des deux moitiés à laquelle le théo-
rème ne s'appliquera pas non plus. Partageons celle-ci en deux autres
parties égales et continuons ainsi de suite. Nous formerons une suite
illimitée d'intervalles auxquels le théorème ne s'appliquera pas. Ces
intervalles successifs de plus en plus petits, chacun contenu dans les
précédents, ont pour limite un point X de l'intervalle {a, b). Ce point
X appartiendrait donc à un intervalle aussi petit qu'on veut auquel le
théorème ne s'appliquerait pas. Mais ceci est impossible, car X est
intérieur (au sens étroit) à un intervalle formé d'un ou de deux a et le
théorème s'applique évidemment à tout intervalle intérieur (au sens
étroit) à celui-ci et contenant X.

Lemme IL — Si tous les points d'un intervalle {a, b) sont enfermés au
sens étroit dans une infinité dénombrable d'intervalles a,i ag,... la somme Sa
des longueurs des intervalles ol sera supérieure à la longueur de l'intervalle {a,b).

En effet, tous les points de {a, b) étant intérieurs à un nombre limité
des intervalles a en vertu du lemme précédent, la somme de ces inter-
valles en nombre fini vaut au moins b — a, donc la somme de tous les
intervalles dépasse b — a.

Lemme IIL — Si tous les points d'un intervalle {a, b) sont contenus dans
une infinité dénombrable d'intervalles d'amplitudes aj, a^,... qui n'empiètent
PAS LES UNS SUR LES AUTRES {mais peuvent avoir une extrémité commune)
et qui sont eux-mêmes compris dans l'intervalle {a, b), on a

Sa = è — a.

D'une part, quel que soit n, on a évidemment ai -f- «2 + — \-'^n <
b — a \ donc, à la limite. Sa ^ 6 — a.

D'autre part, soit £1, z^,... s» ,... une suite de quantités positives ayant
une somme infiniment petite e ; désignons par Pi, Pa.--- la suite des
intervalles ai, a2,.., respectivement élargis de Si, êg,... de chaque côté.
Tous les points de {a, b) étant intérieurs aux |3, on a, par le lemme pré-
cédent, Sp ^ è — a. Mais Sp = Sa -[- 2£ ; il vient donc Sa > ô — a — 2e.

Comparons les deux inégalités obtenues, nous en concluons, puis-
que t est infiniment petit, que Sa = è — a.

Lemme IV. — Si tous les points d'un ensemble E peuvent être enfermés-
au sens étroit dans un ensemble dénombrable d'intervalles ai, ag,... ils peuvent
l'être au même sens dans un ensemble d'intervalles Pi, P2,... n'empiétant
PAS et contenus dans les a.

MESURE DES ENSEMBLES LINÉAIRES 6l

On forme, en effet, la suite des intervalles ,3, en retranchant de
l'intervalle a„, pour « == 2, 3,..., les parties communes avec les inter-
valles précédents «i, «g,... a„_i. On remplace ainsi a„ par un nombre
limité d'intervalles (3 ou bien on le supprime entièrement. Ainsi un
point contenu dans a« au sens étroit, l'est aussi dans l'ensemble limité
des P formés avec «j, a^,... <x„.

Remarque. — Si les longueurs des intervalles a ont une somme finie
Sa, il est clair que l'on aura Sp ^ Sa.

Lemme V. — Si tous les points d'un ensemble E sont enfermés dans un
ensemble composé de deux infinités dénombrables d'intervalles a,, a.^,... ,3i Pg.---
{les a n empiétant pas les uns sur les autres, ni les ,3 non plus), si de plus
les sommes Sa, S8 des longueurs de ces intervalles ont des valeurs finies, on
peut enfermer l'ensemble E dam un système d'intervalles y {n'empiétant pas)'
contenus dans les a, p de telle sorte que l'on ait

Sa + Sp = Sv + S (ap).

On désigne par S (a[3) la somme des longueurs des parties (ap) communes
aux a et aux ,3, On aperçoit d'ailleurs immédiatemment que les (aj3) forment
une suite dénombrable d'intervalles n'empiétant pas.

Pour former une suite d'intervalles y satisfaisant à l'énoncé, rangeons
les a, [3, dans une suite unique

«1) Pi. ='2. Pe.--- ««, ?«.•••

et supprimons, comme plus haut, dans chaque intervalle de cette
suite les parties communes avec les intervalles qui précèdent. Chaque
intervalle a„ ou P« sera ainsi (s'il n'est pas supprimé) remplacé par un
nombre limité d'intervalles y. En procédant ainsi, nous rencontrerons
successivement et une seule fois chaque partie commune (a^) qui sera
retranchée. On aura donc

. Sy = Sa + S|3— S(aj3).

Lemme VI. — Si tous les points de l'intervalle {a, b) sont enfermés dans
deux infinités dénombrables d'intervalles ai, a,,... pi, '^^■z,... contenus dans
{a, b), les et n'empiétant pas ni les p non plus ; on a

Sa + S3 = (è-a) + S(aP),

la somme S (alB) s' étendant à l'ensemble dénombrable des intervalles communs
aux a et aux P, lesquels n'empiètent pas non plus.

C'est la conséquence du lemme précédent, où il faut remplacer Sy
par b — a, en vertu du lemme III [tous les points de {a, b) étant con-
tenus dans les y et tous les y dans {a, b)].

75. Mesures extérieure et intérieure d'un ensemble. Ensembles mesu-
rables. — Dans ce qui suit, nous ne considérons que des ensembles
bornés et contenus dans un même intervalle {a, b). Un ensemble étant
désigné par E, nous appelons CE son complémentaire relativement
à l'intervalle (a, b), c'est-à-dire que CE sera formé des points de (a, b)
non contenus dans E.

62 INTRODUCTION

Soit E un ensemble ; nous pouvons enfermer ses points dans un
ensemble fini ou une infinité dénombrable d'intervalles a^ «j,,... Soit
Sa la somme des longueurs de ces intervalles. Par définition, la mesure
extérieure nie E est la borne inférteure de toutes les sommes Sa pos-
sibles. D'après cela, quelque petit que soit le nombre positif s, pour
tout ensemble E, on peut trouver un système d'intervalles aj, ol^,...
contenant tous les points de E et tel qu'on ait

Wg E ^ Sa < »î«. E + 2-

Dans cette définition de la mesure extérieure, il est d'ailleurs indif-
férent de dire que l'ensemble est enfermé au sens étroit ou bien aîi sens
large, que les intervalles empiètent ou n'empiètent pas (Lemme IV).

Soient maintenant CE le complémentaire de E (relativement à l'in-
tervalle (a, h) et me (CE) la mesure extérieure de cet ensemble. Par
définition, la mesure intérieure de E est la quantité

mi E — {b — a) — me (CE).

Cette quantité ne peut être négative, car l'intervalle {a, b) contient
CE et, par suite, b — a est au moins égal à me (CE).

D'autre part, la mesure intérieure de E ne peut surpasser sa mesure
extérieure. En effet, enfermons (au sens étroit) E dans un système
d'intervalles a et CE dans un système d'intervalles §, les points de
(a, b) seront enfermés au même sens dans les a, p. Donc, par le
lemme II.

Sa + S{3^(è-a);

et, en faisant tendre Sa et Sp vers leurs limites inférieures,

We E + »ï« (CE) ^ i — a,
w<, E ^ mi E.

Ces définitions sont évidemment telles qu'un ensemble ne peut être
de mesure (intérieure ou extérieure) moindre qu'une de ses parties.

Lorsque les mesures extérieure et intérieure d'un ensemble E sont
égales, cet ensemble est mesurable et sa mesure, wE, est la valeur
commune de me E et mt E. Il résulte immédiatement de là que, si un
ensemble E est mesurable, son complémentaire l'est aussi.

76. Opérations sur les ensembles. — On peut effectuer sur des
ensembles donnés diverses opérations :

1°) On peut réunir tous les points qui appartiennent à plusieurs ou à
une infinité dénombrable d'ensembles Ei. E;.,... Cette opération peut
être considérée comme une addition et V ensemble-somme se désigne par

E1 + E2+...

2") On peut retrancher d'un ensemble Ei ceux de ces points qui
appartiennent à un ensemble E2. Cette opération peut être considérée
comme une soustraction et V ensemble- différence se désigne par

El — Eg.

MESURE DES ENSEMBLES LINEAIRES 63

3°) On peut prendre la partie commune à plusieurs ou à une infinité
dénombrable d'ensembles Ei, Ej.,... Cette opération correspond à
certains égards à la multiplication. Nous représenterons l'ensemble
commun par

El E2...

L'addition et la multiplication ainsi définies sont des opérations
associatives et commutatives et la multiplication est distributive vis-à-vis de
l'addition et de la soustraction, c'est-à-dire que

(Ei±E2)E3 = Ei EaiE^E^.

La vérification est immédiate.

Par contre, les propriétés générales des opérations ne s'étendent
pas à la soustraction. En particulier, on peut bien poser

(E - E,) + (E, - E3) = (E + E,) - E',

mais E' ne contient qu'une partie de (Ei -|- E3), à savoir les points de
El contenus dans E sans l'être dans (E.< — E3) et ceux de E^ contenus
dans E; sans l'être dans (E — Ei). Cette remarque nous servira tout
à l'heure (no 78, 1).

Nous allons montrer que les opérations précédentes, étant etiec-
tuées sur des ensembles mesurables, conduisent a de nouveaux
ensembles mesurables. A cet effet, nous allons faire connaître au
no suivant un caractère distinctif des ensembles mesurables. Mais
nous avons d'abord une remarque à faire :

Si deux ensembles Ei et Eg sont de mesure (extérieure) < e, l'en-
semble El + Eo sera de mesure (extérieure) < 2£. D'autre part, quel
que soit E3, les ensembles E, — E3 et Ei E3 contenus dans Ei seront
a fortiori àe mesure (extérieure) <£.

77. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble
E soit mesurable, est que, quelque petit que soit t positif, l'ensemble E puisse se
décomposer comme il suit

E==è-\-e' — e",

S désignant l'ensemble d'un nombre limité d'intervalles, e' et e" deux ensembles
de mesures (extérieures) < t. Alors la mesure de E est comprise entre
les deux limites «ê i e.

La condition est nécessaire. Montrons, en effet, que si E est mesu-
rable, il admet la décomposition indiquée. Pour cela, enfermons E
(mesurable) dans une infinité dénombrable d'intervalles a n'empiétant
pas et CE dans des intervalles ^ n'empiétant pas de manière que l'on ait

la 4- 2,3 < w E + w CE -f e -= b—a + e.

On a, d'autre part, par le lemme VI (n» 74),

Sa -f Sp - è— a + S ^afl),

d'où, en comparant, 1' (a^) < e.

64 INTRODUCTION

Soit maintenant S l'ensemble d'un nombre suffisant d'intervalles a
pour que l'ensemble e des intervalles restants soit de mesure < e. On a

E = ê + tfE — Ô(CE).

Mais ^E est un ensemble e' de mesure < e et ê(CE) est un ensemble
e" contenu dans les (a^) donc aussi de mesure < e, ce qui prouve la
proposition.

En second lieu, la condition est suffisante, car, si elle est remplie,
E et CE étant respectivement contenus dans &-\-e' et Cê + «", on a
les inégalités :

nie E < mê -{- B, nie CE < mCQ> -\- t,

et, en retranchant la seconde de b — a = b — a,

ntiKy mê — £.

Donc les mesures intérieure et extérieure de E sont comprises entre
les deux limites mê ± t aussi rapprochées qu'on veut et, par consé-
quent, sont égales. On voit, en même temps, que wE est compris
entre ces mêmes limites.

On peut caractériser la décomposition requise dans le théorème
précédent en disant que tout ensemble mesurable se compose, à deux
infiniment petits près, d'un nombre fini d'intervalles.

78. Théorèmes relatifs aux opérations sur les ensembles mesurables.

— Théorème I. — Si les ensembles Ei et E^> sont mesurables, il en est de
même pour les ensembles :

El + Ei, El E2, El — Eo.

Mettons, en effet, E, et E.^ sous la forme indiquée dans le théorème
précédent :

El ^ êi + «1 — «1 , E2 = êo -[- h — «2 )

on aura

El + E2 = (Si + &,) + {A + 4) - e",

où «" est contenu (n» 76) dans («[' + 4')- Or (^i + ^2) -st formé d'un
nombre limité d'intervalles, tandis que {e^ + e^ et {e^ + e^ ) sont de
mesures < 2£, donc Ei -\- Eo est mesurable par le théorème précédent.

Les deux autres résultats se ramènent au précédent par la considé-
ration du complémentaire. On a, en effet,

C(E,E2) = CEi + CE2, C(Ei - E2) ^ CEi + E2.

Théorème II. — Si les deux ensembles Ei et E-, sont mesurables et
sans point commun, on a

m (El + E2) = w El + w Eg.

INTRODUCTION 65

La décomposition de Ei + E2 indiquée dans la démonstration pré-
cédente prouve {n° 77) que la mesure de Ei + E2 est la limite, pour e
infiniment petit, de w (S, +^2)- Mais, pour un nombre limité d'inter-
valles, on a, sans difficulté,

m (êi -|- ê2) = w êi -\- m ê2 — "* (®l ^2)'
Comme mêi et m §2 tendent vers /» Ei et w E2, il reste à montrer que
m{&i §2) tend vers 0. Or êy et S2 sont respectivement contenus dans
El + ^1 et E2 + «2 > donc S1S2 l'est dans

(El + .;') (E2 + 4') = El E2 + El e'J + (E2 + 4') 4',

et a fortiori dans {el + ^i ) puisque Ei E2 est nul. Donc m$i &2 < 2e.

Corollaire. — Si Ei ei E2 sont mesurables et E2 contenu dans Ki, on a
m (El — E2) = w El — m E2.

Cette équation revient, en effet, à^ celle que nous venons d'établir,
en écrivant

w(Ei — E2) + wEg = wEi.

Théorème III. — Soit Ei, E2,... une infinité dénombrable d'ensembles
mesurables contenus dans l'intervalle (a, b) ; soit ensuite E l' ensemble-somme
El -|-E2+... ; l'ensemble E est mesurable. De plus, si les ensembles sont
sans points communs, on a

wE = wEi+ȔE2 + ...
Supposons d'abord les ensembles sans points communs.
Posons

S„^Ei+E2+- + E« .. < T, c , T^

On aura, en observant d'abord que E contient S„ , puis en appli-
quant le théorème I,

w,- E > w S„ = w El + w E2 H h ^» E« ,

ce qui prouve que la série positive 2wE„ est convergente. Prenons
donc n assez grand pour qu'on ait, t positif étant donné,

m, E„+i + m E«+2 + ••• < e,

et enfermons, pour^ = i, 2, 3,... l'emsemble E„+p dans un système

d'intervalles a dont la somme soil< »»E„+> + -V- Alors l'ensemble
^« ^=E«-|-i -|- E«-(-2 -f ••• est enfermé dans un système d'intervalles a,
dont la somme est moindre que

m E».-)-i + - j + im E«+2 -\ — i" ) + •" < 2e.

On en conclut

nte'E <mSn-\- 2e.

66 MESURE DES ENSEMBLES

Comparons avec l'inégalité relative à ;»/E et passons à la limite
pour e = 0 ; on en conclut le résultat énoncé :

me E -^ niiE = w E ^ lim (w S« ) = w Ei + w Eo -\ —

Si, en second lieu, les ensembles E« ont des points communs, l'en-
semble E sera encore mesurable, car on peut écrire

E --- E, -f (Eo — El) + (E3 - E, - E,) + -,
ce qui ramène au cas précédent, en vertu du théorème II.

Théorème IV. — Si d'un ensemble mesurable E on retranche tous les
points qui appartiennent à une infinité dénombrable d'ensembles mesurables
El, E.; ..., tous les ensembles E, Ei, E^,... étant contenus dans un intervalle
(a, b), l'ensemble restant E — Ei — E.^ — ...est encore mesurable. De plus,
si El, Eo,... sont sans points communs et tous contenus dans E, on a

»ï(E — El — E ) = wE — wEi -wE-,

D'abord l'ensemble E' = E, + Eo + ••• est mesurable par le théo-
rème III, donc E — El — E2 ou E — E' l'est par le théorème II.

Ensuite, si Ej, E,,... sont sans points communs, on a, par le théo-
rème III,

m E' ^ m E, + w E.^ + ••••

et, par le corollaire du théorème I,

m (E — E, - E, ) -- w (E — E') = w E - w E',

ce qui prouve la seconde partie du théorème énoncé.

Théorème V. — Soit Ei, E.»,... une infinité dénombrable d'ensembles
mesurables, leur partie commune E = Ej E.^... est mesurable.

Ce théorème se ramène au théorème IV en observant que

CE = CE, +CE. + •••

Théorème VI. —Soit E^ E.^... une infinité dénombrable d'ensembles
mesurables dont chacun contient tous les précédents et qui sont tous contenus
dans un intervalle (a, b), on a

»»(Ei+Eo + -)-j[i^ (»îE„).
On peut, en effet, poser, dans cette hypothèse,

El + E. + - - El + (E, - El) -)- (E3 - E,) + -
et il vient, par les théorèmes III et I (corollaire),

w (El + E. + •••) = m El + m (E, — El) + m (E3 — E^) + -

-= w El + {m E. — m Ei) + (w E3 — w E^) + -
^^lim {m E«).

INTRODUCTION 6y

Théorème VII. — Inversement, soit Ei, Eo,,.. une infinité dénombrable
d'ensembles mesurables dont chacun est contenu dans tous les précédents et qui
sont tous contenus dans un intervalle [a, b), on a

w(Ei E2....) = lini w(E« ).

On a, en effet, dans cette hypothèse,

C(EiE, ...)=-CEi+CE, 4 ■■•

Donc il vient, par le théorème précédent,

m C (El E2 ...) = lim m (C E„ )

et, en retranchant les deux membres de {b — a),

m (El Eo...) ^ lim {m E« ).

79. Constrnctioii d'ensembles mesurables. Ensembles mesurables B. —

Un ensemble qui se réduit à un seul point est évidemment mesu-
rable et a pour mesure zéro. D'autre part, un ensemble qui se réduit
à un intervalle (avec ou sans les extrémités) est évidemment mesurable
et a pour mesure la longueur de l'intervalle.

En combinant entre eux les points et les intervalles par addition et
soustraction ou en prenant l'ensemble commun à une suite d'ensem-
bles donnés, on obtient des ensembles de plus en plus complexes et
qui sont encore mesurables en vertu des théorèmes du n» précédent.
Ce sont ceux-là qui ont été particulièrement considérés par M. Borel.
C'est pourquoi on les appelle les ensembles mesurables B.

Les ensembles mesurables B sont les plus importants des ensembles
mesurables. Quand on connaît leur mode de construction, on peut en
même temps déterminer leur mesure en utilisant, à chaque opération
consécutive, le théorème correspondant du numéro précédent.

Un ensemble dénombrable s'obtient par l'addition d'une infinité dénom-
brable de points. C'est donc un ensemble mesurable B et sa mesure
est nulle, en vertu du théorème III.

Un ensemble par/ait s'obtient en soustrayant d'un intervalle {a, b) une

infinité dénombrable d'intervalles distincts a,, a^, C'est donc un

ensemble mesurable B et sa mesure est {b — a) — a^ — (x.> — ...., en
vertu du théorème IV.

Un ensemble fermé est la somme d'un ensemble parfait et d'un ensem
ble dénombrable. C'est donc un ensemble mesurable B et sa mesure
est celle de l'ensemble parfait qu'il contient, en vertu du théorème I.

80. Théorème. — Si la mesure extérieure de V ensemble E est égale à k,
E est contenu dans un ensemble E' mesurable B et de même mesure k. --
Réciproquement, si m, E -^ A, E contient un ensemble E" mesurable B et de
mime mesure k.

Les deux théorèmes se ramènent l'un à l'autre par la considération
des ensembles complémentaires. Démontrons donc le théorème direct.

68 MESURE DES ENSEMBLES

Soit ei,e2....e„ ,... une suite de quantités positives ayant pour limite 0.
Nous pouvons enfermer E dans un ensemble E (e« ), mesurable B,
formé d'intervalles aj, ag,... n'empiétant pas et tel que

»t E (e„ ) = Sa < A + £«.

Alors E est aussi enfermé dans l'ensemble mesurable B :

p:' = E(ei)E(e2)...E(e«)...
et l'on a

w E' < w E (e« ) < ^ + e«.

Donc (e« étant infiniment petit) mR' ^k (donc = k).

Remarque. — En particulier, si E est mesurable, il est contenu dans
un ensemble E' et contient un ensemble E", tous deux mesurables B
et de même mesure que lui.

81. Emsembles-limites (Complets ou restreints). — Soit Ei, Eg,...
une infinité dénombrable d'ensembles. M. Borel appelle ensemble-limite
complet de cette suite, l'ensemble E formé des points qui appartiennent
à une infinité d'entre eux. Il appelle ensemble-limite restreint de la même
suite, l'ensemble R des points qui appartiennent à tous les ensembles
Ek à partir d'une valeur suffisamment grande de n (qui peut d'ailleurs
dépendre du point considéré).

Les ensembles-limites peuvent s'exprimer à l'aide des opérations
étudiées précédemment. On a, en effet,

R = (El E2 E3....) + (E2 E3..) + (E3 ...) + ...

car un point de R appartient à tous les termes du second membre à
partir d'un certain rang ; et, réciproquement, un point qui appartient
au second membre appartient à l'un de ses termes, donc aussi à R.

D'autre part, on a

E = (El + E, + Es + ■••) (E2 + E3 + •••) (E3 + •••) -,

car un point de E appartient à tous les facteurs du second membre ;
et, réciproquement, un point qui appartient à tous les facteurs du
second membre appartient à une infinité de E« , donc à E.

Ces relations prouvent d'abord que, si les ensembles de la suite sont
mesurables, il en est de même des ensembles-limites E et R. Mais
elles fournissent des renseignements sur les mesures de E et de R. On
peut, en effet, énoncer les théorèmes suivants, qui s'en déduisent :

TiLÉoRÈME I. — Si, parmi les ensembles mesurables Ei, E2,..., tous
compris dans un intervalle fini {a, b), il y en a une infinité de mesure ^ k,
r ensemble-limite complet E aura une mesure 5> k-

En effet, en retranchant de la suite une partie des ensembles E«, on

ne peut que réduire l'ensemble-limite complet E. On peut donc sup-

INTRODUCTION 69

poser dans la démonstration tous les ensembles de mesure ^ k.
Appliquant alors le théorème VII du no 78 à l'expression de E ci-des-
sus, on obtient

m E = lim m (E« + E«+i -| — ) ^ lim w E« > A.

Théorème II. — Si, parmi les ensembles mesurables Ej, E2,." tous
compris dans {a, b), il y en a une infinité de mesure ^ k... l'ensemble-limite
restreint R aura une mesure ^ k.

En effet, en retranchant de la suite une partie des ensembles E«, on
ne peut qu'augmenter l'ensemble-limite restreint R. On peut donc
supposer dans la démonstaation tous les ensembles de mesures ^ k.
Appliquant alors le théorème Vil du no 77 à l'expression de R, on
obtient

w R = lim m (E« E«+i ■••) ^ lim m^„^k.

§ 12. Fonctions mesurables d'une variable (*).

82. Fonctions mesurables. — Soit/(;t?) une fonction univoque de ;i;
dans un ensemble F, sa valeur peut être infinie mais de signe déter-
miné. Soient ensuite A et B deux nombres fixes (A < B). Nous dési-
gnerons respectivement par les notations :

E(A</<B), E(/>A), E{/=A),
E(A</^B), E(/^A), etc.

les ensembles des points de F où la fonction/(;t) satisfait à la condi-
tion indiquée entre parenthèses. Ainsi le premier ensemble est celui
des points de F oùf{x) est > A mais < B.

Ceci posé, nous dirons, avec M. Lebesgue, que cette fonction est
mesurable dans l'ensemble F, si l'ensemble

E(/>A)

est mesurable quel que soit A. — Si, de plus, cet ensemble est mesu-
rable B, nous dirons que la fonction est mesurable B.

Il suit évidemment de cette définition que si une fonction est mesu-
rable dans deux ensembles Fi et Fg, elle est mesurable dans l'ensem-
ble-somme Fi + Eg.

Si la fonction /(;r) est mesurable, l'ensemble E (/< A) est mesu-
rable, l'ensemble E (A </< B) également (comme différence de deux
ensembles mesurables) ; enfin l'ensemble E (/= A) est aussi mesura-
ble, car c'est la partie commune à l'infinité dénombrable des ensembles

e(^A-^</<A+^^, « = i, 2, 3

Donc les ensembles E (/> A), E (A ^/< B), E (A </ < B), qui

(*) Pour celles de plusieurs variables, voir le tome II.

70 P^ONCTIONK MESURABLES

ne diffèrent d'autres qui précèdent que par l'addition ou la soustrac-
tion d'un ensemble mesurable, sont mesurables aussi.

Remarque. — On peut aussi bien définir une fonction mesurable
par la condition que l'un, toujours le même, des deux ensembles :

E(/>A), E(/<A),

soit mesurable quelque soit A, car un raisonnement calqué sur le
précédent montrerait que tous les ensembles rencontrés ci-dessus
sont encore mesurables. Il en résulte évidemment que, si / est
mesurable, — /l'est aussi.

Toute fonction continue dans un ensemble fermé F, est mesurable (B) dans
cet ensemble, car l'ensemble E (/> A) étant fermé, est mesurable (B).

83. Opérations sur les fonctions mesurables. — l. La somme et la
différence de deux fonctions finies et mesurables dans un ensemble F, sont
des fonctions mesurables dans F.

En effet, soient/ et cf deux fonctions mesurables. Je dis que/+ o
est mesurable, c'est-à-dire que l'ensemble E = E (/-f «p > A) est me-
surable. En effet, cet ensemble est la somme de l'infimté dénombrable
des ensembles mesurables :

E(/>r). E(cp > A-;'),

formés des points communs à E (/ > r) et E («p > A — r), quand on
donne à r toutes les valeurs rationnelles positives et négatives (car,
si /+ 'f est > A, on peut trouver un nombre rationnel r </tel qu'on
ait encore y + œ > A). Donc E est mesurable (no 78, III).

Le théorème se démontre pour une différence en remplaçant o par
— cp qui est mesurable avec «• (n» précédent).

II. Le produit de deux fonctions finies et mesurables dans F est mesurable
dans F.

Toute fonction mesurable / est la différence /i — fz de deux
fonctions mesurables jamais négatives (/i étant égal à / aux points
où / est positif et à 0 ailleurs, — /a égal à / aux points où / est
négatif et à 0 ailleurs). Donc, en vertu de la propriété précédente,
il suffit de faire la démonstration pour deux fonctions / et cp jamais
négatives. Le raisonnement est alors analogue au précédent. Il faut
prouver que, si K > 0, l'ensemble E = E (/œ > A) est mesurable, ce
qui résulte de ce que cet ensemble est la somme de tous les ensembles

E (/ > r) E( tp > — j quand on donne à r toutes les valeurs ration-
nelles positives.

III. L'inverse d'une fonction mesurable dans F et qui ne s'annule pas est
mesurable. On a, en effet,

E (^> P^i =- E (f< ^A, si /et A sont positifs ;

E (^0 > ^v > A ^ -- E ( 0 >/ > -^ J, si /et A sont négatifs.

INTRODUCTION "Jl

IV. Le quotient des deux fonctions finies et mesurables dans F est mesu-
rable dans F, pourvu que le diviseur ne s'annule pas.

Cette propriété est la conséquence des deux précédentes.

84. Limites de fonctions mesurables, — Théorème I. Si une suite

de fonctions tnesurables f^, f.>,... fn ,-.■ converge vers une limite finie ou infi-
nie-dans un ensemble F, la fonction-limite f est mesurable dans F.
Donnons-nous un nombre positif t. Tout point de l'ensemble

E=E(/>A)

appartient évidement, pour n suffisamment grand, à l'ensemble me-
surable

E («, e) = E (/« > A — £).

Donc tout point de E appartient à V ensemble-limite restreint Ee de la

suite E(i, t), E(2, e), E(3, t) , lequel est mesurable; et cela,

quelque petit que soit e.

Réciproquement, tout point exclu de E est exclu de E (/> A — s)
pour £ assez petit ; il est alors exclu de Ee, car il l'est de E {n, z) pour
n assez grand.

Donc l'ensemble E est V ensemble-limite restreint de la suite des en-
sembles Es, obtenue en donnant à s une suite de valeurs £], t.,,...
e»,... tendant vers 0 : E est mesurable.

Théorème II. — Les limites d'indétermination (plus grande et plus petite
limites) d'une suite de fonctions mesurables f^, f.,,... fn ,... sont mesurables
dans F.

En effet, soit, pour chaque valeur de x, '^m,7t {x) la fonction égale
à la plus grande des m-\- n-{ i fonctions :

fm, fm^i,-'- fm+n •

C'est une fonction mesurable dans F, car on a

E (<}/,«.« > A) ----- S E ( fm+k > A).

Or la plus grande limite de la suite /i,/o,... est la limite de '^m.n^
quand n d'abord et m ensuite tendent vers l'infini : elle est donc
mesurable par le théorème I. (Démonstration analogue pour la plus
petite limite).

Remarque. — Les fonctions continues étant mesurables {n^ 82), les
limites et les limites d'indétermination de fonctions continues le
seront aussi.

85. Théorème sur la convergence. — Soit f, fi,--- fn ,... une suite
de fonctions mesurables qui converge vers une limite finie f{x) dans un en-
semble mesurable M ; soient ensuite z un nombre positif arbitraire et E« l'en-
sembU des points de E où, l'on a

\/-fn\>t.

72 FONCTIONS A VARIATION BORNÉE

Je dis qu'à tout nombre positif 0 si petit quil soit, on peut faire corres-
pondre un nombre positif N, tet que Von ait

m E„ < 0, SI « ^ N.

En effet, si par impossible cette condition ne se réalisait pas, il y
aurait une infinité de E« de mesures ^ ô. Alors l'ensemble-limite
complet des E« aurait une mesure ^ ô (no 81, I) : il renfermerait
donc certainement des points. Soit x l'un d'eux, il y aurait une
infinité de valeurs de n pour lesquelles

auquel cas, /«(at) n'aurait pas pour limite /(;tr).

§ 13. Fonctions (d'une variable) à variation bornée.
Fonctions absolument continues.

86. Définition des fonctions à variation bornée. — Soient jv ==f{x) une
fonction de x, univoque et bornée dans un intervalle fini [a, b), et X un
point de cet intervalle. Donnons à x une suite de valeurs croissantes
Xi = a, X2, Xs,... Xn , x„+i = X ; soient yi, Vi,... y„+i = Y les valeurs
correspondantes de j'. P'aisons la somme des différences successives
de y ; nous aurons

n

(1) ^{y^+i—yi) = y—yi=P — n,

1

p désignant la somme des différences positives et — n celle des diffé-
rences négatives. Désignons encore par t la somme des différences
absolues ; nous aurons

(2) t=î\yi+,-y, \=P + n.

Les valeurs extrêmes a et X restant fixes, les trois sommes^, n, t
dépendent encore du nombre et de la position des valeurs inter-
médiaires. Faisons varier ces deux éléments de toutes les manières
possibleg ; si l'une des trois sommes est bornée, les deux autres
sommes le seront aussi, en vertu des équations (i) et (2). Quand
il en sera ainsi, nous dirons que y est une fonction à variation bornée
entre a et X (C. Jordan).

Dans cette hypothèse, on peut choisir successivement les points
intermédiaires de manière que p s'approche indéfiniment de sa borne
supérieure P. Les équations (i) et (2) montrent que n et ^ tendront
en même temps vers leurs bornes supérieures N et, T et ces équa-
tions elles-mêmes deviendront, à la limite,

Y— _yi-=P — N, T = P + N. ,

Cette dernière quantité T s'appelle la variation totale de _y dans l'inter-
valle (a, X).

INTRODUCTION ^3

Nous allons faire connaître maintenant quelques propriétés impor-
tantes des sommes p, n, i et de leurs bornes supérieures P, N et T.

87. Théorèmes sur les fonctions à variation bornée. — Lemme. — Si

Von ajoute une nouvelle valeur intermédiaire \ entre Xk et Xk^i, la somme t
peut augmenter mais non décroître ; elle augmente d'ailleurs tout au plus du
double de r oscillation de y dans l'intervalle {x/c, x/c+i).

Soit T, la valeur dey au point ^ ; l'adjonction de ce pomt remplace
dans t le terme unique | y^+i —yk \ par deux autres, dont la somme
est au moins égale, | yk^i — ^j i -}- | ti —yk \ . D'autre paît, chacun de
ces nouveaux termes est au plus égal à l'oscillation de j/ entre ;ir;{. et
Xk^i. Donc t ne peut croître de plus du double de cette limite.

Théorème I. — Si y est continue et a variation bornée, les sommes p, n, t
ont respectivement P, N et T pour limites quand les valeurs intermédiaires
de X se rapprochent indéfiniment les unes des autres.

Le théorème, vrai pour une des trois sommes, le sera pour les deux
autres. Démontrons-le pour t seulement.

Pour cela, il faut montrer que la somme /relative à un système S de
points intermédiaires surpasse T — 2e, quelque petit que soit le nombre
positif donné 2£, pourvu que les intervalles de ces points soient assez
petits.

On peut d'abord, par définition de T, trouver un système de points
S' tel que la somme correspondante t' vérifie la condition ^' > T — e.
Soit V le nombre des pomts de S'. Je dis que le système de points S
fournira une somme / > T — 2e, pourvu que ses intervalles soient
assez petits pour que l'oscillation dey soit < e : v dans chacun d'eux.
Considérons, en elïet, un troisième système de points S", formé de
la réunion de ceux de S et S', et soit t" la somme correspondante.
Comme il faut ajouter v points au plus pour passer de S à S", il faut v
accroissements au plus, tous moindres que a : v (Lemme précédent),
pour passer de t à /". On a donc /+ e > t". Mais, d'autre part, S" se
forme aussi par l'adjonction de nouveaux points à S'. Donc t" > t' et
<r fortiori /" > T — e. Nous obtenons donc l'inégalité à démontrer
t+z>T-e.

Théorème IL — Si y est à variation bornée dans l'intervalle {a, b), elle
est de même nature dans toute portion {a, X) de {a, b) et les quantités P,
N, T sont des fonctions stationnaires ou croissantes de X.

Donnons à x une suite de valeurs intermédiaires entre a et è et pre-
nons X au nombre de ces valeurs. Considérons la suite des valeurs
correspondantes de y. La somme des différences absolues de ces va-
leurs entre a et X sera moindre que la somme analogue entre a eib.
Donc, si cette derrière est bornée, la première l'est aussi et y est à
variation bornée dans l'intervalle (a, X). Le même raisonnement

74 FONCTIONS A VABLA.TION BORNÉE

prouve que T, qui est la borne de la somme précédente, ne peut pas
diminuer quand X augmente. La démonstration est analogue pour
P et N.

Théorème III. — Si y est à variation bornée dans F intervalle {a, X) et
qu'on partage cet intervalle en deux autres par un point c, la variation
totale T de y dans l'intervalle (a,_X) est la somme des variations totales Ti
et T2 dans (a, c) et dans {c, X).

En effet, on peut former une somme t relative à l'intervalle [a, X)
et infiniment voisine de T ; d'ailleurs on peut supposer que c soit pris
comme point de subdivision, car on augmente ^ en l'ajoutant. Mais
alors t est la somme de deux sommes analogues ^i et t^ relatives aux
intervalles (a, c) et {c, X) donc t est < Ti + Tg et sa limite T ^ Ti + T2.

Inversement, on peut former deux sommes ti et t^ infiniment voi-
sines de Ti et de T2 respectivement, alors ti + t^ est une somme ^ < T,
donc Ti + T2 < T.

Comparant, on voit que T ^ Ti + T2.

Théorème IV. — Si la fonction y =f{x), supposée à variation bornée,
est continue en un point X, les sommes-limites P, N ^^ T sont des fonctions
continues de X en ce point.

La continuité d'une des trois sommes entraine celle des deux autres.
Il suffit donc de prouver celle de T,

Montrons d'abord que l'oscillation w de T à droite du point X est
nulle.

Soit T la variation totale àey dans l'intervalle (X, X + S) ; eu égard
au théorème précédent, w est la limite de t quand 0 tend vers 0 ; par
suite, on a w ^ T.

Donnons-nous maintenant un nombre positif arbitraire e et divisons
l'intervalle (X, X + ô) pai les points $1 = Xi, ^2. U,--- de manière que
l'on ait

\f{U) -/(X) I + I f{U) -f{U) I + - > T - s.

Soient tj et -z^, les variations totales àey dans les intervalles (X, Ço)
et ($0, X + S) respectivement ; on aura

^2 > I /(^S) -f{l,)-+ ■■■■ > -,- ^ - I /($2) -/(X) I ,

en vertu de la relation précédente. Donc a fortiori, puisque w est aussi
^-ci lequel = x — x.,,

<o<x-T2<e+i/(y-/(X)l

Mais on peut faire tendre e vers 0 et $2 vers X, donc, /étant continue
au point X, on a oj = 0.

On montre d'une manière analogue que l'oscillation de T est nulle
à gauche du point X, ce qui achève la démonstration.

INTRODUCTION 7^

Corollaire. — Si la fonction à variation bornée, y, est continue dans
rintervalh {a, b), P, N et T sont fonctions continues de X dans {a, b).

88. Propriétés des fonctions à variation bornée. — I. Une fonction à
variation bornée, y, est la différence de deux fonctions bornées, positives et non
décroissantes dans l'intervalle {a, b) et, de plus, continues en tout point où y
est continue. Réciproquement, la différence de deux fonctions bornées et non
décroissantes est une fonction à variation bornée.

Nous avons vu (n» 86) que, Y étant la valeur de y au point X, on a

Y==(vi -fP)-N.

Donc Y est la différence de deux fonctions de X bornées et non dé-
croissantes. Ces fonctions sont, de plus, continues si y est continue
(no 87). On peut faire en sorte que ces deux fonctions soient positives
et même essentiellement croissantes si l'on veut ; il suffît, en effet, d'ajou-
ter aux deux termes de cette différence une même quantité croissante
et suffisamment grande, par exemple

i_V, I +(X-a).

Réciproquement, si ^ et m sont deux fonctions de x bornées et non
décroissantes, la fonction z — uestk variation bornée. En effet, la
différence des valeurs àe z — u pour deux valeurs Xk et XkJ^i de x est
au plus égale à la somme des accroissements de ^ et de « dans cet
intervalle. Donc la somme de toutes ces différences entre deux valeurs
extrêmes de x ne peut surpasser la somme des accroissements de z et
de u entre les mêmes valeurs, et 2 — m est à variation bornée.

II. La somme, la différence et le produit de deux fonctions à variation
bornée sont des fonctions de même nature. U inverse i :y d'une fonction à
variation bornée sera aussi de même nature, pourvu que \ y | reste supérieur
à un nombre positif fixe.

La première partie se démontre immédiatement en considérant les
deux fonctions y et y' comme les différences z — ueiz' — u'àe deux
fonctions positives non décroissantes. On a en effet,

y -j- v' = {z + z') — (m + «'), y —y' = (•^ + «') — (" + ^')y

yy' ^ (zz' -H uu') — (zu' -f- uz').

La dernière partie se vérifie aussi facilement, en observant que, si
I y ! est > [J., la somme :

t = I

yk+i yk

= 2

yk^-i—yk

yAy*+i

^jj^\yi+i-y^

reste toujours inférieure à un nombre fixe.

89. Fonctions absolument continues. — Définition. — Une fonction
f{x) est absolument continue (Vitali) dans un intervalle {a, b), si la somme
des différences {ou aussi bien des oscillations) de f{x) dans un nombre fini

76 FONCTIONS A VARIATION BORNEE

OU dans une infinité dénombrablc d'intervalles contenus dans {a, h), tend
vers 0 avec la somme des amplitudes de ces intervalles.

Il est effectivement indifférent de dire différence ou oscillation dans
cette définition, car, si la somme des différences àe f(x) est en valeur
absolue < S dans tout ensemble d'intervalles a tel que Sa < e, la
somme des oscillations àef{x) dans ces a sera, comme nous allons le
montrer, ^ 2S.

En effet, de chaque intervalle a, on peut extraire un intervalle P tel
que la différence absolue àe f{x) dans ce [3 diffère aussi peu qu'on veut
de l'oscillation de f{x) dans cet a. Pour l'ensemble des P, les sommes
des différences positives et des différences négatives sont respective-
ment < S en valeur absolue, car S^ < e ; celle des différences absolues
est donc < 2S et, par conséquent, la somme des oscillations de f{x)
dans les a esl; aussi :^ 2S.

Théorème I. — Une fonction absolument continue dans un intervalle
{a, b) est à variation bornée dans cet intervalle.

En effet, supposons le contraire et divisons (a, b) en parties infini-
ment petites. Il y aura au moins une de ces parties où ia variation
totale de/(;»^) sera infinie. On peut donc faire croître indéfiniment la
somme des différences àef{x) dans un ensemble d'intervalles extraits
eux-mêmes de cette partie infiniment petite et/{;i;) n'est pas absolu-
ment continue.

Théorème II. — Si f{x) est absolument continue dans {a, b), sa varia-
tion totale dans {a, x) est aussi une fonction absolument continue T{x).

En effet, si T n'est pas absolument continue, on peut trouver une
suite d'intervalles a, de somme Sa aussi petite qu'on veut, où la somme
des différences de T, c'est-à-dire des variations totales de /, surpasse
un nombre positif fixe 8. Or on peut décomposer chaque « en parties
consécutives assez petites pour que la somme des différences absolues
de / dans l'ensemble des parties d'un même a, diftere aussi peu qu'on
veut de la variation totale de / dans cet a, donc aussi pour que la
même somme étendue à tous les a surpasse S. Donc f{x) n'est pas
absolument continue, ce qui est contre l'hypothèse.

COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE

CHAPITRE I,

Dérivation des fonctions explicites d'une variable.

§ 1 . Dérivées et difiFérentielles.

90. Dérivée, Fonctions dérivables. — Soit y =■- f{x) une fonction
univoque dans un interv^alle (a, b) et x un point de cet inter-
valle ; donnons à x un accroissement positif ou négatif ^x ^= h,
que nous appellerons aussi différence de x, l'accroissement ou
la différence correspondante Aj de la fonction sera f{x -\- h) —
f{x) et le rapport de ces accroissements,

^y ^ f(x + h)-f(x)
^x h

Si ce rapport tend vers une limite finie ou infinie lorsque h
tend vers zéro d'une manière quelconque, cette limite s'appelle
la dérivée de f{x) au point x et elle se représente par f{x)
(Lagrange), par D f{x) (Arbogast) ou Dxf(x) (Cauchy).

Si ce rapport tend vers une limite quand h tend vers 0 par
des valeurs positives, cette limite est la dérivée à droite au
point X. De même, la dérivée à gauche est la limite du rapport
quand h reste négatif. Quand ces deux dérivées sont égales, la
fonction a une dérivée unique au point a', ou tout simplement
une dérivée : celle que nous avons définie tout d'abord.

Si la fonction f{x) admet une dérivée (unique) en tout point
intérieur de l'intervalle (a, b) et, de plus, une dérivée à droite
en a et une dérivée à g-uuche en b, elle est dérivable dans (a, b).

Il est d'abord évident qu'une fonction ne peut être dérivable
dans un intervalle (a, b) qu'à la condition d'être finie en tout

78

CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES D UNE VARIABLE

point intérieur à cet intervalle, car une fonction n'a pas de dé-
rivée (unique) en un point où elle est infinie (*). Mais nous
avons aussi le théorème suivant :

Toute fonction qui a une dérivée finie pour une valeur don-
née de X est continue en ce point.

E]n effet, soit e une quantité qui tend vers 0 avec h, on a

lim [f\x + h) — f{x)] - lim h [f (x) + e) = o.

91. Cas particuliers. — 1. Si f{x) se réduit à une constante, sa
dérivée est nulle. En effet,

lim /•(■>■• + ^)-Ax) „ ,i„ 0 0.
h h

11. Si f{x) = x, sa dérivée est égale à l'unité. En effet,

, . (x-\- h) — X , . h

lim ^— — ,— = hm r ==■ ^^

h h

92. Signification géométrique de la dérivée. — C'est le problème
des tangentes aux courbes planes qui a conduit à la considéra-
tion des rapports d'infiniment petits et à la définition de la
dérivée. Nous allons montrer, en effet, que la détermination
d'une tangente à une courbe i)]ane revient à celle de la. dérivée
d'une fonction.
Considérons une courbe rapportée à des axes rectangulaires

ou obliques, et soient x et y les coor-
données d'un point M de la courbe
(fig. i), celle-ci ayant pour équation

y = fi^^)-

Pour définir la tangente à la courbe

au point M, considérons une sécante

' MM' menée par ce point ; si, lorsque

le point M ' se rapproche indéfiniment

Fig. i.

(*) Par exemple, si la fouctiou f{x) était liuie de part et d'autre d'un
point a; où elle égale à -(- oc, ses dérivées à droite et à gauche existeraient
au point a- mais seraient différentes, à savoir respectivement — x et 4-*-

INTRODUCTION 79

du point M, la sécante MM' tend vers une position limite MT,

cette droite-limite est la tangente à la courbe au point M.

Le point M étant donné, la détermination de la tangente

revient à celle de son coefficient angulaire t. Appelons a le

coefficient angulaire de la sécante MM' et désignons par x 4- àx

et y -\- Aj les coordonnées du point M'. Menons MP parallèle

à OX : on aura

_ PM'^Ay

° ~~ MV ^x'

Quand M' se rapproche indéfiniment de M, a tend vers t ;

donc

■ • ^.V 1- f{x-\- ^x) — f{x) ,,
^x àx ' ^

La dérivée de la fonction f{x) est égale au coefficient angu-
laire de la tangente à la courbe qui a pour équation y = f'(x),
cette tangente étant menée au point de coordonnées x, y.

93. Différentielle. — Nous dirons qu'une fonction y — f{x) est
diff'érentiable en un point x si elle est finie et déterminée aux
environs de ce point, et si, donnant à x un accroissement arbi-
traire Aoc, la différence A/'(-v) correspondante peut se décom-
poser en une somme de deux termes :

(1) ^f'{x) = A A A- + &^x,

A étant indépendant de A.v, et e tendant vers 0 avec A.v. Alors
le premier terme qui est simplement proportionnel à ^x prend
le nom de différentielle de y et se désigne par dy ou df{x)
(Leibniz). On a donc

df(x) = AAa:.

Mais, quand Aa: tend vers 0, on tire de l'équation (1)
Hm ^^ ^ f'{x) = A,

ce qui prouve que, si f{x) est différentiable, f'{x) a une valeur
finie et déterminée. Kécii)r()([uenient, si f'{x) a une valeur finie
A, l'équation (1) a lien par définition de la dérivée. Donc la
condition nécessaire et suffisante pour que la fonction fix)
soit différentiable au point x est qu'elle ait, en ce point, une
dérivée finie et déterminée, ce f/i// exige quelle soit continue, et
alors on a

(2) df{x) = f'{x) ^x.

8o CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE

Lr différentielle d'une fonction est donc le produit de sa déri-
vée, supposée existante et finie, par une différence arbitraire
^x attribuée à la variable indépendante oc.

Il est à remarquer que l'équation (1) prend ainsi la forme

Aj = dy -\- î. ^x.

Dans le cas particulier où f{x) se réduit à x, on sait que
f{x) = I, et l'équation précédente se réduit à

dx ~ Ax.

Donc la différentielle de la variable indépendante se confond

avec la différence généralement arbitraire de cette variable.

La formule (1) peut ainsi être remplacée dans le cas général

par

(3) df{x) = f'{x) dx.

Donc la différentielle d'une fonction est le produit de sa déri-
vée par la différentielle de la variable indépendante.
Si l'on divise par dx, on trouve

df{x)

(4) /'(^)

dx

Donc la dérivée d'une fonction est égale au rapport de la diffé-
rentielle de la variable à la différentielle de la fonction, ce qui
fournit une nouvelle expression de la dérivée (Leibniz) et celle
qui est le plus employée.

Remarque. — La substitution de dx à ^x dans l'équation (1)
n'a rien de nécessaire, mais elle est consacrée par l'usage et cet
usage est justifié. Nous verrons en effet (n° gS, V) que l'équa-
tion (3) est plus générale que (1) : celle-ci suppose que ;x; soit la
variable indépendante, tandis que l'équation (3) n'est pas sou-
mise à cette restriction.

94. Sigfnifleation g-éométrique des différentielles. — La différentielle
aussi est susceptible d'une interprétation géométrique qui se
rattache à celle de la dérivée. Considérons encore la courbe
(fig. i) qui a pour équation

y = f (^)-

Menons la tangente au point M de coordonnées x et y. Don-

DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES 8l

lions ensuite à x un accroissement arbitraire Ajc et soit M" le
point de la tangente qui a pour abscisse x -\- i^x. On a ^x = MP
et l'accroisseinent correspondant de l'ordonnée de la tangente
est PM". Or PM" : MP est le coefficient angulaire f{x) de la
tangente ; il vient donc

M"P = (MP) f (x) = ^x /"(tv) = df{x).

Donc la différentielle de f{x) est égale à l'accroissement de
l'ordonnée de la tangente à la courbe y = f{x), lorsque l'on
passe de l'abscisse x du point de contact à une autre abscisse
X + A.x\

95. Règ-les de dérivation. — L'opération par laquelle on déter-
mine la dérivée d'une fonction s'appelle dérivation ; celle par
laquelle on détermine la différentielle, différentiation. Le pre-
mier objet du calcul différentiel est d'établir les règles de ces
opérations.

Nous examinerons d'abord le cas où la fonction proposée est
composée au moyen d'un certain nombre de fonctions plus
simples, dont la dérivée sera toujours supposée déterminée et
finie.

1. DÉRIVÉE d'une SOMME. — Soit y ^ u -\- V — «; 4- ... une
somme algébrique de fonctions ayant des dérivées connues
u', v' w' ,... Donnons à x un accroissement ^x et désignons i^ar
Ay, Az/, ^v, \w,... les accroissements correspondants des fonc-
tions : on a :

A>-_ Au Al» Afy

Aa'~~Aa: Aa; Âa;

d'où, en faisant tendre Aa vers zéro et en passant à la limite,

r' = u' -f v' — »/ -f • ■

En multipliant les deux membres par dx, il vient

dy = du + dv — dw + ■••

Donc la dérivée (ou la différentielle) d'une somme algébrique
de fonctions est la somme des dérivées (des différentielles) de
chacune de ces fonctions.

II. DÉRIVÉE d'un produit. — Soit y = uv un produit de deux
fonctions ajant des dérivées u' et v . On a :

6

82 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE

Ay^(» + A»)(» + Au)-m,^|u ^ ^^A»

A.Y Aa- ^x ^ ' àx

et , en faisant tendre Aa- vers zéro,

V = lim -r— lim (v 4- Au) 4- ii lini -r— = ii'u 4- v'ii.
Aa- \ 1 / f ^^

En multipliant par dx, on trouve

dy = udv ^ V du.

Donc la dérivée (ou la différentielle) d'un produit de deux
facteurs est égale à la somme de chacun des facteurs, multipliés
respectivement par la dérivée (ou la différentielle) de l'autre.

Si u se réduit à une constante a, sa dérivée et sa différentielle
sont nulles, donc

l).ai7 =--- a. Du, d.au = a du.

On voit que la dérivée (ou la différentielle) du produit d'une
fonction par une constante est égale au produit de la constante
par la dérivée (ou la différentielle) de la fonction. On exprime
cette propriété en disant qu'un facteur constant peut sortir du
signe de dérivation (ou de différentiation).

On aura, par la même règle,

D.uvw = vwDu 4- uD.vio = vwDu + uwDv + uuTfw

et, en généi'al, quel que soit le nombre des facteurs,

/Dw , Dy Bw ,
D.uvw... = uvw... -A 1 \-

\ u V w

si l'on fait « = y = w = ••• et si l'on suppose le nombre des
facteurs égal à m, il vient (m entier)

Dii^ -= mW^-^ Du.

En particulier, ai u = x,

Da:^" = mx'^-K

Si l'on multiplie les deux dernières équations par dx, il vient

fdu dv dw \

\u V w J

du"^ = mu^'^-^du.

TII. Dkrivke d'un QUOTIENT. — Soit r = - ; on a

-'y

DÉRIVÉES ET J)IFFKRENTIELLES 83

u 4- Aw II A« Ay

ùkX ^x y (f + Aw)

d'où, en passant à la limite,

, vu' — u v'

y -

v^

Si l'on multiplie par dx, il vient

, , H V du — u dv

dy = (/ - = 5 .

V v^

Dans le cas particulier où u se réduit à une constante a, sa
dérivée est nulle et il vient

a

Di)

rfï =

du

— :=rr

— a -- 7>

= — a — ^

V

y2 '

V

«2

IV. DÉRIVÉE d'une fonction INVERSE. — Soit y = f{x) une
fonction admettant une fonction inverse, de telle sorte qu'on ait
X = (j) (y). Si l'une de ces fonctions admet une dérivée différente
de zéro, l'autre fonction aura aussi une dérivée et celle-ci s'ob-
tiendra immédiatement.

Supposons connue la dérivée de f par exemple. On a

Ay I . ,. Aa- , , ,

il viendra donc, à la limite, si ç'(y) n'est pas nul.

Donc la dérivée de y considérée comme fonction de x csl
l'inverse de la dérivée de x considérée comme fonction de y.

Si l'on reijrésente par un indice la variable considérée comme
indépendante dans la dérivation, en d'autres termes, celle par
rapport à laquelle on dérive, la règle précédente peut s'écrire

D„A-

V. DÉRIVÉE d'une fonction DE FONCTION. — SoiCllt V* = F (il)

et II =■ f{x), de sorte ([ue y s'exprime eu fonction de u, u étant
lui-même fonction de a\ Sui)posons toujours (pie F (») et /'(a)

84 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE

aient des dérivées finies et déterminées V (u) et f (x). Ou a

AyAy Au
A3c~Aw'Âa-

et, à la limite, Au tendant vers zéro avee Aa",

v'==F'(n)/-'(.v).

Donc la dérivée de y pur rapport à x est le produit des déri-
vées, supposées existantes et finies, de y par rapport à u et de u
par rapport à x. Si ces darnières dérivées n'existaient pas, la
règle ne serait plus applicable, mais il n'en résulterait pas
nécessairement que y n'admît pas de dérivée par rapport à .v.

Si l'on multiplie l'équation précédente par dx, on obtient

dy = F' {u)du.

Donc, si y -= F (u), dy s'exprime au moyen de du comme si u
était la variable indépendante. Toutefois cette règle suppose
F {u) et u dil'férentiables.

Cette règle fondamentale montre que la différentielle d'une
fonction de x se calcule toujours par les mêmes règles, qu'elle
soit exprimée directement en fonction de x ou au moyen de
variables auxiliaires.

96. Dérivées des fonctions élémentaires. — I. Exponentielle. Ou
a, par définition de la dérivée,

, . px+h _ pT f pfi T

B er .-. lim _f ^_ _ g.r h m ^ ^ .

/î^d Ji h—o II

Posons e'^ — i == a, d'où h = Log(i -|- a) ; a aura pour limite 0
avec h. Donc (n" 36)

,. e'^ — I ,. a I I

lim - , = Iim = -, 7- = = =: — I.

h Log(i4-a) ^. ^ / , x^ ^^8'^

lim Log (i + a)«

Il vient ainsi

D e^ -= e^ .

Donc la fonction e'^ se reproduit par dérivation,

La dérivée d'une autre exponentielle quelconque s'obtient par

la règle des fonctions de fonctions. On a

D A^ = D e' L"gA -^ f>^LogA D (^y. Log ^) _ A^^Log A.

II. Logarithme. — Considérons d'abord les logarithmes pris

dans la base A et soit

y = LogA X.

DÉRIVÉES KT DIFFÉRRNTIELLES 85

Cette fonction est l'inverse de l'exponentielle x = A^ et sa
dérivée se calcule par la règle des fonctions inverses. On a

jy ^ I ^ I ^ I

^^ DyX À^'LogA" A-LogA'
En particulier, si les logarithmes sont naturels, on a

D Log X = — .

III. Puissance. — Soit a un nombre donné, et x une variable
positive. On a, par les propriétés des logarithmes,

^o __ ga Log X

On en tire, par les propriétés des logarithmes,

D x« = e^^ogx j) (^^ Log x) ■= x(^- = ax«-*.

Donc, la règle établie précédemment (n» 95, II) pour a entier,
est générale.
En particulier, si a ^^^ -, on a

jysjx

2\Jx

IV. Fonctions trigonométriques. — 1'' Soit d'abord y = sin .v.
On a, par définition,

• / , L\ • sm - cos X -] I

I)y ^ lim ^ -jf ■ — = 2 lim p^ --.

Or cos ix-\ — j a pour limite cos a*, il vient donc, en rem-
plaçant h : 2 par a,

Dr = cos A' ^^"^ .

•^ a=o a

On sait, par les éléments de trigonométrie, qu'un are moin-
dre qu'un quadrant est compris entre son sinus et sa tangente.
Donc, si a est positif, on a

sin a < a < tg a, d ou i < —r — - <

sin a cos a

Ainsi, si a tend vers zéro en restant positif, -v — reste com-

^ sm a

86 CHAPITRE 1. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VAKIABLE

pris entre deux quantités qui ont pour limite l'unité et l'on a
aussi (n» i8, TV)

lim —. ^ I.

SI 11 a

D'ailleurs, comme a : siii a ne change pas quand a change de
signe, cette limite subsiste pour a négatif, et on peut la substi-
tuer dans la valeur de Dy, ce qui donne

D y == D sin a- = cos x.

u" On a ensuite, par la règle des fonctions de fonctions,

1) cos X ^- D sin f ""*^* j "^ ^'^^ ( "^ ] -^ ( "^ j'

D cos A' = — sin X.
3" La règle pour dériver un quotient donne

sin X cos X D sin x — sin x D cos a;

D tg A = D

cos A COS'' X

I

I) tg A =

COS*^ A

4" On trouve, de mémo.

I) sec A =:= D == 5 — = ts «V sec a.

Vcos A / cos^ A

5" Enfin, en changeant a en ( a j dans les deux dernières

fonctions, on obtient, par la règle des fonctions de fonctions,

D cot A = r-o — . J^ cosec A = — cot a cosec a.

sm'^ A

V. Fonctions trigonométriques inverses. — i"^ Soit, en j)re-
mier lieu, y = arc sin a ; la branche principale est définie (n" 38)
par les conditions

< y < .

Pour en trouver la dérivée, appliquons la règle des fonctions
inverses. On a a = sin y, donc

DyX = cos y = \Ji — sin^ y = \/i — a^.
Ce radical doit être pris avec le signe +, car cos y est positif
quand y varie de — _- à + -. On a don**

DERIVEES ET DIFFERENTIELLES 87

BpX = + Vi — ^^

I

D^y = D arc sm x =

Les autres branches de arc sin x se partagent en deux classes,
liées à la principale par les deux formules (n° 38) :

y ~ arc sin ;x: -\- ikv:,
y = (k — arc sin x) + 2/cTr.

Les premières auront donc même dérivée que la branche
principale et les secondes, une dérivée de signe contraire.

2° La dérivée de y = arc tg x s'obtient aussi par la règle des
fonctions inverses. On a ;x; ^ tg y ; donc

Dy X 5 — == I + tg2 y = I + A'^

" cos^ y ' o ^

On en conclut

Da?y = D arc tg 5C =

I + X-'

et le résultat est le même pour toutes les branches de la fonction.

3° Les dérivées des autres fonctions circulaires inverses se

calculent au moyen des dérivées précédentes par les formules :

D arc cos a; = D f arc sin 5C j ---^ — D arc sin x,

f-TZ ^

D arc cot a — D I arc tg ^ i = — D arc tg x,

D arc sec ^v = D arc cos -

^ V'-^

x sjx^'- — 1 '

D arc cosec Jc = D arc sin — = —

^ X sjx^ — I

97. Différentielles des fonctions élémentaires. — Ces différentielles
s'obtiennent en multipliant les dérivées par dx. On obtient
ainsi le tableau suivant, qu'il est indispensable de connaître
par cœur :

88 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

d x^ = a x^ ^ dx d \Jx = — ^ —

2\Jx

dx
rf A* = A^ Log Adx d LogA a* =

x Log A

d\
d e^ = e^dx d Log x

d sin .V = cos x dx d arc sin .v = —

V

^ *8- ^^^ = t;^^— d arc tg x

X

dx

1+^2

dx

cos- X

d sec a; == tg x sec a- dx d arc sec a;

xsjx^ — I
d cos a; - — sin a r/A (/ arc cos x =^ — d arc sin a

dx
d cot A = — g -^^2 ^. cZ arc cot a = — rf arc tg a

d cosec A = — cot A cosec a dx d arc cosec a = — d arc sec x

Il est essentiel de remarquer que les formules de ce tableau
subsistent encore quand on y remplace la variable a par une
fonction quelconque ii de a. Ainsi

(/ A" == A" Log A du, etc.

98. Différentiation des fonctions composées. — Les règles géné-
rales du 11° 96 et les formules du tableau précédent suffisent
pour déterminer la différentielle d'une fonction explicite quel-
conque y, pourvu qu'elle soit exclusivement composée par
addition, soustraction, multiplication, division ou superposition
du signe fonctionnel au moyen des fonctions élémentaires. En
effet, par l'introduction de variables auxiliaires, on ramènera
la fonction y à des sommes, produits,... de simples lettres ou à
des fonctions élémentaires d'une seule lettre. La différentielle
s'exprimera par les règles des n*^^ 95 et 97 au moyen des diffé-
rentielles des variables auxiliaires. On recommencera la même
opération pour calculer les différentielles des variables auxi-
liaires et l'on continuera ainsi de suite jusqu'à ce que les diffé-
rentielles puissent s'exprimer en fonction de a et de dx seule-
ment. En éliminant alors les variables auxiliaires et leurs
différentielles, on obtiendra dy en fonction de a et de dx. Pour
trouver la dérivée Dy, il suffira de diviser par dx.

Avec un peu d'exercice, ces calculs se font très rapidement.

DÉRIVÉES KT DIFFÉRENTIELLES 89

On peut même se dispenser d'introduire de nouvelles lettres et

la série des substitutions se fait mentalement. Soit, par exemple,

à trouver la différentielle de e^'"^ cos .y ; on a successivement

fi^e^inx coj. ^y ^ cos X (/.e»'"^ + esin^ d.cos X

= cos X fiSina? (/.gin x — e^'"^ sin x dx

_ esina; (cos^ X — sill x) dx.

Remarques. — Certaines fonctions de fonctions revêtent par-
fois une forme sous laquelle le mode de composition n'est pas
immédiatement apparent, et il faut alors les transformer avant
de les différentier.

C'est le cas pour les fonctions u^ et Log„u, dans lesquelles ii
et V désignent des fonctions de x. On commencera par les
exprimer au moyen d'une base constante, par exemple e ; on
aura ainsi

^ Log-u'

et les différentielles s'obtiennent alors par les règles précédentes.
La dérivée logarithmique de y est la dérivée, y' : y, de son
logarithme. La dérivée y' s'en déduit en multipliant celle-ci
par y. Soit, par exemple, y = u^'v^; on aura

Log y = V Log u -\~ u Log u,

y' • T , ( T , *^"' , w*^'

^ — V Log u -4- «' Log u -\ 1

Cet exemple montre qu'il est souvent commode de passer par
la dérivée logarithmique pour calculer la dérivée de y.

99. Exception aux règles précédentes. — Les règles de dérivation
des fonctions composées supposent l'existence des fonctions
composantes et de leurs dérivées. Si cette condition vient à
manquer en certains points exceptionnels, les règles ordinaires
ne s'appliqueront plus en ces points-là, et il faudra un calcul
direct pour s'assurer de l'existence de la dérivée et pour la dé-
terminer.

Considérons l'exemple classique

f{x) = x'^ sin .

Sauf au point x --= 0, cette fon(rtion est bien définie, continue
et elle a pour dérivée

90 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES D UNE VARIABLE

/■' (x) = 2x sin COS - .

^ ' X X

Achevons de définir f{x) en faisant f{0) = 0, de sorte que f{x)
est encore continué au point 0. Comme sinus de i : 0 n'a pas de
sens, les règles de dérivation ne s'appliquent pas au point 0.
Cependant f (0) existe et se calcule directement. Puisque
/■(O) = 0, on a, par définition.

/'(0)=.^''^o^ = liniAsin^ = 0.
^ ' /i = 0 h h

Il faut remarquer que f'{x) ne tend ici vers aucune limite
quand x tend vers 0, auquel cas cos (i : x) oscille indéfiniment
entre — i et 4- i. Cet exemple prouve donc que f{a) peut avoir
une valeur déterminée, sans être la limite de f{x) quand x tend
vers a.

100. Extension des définitions au cas d'une variable complexe. —
Soit z = X -{- yi une variable complexe ; la dérivée d'un polj'--
nome ou d'une fraction rationnelle f{z) se définit comme dans
le cas d'une variable réelle. C'est la limite, f (z), vers laquelle
tend le rapport

f{z-]-h)-f{z)
h

des accroissements (réels ou complexes) correspondants de la
l'onction et de la variable quand celui-ci tend vers zéro d'une
manière quelconque. Lorsque cette limite n'existe pas, la fonc-
tion n'a pas de dérivée pour la valeur considérée de z.

Les différentielles se définissent en multipliant les dérivées
par la différentielle dz de la variable indépendante. Cette der-
nière différentielle n'est autre chose que l'accroisssment arbi-
traire h = ùix -\- f Aj que l'on attribue à cette variable.

Les règles qui ont été établies (n*' gS) pour dériver une somme,
un produit, un quotient de deux fonctions, une puissance entière
de la variable indépendante, règles qui résultent immédiatement
de la définition de la dérivée comme limite d'un quotient,
subsistent intégralement dans le cas où la variable est complexe.
Ces règles suffisent pour dériver un polynôme et une fraction
rationnelle.

DERIVEES ET DIFFERENTIELLES 9I

I. Si f{z) est un polynôme entier,

on a

/•' (z) = 7îA„2"-i + (n - I) A,z»-'- 4- ... + An-i .

Donc la dérivée d'un polynôme est finie et déterminée pour
toutes les valeurs de z sans exception.

II. Si f{z) est une fraction rationnelle, ses deux termes sont
des polynômes A (ît B ; et la règle pour dériver nn (|uotieut
donne

A BA' — AB'

riz)^i)

B B^

Donc une fraction rationnelle a une dérivée déterminée pour
toutes les valeurs de z sauf les racines du dénominateur B.

III. Lorsqu'un pol3'nome est décomposé en facteurs linéaires,
sa dérivée s'obtient aussi par la règle de dérivation d'un ])ro-
duit. Soit

f{z.) ^- (z — a)"'{z — h)^ ... :

on aura

/'{z) = (z-a)m{z-br..,

ni . " 1

...1

_z — a z — h j

La dérivée logarithmique serait, plus simplement.

/■' (^ _ _"L^ 4_ __? u

/•(s) z — a'^z — b "^ "■■

Remarque. — Comme nous le verrons, on se sert souvent de
la considération des variables complexes pour obtenir plus
facilement des résultats relatifs aux variables réelles. Ceux-ci
en effet, se déduisent comme cas particuliei's des premiers en
supposant (|ue la variable devienne réelle.

Exercices.

1. Démontrer les formules suivantes :

, , bx ah dx , , a-\-bx -zabdx

d. rue tg — == „ , .„ , (i. Log

a^ -f b^x- ' a — bx a^ — h- x^

dx X dx

i. r.og (r 4- \la^ -f X') = -- d. arc sin - =

d. Log sin x = coix dx d. Log ces x = — igx dx

92 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE

rf. Logtg- = -. — d.Logigi =

2 sin ;»? V2 47 cos ;»;

a-{-btgx 2ab dx

/" b \ ahdx . ^

rt.arc tg -tgAT ]=—„ ; — 1 ,„ . „ d.Log

i

tg;i; + ^tg3;ir

a — bigx a-cos^x — b^sin^x
dx
cos^;t^

d h ( — CCS X + cos% 1 sin a; = 4 cos'*;i; dx.

2. Déterminer les dérivées à droite et à gauche au point 0 des deux
fonctions (supposées nulles au point 0) :

I X

f{x)=xaTctg-, <p(^) =

1 + /*
R. On a

i+«A
lim -^— — =: arc tg — y- = , lim ^ ^ ' — — -

k \ hj 2' —h 1'

Ces deux dérivées sont donc différentes.
3. Montrer que f{x) = x sin ~ (supposé nul pour ;»; = 0) n'a pas de

X

dérivée au point ;»r = 0.

E. Le rapport /(Â) : A est égal à sin (1 -.h) et ne tend vers aucune
limite quand h tend vers 0.

§ 2. Propriétés de la dérivée. Nombres dérivés.

101. Théorème — Soit y = f{x) ; si l'on suppose ^x infiniment
petit, et /■' (x) fini et différent de 0 au point donné x, Ay et dy
sont deux infiniment petits dont le rapport a pour limite
runité.

En effet, on a, par définition de la dérivée,

^ = r(x) + e.

e ayant pour limite 0 avec A.v. D'où, en divisant par f [x) qui
n'est pas nul par hypothèse, et en observant que dy = f {x) ^x,

^ - I +

dy ■ f'ix)'

Le théorème résulte de cette égalité, dans laquelle e : /' {x)
a pour limite O avec ^x.

PROPRIÉTÉS VF. LA DÉUIVÉE ()3

Donc, quand Ajc est infiniment petit, Ay et dy sont deux
infiniment petits, susceptibles d'être substitués l'un à l'autre
sous les conditions exposées plus haut (n" 21). On doit se garder
toutefois de les confondre entre eux (*).

102. Fonction croissante, décroissante en un point, — Si /' (x) est
positif au point x, le quotient ùiy : Aa: a une limite positive,
donc A>" est différent de () et de même signe que àx pour les
valeurs suffisament petites de | A.v | . On dit, dans ce cas, que
la fonction est croissante au point x.

Si, au contraire, f(x) est négatif, A y- et A.v sont de signes
contraires pour les valeurs suffisamment petites de ^x. Dans
ce cas, la fonction est décroissante au j)oint x.

Il résulte de là que, si i''[x) n'est pas nul, la fonction [{x)
admet toujours, dans le voisinage immédiat du point .v, des
valeurs supérieures et inférieures à celle qu'elle acquiert au
point A'. Les valeurs supérieures, par exemple, s'obtiendront à
droite du point a- si la fonction est croissante, cl à gauche si
elle est décroissante. Cette simple remar([ue sert de base à la
proposition suivante, connue sous le nom de théorème de liolle,
quoique Kolle ne l'ait énoncée que pour un polynôme.

103. Théorème de Rolle. — Si la fonction f(x), continue dans
l'intervalle (a, b), s'annule pour x = a et pour x = b et admet
une dérivée unique (finie ou infinie) en tout point intermédiaire
(a, b pouvant être exclus), cette dérivée s'annulera en l'un des
poin ts in termédiaires .

En effet, f{x) a une plus grande valeur M et une plus petite
valeur m dans l'intervalle (a, b) (n" 27, 111). Si M et m sont nuls
tous deux, f{x), étant égale à zéro dans tout l'intei-vallc, est une
constante et sa dérivée sera nulle dans tout l'intervalle. Dans
ce cas, le théorème est dénu^ntré. Si, au contraire, M (ou m) est
différent de zéro, la fonction f\x) atteindra cette plus grande
(ou plus petite) valeur (n" 27, 111), pour une valeur ; de .v com-
prise entre a et b. On aura /''(^) = 0 ; car, s'il en était autrement.

(*) Dans les ouvrages (l'upplicalious, on a souvent le tort de les confon-
dre, au moins dans le langaf^e.

94 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

la fonction f{x) serait croissante ou décroissante au point Ç et
accxuerrait dans le voisinage immédiat de ce point des valeurs
supérieures et inférieures à f{^), comme on l'a montré au
n*^ précédent. Donc /'(^) ne serait pas la plus grande (ou plus
petite) valeur supposée.

(k)ROLLAiRE. — Si f{x) rcprcud la même valeur aux points a et
b, sa dérivée s'annule en un point intermédiaire, car la fonction
f{x) — /(a), qui a la même dérivée, s'annule pour 5C == a et pour
.V = 6.

104. Formule des accroissements finis (Lagrange). — Soit f{x)
une fonction continue dans l'intervalle (a, b) tout entier, ayant
une dérivée unique (finie ou non) en tout point intérieur (au
sens étroit) à cet intervalle, il en sera de tnême pour la fonction
(D (x), définie par l'équation

cp (.V) = {b-a) [f{x) - /(a)] - {X - a) U{b) - f{a)].

Mais cette fonction s'annule pour x ^ a et pour x == b, donc,
en vertu du théorème de Eolle, sa dérivée,

<^'{x) = {b-a)r{x)-[m-f{a)l

s'annule pour une valeur ^ de x entre a et b, d'où

f(b)-f{a)^{b-a)f>{^).

Telle est la formule des accroissements finis. On la met le
plus souvent sous une autre forme. Remplaçons a par a- et b
par X + h, alors i (qui est compris entre x et ;>c -I- h) peut être
remplacé par x -f 6/t, 9 désignant un nombre généralement
inconnu > 0 et < i. On trouve ainsi

f{x \^h)-f{x) = hf'{x + ^li)
(0 < 6 < i).

La formule antérieure ne supposait pas et < b et, par suite,
h est, dans celle-ci, de signe quelconque.

La formule des accroissements finis est une des formules fon-
damentales du calcul différentiel. Elle est d'un usage continuel.
On en déduit le théorème suivant :

105. Théorème. — Toute fonction f'{x), dont /a dérivée est
constamment nulle dans un intervalle (a, b), se réduit à une
constante dans cet intervalle.

PROPRIÉTÉS UE LA DÉRIVÉE q5

Soient, ou effet, a; et x -[- h deux valeurs de a* appartenant à
l'intervalle (a, b), on aura, par la formule précédente, en obser-
vant que f{x) est continue (n" 90),

f{x 4- /î) - f{x) ^= 0. d'où l\x + h) - /(a),

c'est-à-dire que la fonction est une constante.

CoHOLLAiiiE. — Deux fonctions f{x) et cp (a) dont les dérivées
sont finies et égales dans un intervalle (a, b) ne diffèrent que
par une constante dans cet intervalle.

En effet, la fonction /'(a) — <p (a;), ayant une dérivée constam-
ment nulle, se réduit à une constante C et l'on a

/•(A-) = =p(A-) + C.

Ce théorème est le théorème fondamental du calcul intégral.
Dans celui-ci, on se propose de trouver toutes les fonctions
ayant une dérivée connue. On voit que le problème sera résolu
si l'on peut en trouver une, car les autres s'en déduisent par
l'addition d'une constante.

106. Théorème, — Si f{x) a une dérivée f {x) et tend vers
l'infini quand x tend vers une valeur finie a, il est impossible
que /■' (a") conserve une valeur finie quand x tend vers a.

En effet, si | f'{x) \ avait une borne supérieure finie M dans
l'intervalle (a, b), la formule des accroissements finis donnerait,
pour X compris entre a et b,

\f{x)-f{b)\ <U\x-b\

et, comme on peut faire tendre a; vers a dans cette formule, on
voit que f{x) ne croîtrait pas indéfiniment quand a- tend vers a.

107. Fonction croissante ou décroissante dans un intervalle. — Si la
dérivée f (x) est positive ou nulle dans V intervalle (a, b), sans
toutefois être constamment nulle, la fonction f(x) est croissante
dans l'intervalle (a, b). c'est-à-dire que (6 étant > a) on a f{b)

En effet, quel ([uc soit ,v entre a et b, la formule des accrois-
sement finis s'applique aux deux intervalles aA* et xb et donne

f{b)-t\x)^{b-x)r{\):^o,

/•(.v)-A«) = (.v-a)r(O>0,

96 CHAPITRE 1. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

d'où f{b) ^ f{x) > /(â) ; et j'en conclus f{b) > /"(a), car l'égalité
entraînerait la constante de f{x) et l'on aurait partout f {x] = 0,
contrairement à l'hypothèse.

De même, si f {x) est négatif ou nul dans l'intervalle (a, b),
sans toutefois être constamment nul, la fonction f{x) décroît
dans cet intervalle : on a f{b) < /(a).

108. Formule de Cauchy. — Soient f{x) et V{x) deux fonctions
continues dans l'intervalle (a, b)et admettant des dérivées bien
déterminées et finies en tout point intermédiaire. Supposons :
i'' que les deux dérivées f (x) et F'{x) ne s'annulent pas simul-
tanément entre ces limites et 2'^ que F{b) soit différent de F(a).
On aura (Cauchy)

F(&)-F(a)~F'(0 W^ 'î^-^;

En effet, observons que la fonction de x

/•(.v) [F(6) - F(a)] - F(A-) [f{b) - f{a)]

prend la même valeur aux points a et b ; il vient, par le théo-
rème de Rolle,

r(i) [¥{b) - F(a)] - F'(i) [f{b) - fia)] = 0.

Mais F'(Ç) n'est pas nul, sinon les deux dérivées f'{^) et F'(0
s'annuleraient simultanément en vertu de cette relation (puis-
que F{b) — F(a) n'est pas nul). Donc on peut diviser l'équation
par F{b) — F(a) et F'(^), ce qui donne la formuie de Cauchy.

Remarque. — Si F'(x) ne s'annule pas pour x > a et < b, la
condition i" est évidemment vérifiée, mais la condition a» le
sera aussi, car, si F{b) était égal à F(a), la dérivée s'annulerait
en un point intermédiaire.

La formule des accroissements finis n'est qu'un cas particu-
lier de celle de Cauchy. 11 faut faire F(a') = x, ce qui est per-
mis, puisque la dérivée, F'(x) = i, ne s'annule pas.

109. Théorème. — Si f(x) est continue dans l'intervalle (a, b),
à tout nombre positif z correspond un nombre S tel qu'on ait

! f{x + h)-f{x)

h

f'{x)

< e si I /i I < ô.

pourvu que x et x ~\- h appartiennent à l'intervalle (a, b).

PROPRIETES DE LA DERIVEE y 7

Par la formule des accroissements finis, le premier membre
se met sous la forme

\f'{x + (ih)-f'{x)\ .

Mais on peut supposer l'oscillation de la fonction continue f
moindre que e dans tout intervalle < 6 (n" 27, IV), auquel cas
cette différence est a fortiori < e.

Réciproquement, si A/*: àx converge uniformément vers sa
limite f'{x), celle-ci sera fonction continue de x dans l'intervalle
(a, b).

Montrons, en effet, que l'accroissement de /' (x) peut être
rendu inférieur à tout nombre donné 3 e, à condition de rendre
celui de ;x: suffisamment petit.

Prenons d'abord h assez petit pour qu'on ait, quel que soit x,

Donnons ensuite à x un accroissement (positif ou négatif)
suffisamment petit pour que le rapport [f{x -\' h) — f{x)'] : h, qui
est fonction continue de x, varie de moins que e ; comme r,
varie de moins que 2 e, f'{x) variera de moins que 3 e.

110. Théorème. — Si f{x) est continue et dérivable dans l'inter-
valle (a, b), f'{x) ne peut passer d'une valeur à une autre dans
cet intervalle sans passer par toutes les valeurs intermédiaires
(Darboux).

Considérons d'abord le cas où f'{a) et f'{b) sont de signes
contraires ; je dis que f'{x) s'annule entre a et b. En effet, soit,
pour fixer les idées, f'{a) > 0 et f'{b) < 0, la plus grande valeur
de f{x), ne pouvant être atteinte ni en a ni en b, le sera en un
point intermédiaire 5, où l'on aura donc /"'(i) -- 0.

Passons au cas général. Soit A un nombre compris entre f'(a)
et f'{b) ; la fonction f{x) — Aa: aura ses dérivées de signes con-
traires en a et en b, Donc il existe un point intermédiaire où
r(5)-A=.Oet/-(5) = A.

Il est à remarquer que la propriété énoncée dans ce théorème
appartient aux fonctions continues (n° 27, VI) mais ne les carac-
térise pas.

98 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE

111. Nombres dérivés. — Soit f{x) une fonction univoque de x ;
considérons le rapport

f{x-^h)-f{x)
h

Quand h tend vers zéro en restant positif, ce rapport a une plus grande
limite et une plus petite limite qui peuvent être finies ou infinies (n" i5),
La première est le nombre dérivé supérieur à droite, la seconde le nombre
dérivé inférieur à droite. On les représente par les symboles (Dini) :

Si ces deux nombres sont égaux, leur valeur commune sera celle de
la dérivée à droite au point x (n» 90).

De même, la plus grande et la plus petite limite du rapport précé-
dent quand h tend vers 0 en restant négatif, sont les nombres dérivés
supérieur et inférieur à gauche. On les représente par aL et X^ et, s'ils
sont égaux, leur valeur commune est celle de la dérivée à gauche.

Au lieu de nombres dérivés, nous dirons aussi bien dérivées supé-
rieures ou inférieures à droite ou à gauche.

Si l'on change ;ir en — x,\es dérivées à droite se permutent avec
celles de gauche ; si l'on remplace f{x) par — f{x), les supérieures se
permutent avec les inférieures en changeant de signe.

Cette simple remarque permet, dans bien des cas, d'étendre immé-
diatement aux quatre nombres dérivés un théorème établi pour l'un
d'eux.

112. Propriétés des nombres dérivés d'une fonction continue. —

\. Si L et l sont les bornes supérieure et inférieure de Vun des quatre nom-
bres dérivés dans l'intervalle ab {b > a) (*), et si la fonction f{x) est continue
dans cet intervalle, on aura

b — a

Supposons qu'il s'agisse de la dérivée supérieure à droite A et pro-
posons-nous d'établir la seconde inégalité. 11 suffira de montrer que,
quelque petit que soit e positif, il est impossible que l'on ait

f{b)-f{a)-{L + t){b-a)>0.

En effet, si cette inégalité avait lieu, la fonction continue

? (^) -/M -f{a) - (L + t){x- a),

(*) Pour déterminer ces bornes, on ne doit pas tenir compte de la dérivée
à droite du point i ou à gauche du point a, la définition de ces nombres se
faisant en dehors de l'intervalle ab.

NOMBRES DERIVES

99

qui est certainement négative pour x suffisamment voisin de a (puisque
Aa < L + s), changerait de signe et s'annulerait, par conséquent, entre
a et h. Soitc sa plus grande racine inférieure à h ; pour x > c, on aura
? {x) > 0, donc cp (at) — cp (c) > 0, c'est-à-dire

/W -/(C) - (L + e) (;»; - C) X).

donc hc serait ^ L + e, ce qui est contraire à la définition de L,

II. Les quatre nombres dérivés ont la mime borne supérieure et la même
borne inférieure finie ou infinie dans tout intervalle (*) (Dini),

Pour fixer les idées, considérons les deux bornes supérieures L et
L' des deux dérivées supérieures A et A'. Si x' et x" sont deux valeurs
quelconques de x, le théorème précédent s'applique à l'intervalle x'x"
et donne

f{x")-f{x') ^^

xK — x' <LetqueL'.

Donc aucun nombre dérivé ne peut surpasser ni L ni L' donc L
et L', ne pouvant se surpasser l'un l'autre, sont égaux.

En particulier, si F un des quatre nombres dérivés est continu en un point
ou dans un intervalle, ils le sont tous, et la fonction (supposée continue) a
une dérivée unique en ce point ou dans cet intervalle.

Donc encore, si Fun des nombres dérivés est constamment nul, la fonction
f{x) a une dérivée unique nulle et se réduit à une constante.

113. Fonction croissante, décroissante dans un intervalle. — Si l'un
des nombres dérivés d'une fonction continue f{x) est constamment positif ou nul
(sans l'être constamment) dans l'intervalle ab, la Jonction est croissante dans
cet intervalle, c'est-à-dire que f{b) > f{a).

En effet, le théorème I du n» précédent s'applique aux intervalles
(a, x) et {x, b) et, la borne inférieure l étant > 0, on en conclut

/W— /(a)>0, /(è) _/(;^) ^ 0.

Donc f{b) > f{x) > f{a) et j'en conclus/(è) > f{a), car l'égalité en-
traînerait la -constante de/(,r), et/'(,r) serait constamment nul.

De même, si l'un des nombres dérivés est constamment négatif ou nul
(sans Vitre constamment) dans l'intervalle ab, la fonction continue f{x) est
décroissante dans l'intervalle ab, c'est-à-dire que f{b) < /(a).

114. Théorème. — Soitf{x) une fonction continue dans l'intervalle {a, b) ;
sif{b) est plus petit {plus grand) que f{a), l'ensemble des points de cet in-
tervalle où un même nombre dérivé de f{x), par exemple A, est négatif (posi-
tif) a la puissance du continu et contient un ensemble parfait.

(*) Voir la note de la page précédente.

lOO CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES D UNE VARIABLE

Soit/(è) < f{a). Prenons e positif assez petit pour que la fonction

?W=/W-/(«) + e(^-a),

nulle pour x = a, soit négative pour x^=^b. Soit ensuite c un paramètre
négatif supérieur à cp (6). Considérons la courbe j/ =^ i({x) et l'horizon-
tale ^1^=^ ; la courbe est au-dessus de l'horizontale au point a et en
dessous au point b. Donc l'horizontale coupe la courbe entre les deux.
Soit M le point d'intersection dont l'abscisse X est la plus grande : la
courbe sera sous l'horizontale à droite du point X, de telle sorte qu'on
a, pour h positif assez petit,

<p(X + ^)-y(X)_^/(X + A)-/(X) , _.,
h ~ h -t-^^"-

Donc, quand h tend vers 0, il vient, à la limite, au point X,

A + e < 0, d'où A < — e < 0.

A chaque valeur du paramètre c entre 0 et <f {h) correspond un
point X différent où A est négatif. On voit déjà que l'ensemble E de
ces points X a la puissance du continu.

Je dis que l'on a aussi A < — e aux points-limites de l'ensemble E.
Observons, en effet, que M se déplace vers la gauche quand l'hori-
zontale s'élève, c'est-à-dire que X varie en sens contraire de c. Consi-
dérons donc une suite de points X tendant vers un point-limite Xi (de
gauche à droite par exemple) et la droite variable y ^^ c correspon-
dante. Celle-ci descend alors constamment et tend vers une position-
limite y = Cl ; mais à droite du point X, elle était toujours au-dessus de
la courbe, donc, dans sa position-limite, elle l'est encore (le contact
étant possible). Le même raisonnement que tout à l'heure s'applique
donc encore au point-limite Xi et prouve que l'on a A + e ^ 0 en ce
point.

En définitive, on a A < 0, dans l'ensemble E et son dérivé, c'est-à-
dire dans un ensemble fermé ayant la puissance du continu, donc
dans un ensemble parfait {n^ 6i et 6g).

Remarque. — Si l'ensemble E des points où la dérivée supérieure A est
négative était de mesure nulle, l'ensemble Ei des poitits où cette dérivée est
infinie négative contiendrait aussi un ensemble parfait.

Prenons, en effet, e assez petit pour que f{b) — f{a) + e soit encore
négatif, et donnons-nous une suite illimitée positive ej, e,, £3,... telle
que l'on ait

£1 -f £2 + 83 +... < e.

Enfermons successivement E (au sens étroit) dans une infinité d'm-
tervalles a, puis d'intervalles p, puis d'intervalles y,--- tels que

2a<Si, SP<S2, 2y<£3,...

NOMBRES DERIVES 101

Désignons par ^{x) la somme, fonction de x, des longueurs de tous
les intervalles a, ,3, y,..- et portions de ces intervalles entre a etx. Cette
fonction positive cp(.v) est < £ dans (a, b) ; elle est essentiellement crois-
sante (ou constante) ; ses nombres dérivés sont positifs (ou nuls) par-
tout, mais, de plus, infinis en chaque point de l'ensemble E, lesquels
sont intérieurs à une infinité d'intervalles a, p, y,..., auquel cas 'f(.r)
croît plus rapidement que tout multiple de x.

Ceci fait, la fonction

/(^) + ?(^) , ::

ne peut avoir sa dérivée supérieure A négative qu'aux points de l'en-
semble El contenu dans E oi^i celle de/(.r) est infinie négative. Comme
on a d'ailleurs /(è) + 'f(6) </(fl) + 'f(a), on est ramené au théorème
précédent.

115. Théorème. — Si nu nombre dérivé d'une fonction continue f{x)
change de signe dam un intervalle {a, b), l'ensemble E de tous les points où
ce nombre a le même signe contient un ensemble parfait. Si, de plus, E est
de mesure nulle, la partie de E oîi le nombre dérivé est infini contient aussi
un ensemble parfait.

Supposons, pour fixer les idées, que E soit l'ensemble des points où
A < 0. Si A est < 0 au point x,f{x -j- h.) sera < f{x) à condition que h
soit positif assez petit, ce qui ramène au théorème précédent.

116. Théorème généralisé de Scheeffer. — Si, dans un intervalle (a, b),
deux fonctions f\{x) et fi{x) ont leurs nombres dérivés supérieurs à droite :
1° finis en chaque point sauf peut être dans un ensemble ^i, et 2^ égaux sauf
peut-être dans un ensemble de mesure nulle, les deux fonctions ne diffèrent que
par une constante dans l'ijitervalle {a, b), à moins que Ei ne contienne un
ensemble parfait.

En effet, les dérivées supérieures à droite étant de plus grandes
limites, on a, en considérant A comme un symbole opératoire,

A(/i-/2)>A/.-A/..
Donc/i — /^ a son nombre dérivé A nul ou positif sauf dans un
ensemble de mesure nulle, et il ne peut être infini négatif que si A/i
ou A/2 est infini, donc dans Ei. Par conséquent, si Ei ne contient pas
d'ensemble parfait, ce nombre dérivé ne peut être négatif en vertu du
théorème précédent, et la fonction/i — /^ est constante ou croissante
dans {a, b). Pour les mêmes raisons, /a — /i l'est aussi. Ces deux fonc-
tions ne pouvant être en même temps croissantes, elles sont constantes.

Un ensemble parfait n'étant pas dénombrable, le théorème précé-
dent renferme comme cas particulier l'énoncé de ScHEEFbEK :

Deux fonctions continues qui, dans un intervalle [a, h), ont la même dérivée
supérieure à droite finie, sauf pour un ensemble dénombrable de points, ne
peuvent différer que par une constante dans cet intervalle.

Remarque. — Le théorème précédent admet une sorte de réci-
proque :

102 CHAPITRE I, FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

Une fonction dont les nombres dérivés peuvent être infinis sur un ensemble
parfait E de mesure nulle, mais sont donnés et finis partout ailleurs, demeure
cependant arbitraire.

En effet, la correspondance entre les points ;t de E et ceux y du
segment O-i, définit (n° 66) une fonction continue croissante x = f(jv),
dort l'inverse V ^ "l'W est une fonction continue de x, croissante pour
les points de E et constante dans les intervalles contigus à E. Soit
F(j') une fonction continue arbitraire ; la fonction ¥{'^x) aura sa dérivée
huHe" satif au point de E : elle demeure cependant arbitraire avec F.

§ 3. Dérivées et différentielles successives.

117. Définitions. — Soit y = f(x) une fonction univoque d'une
variable réelle x, ayant une dérivée dans un intervalle. Si cette
nouvelle fonction, y' ■= f'{x), admet une dérivée en un point x
de cet intervalle, on la représente par y", f"{x) ou D*y et on
l'appelle la dérivée seconde de y.

De même, la dérivée troisième est la dérivée de y". Elle se
désigne par y'", f"'{x), B^y. On continue ainsi de suite, de sorte
que la dérivée d'ordre n est la dérivée de celle d'ordre n — i.
Elle se représente par yC", /'^"'(y) ou D*^y.

Si, pour définir les dérivées successsives au point a, on ne
tient compte que des valeurs de x qui sont > a, on obtient les
dérivées successives à droite au point a ; on obtient celles
à gauche si jc < a.

11 faut observer que, d'après ces définitions, l'existence d'une
dérivée finie D" y au point x exige celle d'une dérivée D"-*y
finie et déterminée aux environs de x, donc la continuité des
dérivées d'ordre moindre aux environs du même point.

Les dérivées successives des fonctions rationnelles d'une
variable complexe se définissent comme quand la variable est
réelle. Il n'y a pas lieu de nous y arrêter. Revenons aux va-
riables réelles.

Si dy est différentiable, sa différentielle est la différentielle
seconde de y et se désigne par d'^y. Cette nouvelle différentielle
dépend de la relation que l'on veut établir entre la variable x
et sa différence ^x ou dx. Si cette différence est la même pour
toutes les valeurs de x et la même encore dans les différentia-
tions successives, elle doit être traitée comme une constante
et l'on a

d*y = d.f{x) dx = f\x) dxK

DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES Io3

De même, la différentielle troisième d^y est celle de cl^y, on a
d^ = d.f"{x) dx^ = f"'{x) dx\
et ainsi de suite. En général,

rfn y = f(n) {^x) d^C" .

On tire de là

, dy ,, d'y ,„ d"r

•^ d5c' ^ dx^' ^ ^ dx^

Donc la dérivée n^^>^^ d'une fonction est le quotient de la
différentielle n^éme de la fonction par la puissance n^ème de la
différentielle de la variable prise constante par rapport à x, ce
qui fournit une nouvelle manière de représenter cette dérivée et
celle qui est le plus généralement employée.

Remarque. — La condition que dx soit constant par rapport
à x n'empèclie pas que dx puisse varier à un autre point d.e
vue. Ainsi on peut faire tendre dx vers 0, pourvu que ce soit
pour toutes les valeurs de x en même temps et de la même
manière.

118. Des différences finies, — Si l'on donne à .x; un accroisse-
ment A.\% la fonction continue f{x) prendra un accroissement

^f{x) = f{x + ^x)-f{x),

que nous appellerons différence première de f{x).

La différence de la différence première est la différence se-
conde, elle se représente par ^^f{x), et ainsi de suite. On prend
la différence Ix indépendante de x, de sorte que

^•f{x) = f{x -\- 2^x) — 2fix 4- ^x) + f{x),
^^f(x) = f{x + 3^x) - 3/"(.x + olx) 4- 3/'(^ + A.v) — f{x),

et ainsi de suite.

Il existe, entre ces différences successives et les dérivées
successives de f{x), une relation importante que voici :

(1) A'V'(^) = Aoc"/'(«Xa; + ^n^x) (0 < 9 < i).

Elle suppose f^^\x) déterminée entre .v et a' + n\x (limites
exclues) et /i"-* (a;) continue dans cet intervalle entier. Nous
appellerons cela les conditions d'ordre n. Pour /i = i, la for-
mule est exacte : c'est celle des accroissements finis. Pour

I04 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

l'établir en général, il suffit donc de l'étendre de l'ordre n — i à
n. A cet effet, remarquons que les conditions d'ordre n pour f{x)
entraînent celles d'ordre n — i pour la fonction

^f{x) = f{x + ^x) - f{x).

Appliquons-lui donc la formule (1) pour l'ordre n — i, nous
trouvons

(2) ^''f{x) - ^x''-' [f^^-^Xx + ^x 4- e[n— ijax-) —

fin-i^x + 8[n — iJAx)]

Transformons enfin la différence entre crochets par la for-
mule des accroissements finis (dont l'emploi est légitimé par
les conditions d'ordre n), nous obtiendrons la formule (1).

La formule (2) conduit à un autre résultat important. Les
conditions d'ordre ir — i qu'elle suppose auront lieu pour | ^x \
suffisamment petit, si /"^"^(a;) a une valeur déterminée et finie.
On a, dans ce cas, par définition de /'(")(.v), les e tendant vers
0 avec A.x,

P»-%x f ^x -h e [/) — i] ^x) — /■("-i)(a-)

= (i 4- 6n — 0) ^xf%x) + ^'^x,
/i«-»)(.v 4- 9 [71 — i] Aa') - f(^-%x)

= (9n — 0) ^xf^Xx) 4- e'^x,

et, en substituant dans (2) la différence de ces deux quantités,
A"/-(x) -= ^x"[f''\x) 4- e], d'où lim — -^ == /(«)(a:).

Donc la dérivée n^^'"^, supposée finie et déterminée en un point,
est la limite du rapport de la différence n^é>ne (Jq /^ fonction par
la puissance n'^"^'^ de la différence de la variable, quand cette
différence, supposée indépendante de x, tend vers zéro.

119. Dérivées /i«^'»es ^gg fonctions élémentaires. — La détermina-
tion d'une dérivée d'ordre quelconque pour une fonction élé-
mentaire ou composée, ne peut présenter d'autre difficulté que
la longueur des calculs, si cet ordre est donné numériquement.
Mais, si l'on veut exprimer la dérivée n^^"i(' en fonction de n,
n restant arbitraire, le problème est plus difficile. Toutefois,
pour quelques fonctions élèment^/ires, la solution est simple.

DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES lo5

I. On a trouvé Dx" = ax*^-^ ; on en tire successivement
B^x" = a (a — i) a:«-«.

D";x;« = a (a — i)...(a — n -f i) a:«-".

Si a est entier et > 0, cette dérivée se réduira à la con-
stante a ! i)our n = a, et sera nulle pour n > a. Donc la dérivée
jiième d'un polynoiJie de degré < n est identiquement nulle.
II. De DLog.x = x-\ on tire, par la règle précédente,
D"Log X = D«-' 5C-* = (— i) (— 2)...(— n + i) x-^
D« Log x = {— i)«-i ^^ ~^^^ ' .

in. La formule DA^= A^Log A donne

DnA^= A*(Log A)«, D"e^=-p»^.
TV. On a trouvé

D sin X = cos 5C = sin ( x -}-

7C

On dérive en ajoutant - à l'argument, donc

D" sin X = sin (x'^n-j.

V. On a, de même,

D cos .-v = cos Ix + -J, D" cos x = cos fx -\- n'f) .

VI . On a trouvé

D arc tg X = -x ~2 ' ^^^^ ^" ^^^ tg x = D»^-' — - — - .
Mais on a, en introduisant les imaginaires,

I + x^ '2i \x — i X -\- i

^'"''v-r—2 = (— ^y-'in- i) ! -^r^ — ^-^ __^__1

i-i-x^ ^ ^ ^ ^ 2il(x — i)n (3C4-0"J

On se débarrasse des imaginaires en posant

I Q -__ \ /j _L. v2

.V — / = p (cos cp — I sin cp) { " V -r '

' ( <P - arc cot X ;

il vient, par la formule de Moivre,

I ^ cos n y + t sin n y £_ cos n y — is'mn

{x — /)« p« "' (;c -f /)«" "" p« "~

I06 CHAPITRE 1. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE

Par conséquent,

D"-* — - — - = (— i)^-' -^'^-,— sin n cp,

D"arc tg A' = (— i)" * — ^ sin {n arc cot x).

(i + a;2)^

Remarque. — Le calcul des dérivées ri^èmes peut être rattaché
à la formule de Taylor. On en trouvera des exemples dans le
chapitre suivant.

120. Dérivée n'^'"^^ d'un produit. Formule de Leibniz. — Soit iiv
le produit de deux fonctions de a; ; on a

D.«u ^ V Du + u T>v.

Dérivons ; il vient, par la règle précédente,

D^uy = yD^u + 2 Du.Dw + u D^y.

Chaque terme de ces deux premières dérivées et aussi des
suivantes, est le produit d'une dérivée de u par une dérivée
de V, en regardant w et u eux-mêmes comme des dérivées
d'ordre 0.

Mais, dans la dérivée première Duv, la somme des indices de
dérivation est égale à i dans chaque terme ; dans la dérivée
seconde, elle est égale à a ; on voit de suite qu'elle sera égale
à n dans la dérivée n""'"''. On peut donc poser

(1) D" uv = A^u D« i) -1- A, Dm D^-^y f A2 D'u D"--u -f ••••,

les lettres A désignent des coefficients numériques à détermi-
ner. Faisons, pour cela, a étant une constante,

u = e't^, y = e^, d'où uv = e(*+*)^,
D»«y = (1 + a)«e(i+="^.

Substituons ces valeurs dans l'équation (1) ; elle devient,
après suppression du facteur commun e('+°')^ ,

(I -f a)« = Ao + Aia + A^a^ + •-
Donc, a étant une indéterminée, les coefficients Ao, A^, A2,...
sont ceux du binôme. On peut ainsi donner à l'équation (1) la
forme symbolique suivante :

D"uy - (Dh -f Dy)".

DERIVEES ET DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES I07

Mais on convient d'observer les conditions suivantes dans le
développement du second membre : i° on écrira Du et Dy dans
tous les termes, même dans les termes extrêmes où l'un d'eux
reçoit l'exposant 0 ; 2*^ on remplacera ensuite D«p par 1)pii,
Dy9 par D« v et enfin, D^u par u et D^w par v.

121. Propriétés des dérivées d'une fonction rationnelle. — Soit z
une variable complexe ; une fonction rationnelle de z

est le quotient de deux polynômes P et Q sans racine commune.
Soit a une racine de degré m de P, nous disons que c'est une
racine de degré m de f{z). Nous avons alors

fiz)^(z-a)^f{z),

et(f>(3) est une fonction rationnelle, finie et non nulle pour
z = a. Dérivons ; il vient

f (z) = {z- ar-i[mf{z) + (2 - a) cp'fz)].

La quantité entre crochets est une fraction rationnelle qui ne
s'annule plus pour z = a ; d'où le théorème suivant :

I. Toute racine de degré m d'une fonction rationnelle f{z) est
une racine de degré (m — i) de sa dérivée ; en particulier, une
racine simple de f(z) ne sera plus racine de sa dérivée.

Si l'on applique ce théorème, de proche en proche, aux déri-
vées successives de f{z), on est conduit au suivant :

II. Toute racine de degré m de f(z) est commune à f{z) et à
ses m — I premières dérivées. Réciproquement, toute racine
commune à f{z) et à ses {m — i) premières dérivées et qui n'an-
nule pas la dérivée d'ordre m, est une racine de degré m de f{z).

Ces théorèmes jouent un rôle important en algèbre, dans le
cas particulier où f{z) se réduit à un polynôme.

CHAPITRE IT.

Formule de Taylor. Applications diverses.

§ 1 . Formules de Taylor et de Maclaurin.

122. Formule de Taylor. — Soit f{x) une fonction continue et
univoque d'une variable réelle x. La formule de Taylor a pour
objet de développer /"(a + h) suivant les puissances successives
de h jusqu'à un certain ordre. Pour l'ordre n, cette formule est
la suivante :

(' fia + h) = fia) + -~ fia) + ^-f'ia) +•..

Il faut supposer les dérivées de fix) finies et déterminées au
point a jusqu'à l'ordre n — i, alors cette formule définit la
quantité M en fonction de h supposé différent de 0.

Le plus souvent h peut avoir un signe quelconque dans la
formule (1) et les dérivées successives de fix) sont supposées
uniques au jjoint a. Mais, si h est exclusivement positif, la for-
mule ne su]3pose que l'existence des dérivées successives à droite
au point a, et il doit être entendu que /'(a), fia),... sont alors
des dérivées à droite. Ce seraient, par contre, des dérivées
à gauche si h était exclusivement négatif.

Le développement de Taylor se caractérise par la propriété
suivante, dont l'énoncé se précise en tenant compte de l'obser-
vation précédente.

Théorème. — Quand h positif tend vers 0. la quantité M tend
vers la dérivée à droite /"^"^(a), finie ou infinie, mais supposée
existante.

FORMULE DE TAYLOB IO9

1° Si /^"'(^) ®^^ finie, soit e un nombre positif et formons la
fonction de h :

<p(A) ^ f{a) + 4 /"'(a) + - + ^[/^"'(a) 4- e] - f{a + h).

Cette fonction et ses n — i premières dérivées (à droite) sont
nulles au point /ï = 0, tandis que l'on a, pour sa dérivée n^"^*"^
(à droite), ^("'(0) = e > 0. Donc, pour h positif et suffisamment
petit, ^("— *)(/i) est > !^(»-*)(0) et, par conséquent, positif ; auquel
cas ^("~*^(/i), étant croissant, est positif aussi, et ainsi de
suite de proche en proche jusque <f{h) > 0. Au contraire, tout
cela devient négatif si l'on remplace e par — e. D'où il suit que,
pour h positif assez petit, f{a -\- h) est compris entre les deux
expressions :

f{a) + A f^a) + ... + ^-^ [f n)(a) =t e]

et par suite, M est compris entre P'^\a) ± e. Donc, e étant aussi
petit qu'on veut, M a pour limite f^"\a) quand h positif tend
vers 0.

2° Si /"'"'(â) = — ^> ^oit ^ iiii nombre négatif arbitraire et
formons la fonction :

^{h) - f{a) + A r(a) + • + 1^ A - l\a \- h).

Nous aurons encore <^'"^(0) ^= A — P'^\a) > 0, de sorte que les
dérivées d'ordre moindre et o(/î) lui-même sont de nouveaux
positifs pour h positif et suffisamment petit, auquel cas M
est < A. Donc M devenant inférieur à tout nombre assignable
quand h positif tend vers 0, M tend vers — c». De même, M
tendrait vers + oo si telle était la valeur de la dérivée à droite
/"(^'(a), ce cas se ramenant d'ailleurs au précédent par le simple
changement de signe de f'{x).

Si l'on remplace h par — h dans la lormule (1), le théorème
précédent est évidemment remplacé par le suivant :

Quand h négatif tend vers 0, la quantité M tend vers la déri-
vée à gauche f'"\a), finie ou infinie, mais supposée existante.

Unicité du développement'. — (^uand /"^"'(a) est finie, la for-
mule de Taylor exprime /'(a 4 h) par un développement

A^ 4- Al /i + Aa/i" -f ... -f An-ili"-' + M/i",

IIO CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

OÙ les A sont des constantes par rapport à A et où M est borné
quand h tend vers 0.

Un tel développement n'est possible que d'une seule manière,
donc par la formule de Taylor.

Supposons, en effet, qu'il y en ait deux :

Ao 4- A,/i 4- - -i- Mh^ = ao + ai/i H \- mh'' .

Nous allons montrer qu'ils sont identiques termes pour
termes.

Faisant tendre h vers 0 et observant que M et m sont bornés,
il vient d'abord Ao — «o- Supprimant ces termes, divisant par h
et faisant encore tendre h vers 0, il vient A, = aj, etc.

123. Reste de la formule de Taylor. — Le dernier terme de la
formule (1), lequel en a n avant lui, s'appelle le terme complé-
mentaire ou le reste de la formule et il se désigne par R,j . La
formule (1) devient ainsi

(2) f{a + A) = /-(a) + A /•-(«) + .. -f J}^^ fXn~^)(a) -|- R,

et nous avons une première expression de lin

h"

Nous savons seulement que M tend vers f^^\à) quand h tend
vers 0, et ceci ne suppose aucune autre condition que la seule
existence de f("){a). Mais cette première expression ne nous
donne aucun renseignement sur la grandeur de R„ pour les va-
leurs finies de h. Il y a donc lieu de chercher de nouvelles
expressions de R„ , capables de rendre ce service.

Il faut, pour cela, introduire de nouvelles conditions plus
restrictives. Nous supposerons que /"("~*)(a') est continue dans
l'intervalle de a k a -\- h (limites comprises) et que f('^){x) est
seulement déterminée dans cet intervalle (limites exclues).

Avec ces conditions, on peut, comme nous allons le démon-
trer, donner à Rn l'expression suivante, connue sous le nom de
reste de Schlômilch :

<«> K»=-iïr^? /'"'(« + «'')

FORMULE DE TAYLOR III

Dans celle-ci, p est un nombre positif arbitraire mais < n, et

un nombre compris entre 0 et i.

Pour établir cette formule, on définit un nombre P par la

condition

APP = R„,

où R„ est défini par l'équation (2). On fait a -\- h = b q\> l'on
considère la fonction de x :

/■(^) + ^- / W + - + ^tJt ^^"~'^(^> + {b-x)p^.

Celle-ci (qui est continue) prend la même valeur f{b) ou
/■(a -f h) pour x = a&tx = b. Donc sa dérivée (qui est existante) :

s'annule au point intermédiaire ç = a + 6/i, en vertu du théo-
rème de Rolle. De là, la valeur de P :

^ (n-i)lp' ^^^ {n-i)\p ' ^^^'''^^'

qui substituée dans h^V, fournit la valeur (3) de Rri'
On considère surtout deux cas particuliers :
Si /> « n, on obtient le reste de Lagrange :

n

I^n=;7j/^")(a + e/l).

Si p =^ I, on obtient le reste de Caiichy :

^»-- (n_i)! /"^^Ka + eA).

Lorsque f{x) est indéfiniment dérivable, on peut se donner n
à volonté et, par conséquent, reculer R^ aussi loin qu'on veut.
Lorsque ce terme peut être rendu suffisamment petit à condition
de prendre n assez grand, la formule de Taylor donne un pro-
cédé commode pour évaluer approximativement les fonctions.
Nous allons en voir des exemples un peu plus loin comme appli-
cations de la formule de Maclaurin.

Lorsque le terme complémentaire tend vers zéro quand n
tend vers l'infini, on peut prolonger la formule indéfiniment ;
le dernier terme disparaissant à la limite, on obtient l'expres-
sion de f{a -f h) en série convergente. La question du dévelop-

112 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

pement des fonctions en série illimitée de Taylor est d'une
extrême importance, mais nous ne possédons pas encore les
ressources analytiques nécessaires pour la traiter commodé-
ment. Nous y reviendrons, à la fin du volume, quand nous
aurons exposé la théorie des séries.

124. Expressions diverses de la formule de Taylor. — i° On peut
remplacer dans la formule (2) la variable h par ;v — a ; l'équa-
tion devient ainsi, en écrivant le reste de Lagrange,

( t\x) = fia) + "^ fia) -\- ^^^fî^ fia) + ...
(4) _ ' ^•

( + ^JH^^ f'""-' («) + ^nT^ /"^"^ [a -h e (;x - a)].

Cette formule suppose fi'^-^x) continue de a à 5C et /"(")(«;)
déterminée entre a et a; seulement.

2^ On peut aussi remplacer a par x dans la formule (2), puis
faire passer /"(«;) dans le premier membre. On trouve, avec le
reste de Lagrange,

fix -1- h) - fix) = ^ f'ix)-h- -h ^^ /■<'^-^)(^)+^ m^ + ^h).

Supposons qu'on prenne dx = h ; les termes successifs du
second membre ne différeront que par les factorielles des diffé-
rentielles successives de fix). Quant au premier membre, c'est
l'accroissement ^fix) qui correspond à l'accroissement arbi-
traire dx de la variable x. La formule précédente peut donc
s'écrire comme il suit :

(5) A«.).''û-J + <'|p)4-... + ^':^ +

d'^fix)

n

x+ bdx.

Seulement, dans le dernier terme, on doit remplacer, ainsi
que la notation l'indique, la variable ^c par x 4- ^dx. La formule
(5) donne l'expression la plus condensée du développement de
Taylor et, comme on le verra, la plus générale.

125. Formule de Maclaurin. — C'est un cas particulier de
celle de Taylor. On pose a = 0 et A = ^c dans la formule (2) ;
il vient

-1

fix) = /•(o)+ ;- /-'(o) + ^ f '(0) + - + j^^^:^^ f^--%o) + R„ .

FORMULE DE TAYLOR Il3

Le reste Rn peut recevoir la forme de Schlbmilch :

(/i — i)\ p ' ^ '
ou les formes particulières de Lag-rang-e et de Cauchy :

K,. = ^, /■<»)(6.v), R„ ,. il^; _iL_ /-(..^ex).

Cette formule suppose /(" 0(.v) continue de 0 à a; et t'W{x) dé-
terminée entre 0 et x. Le nombre 0 est compris entre 0 et i.

Lorsque les dérivées de /"(x) sont déterminées et continues
jusqu'à un ordre quelconque, il arrive souvent que le dernier
terme, qui est seul inconnu, peut être rendu aussi petit qu'on
veut en donnant à n une valeur assez grande. Dans ce cas, la
formule de Maclaurin fournit un piocédé d'évaluation commode
de la fonction f{x). Nous allons en montrer des exemples.

126, Application de la formule de Maclaurin à quelques fonctions
simples. — I. Exponentielle e^. Faisons /(.v) =- e^ dans la for-
mule de Maclaurin : les dérivées reproduisant la fonction,
/■W(0) = I et nous obtenons, avec le reste de J^agrange,

Quel que soit .v, ce reste tend vers 0 quand n tend vers l'in-
fini, car x" : n! a pour limite 0, en vertu de l'inégalité (*)
n\ > (Vn)'S qui montre que la faetorielle /»! croit infiniment plus
vite que la puissance x^ .

Pour .V = I, on trouve la formule propre au calcul de e :

ù

"-'+f+n^ i-(7rirî)T+:^r

Le dernier terme est < 3 : /, ! (puisque e est < 3) et devient,
aussi petit que l'on veut, à condition de prendre n assez grand.

{*) Multiplions entre elles, lacteur par l'acteur, les deux faetorielles n\
où les facteurs seront rangés dans l'ordre inverse ; {n\)^ sera le produit de
n facteurs de la forme

p[n ~p-\' i):^n—p-\-p = n
Donc (/i!)2 est > «n .

8

Il4 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

Donc la forninle ])erinet de calculer le nombre e au degi'é
d'approximation que l'on désire.

Remarque. — On tire de la formule précédente, en multipliant
ses deux membres par {n — i) !,

{n — r) ! e = nombre entier -\ .

Cette relation prouve que p est irvalionnel, car, si e était
rationnel, il serait le quotient p : q de deux entiers et le pre-
mier membre de la relation serait entier pour n > q, tandis que
le second est fractionnaire pour n > 3 (donc a fortiori > e^).

II. Exponentielle A^. En changeant x en x Log A dans la
formule précédente, on a

I (n — i)! ^!

m. Fonction sin x. Si f{x) = sin x, on a (n° iiy)

/•(«)(5c)= sin^x + ii-Y-

Pour X = 0, les valeurs de f{x) et de ses dérivées successives
forment la suite périodique à quatre termes : 0, i,0, — i ; 0, 1,
0, — i ;... Donc, si l'on suppose n = 2A: 4- i dans la formule de
Maclaurin et qu'on y substitue

f{^^+%hx) = sin 9.V + (2/f -I- 1) ^ = (— i)* cos Sa-,

on trouve, en écrivant le reste de Lagrange,

Le reste a pour limite 0 quand k augmente indéfiniment.

IV. Fonction cos x. Si f{x) = cos x, on a (n° iry)

fW{x) = (iOsix.-{- n-\

Pour X = 0, les valeurs de f{x) et de ses dérivées successives
forment la suite périodique à quatre termes : i, 0, — i, 0, etc.
Prenons donc n = ik dans la formule de Maclaurin, et faisons
la substitution

FORMULE DE TAYLOR Il5

/•2A(6^) = cos ( G.\--f-2A:- j =.(~ i)''c'0s9^,

il vient, avec le reste de Lagrange,

cos^=i-

/v2 /v* yyih — 2 /v2/t

2! 4! ^ ' {2k — 2)! ^ ^ (2A:)!

Le reste a pour limite 0 qnaiid k augmente indéfiniment.

V. Fonction Log (i + x). Prenant f{x) = Log (i -\- x), on a
(n" 119)

f'ix) = — — , /•(»)(x) = (- I)"-* j^-^— ^.

Log(r + X) = X _:- + __... + (_ i)'^-*-^^^ + Kn.
Par la formule de Lagrange,

et, par celle de Caucliy,

i^n - (- I) ^ _^ Q^ (^^ _^ Q^ j

Ces formules supposent toutefois x > — i, sinon les dérivées
cesseraient d'être déterminées dans l'intervalle {x, 0) et la for-
mule de Maclaurin ne serait plus applicable. Si x est positif et
^ I, la formule de Lagrange montre que | E-n | est < i : /i ; si
X est négatif mais qu'on ait x > — r>— i, la formule de Cauchy
montre que | R„ | est < r": (i — r). Donc, dans ces deux cas,
Rn peut être rendu aussi petit qu'on veut en prenant n assez
grand, et le dévelopj)ement peut servir à calculer la fonction.

VI. Fonction (i + x)"^. Formule du binôme. On a, dans ce cas,

/■(«)(x) = m (m — i) ... (m — n -f i) (i + 5c)"»-" ;
il vient donc

(I + «)»• = I + mx + "'(";-')x'+ "'<"-'^<3"'-^x3 + ...

n,(m-l)...(m-n+2)^„..
1.2 ... (n — i)

Par la formule de Lagrange,

^ m(m-i)...(m-n+i)^.„(^ q^,),„_„
i.2...n ^ '^

et, par celle de Cauchy,

n—i

Il6 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIOMS

1.2... (n — i) ^ ' ^ Vi + 9a-

Si m est entier et positii" et si l'on suppose n = m -|- i, le der-
nier terme disparait, car le facteur {m — n + i) s'annule. On
retrouve ainsi la formule du binôme de Newton. Si m est frac-
tionnaire ou négatif, le développement peut être poursuivi
aussi loin qu'on veut, pourvu que x soit > — i. Cette condition
est nécessaire pour que la dérivée fW{x) soit déterminée dans
l'intervalle (0, x) quand n est > m, de sorte que, si elle n'était
pas remplie, la formule ne serait plus légitime.

On voit, par la formule de Lagrange si x > 0, et par celle de
Caucliy si A" < 0, que R„ tend vers 0 avec le facteur
m{ni — i)...{m — ii-^ 0 ^n

1.2... (71 — l)

quand ii tend vers l'infini, pourvu que la valeur absolue de x
soit < I. Kn effet, quand on change n en n -\- i, ce facteur est
multiplié par la quantité

m — n / m\

— X = — I ]x,

dont la valeur absolue a pour limite I x | et devient, par consé-
quent, inférieure à un nombre positif k < i à, partir d'une va-
leur suffisamment grande de n. Dès ce moment, la valeur
absolue du facteur considéré décroît plus rapidement que les
puissances successives de k et tend a fortiori vers 0.

127. Extension de la formule de Taylor aux fonctions rationnelles
d'une variable complexe. — Considérons une fonction rationnelle

P et Q désignant deux polynômes sans racine commune. Si a
n'est pas racine de Q, la différence

/•(-)-

■/•(a) H- ^--^r (a) -f ... + ^1^^^ p-^Ka)

est une fonction rationnelle de z ; elle s'annule ainsi que ses
(n — i) premières dérivées pour z = a ; donc elle admet z = a
comme racine de degré n {n° 121) et elle peut se mettre sous la
forme

(z_-a)-
n

^^M,

FORMULE DE TAYLOR II'

M désignant une fraction rationnelle finie pour z = a (n° 121).
Il vient ainsi

(6) A2)=^/'(a)+^r(a)+- ^7^")^/"^"-%) + --^^^ M

et la formule de Taylor se trouve étendue au cas où la variable
est complexe.

De plus, pour ;2 = a, on a encore lim M = /(")(«), car, en com-
parant la formule (6) avec la formule analogue pour l'ordre
n -f- I, où Mj sera l'analogue de M, on a

M = /*(")(a) + ?^M,.

Remarques. — i° Dans la formule (6), le dénominateur de la
fraction M est le même que celui de f{z), car il n'y a pas d'autre
terme fractionnaire dans la formule.

2") Si f{z) ou, plus généralement, si f{z) : {z — a)" est une
fraction proprement dite, M est aussi une fraction proprement
dite. En effet, divisons tous les termes de la formule (6) par
{z — a)"; M sera égal à une somme de termes qui ont pour
limite zéro et aura lui-même pour limite zéro pour 2 = 00, ce
qui ne peut avoir lieu que si M est une fraction proprement dite.

3°) Le développement de f{z) suivant les puissances de {z — a)
ne peut se faire que par la formule (6), moyennant la condition
relative à M, car la démonstration faite au n° 122 s'applique
aussi bien au cas actuel.

128. Emploi de la méthode des coefficients indéterminés. Développe-
ment d'une fonction de fonction. — Dans bien des cas, on se propose
seulement de connaître la loi de formation des termes succes-
sifs de la formule de Taylor et l'on ne s'inquiète pas de l'expres-
sion du dernier terme. Le théorème du n° 122 qui établit l'unicité
du développement permet alors de se servir avec avantage de
la méthode des coefficients indéterminés. Proposons-nous, par
exemple, de trouver le développement d'une fonction de fonction.

Soit II = f{x), puis F(u) une fonction composée de x ; suppo-
sons connus les développements :

F(u + /f) — ¥{u) = A,k-{- A2 k^ -\ h A„_, /f"-* -f M k" ,

f{x + h) — f{x) -= a, /i -f a, h^ -| h a»-» A"" ' -\- m h" j

Il8 CHAPITaE II. FOEMUIiE DE TAYI,OR. APPLICATIOIÏS

nous allons en déduire celui de F (w -|- A) suivant les puissances
de h dans l'hypothèse où Ar = f{x -\- h) — f{x). Pour cela, rem-
plaçons, dans le premier développement, k par sa valeur tirée
du second, il vient

F \f{x + h)]-¥ [f{x)] = Aj {a,h + a,h'- + -^O

4 A2 (a,/i + a,h^ + ..-y
+ A3 {a,h + a^A^ + ...y

-f

Il suffit d'ordonner par rapport aux puissances de h jusqu'à
la {n — i)iéme pour obtenir le résultat demandé. Le dernier
terme est un polynôme en M et m qui ne présente aucun intérêt
particulier. .

129. Détermination des dérivées n^èmes Dérivée ni«i"« d'une fonction
de fonction. — Le développement de f{x + h) suivant les puis-
sances de h et le calcul de f"\x) sont deux problèmes équiva-
lents. En effet, cette dérivée s'obtient comme coefficient de
7i": ni dans ce développement.

Comme exemple, appliquons le calcul du numéro précédent
à la détermination de la dérivée /i*®""® d'une fonction de fonction
F(u), u étant égal à f{x).

Le coefficient de h" dans le second membre de la formule
qui termine le numéro précédent, peut se mettre sous la forme

n

en désignant par ^a le coefficient de /i" dans l'expression
(ai/i + a^/i-^ + ...)''.
La quantité §k se calculera donc par la formule suivante :

dans laquelle la sommation s'étend à toutes les décompositions
de A' en une somme d'entiers positifs

a -f- p + Y -f ... = A-,

satisfaisant, en même temps, à la condition

a -f 2.8 -f Sv H- ... = n.

FORMULE DE TAYLOR 1 19

La dérivée DS F(iz) s'obtiendra donc en multipliant par n\ le
coefficient de /i". On trouve ainsi, après avoir remplacé les
quantités A et a par leurs expressions sous forme de dérivées,
la formule de Faa di Bruno ;

Donc Pyj est un polynôme en Du, D^u,... de dejçré k et de
poids n, c'est-à-dire que la somme des indices de dérivation est
n dans chaque terme. On n'obtient ce polynôme sous forme
explicite que dans des cas particuliers. (Voir les exercices qui
suivent).

Exercices,

1 . Dérivée w'^""* de f{e^ ) — Soient ^^ = « et

k == ^^+'4 — e^ = e^ {e^ —i) = e''fh-\ 1- - V

il faut chercher le coefficient de h" : n\ dans

I 1.2

Comme k renferme k en facteur, h"^ ne se trouvera que dans les n
premiers termes. Le coefficient de à" : «! dans

V 1.2 y

s'obtient en développant séparément ces exponentielles. 11 sera de la
forme hme"'^' , où A,n est un coefficient numérique :

Am = W* — m(m — iP -] ^ " (m — 2)'"

1.2

Donc le coefficient de h" : n\ dans/(M -f k)— f{u) sera :

w,=i m !

2. Dérivée «'*""• de «"•**. — On a

, ah{2X+h) , a^h^2X-]rhY ,
I 1.2

120 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

Cherchant le coefficient de h" : n\, on trouve

. «(« — l)(» — 2)(« — 3) , , ^
1.2.

3. Dérivée «'^""^ de e^ . — On a

É ^+/î — e^ ==,

g, X{X-\-h] — I

= c^

ah

I r( I

X'

+r+K^To+r+--

On développe les puissances négatives par la formule du binôme.
Alors, cherchant le coefficient de h" : n\, on trouve

£)« ^a:- ^ J: — ^ ^;^ a« _|_ _ („ _ I Wa«-i
;»;2« L 1

4. Dérivée «'^""^ de/(;t;2). — Soit at^ = m ; on aura

• D''/(a;2) = (2;»:)«/('') («) +^^^^ {zxy-^-f^-^ {u) + -

Cette dérivée s'obtient en remplaçant dans celle de <?«^^ (Exercice 2)
les puissances de a par les dérivées successives de f{u) et en y suppri-
mant le facteur e"^". On le justifie en observant que l'on a (n» 129)

1

Comme Vk est indépendant de /, on le détermine en choisissant
/(m) = ef", auquel cas P>i sera le coefficient de a'^ e<^".

5. Dérivée «'*""" de/( — ). — Méthode analogue. Soit— =«; on obtient

la dérivée demandée au moyen de celle de e^ . Il faut supprimer dans

a

celle-ci (Exercice 3) le facteur e^ et remplacer les puissances succes-
sives de a par les dérivées successives de/(«).

6. Dérivée «'^""^ de/(Log x). — Soit u = Log ;t ; si la lettre D désigne
des dérivées par rapport à m et si l'on convient d'effectuer les multipli-
cations algébriquement, on a la formule symbolique :

r^n/a ^ mD-i)...(D-« + i)/(«)
D"/(Log;t.') =

x*^

En effet, on a d'abord (no 129)

VRAIES VALEURS 121

(1) D»/{Logx) = llFi/{^){u).

Faisant, en particulier, /(m) = e'"*, ce qui ne change pas Pk ,

(2) D''e«L'>8a' = SP,6 a* <?<»".
Mais on a, d'autre part,

(3) D"e^^°e^= D"x'' = a{a—i)... {a — n-\- 1) x^-"

= a(a — i)...(a — M+i)— .

Le second nombre de (i) se déduit de celui de (2), en supprimant
le facteur à"" et en remplaçant a^ par D^/{u). Si, au lieu de faire ce
changement dans (2), on le fait dans (3), on obtient la formule à
démontrer,

§ 2. Vraies valeurs des expressions indéterminées.

130. Définition. — Soit f{x) une fonction de variable réelle qui
devient indéterminée pour x =^ a ; on nomme vraie valeur de
cette expression pour ;x: = a la limite vers laquelle elle tend
quand x tend vers a. On devra d'ailleurs spécifier dans la défi-
nition si X tend vers a d'une manière quelconque, ou bien
seulement par des valeurs > a, ou bien par des valeurs < a.

Ainsi, par exemple, la vraie valeur de sin x : x pour x = 0
est I, et .X tend alors vers 0 d'une manière quelconque. La vraie
valeur de xLog .v pour .y = 0 est 0, mais alors x tend vers 0
en restant positif (la fonction n'existant plus pour x négatif).

La définition de la vraie valeur s'applique aussi aux fonctions
rationnelles d'une variable complexe. Mais, sauf le cas particu-
lier qui va être indiqué, nous supposerons dans tout ce qui suit
que la variable est réelle.

131. Forme ^. — Cette forme se rencontre quand les deux
termes d'une fraction f{x) : F{x) sont des fonctions continues
qui s'annulent simultanément pour x = a. La vraie valeur se
détermine par l'application d'une règle importante, connue sous
le nom de règle de l'Hospital (*), et qui consiste à substituer au

(*) Le Marciuis de l'IIospitiil n'a énoncé cette règle que sous forme géo-
métrique et dans le cas le plus simple et il l'avait empruntée à Jeau
BernouUi.

122 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

rapport des fonctions celui de leurs dérivées. Mais cette règle
peut être présentée sous deux formes différentes ; la première
est plus simple, mais la seconde se prête à des extensions que
ne permet pas la première.

Première règle. — Si les deux fonctions f{x) et F (a;) s'an-
nulent au point a ainsi que toutes leurs dérivées successives
jusqu'à l'ordre n — i, si, de plus, les dérivées d'ordre n existent
au point a mais n'y sont ni toutes deux nulles ni toutes deux
infinies, la vraie valeur (finie ou infinie) de f{x) : F{x) au point
a sera f^^^a) : F(")(a), c'est-à-dire que

™F(a;)" F(«)(a)-

Cette règle résulte de la formule de Taylor et s'applique, par
suite, aussi aux fonctions rationnelles d'une variable complexe.

Si l'on pose x = a + /i et qu'on développe /"(a + /i) et F(a + /i)
jusqu'à l'ordre n, les développements (n° 122) se réduisent à

f{a + /i) =^ M, F(a + A) = ^ M',

où M et M' ont respectivement pour limites les dérivées f'^^){a)
et F (")(a) supposées existantes quand h tend vers 0. Il s'ensuit

lim/i^-^l=lim^=i^«i
™F(a+A) M' FW(a)-

Dans le cas des variables réelles, la formule précédente con-
serve un sens, même si les dérivées d'ordre n sont différentes à
droite et à gauche. Elle demeure vraie pour les dérivées à
droite si h est positif, et pour les dérivées à gauche si h est
négatif.

Cette règle ne suppose aucune autre condition que celles
contenues dans son énoncé. Mais elle suppose a fini et ne s'étend
pas au cas où a = oo. D'autre part, si F i^){a) = 0^ elle montre
que la vraie valeur est infinie, mais le signe reste inconnu.
Enfin elle ne donne rien si les dérivées n'existent pas au
point a.

La seconde règle exige des conditions plus délicates et s'ap-
puie sur la formule de Cauchy (n° 108),

VRAIES VALEURS I«3

Deuxième règle. — Si f{x) et F{x), nuls au point a, ont des
dérivées f'(x) et F '(.y) dans le voisinage du point a, la vraie
valeur de f(x):F{x) au point a sera la limite du quotient
f'{x) : F'{x) pour x = a^ pourvu que cette limite soit déterminée.

En particulier, si f'{a) : F'(a) est encore de la forme 0 : 0, /a
vraie valeur de f{x) : F{x) sera la même que celle de f'{x) : F'{x)
supposée déterminée.

Cette règle subsiste quand on considère seulement les valeurs
de X qui sont > a, ou bien celles qui sont < a.

Cette seconde règle est plus utile que la première, parce
qu'elle laisse libre le choix du procédé à suivre pour trouver la
limite du quotient des dérivées : suppression de facteurs com-
muns, emploi de la première règle, application répétée de la
seconde, etc.

Elle résulte immédiatement de la formule de Cauchy (n° 108),
qui, /"(a) et F(a) étant nuls, se réduit à

F(a-h/ï) F'(a + e/i) ^" ^ ^ "^ ^)

et il suffit d'observer que 6/i est une même quantité dans les
deux termes de la fraction, qu'elle a le signe de h et qu'elle
tend vers 0 avec lui.

Mais cette règle est soumise aux mêmes conditions que la
formule de Cauchy : i*> Les dérivées doivent être déterminées
et finies au voisinage du point a (celui-ci pouvant faire excep-
tion) ; 2° le quotient f'{x) : F'{x) ne prend, quand x tend vers a,
qu'un nombre limité de fois la forme 0 : 0 et, par conséquent,
ne la prend plus à partir d'une valeur de x suffisamment voisine
de a.

Si le quotient f'{x) : F'{x) n'avait pas de limite déterminée
quand x tend vers a, il ne faudrait pas en conclure que la frac-
tion proposée n'en a pas, parce que OA tend vers 0 suivant une
loi inconnue dans la dernière équation, et cette loi peut être
telle que le second membre ait une limite.

Cas où a = 00. — Lorsque l'existence des dérivées et les con-
ditions précédentes subsistent quand x augmente indéfiniment,
la seconde règle reste applicable au cas où a = + <3o et au cas
où a = — 00. Ainsi, dans le premier cas par exemple, ou a

124 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

lim-M^lim ^^^

a^=+ooF(^) x==+o^fl

X

On est ramené au cas où a est fini. La règle s'applique et
donne

^W ,. ^c^^'w

lim — ^-^=- lim --^— - = hm ',) [.

\xj X^' \xJ

132. Forme -g^. — La règle de l'Hospital (deuxième règle)
s'applique aussi à la détermination de la vraie valeur des frac-
tions f{x) : F{x) dont les deux termes croissent indéfiniment
en valeur absolue, pour une valeur particulière a de x.

Cette règle, qui suppose l'existence des dérivées (sauf au
point a) reste toujours soumise aux mêmes restrictions : i° elle
conduit à un résultat déterminé, fini ou infini ; 2° les dérivées
des deux fonctions sont finies et ne s'annulent pas simulta-
nément dans le voisinage de x ^ a.

Pour démontrer la règle, donnons-nous deux valeurs Xo et x
suffisamment rapprochées de a, pour que les deux dérivées
f'{x) et F' {x) soient déterminées dans leur intervalle et n'aient
pas de racines communes (les deux valeurs Xo et x seront donc
du même côté du point a). Nous pourrons appliquer la formule
de Cauchy, et il viendra (^ étant intermédiaire entre Xo et x)

f{x)-f{Xo) _ f{^ i-f{Xo):f{x) _/-'(0
F(a-) - F(5Co) F (5C) I - F (Xo) : F (x) F' (i) *

On tire de là

f(x) _ f (i) I - F(Xo) ; F(^)
F{x) F'{^)i-f{Xo):f{x)-

Supposons, en premier lieu, que /"'(^c) : F' (^c) ait une limite
finie, A, pour x = a. Nous allons montrer que le second mem-
bre de cette équation peut être rendu aussi voisin qu'on veut
de A, à condition que x soit suffisamment voisin de a. En effet,
il se compose d'un produit de deux fractions dont la première
est aussi voisine qu'on veut de A, et la seconde aussi voisine
qu'on veut de i. C'est ce que nous allons montrer.

VKAIES VAliEUKS ia5

D'abord on peut rendre ^ aussi voisin qu'on veut de a, à con-
dition de prendre a*o et x suffisamment voisins de a ; alors la
première fraction f'{^) : F'(ç) est aussi voisine qu'on veut de sa
limite A. Par exemple, on peut rendre la différence < s.

Knsuite, on peut, sans cesser de satisfaire à cette condition,
laisser Xo fixe et faire tendre x vers a, alors la seconde fraction
a ses deux termes qui tendent vei-s l'unité, car /(a'o) et V (Xo)
sont fixes tandis que f{x) et F (x) sont infinis. Donc la seconde
fraction est aussi voisine qu'on veut de l'unité.

11 résulte de là que f{x) : F (x) a pour limite A quand x tend
vers a.

En second lieu, si le rapport des dérivées tend vers l'infini,
la formule que nous venons de discuter montre que /(x) : F(x)
est aussi grand qu'on veut avec f'{^) : F'(^). La règle est encore
justifiée.

Hemarques. — i") La règle de l'Hospital (deuxième règle)
reste applicable au cas où a = oo, dans les mêmes conditions
que pour la forme 0 : 0 et la démonstration est la même (n° i3i).

2'') L'application de la règle de l'Hospital au cas oo : x peut
paraître illusoire, car, si une fonction f{x) devient infinie poui"
une valeur finie a de x, on sait que sa dérivée ne peut pas con-
server une valeur finie quand x tend vers a (n'' io6). Cependant
cette règle est souvent utile, parce que le rapport des dérivées
peut se prêter à des transfoi'mations qui mettent sa vraie valeur
en évidence, tandis qu'elles ne s'appliquent pas au rapport des
fonctions.

133. Cas où la seconde règle est en défaut. — LTne des conditions
stipulées peut venir à manquer et l'application inconsidérée de
la seconde règle conduire à des résultats faux.

1°) Le rapport des fonctions peut avoir une limite quand x
tend vers a, sans que celui des dérivées en ait une. Tel est le
cas pour les deux rapports suivants, le premier de la forme 0 : 0
et le second de la forme oo : oo :

.V* sm -

, . -v „ ,. X — sinx

lim — - ^ ^ 0, lira == I.

x:^> sm X x^" ^

126 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

Les rapports des dérivées ne tendent vers rien, ce sont res-
pectivement :

.II

2x sin ces -

X X I — COS X

COS X I

Toutefois, si les conditions de la seconde règle n'ont pas lieu,
celles de la première sont satisfaites pour le premier rapport :
les dérivées des deux termes sont 0 et i pour .x; — 0 (n" 99) et
leur quotient donne la vraie valeur, 0, de la fraction.

2") Réciproquement, le rapport des dérivées peut avoir une
limite sans que celui des fonctions en ait une. Le cas est plus
rare, mais en voici un exemple. Le rapport

Q-2X ^Qos X -\- 2 sin x) _ _^i -\- '2tg X
e-^(eos X -|- sin x) i -f tg 5C

prend la forme 0 : 0 quand ;x; tend vers l'infini. Sa vraie valeur
est indéterminée, car (i -f- 2 tg ^c) : (i -f tg a:) varie indéfiniment
de 4- 00 à — 00. Au contraire, le rapport des deux dérivées :

— 5 e-^ sin x 5 ^
= — e~"^

— 2 e~^sin X 2

a pour limite 0. La règle est en défaut, parce que les deux déri-
vées ont un facteur commun, sin x, qui s'annule une infinité de
fois quand x tend vers oo.

134. Autres formes d'indétermination. — Les autres formes d'in-
détermination les plus importantes sont :

00 — 00, 0.00 et 0«, 00", 1°°.

La première se présente lorsque les deux termes de la diffé-
rence f{x) — F{x) augmentent indéfiniment pour a; = a ; la seconde,
lorsque des deux facteurs du produit f{x). F (:x:) l'un tend vers
zéro et l'autre vers l'infini. Ces deux formes se ramènent im-
médiatement à la forme 0 : 0 ou 00 : co, par de simples transfor-
mations algébriques, en écrivant ces expressions sous forme de
fraction. Dans le premier cas, on pourra toujours poser, par
exemple,

Ax)-F(.x-) = (-L_^.):(-J^).
Quant aux trois dernières formes d'indétermination, on cher-

VRAIES VALEURS I27

chera la vraie valeur de leur logarithme, lequel sera de l'une
des formes déjà examinées. On sera donc conduit, dans tous les
cas, à appliquer le règle de riIos])ital.

135. Utilisation de la formule de Taylor. — Dans la plupart des
cas où l'indétermination ne disparaît (ju'après un usage répété
de la règle de l'Hospital, une application judicieuse de la for-
mule de Taylor conduira plus rapidement au résultat que la
règle en question. Ainsi, quand la fonction <p (a -h /ï) qui devient
indéterminée pour h = 0 est composée au moyen de fonctions
développables par la formule de Taylor, en substituant à ces
fonctions ou à quelques-unes d'entre elles leur développement
suivant les puissances de h et en poussant ce développement
suffisament loin, il pourra se faire, en supprimant les puissances
de h qui se détiuisent, que l'indétermination disparaisse et l'on
obtiendra la vraie valeur cherchée. C'est précisément ce que
nous avons fait (n" i3i) pour établir la première règle.

Voici un exemple. Si l'on remplace sina: par

et supprime le facteur (îommun x^, on trouve

,. X — sin.v ,. / 1 x^ , \ i

Exercices.

I. Forme-. — On a, x tendant vers zéro,

.. ^sin(sin;t;) — sin- ;r i
lim —

lim

^-

^sina:

I

X —

sin;ir

lim

tgx

— X

2

X —

s\nx

i;m

X —

tg-r

i8

,. e — {^-^xY e
lim - — ^^ — = -

X 2

— „ 3 lim ; = -

x^ 5 x^ a

.. Log{i + x-\-x^) + Log {1—X+ x^)
lim 7— r = I

x{e^— i)

2. F^orme oo — co. — On a, x tendant vers 0,

lim

— — cet- -^ 1 = r lim — — —- T — — 1 =

\x^ 7 3 \.x{i -\- x) x^ j 1

128 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

f I cota;\ I . fT.x — I , n \ -n

3. Forme 0 :oo.

lim ^Log — , — ^ — 2a „ 1 ^ ^ 1

lim \iS2x cotgl — h ^ ) = -• Hm log (2 ] cotg — =

4
4. Formes d'indétermination exponentielles

0° lim ;jr^=i i* lim (cos rt;i;)'=''««<=^«'a^= g 26.2

lim — arc tg^r -=::. i lim (tg;r)'e2^ = -

X——

4

cxo lim (i + ;f)i = 1 lim f^-^^ ^' _

a;=4-=o .T=o V ;r y ~

lim (— Log;t;)^=i lim (cos aA;) '"^^ = ( 0

f=+o -r=o v^y

lim (tg;i?)''"'=-^=i lim /^-arctg;^'

5. Discuter l'application de la règle de l'Hospital (deuxième règle)
aux exemples suivants, dans lesquels F' [x), dérivée du dénomina-
teur, a une infinité de racines :

lim : = — = 4-00

x=«o X — sin;i; 00

jj^^ ej^ _2=^i+°o (0<a<i)

^=00 ^-^(2 — sin;tr — cos;ir) 0 /O (a > i)

;tr + sin ;ir cos ;r ^ ■ ^,

lim -7 — , — -. r — r — = — = indet.

x=<c{x -\- s\n X cos x) e^^'^ ^ 00

R. La règle s'applique au premier rapport, au second (seulement si
a > i). Elle ne s'applique pas au troisième (elle conduirait cependant
à un résultat déterminé, 0).

6. Montrer que, si les limites existent au second membre, on a

(Cauchy)

<iix^
lim = lim [(f(A' + i) — t(^)1

lim '^{x)è^ liml^).

MAXIMES ET MINIMES I29

§ 3. Maximes et minimes (*) des fonctions
d'une seule variable.

136. Définitions. — Si f{x) atteint sa pins grande valeur dans
l'intervalle (A, B) en un point a de cet intervalle, /'(a) s'appelle
LE maxime de f{x) dans l'intervalle (A, B). De même, la plus
petite valeur, f\b), serait le minime.

Si la valeur de f{x) est plus grande au point a qu'en tout
autre point suffisamment voisin, c'est-à-dire si l'on a, quel que
soit le signe de h, sous la seule condition que | h \ soit suffi-
samment petit,

f{a + h)-f{a)<0,

f{a) s'appelle un maxime de la fonction, la fonction est maximée
au point a et a est un maximant.

Si f{x) est plus petite au point a qu'en tout autre point suffi-
samment voisin, c'est-à-dire si l'on a, quel que soit le signe de
77 et sous la seule condition que | h \ soit suffisamment petit,

/(a-f/ï)-/-(a)>0,

f{a) est UN minime de la fonction, celle-ci est minimée au point
a et a est un minimant.

Géométriquement, si l'on construit la courbe y = f{x). les
maximes et minimes correspondront aux v
points tels que M et M' de la courbe (fig. 2),
où l'ordonnée MP est plus grande et l'or-
donnée M'Q plus petite que les ordonnées
suffisamment voisines.

Il importe de remarquer que, suivant
ces définitions, un maxime ou un minime pjg^ 2.

n'est pas nécessairement la plus grande ou la plus petite valeur
de la fonction dans tout l'intervalle où ^c varie, mais seulement
une plus grande ou une plus petite valeur dans un intervalle
suffisamment petit, quel que réduit qu'il faille le supposer.
Rien n'empêche donc qu'une fonction ait plusieurs maximes ou
plusieurs minimes dans un intervalle donné.

(•) On dit aussi Alaxima et Minima. Nous suivons ici la terminologie de
V Encylopédie des Sciences mathénintiques.

l3o CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

On conjugue les verbes maximer et minimer. On dit extrémer
pour l'un et pour l'autre. Une fonction est extrémée si elle est
maximée ou minimée. Un maxime ou un minime est un ex-
trême, etc.

137. Théorème. — Les seuls points où f{x) puisse être extrêmêe
sont ceux où sa dérivée s'annule ou cesse d'exister.

C'est une conséquence immédiate des remarques du n" 102.
Si f'{x) existe et n'est pas nul, la fonction f{x) est croissante
ou décroissante au point x et acquiert au voisinage de ce point
des valeurs plus grandes et des valeurs plus petites qu'en ce
point : elle ne peut donc y être extrémée.

On remarquera que les points où f'{x) s'annule sont ceux où la
tangente à la courbe y = f{x) est parallèle à l'axe des x, comme
on l'a représenté dans la figure 2.

Supposons maintenant qu'il s'agisse de trouver les extrêmes
d'une fonction f{x) dans un intervalle où sa dérivée première
existe. Les seules valeurs de x capables d'extrémer la fonction
seront les racines de l'équation f'{x) = 0. Soit a l'une d'elles.
Nous aurons par la formule des accroissements finis (0<6<i)

Aa + /.) - m ^ /./(a + m) - e,.x(« + ^^;;)-/»

Supposons que f'{a) existe et soit différent de 0.

Ca quotient tend vers f '(a), quand h, donc ^7?, tend vers 0 ; il
aura donc le signe de /""(a) pourvu que h | soit suffisamment
petit, même si /"'(a) est infini. Donc, 0 et h^ étant positifs,
/(a + h) f{a) sera du signe de f"{a). Il y aura :

un maxime si f"(a) < 0, un minime si /""(a) > 0.

Plus généralement, supposons que la dérivée d'ordre n exis-
te au point a et soit la première qui ne s'annule pas en ce point.
Développons f{a -\- h) - /'(a) par la formule de Taylor jusqu'à
l'ordre n. Tous les termes sont nuls sauf le dernier, et il
reste seulement

n\

f(a + A)-Aa) = ^M,

où, comme on le sait (n° 122), M tend vers f(^){a) quand h tend

MAXrWKS ET MINIMES ï3l

vers 0, et, par suite, a le signe de cette dérivée pour | h \ assez
petit, môme si cette dérivée est infinie. Alors /*(a -\-h) — /'(a) a le
signe de h" fW{u), signe variable avec celui de h si ii est impair
(pas d'extréraé), invariable et le même que celui de f'-"){a) si n
est pair (minime ou maxime selon que ce signe est -|- ou — ).
De là, la règle suivante :

138. Première règle. — Pour trouver les extrêmes d'une fonc-
tion continue f{x) dans un intervalle où sa dérivée reste finie,
on cherche les racines de cette dérivée. Soit a l'une d'elles. On
substitue cette racine dans les dérivées successives de f{x) sup-
posées existantes Jusqu'à ce qu'on en trouve une qui ne s'annule
pas pour X = a. Si cette dérivée est d'ordre impair, il n'y a pas
d'extrémé ; si elle est d'ordre pair, il y a maxime si elle est
négative, et minime si elle est positive.

11 n'est pas toujours nécessaire de calculer les dérivées se-
conde, troisième, etc.. de f{x) pour décider s'il y a maxime ou
minime. D'autre part, la régie précédente ne s'applique pas aux
points où la dérivée cesse d'exister. Voici une autre règle, dont
l'emploi s'impose pour la discussion des cas où la dérivée est
discontinue pour a- = a.

139. Deuxième règle. — Soit /'{x) une fonction ayant une dé-
rivée déterminée f'{x) dans le voisinage du point a (le point a
lui-même pouvant faire exception). Supposons que f'{x) ait,
dans le voisinage du point a, un signe unique pour x < a, et
un signe unique pour x > a. Faisons passer x par la valeur a
en croissant ; il y aura : r" minime au point a si f'{x) passe du
négatif au positif ; 2" maxime si f'{x) passe du positif au néga-
tif ; 5" ni maxime ni minime si f'(x) ne change pas de signe.

En effet, f{x) est croissant ou décroissaut selon le signe de
f'{x). Dans le premier cas, f{x) diminue jusqu'à ce que x ait
atteint la valeur a pour augmenter ensuite ; dans le second,
f{x) augmente, tant que x est < a, pour décroître ensuite ;
enfin, dans le troisième, f{.x) continue à croître ou bien continue
à décroître après que a: a passé par la valeur a.

Kemarque. — En principe, la première règle est plus simple
que la seconde, car elle n'exige que le calcul de valeurs parti-

l32

CHAPITRE II. PORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

culières de certaines fonctions, tandis qae la seconde demande
l'étude de la manière dont varie une fonction, Cependant, en
pratique, on rencontre le plus souvent des fonctions bien con-
nues dont le mode de variation est familier. Aussi, dans bien
des cas où la première règle est applicable, la seconde est
encore plus expéditive.

140. Maximes et minimes correspondant aux points de discontinuité
de la dérivée. — Si f'{x) devient discontinue pour ;x; ^ a, la se-
conde règle indique qu'il peut y avoir extrême de la fonction.
Cela peut se présenter surtout de deux manières différentes :
i^' La dérivée f'{x) change de signe en passant par l'infini quand
X passe par la valeur de a. Supposons,
par exemple, que f'(x) passe du positif au
négatif ; la courbe y = f{x) affecte, dans
le voisinage de x = a, l'allure de la courbe
AB dans le voisinage du point M (fig. 3).
Le point M s'appelle un point de rebrous-
sement et l'on voit sur la figure que l'or-
J^^ë- "J" donné MP est un maxime. 2" La dérivée

saute brusquement d'une valeur à une autre valeur de signe
contraire. Supposons que ce soit d'une valeur négative à une
valeur positive ; la courbe y = f{x) affecte alors, dans le voi-
sinage de ;x; = a, l'allure de la courbe AB au point M' (fig. 3).
En ce point la tangente passe brusquement d'une inclinaison à
une autre, de sorte qu'en réalité deux courbes viennent se réu-
nir en M' sous une inclinaison différente. Le point M' est ce
qu'on appelle un point saillant et l'on reconnaît sur la figure
que l'ordonnée M'Q est effectivement minimée.

Exercices.

I. Maximes et minimes d'un polynôme. Soit le polynôme

f{x) = Ao^'"+ Al x""-^ + •••

On trouve ses extrêmes en étudiant les changements de signes de
sa dérivée (règle II). Soient a^, a^,... les racines réelles de degré impair
àe f {x) rangées par ordre de grandeur décroissante. On aura

f {x) = m Aox'--' + ■■ = P^o{x-a,t' {x-a^i\., ^{x) ;
les lettres X désigneront des entiers impairs et i^{x) sera nul ou positif.

MAXIMES ET MINIMES l33

Supposons Ao > 0 ; pour x = +<», /'(;»;) est égal à -|- oo, ensuite /'(;r)
change de signe chaque fois que x passe en décroissant par i\ne des
valeurs «i, a^,... Donc/(ai) est un minime, /(ag) un maxime, et ainsi
de suite alternativement. Si Ao était négatif, l'ordre serait inverse.

2. Maximes et minimes d'une fraction rationnelle. Soit /(;*;) = P : Q. Il faut
étudier les changements de signes de la dérivée (P'Q — PQ') : Q^ ou, ce
qui revient au même, ceux du polynôme P'Q — PQ'. On opère donc
comme dans l'exercice (i). Les racines réelles d'ordre impair de ce
polynôme rangées par ordre de grandeur décroissante donneront
alternativement : 1° des minimes et des maximes si ce polynôme a son
premier terme affecté d'un coefficient positif ; 2° des maximes et des
minimes si ce coefficient est négatif. 11 peut arriver qu'une racine de
degré impair de P'Q — PQ' soit en même temps racine de Q. Dans
ce cas, c'est une racine de degré pair de Q et elle rend/(Ar) infinie
positive ou infinie négative, mais il n'y a pas d'inconvénient à consi-
dérer, par extension, une valeur semblable comme un maxime ou
comme un minime de la fonction.

3. Maxime et minime de x'^ — 2x^ + i-

R. La dérivée a deux racines simples : |^(minimant)etO(maximant).

4. Maxime et minime de — — — .

x'^ -Y X — I

R. L'expression P'Q — PQ' a deux racines simples : 2 (minimant)
et 0 (maximant).

5. Maxime de (a + xf {a — xY , <t q,^ '^ > 0.

6. Maxime de ^^ (R. x = e) ; à^ x^n ,-x''-(vi, ^ ^ \/—\

7. Maximes et minimes de e^ sin x.

R. ;ir = 2^7r (minimant), Ar= (2^ + i)u (maximant).

4 4

8. Montrer que la fonction (4 cos x -}- cos 2x) est maximée ou mini-
mée en même temps que cos x.

R. On a /'(;!;) = — 4 sin ;tr (i + cos ;v). Les changements de signes
de/'{x) sont les mêmes que ceux de — sin x = D cos x.

g. Avec trois côtés égaux former un trapèze d'aire maximée.

R. Soit (f l'angle à la base du trapèze. Il faut maximer la fonction

sin !f (i + cos f ) = 4 sin - cos^ -, d'où <f = ôo». Le trapèze est formé

par trois côtés et la diagonale d'un hexagone inscrit.

ïo. Trouver sur une droite donnée OX un point P tel que la somme
de ses distances à deux points donnés A et B soit minimée.

l34 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

R. Les deux droites AP et BP doivent être également inclinées
sur OX.

11. Etant donné un cône droit, on demande de le couper, parallèle-
ment à la génératrice, par un plan tel que le segment parabolique
résultant soit le plus grand possible.

R. Soient a le rayon de la base du cône, x la portion de ce rayon
entre la génératrice et le plan sécant. On trouve x = a : 2.

12. Dans un levier du second genre, pesant et homogène, quel doit
être le bras de levier x de la puissance Q, pour que celle-ci soit mini-
mée, le moment M de la résistance étant donné ?

R. Soit g le poids de l'unité de longueur du levier. On trouve gx^=^

i3. Dans quel système de logarithmes peut-il exister un nombre
égal à son logarithme ?

R. Soit a le base du système. Il faut que x — loga x puisse s'annuler
et, pour cela, que son minime soit négatif. Ce minime a lieu pour
X ■= Loga e. La condition que le minime soit négatif donne

i_

a < e^ < 1,444667...

§ 4. Décomposition d'une fraction rationnelle
en fractions simples.

141. Objet de cette décomposition. — On appelle fraction simple
une fraction dont le numérateur est une constante, et le déno-
minateur une simple puissance d'un binôme telle que (2 — a)".
Nous allons montrer, en nous servant du développement d'une
fraction rationnelle par la formule de Taylor, que toute frac-
tion rationnelle peut se décomposer en un jpolynome entier et
une somme de fractions simples. Nous verrons i^lus tard, dans
le calcul intégral, toute l'importance de cette décomposition.

142. Formule de décomposition. — Soit à décomposer la frac-
tion rationnelle

Si ce n'était pas une fraction proprement dite, en effectuant
la division, on la décomposerait en un polynôme entier et une
fraction proprement dite. Nous admettrons donc que cette
oi^ération ait été faite et que f{z) soit de degré moindre que F(s).

Soient a,b,... l les racines réelles ou complexes de F(2); o.,^,..,
)> leurs degrés de multiplicité respectifs. On a

DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES l35

Fi(2) ayant toutes les mêmes racines que F(s) sauf la .racine a.
La fraction f{z) : Fi(s), n'étant plus infinie pour z -^ a, peut se
développer par la formule de Taylor (n" 127) sous la forme

(1) -M. ^ Ao-i-A, (z-a)+-.+Aa_,(z-a)«-^+M,(^-a)«,
d'où, en divisant par {z — a)" ,

^^> F{z)-{z-ay^{z-ay-'^ ^z-a^''^'

Le dernier terme Mj est, comme on le sait (n° 127), une frac-
tion proprement dite ayant pour dénominateur F 1(2). Les ter-
mes précédents sont des fractions simples. On est ainsi ramené
à décomposer la fraction

M ^AM.

Pour cela, on recommence la même opération. On pose

F,{z) = (z-bYF,{z),

de sorte que F^iz) admet les mêmes racines que F (s) sauf les
deux racines a et b. En développant /, : F, suivant les puis
sauces de {z — b) et en divisant par (2 — b)" , il vient

et on est amené à décomposer la fraction rationnelle Mg, qui a
pour dénominateur Fo{z).

On continue ainsi de suite de manière à épuiser toutes les
racines de F (2). Quand on arrive à la dernière, il n'y a plus
qu'à décomposer une fraction proprement dite de la forme

(2 - /)

et l'opération s'arrête, car, après avoir développé le polynôme
cp (2) de degré < À suivant les puissances de 2 — /, on trouve

sans nouveau terme complémentaire.

l36 CHAPITRE TI. FORMULE DE TAYLOIl. APPLICATIONS

Substituons maintenant, de proche en proche, dans l'équa-
tion (1) les développements de Mj, Mg,... M, nous trouverons la
formule de décomposition de f{z) : F(z) en fractions simples :

f(z) _ Aq a, , Aa_,

F (z) {z - a)« "*" {z - ay-^ ^"" ^ ^^=1^

Bo , B, Bs-i

^ (^z-b)^ ^ {z-bf'' ^ ' ^ z-b

+ •••

(^z — lf^{z — l)^-' ^z — l

143. Unicité du développement. Valeurs des coefficients. — Le déve-
loppement que nous venons d'écrire n'est possible que d'une
seule manière, et ses coefficients peuvent se déterminer sous
forme de dérivées.

Pour le montrer, définissons la fonction A{z) comme il suit :

Mz) = (z — aY^^

et multiplions la formule de décomposition par (0 — a)« ; elle
prend la forme

A(2) = Ao + Al (s — a) H 1- Aa_i {z — a)*-^ + M (0 — a)« ,

M gardant une valeur finie pour z = a. Donc les coefficients
sont ceux de la formule de Taylor et nous avons

I ! 2 ! * (a — i) !

De même, en posant B{z) ^ {z — b)^-^^ , nous avons

et ainsi de suite.

Ces formules peuvent servir à la détermination pratique des
coefficients. On peut employer aussi d'autres méthodes que nous
allons indiquer.

144. Autres méthodes pour calculer les coefficients. — i" Méthode
des coefficients indéterminés. On pose a priori la formule de
décomposition, dont la forme est connue, en laissant les numé-

DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES iSy

rateurs indéterminés. On chasse ensuite les dénominateurs en
multipliant les deux membres par F{z). En égalant les coeffi-
cients des mêmes puissances de z, on forme un système d'équa-
tions linéaires qui détermine les coefficients inconnus.

2° Méthode de dérivations successives. Soit, par exemple, à dé-
terminer les coefficients A. Si l'on multiplie l'équation (1) du
n° 142 par F 1(2), qui est égal à F (z) : (2 — a)"' , il vient

A2)-Fj(2)[Ao-fAi(z-a)+... + A^_^(2-a)='-*J=(2-a)«M,F,(2),

d'où l'on conclut que le polynôme du premier membre admet la
racine a au degré a. Donc il s'annule pour 2 = a ainsi que ses
(a — i) premières dérivées. En le dérivant (a — i) fois et en ex-
primant que ces conditions sont satisfaites, on obtient suc-
cessivement

/•(a)-F, (a)Ao = 0,
/•'(a)-F:(a)Ao-F,(a)Ai = 0,
f"{a) - F['{a) Ao - 2F;(a)A, — 2F,(a)A2 = 0,

et ainsi de suite. C'est un système d'équations récurrentes qui
déterminent de proche en proche Ao, A,, Ag,.,.

3° On peut arriver autrement au même système d'équations.
On remplace z par a + A dans le polynôme que l'on vient de
dériver successivement, ce qui donne

f(a + h)-¥,{a-\-h)

Ao -f- A,h + ... + A h" '

<X—i

puis on ordonne suivant les puissances de h jusque h'^-^. Eu
exprimant alors que les coefficients de toutes ces puissances
sont nuls, on retrouve le système d'équations qui précède. Ce
sont ces derniers calculs qui seront ordinairement les plus
rapides. Ils reviennent à effectuer la division de f{a-\-h) par
F, (a + A) en ordonnant suivant les puissances croissantes de h.

145. Cas des racines simples. Formule de Lagrange. — Lorsque
toutes les racines de F{z) sont simples, le développement en
fractions simples se réduit à

f{z) A . _B__^ _^ L

F{z) z-a^z-b^'"^j^:rr

l38 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

Les coefficients A, B..., se déterminent alors par les formules

*-'™ F(2) F (a)' '^ F'(b)'-

que l'on trouve par la règle de l'Hospital dans le cas où elle
s'applique aux variables complexes. La fornuile de décomposi-
sition est donc la suivante :

f{z) /'(a) I ,/(_^l_i ,

1 T,T(/K\ * ;,!•••

F(^) ' F (a) 2 — a ' F'{b) z — b

La formule de Lagrange n'est qu'une transfonnation de la
précédente. On fait les substitutions :

Y{z)=={z-ii){z-b).^.{z-l),
F'(a) = (a-6)(a-c)...(a-/),
Y'{b)=^{b-ii){b-c)...{b-l),

et l'on multiplie par F (2) ; il vient

ÎK-) - î^à) ^^_^^ ^^_^^ (a_/)-^-M^; (f,_a)-("5_c) ... (6-/) ^

Cette formule s'appelle la formule d'interpolation de La-
grange. On s'en sert pour construire la fonction f{z), entière, de
degré < n, qui prend n valeurs données /(a), f{b),... pour n
valeurs données a, b,... l de z.

CHAPITRE III.

Fonctions explicites de plusieurs variables.

§ 1 . Dérivées partielles et différentielles partielles
ou totales des fonctions de deux variables.

146. Dérivées et différentielles partielles. — Soit u == f{x, y) une
fonction continue et univoque de deux variables indépendantes
.V et y. Si l'on attribue à y une valeur constante et qu'on fasse
varier x, ii devient ane fonction continue de a' seul. Si elle
admet une dérivée, celle-ci se nomme la dérivée partielle de u
par rapport à x. Cette dérivée partielle est ainsi, par définition,
la limite du rapport

f{x + ^x, y) — f(x, y)

^x

quand la différence ^x tend vers 0. On la représente par l'une
ou l'autre des notations suivantes :

Ux,y), Jyœf{x,y) ou D,«, ^fl^ou^.

ox ax

De même, en regardant x comme constant et y comme va-
riable, on forme le rapport

f{x, y -f Ay) — f{x, y)

Si celui-ci tend vers une limite quand ^y tend vers zéro,
cette limite est la dérivée partielle de u par rapport à y et se
représente par les symboles, analogues aux précédents :

f'vix, y), I),f{x, y), ^^^^.

Les différentielles partielles d^u, dyii sont, par définition,
les produits :

da:U =^;^^. dyU =^^r.

l4o CHAPITRE m. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

des dérivées iDartielles en a- et en y par les différences arbi-
traires Ax et Ay des variables correspondantes.

147. Différentielle totale, — Rappelons d'abord les définitions
qui ont été données pour une fonction u d'une seule variable x.
Cette fonction est différentmble si son accroissement Au peut se
mettre sous la forme

Au = A Ax + e Aoc,

où A est indépendant de Aa; et e infiniment petit avec Aa%
auquel cas sa différentielle, du, est la partie, A Ax, de Au qui est
simplement proportionnelle à \x.

Ces définitions s'étendent tout naturellement aux fonctions
de plusieurs variables.

Considérons une fonction u de deux variables qui reçoivent
respectivement les accroissemenls Aoc et Ay, et posons, pour
abréger l'écriture,

p == I A.X I + I Ay 1 .

Nous dirons que u est différentiable au point x, y si u est
bien déterminée aux environs de ce point et si son accroissement
Au peut se décomposer en deux parties comme il suit :

(1) Au = (A Ajc + B Ay) + ep,

A, B étant indépendants de ^x et Ay, et e infiniment petit avec p.
Il est clair d'ailleurs qu'il est indifférent d'écrire ep ou

e'Ajc 4- e"Ay,

pourvu que e' et e" tendent vers 0 quand ^x et Ay tendent vers 0
d'une manière quelconque.

Quand u est différentiable, la partie de Au qui est simplement
linéaire en iix et Ay s'appelle la différentielle totale de u et se
représente par du. On a donc

du = A Aat 4- B Ay.

Théorème. — La différentielle totale d'une fonction différen-
tiable de deucc variables est la somme de ses deux différentielles
partielles.

En effet, posant Ay = 0 dans (1), puis faisant tendre ^x
vers 0, on en conclut

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIET.LES ET TOTALES l4l

.. ^u du . , -. du -,

lim -r — = ^r-=A; de même, -^-~=B.

Ax ax oy

Par conséquent,

(2) du = ^^ Aa: + ^^ Ay = d^ w + ^/j, u.

Ceci montre que les dérivées partielles de u sont finies et dé-
terminées en tout point où u est différentiable, mais la réci-
proque n'est pas toujours vraie.

Si l'on fait u = x, ow. u = y, dans (2), il vient

dx = Ax, dy = Ay,
et, en substituant ces valeurs dans (2), il vient

(3) du=^ldx-\-^^^dy.

La comparaison des équations (2) et (3) appelle une remarque
analogue à celle qui a été faite dans le cas des fonctions d'une
seule variable (n° 98). L'équation (3) est, comme nous le verrons,
plus générale que (2). Celle-ci suppose les variables x et y
indépendantes, tandis que l'équation (3) n'est pas soumise à
cette restriction.

Il est essentiel de remarquer que, la fonction u étant diffé-
rentiable au point (x, y), l'expression (1) de l'accroissement Au
prend maintenant la forme *

^^^ ^" = ^ ^^ + ^ ^r + ep - c?« + ep.

Les équations (1) ou (4) mettent d'ailleurs en évidence que
A« tend vers 0 avec p (donc avec A^c et A3') ; d'où la proposition
importante : Une fonction est continue en tout point où elle est
différentiable.

148. Théorème. — Une fonction ne peut cesser d'être différen-
tiable que si ses dérivées partielles cessent d'être continues.

Sous une forme plus précise :

La fonction u = f{x, y) sera différentiable au point M {x, y), si
f'y est finie et déterminée au point M, fx déterminée dans les
environs du point et, déplus, continue au point M (ou vice-
versaj.

1^2 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

Décomposons la différence A/" en une somme de deux autres
différences :

L/'{A- + àx, y 4- Ay) - f{x, y + ^y)] + [f{x, y + ^y) - f{x, y)]

Désignons par e', e" des quantités cxui tendent vers 0 avec les A.
Nous avons d'abord

f{x, y + ày) — f{x, y) = f^x, y)^y -h e'Ay,

parce que f,j{x, y) existe et est finie ; ensuite, par la formule
des accroissements finis,

f{x -I- ^x, y 4- Ay) — f{x, y + Ay) = ^xtUx + 9A.r, y + ^y)

= /"k^. y)^x + ^"^x,

parce que f^ est déterminée aux environs de M et continue en
ce point. Substituant cela dans l'expression de A/', elle devient

A/^ f'a,^x -f flAy -f e"A.v + B'^y.

Comme e"AA' + e'Aj* est de la forme ep, car ] ^x \ et | Ay |
sont <: p, cette relation est de la forme (1), ce qui prouve la
proposition .

149. Remarque, — Les conditions énoncées dans le théorème
précédent et, en particulier, l'existence des dérivées aux envi-
rons du point M, ne sont nullement nécessaires pour que la
fonction soit différentlable en ce point. On peut d'ailleurs donner
une expression assez simple de la condition nécessaire et suffi-
sante pour cela. A cet effet, désignons, en général, par Aa^cp et
Ayco les accroissements d'une fonction 'f{x, y) provenant respec-
tivement des accroissements A.x seul et Ay seul. Si l'on donne
successivement ces accroissements à x puis à y, f{x, y) devient
successivement

(i + A^)/; puis (i + A,,) (1 -h A^)/-^ (I + A)/'.

D'où la relation

Mais, si /'est différentiable, les dérivées partielles sont exis-
tantes et finies, on a donc

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES 1^3

Dona la comlitioli nécessaire et suffisante pour que f'{x, y)
soit différent iable en un point (x, y) où ses deux dérivées jtar-
tielles sont finies et déterminées, est que la différence seconde
A.r Ay/*sot7 infiniment petite par rapport à p.

150. Dérivée et différentielle d'une fonction composée d'une seule
variable indépendante. — Soit u == f(x, y) une fonction différen-
tiable an point ^c, y. Remplaçons-y x et y par deux fonctions
d'une variable indépendante unique t, différent iables au point t.
Nous obtenons ainsi une fonction composée de t. Pour calculer
sa dérivée au point t, remarquons que la formule (4) subsiste
indépendamment de toute hypothèse sur les accroissements ùix
et Ay, de sorte que nous pouvons admettre qu'ils correspondent
à l'accroissement ^t. Divisons alors la formule (4) par A/, il
vient (en écrivant f au lieu de u)

^f{x,y)_^f ^x , âf ^y ^^ ?

M âx M ' ây M ' Af

Faisons tendre Af et avec lui ^x, Ar, e et p vers 0 ; il vient,
à la limite, vu nos hypothèses au point t, en vertu desquelles
A.v : Af, Ar : Af et p : Af ont des limites finies,

dfix,y) ^ df dx df dy
dt ' dx dt '^ dy df

Donc, si f{x, y) est différent iable, et si x, y sont des fondions
différentiables de t, la dérivée de f par rapport à t est la somme
des dérivées partielles de f par rapport à x et y respectivement
multipliées par les déi-ivées de x et y par rapport à t. C'est la
règle de dérivation des fonctions composées.

En multipliant cette formule par dt, on obtient la différen-
tielle de f{x, y), à savoir

D'où le théorème suivant :

Si f{x, y) est différentiable et si x et y sont deux fonctions
différentiables d'une même variable i, la différentielle de f{x, y)
considérée comme fonctions de f, s'exprime au moyen de x, y,
dx et dy, par la différentielle totale de f(x, y) comme si les va-
riables x et y étaient indépendantes.

l44 CHAPITRE m. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

Remarque. — Le théorème général que nous venons d'énon-
cer renferme, comme cas particuliers, les règles de dérivation
d'une somme, d'un produit et d'un quotient que nous avons
démontrées séparément au chapitre P'" (n° 96). On vérifie, en
effet, immédiatement que les seconds membres des formules :
d{u -\-v) = du + dv, d uv ■-= udv -\-v du,

,u V du — udv

d- = 5 ,

V v^

représentent respectivement la somme des différentielles par-
tielles des premiers membres par rapport à u et à y.

151. Calcul pratique des différentielles totales. — I^e théorème
précédent revient à dire que les différentielles totales se cal-
culent par les mêmes règles que les différentielles des fonctions
composées d'une seule variable. Si les différents modes de com-
position de la fonction f{x, y) sont de ceux qui ont été prévus
au chapitre I, et c'est ordinairement le cas, il suffira d'appliquer
les règles établies dans ce chapitre pour obtenir la différentielle
totale.

C'est ainsi que les règles de différentiation d'une fonction de
fonction, d'un quotient et d'une somme (n'' 96) conduisent aux
résultats suivants :

y X X dy — y dx
d arc tg — = s= — „ . ., — ;

X^

— — _ ds/x^' + y 2xdx-\-3 y'dy

d Log Va- + y^ ^ -^j^^jT —^W~+¥y~'

On voit que les différentielles totales s'obtiennent sans cal-
culer séparément les dérivées partielles et l'on évite ainsi la
répétition inutile de certains calculs.

D'autre part, si l'on connaît la différentielle totale de f{x, y),
on peut en déduire à simple lecture ses deux dérivées partielles.
En effet, dx et dy étant des coefficients indéterminés, la déri-
vée partielle par rapport à x sera le coefficient de dx, et la
dérivée partielle par rapport à y celui de dy, dans l'expression
de la différentielle totale. C'est ainsi que l'on tire immédiate-
ment du calcul fait plus haut :

d ^ y X à . y y

DÉRIVÉES ET DIFî^ÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l45

152. Dérivées partielles du second ordre. — Soit u — f{x, y) une
fonction de deux variables indépendantes ;x; et y ; ses dérivées
partielles fx et fy seront, en général, des fonctions de x et de
y et pourront admettre elles-mêmes des dérivées partielles.
Nous désignerons la dérivée partielle de fx par rapport à x par

fs!:x{X,y) ou D^xf ou -^y

et sa dérivée partielle par rapport à y par

fxy {pc, y) ou T>l-yf ou

dxdy

De même, les dérivées partielles de fy par rapport à x et à y
seront respectivement

ÎVX - ^yxî - j^' îvv - i)vvT - -^'

Voici, concernant ces dérivées, un théorème fondamental, en
Ttu duquel fyx = focy, ce qui réduit à trois
bre des dérivées partielles du second ordre.

vertu duquel fyx = focy, ce qui réduit à trois seulement le nom

153. Interversion des dérivations. — Théorème I (Young). —
Si fx et fy sont déterminés aux environs du point x, y et diffé-
rentiables en ce point, on a, au point x, y,

' xy — ' yx

On obtient ce théorème en calculant de deux manières diffé-
rentes la différence seconde :

AY= f{x f A, y 4- /i) _ f(x -i-h,y)~ f(x, y + h) -f f{x, y).

D'abord A^est l'accroissement éprouvé par

? (-v) = f{x, y-\-h) — f{x, y)

quand .v augmente de h, d'où, en appliquant à '^(.y) la formule
des accroissements finis,

^'f = Kf'x (a* 4- 6A, r + h) - /•; {x + 0/î, r)].

Mais, comme fx est différentiable au point .y, r, on a, par la
formule (4) du n° 147, e' et e" tendant vers 0 avec h,

f'x{x + ^h,y + h)-f'x (x, y) ^ Hhfxx + hfxy + e'/i,
f'x {x -f- e/i, y) - /•; {x, y) = ^hf^x 4- t"h.

10

l46 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

Portant la différence de ces deux quantités dans le crochet,
on trouve

où e désigne encore une quantité, e' — e", qui tend vers 0 avec h.
D'autre part, A^fest raecroissement de la fonction

^ (y) = f{x-\-h,y) — f{x, y)

quand y augmente de h, en sorte que l'on trouve, par un calcul
symétrique du précédent.

Faisant tendre h vers 0, il vient donc

lllïl -^^ — Jxv — Jyx'

Le théorème de Young postule l'existence de toutes les dé-
rivées secondes au point x, y, mais non leur continuité. Le
théorème suivant de Schwarz ne postule l'existence que de fxy
(mais aussi sa continuité) et il peut être plus utile dans cer-
tains cas :

Théorème II (Schwarz). — Si fer, fy et f'.ly existent dans le
voisinage du point {x, y), et si fxy est continue au point {x, y),
l'autre dérivée fyx existe aussi en ce point et est identique à fxy

Posons, pour simplifier,

cp (x) ^ f{x,y 4 k) - f{x, y) ;

on aura, par la formule des accroissements finis, qai s'applique
deux fois de suite,

<f{x + /ï) - f(x) = h[r^{x-h^h,y + k)-fl{x-\-^h,y)]
^hkf';^{x 4-QA,j4-9». ■

Cette dérivée seconde est continue ; donc, en désignant par e
une quantité qui tend vers 0 avec h et k, on peut écrire
cp (^ + A) - <p (x) = hk[f'^^ {x, y) -\- e].

Divisons d'abord par k et faisons tendre k vers 0 ; les deux
rapports cp : Te au premier membre ont pour limites des dérivées
f supposées existantes et l'on trouve

fl {X + h, y) - fl {X, y) = hir;^ {X, y) + e].

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES I^"]

Divisons maintenant par h et faisons tendre h vers 0 ; e tend
vers 0, et il vient, par définition de la dérivée seconde, f' = f'J

Donc, si les dérivées considérées sont continues, les caracté-
ristiques ï)x et I),/ peuvent toujours être interverties.

Les quatre dérivées partielles du second ordre de la fonction
u = f{x, y) se réduisent donc en général à trois distinctes :

ô'^u d'^u d^u d^u

dx^' dxdy dydx' dy^ '

Cette notation a l'avantage de mettre l'égalité des deux déri-
vées partielles en évidence et, quand on l'emploie, on suppose
toujours implicitement que les conditions nécessaires pour
assurer cette égalité sont remplies :

154. Différentielles partielles du second ordre. — Aux dérivées
partielles du second ordre correspondent les différentielles
partielles, définies par les équations :

,2 d~u , „ , , d^u , j ,2 d^u , ,

".r u = -r-- dx-, d,r diy u = -, — r-- dxdy, dj, u = -r— „ dy^.

dx" ■' ùx ây * ^ dy- -

L'équation DrD^u ■=-■ D^D^u entraîne donc aussi l'égalité

dojdi^u = d>,docU,

de telle sorte que l'ordre de deux différentiations partielles
successives par rapport à x et à y peut aussi être interverti.

155. Dérivées et différentielles partielles d'ordre quelconque. — Le
théorème du n" i53 se généralise de lui-même. Concevons que
l'on effectue sur une fonction u = f\x. y) un nombre quelconque
de dérivations partielles successives, les unes par rapport à x,
les autres par rapport à y, dans un ordre arbitraire. 11 suit de ce
théorème que l'ordre de deux opérations consécutives peut être
interverti quand elles se rapportent à deux variables diffé-
rentes, pourvu que toutes les dérivées que l'on considère restent
continues ou, plus généralement, que l'on ne dérive que des
fonctions différentiables. Moyennant cette restriction, on peut,
par la répétition de ces permutations, ranger les dérivations
dans l'ordre que l'on veut ; on peut faire, par exemple, d'abord
toutes les dérivations par rapport à x et ensuite toutes celles

l48 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

par rapport à y. Le résultat de m dérivations par rapport à x et
de n dérivations par rapport à y, opérées consécutivement sur
la fonction u, est indépendant de l'ordre suivi et peut se dési-
gner par un seul et même symbole

dx^dy^ '

Cette quantité est une dérivée partielle de l'ordre (m -\- n). En
la multipliant par dx^dy^, on obtient la différentielle partielle
du même ordre

156. Difiérentielles totales successives. — Soit ii = f{x, y) une
fonction différentiable des deux variables indépendantes x et y.
Si sa différentielle totale

est différentiable, dx et dy étant considérés comme des para-
mètres constants, c'est-à-dire si ^- et -.— sont déterminés aux

ox ay

environs du point considéré et différentiables en ce point, on
dira que ii est différentiable jusqu'au second ordre et la diffé-
tielle de du sera sa différentielle seconde d^u.

Cette différentielle se calcule de la même façon que la précé-
dente. Mais on observe que l'on a, en v'ertu du théorème de
Youug (u° i53) qui s'applique quand du est différentiabl ,

c^u _ d^u
dxdy dydx

De plus, on convient d'introduire les mêmes différentielles
dx et dy dans les deux différentiations consécutives. On trouve
ainsi

Les différentielles successives d^u, d*u,... se définissent
ainsi de proche en proche. On dit que u est différentiable jus-
qu'à l'ordre n si d"-^u est différentiable, donc si toutes les
dérivées d'ordre {n — i) sont déterminées autour du point con-
sidéré et différentiables en ce point. Cette condition assure la

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES I^Q

légitimité do l'interversion des dérivations en x et en y et le
calcul se fait sans difficulté.

On peut former une expression symbolique très commode de
d"«en remarquant que, pour former la différentielle totale
d'une fonction, il suffit de la multiplier par le facteur symbolique

et d'effectuer la multiplication comme si -r— ,-^-, d^c et frétaient

dx Oy ''

des facteurs algébriques. On trouve ainsi, en interprétant les
puissances de d comme des indices de dérivation.

Ceci suppose que x et y soient des variables indépendantes ou,
plus généralement, que dx et dy puissent être traitées comme
des constantes dans les différentiations successives.

Si «; et y sont des fonctions différentiables d'autres variables
indépendantes, dx et dy ont des différentielles successives d^x,
d^x,... d^y, d^y,... qui s'introduisent dans les différentielles
de u. Dans ce cas, on trouve, en faisant les calculs,

et ainsi de suite.

157. Méthode pratique de calcul. — Pratiquement, les différen-
tielles totales se calculent, non par l'addition des différeutieiles
partielles, mais par la simple application des régies générales
du chapitre I. Le calcul est même si simple qu'il y a souvent
avantage à se servir de ces différentielles pour calculer les
dérivées partielles de u. On traite alors x et y comme des
variables indépendantes dont les différentielles dx et dy sont
des constantes arbitraires. On obtient ainsi des résultats de la
forme

da = pdx 4- qdy, d-ii = rdx^ + 2sdxdy -\- tdy^ ,...
où p, q , r, s, t sont des fonctions explicites de x et y. La com-
paraison avec les formules générales montre que l'on a, puisque
dx et dy sont des indéterminées,

^du du _ d^ii _ d^u d^ii

^ dx' ^~dy' ''~dx'' ^~âxd^'' dy^""

l5o CHAPITRE ni. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

(Jette méthode de calcul est surtout avantageuse lorsque l'on
doit connaître toutes les dérivées partielles d'un même ordre.
C'est généralement le cas dans les applications géométriques.

§ 2. Extension à un nombre quelconque de variables.

158. Définitions des dérivées et des diflPérentielles premières. — Soit
Il = f(x, y, :■ ) une fonction de plusieurs variables indépen-
dantes ; la dérivée partielle de ii par i-apport à l'une d'elles,
X par exemple, est la dérivée de a considérée comme fonction
de X seule, toutes les autres variables étant traitées comme des
constantes. On la représente par les symboles ;

^ ^^ ^' ^^ ^^' ^'' ^'■••^' ^^f(^' y' ^'•••)-

Les différentielles partielles d^u, dyU,... s'obtiennent en mul-
tipliant les dérivées partielles par les accroissements ^x, Ay,...
des variables correspondantes, de sorte que

d^u^-^^x, d,u=^_t,y,...

La fonction u est différentiable au point x, y,... si elle est
déterminée aux environs de ce point et si l'accroissement Azz
correspondant aux accroissements Arv, Ay,... peut se décompo-
ser dans la somme de deux parties :

^u = {A^x + B^y + •••) 4- ep,
P = I Aiv I + 1 Ar I + ...
dont la première est simplement linéaire en ^x, Ay,... et où e
tend vers 0 avec Ax, Ay,... c'est-à-dire avec p (*). Dans ce cas,
la première partie (AA.x;, -f BAj' + ...) se représente par du
et s'appelle la différentielle totale de u. Comme d'ailleurs A, B,...
sont les dérivées partielles de u en ;x;, en y,..., il vient

, du . , du . ,
du = 3- Aa; + 3— Ay -\ —
dx dy -^

'Donc la, différentielle totale est la somme des différentielles

partielles.

(*) La définition ne sei-ait donc pas changée si l'on posait

p = \/A;i;2 4- A_y2 -]-...

DÉRIVÉES ET DIFFÉIIENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l5l

En particulier, pour u ==^ x, pour u = y,... on a respective-
ment

dx = ^x, dy = tiy,...

et du peut s'écrire sous une nouvelle forme
, du , , du , ,

Cette nouvelle forme a sur la première l'avanta^ge d'une plus
grande généralité comme nous le montrerons tout à l'heure
(n» 159).

Si u est differentiable au point x, y, nous pouvons écrire

maintenant

. du . , du .

^""-d^^^'^d^^y^-^'?'

e tendant vers zéro en même temps que les accroissements A. Il
suit de là qu'une fonction est continue en tout point où elle est
differentiable.

La démonstration du n° 148 se généralise d'elle-même, de
sorte qu'une fonction ne peut cesser d'être differentiable que si
ses dérivées partielles cessent d'être continues.

159. DiflFérentiation des fonctions de fonctions. — Soit u une
fonction differentiable des variables x, y,..., celles-ci étant
elles-mêmes des fonctions différentiables des variables indé-
pendantes 5, T,,..., de sorte que u est une fonction composée de
\, T),... Je dis que u, considérée comme fonction de ^, r,,..., est
differentiable et que sa différentielle totale s'exprime à l'aide de
Xf y,... dx, dy,... par la même formule

, du , , du , ,

que si les variables x, y,... étaient indépendantes.

Pour simplifier l'écriture, nous supposerons dans la démon-
stration qu'il n'y ait que deux fonctions intermédiaires x, y et
deux variables indépendantes Ç, ri. Posons

p = I A;x; I + I Ay I , p' = I Ai I -f I At^ I .
Nous aurons, puisque ^c, y sont différentiables,

^^-l^^ + l^^ + ^'f-

l52 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

OÙ les quantités e tendent vers 0 avec p'. Soit w la valeur abso-
lue de la plus grande de ces quantités e, et M la valeur absolue
de la plus grande en valeur absolue des quatres dérivées par-
tielles de X et y. Nous aurons, par les équations (1),

I /ix I < (M + w) p', I Ay I < (M + to) p'

et, par conséquent,

4 = ^ïJ^^2ll < ,(M + co).

P P V ' /

Donc le rapport p : p' reste fini et p tend vers 0 avec p'.

Ceci posé, la fonction f{x, y) étant différentiable, nous avons

. du . , du . ,

^" = ^^^ + ^^^^-'-^P'

et, en substituant dans ceci les valeurs (1), qui peuvent s'écrire

Aa; = dx -\- e'p', A3^ =^ dy -\- e"p',

il vient

^" = (5^<'- + |''r) + P'Gi + . + 4

Mais ceci prouve la proposition, car la dernière parenthèse
est infiniment petite avec p' et la précédente est, en même temps
que dx et dy, linéaire et homogène en A^ et Avj. On a donc

, du , , du ,
OM = -r— «a; + ^r— dy.
dx dy

Donc, tant que les fonctions considérées sont différentiables,
les différentielles totales se calculent toujours de la même
façon, que les variables soient indépendantes ou ne le soient pas.

160. Dérivation des fonctions composées. — Si 5C, y,... sont des
fonctions différentiables d'une variable unique t, la dérivée de
u = f{x, y,...) par rapport à t s'obtient en divisant la différen-
tielle du par dt. 11 vient ainsi

du_dudx dudy
'dt'dxlt'^dy'dt'^'"

ce qui généralise la règle du n° i5o.

Si X, y,... sont des fonctions différentiables de plusieurs
variables ^, 7\,..., les dérivées partielles de f{x, y,...) par rap-
port à ces variables se calculent par la formule précédente.

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES I 53

sauf que les dérivées de x, y,... sont des dérivées partielles.
Par exemple, on a

du _ du dx du dy
^~~dx~^^dyd^'^'

161. DifFérentiation des équations. — Soient x, y,... des variables
indépendantes. Si une fonction u = f{x, y,...) se réduit à une
constante, on a

Au = 0, donc (par définition) du = 0.
Réciproquement, si

du , . du

comme dx, dy,.,. sont arbitraires, chacune des dérivées par-
tielles doit être nulle, u ne dépend d'aucune des variables et se
réduit à une constante. Donc la condition nécessaire et suffisante
pour que u se réduise à une constante est que l'on ait du =^ 0.
Considérons maintenant des variables x, y,... indépendantes
ou non, satisfaisant à l'équation

f{x,y,...) = 0.

Nous disons que cette équation est différentiable si la fonction
f{x, y,...) est différentiable. Donc, si x, y,... sont différen-
tiables, d/"se calculant toujours de la même façon, on aura,
puisque f est constant et df nul,

Différentier totalement une équation, c'est égaler les diffé-
rentielles totales de ses deux membres. Le résultat que nous
venons d'obtenir se formule dans le principe suivant, qui est
fondamental :

Étant donnée une équation différentiable entre un certain
nombre de variables, indépendantes ou non, mais différentiables,
il est toujours permis de différentier totalement l'équation.

162. Dérivées et différentielles successives, — Les considérations
émises dans le paragraphe précédent se généralisent d'elles-
mêmes et il suffit d'énoncer les résultats.

Si l'on effectue un nombre quelconque de dérivations succès-

l54 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIAULES

sives par rapport à des variables difféioutes ;x:, y, z,.,., l'ordre
de deux dérivations successives par rapport à deux variables
différentes peut toujours être interverti, moyennant l'hypotlièse
de la continuité des dérivées ou celle de la différentiabilité des
fonctions. De la sorte, le résultat de m dérivations par rapport
à A", n dérivations par rapport à y, p dérivations par rapport
à z,... effectuées dans un ordre quelconque sur une fonction
u = f(x, y-, z,...), peut être représenté par le sj'^mbole unique

dx'^dy^dzPTT,'

Une différentielle sera dite différentiable si elle est formée
de dérivées partielles différentiables. Dans ce cas, les différen-
tielles totales successives se calculent en appliquant successi-
vement les règles établies pour les différentielles premières.
Si les variables x, y, z,.., sont indépendantes, la différentielle
jiième ^q f^y^^ y^ Z,...) admet la forme symbolique

dnax.r.z,...)={±^d=c+^dy + l^dz + ..)y.

163. Théorème d'Euler sur les fonctions homogènes. — Une fonc-
tion f{x, y, z,...) est homogène par rapport aux variables
X, y, z,..., lorsqu'elle vérifie l'identité

(1) f{tx,ty,tz,...) = t^f{x,y,z,...),

t désignant une indéterminée. L'exposant m est le degré d'ho-
mogénéité de la fonction.

Si l'on fait t = -, l'identité devient

X

fix,y,z,...) = x-^f(i,^,l,...y
(2) f{x, y, z„..) = x»^^Ç^, -,-.•).

c'est-à-dire

Donc, si l'on divise une fonction homogène de degré m par
la m^^^^ puissance de l'une des variables, elle ne dépend plus
que des seuls rapports des variables.

On s'assure immédiatement qu'une fonction qui vérifie la con-
dition (2) vérifie la condition (1). Donc l'équation (2) peut aussi
servir de définition des fonctions homogènes.

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l55

Dérivons l'équation (1) par rapport à t, il vient identiqueuieni
xf'^itx, ty,...) + yflitx, ty,...) + - = mt^-^f{x, y,...)
ou, en faisant f = i,

(3) xf'^ix, r,...) + yflix, y,...) + ... = mf{x. y,...).

C'est dans cette identité que consiste le théorème d'Euler :
La somme des produits des dérivées partielles d'une fonction
homogène par les variables correspondantes est égale à la fonc-
tion elle-même multipliée par le degré d'homogénéité.

Plus généralement, si l'on dérivait l'équation (1) n fois de
suite par rapport à t avant de faire f = i, on trouverait, par la
formule symbolique du numéro précédent,

{x-^ + y^-]--Jfix,y,...)==m{m-i)...{m-n-hi)f{x,y„..).

Exercices.

i. Dérivées partielles et différentielles totales successives des
fonctions :

2. Dérivées partielles d'ordre quelconque àe/{ax -\-by -j- c).

^- dx^dr ^ <^'"h« /["'+») {ax +by-\rc).

3. Appliquer le calcul de l'exercice précédent en supposant que/(M)
soit une des fonctions :

C* , sin M, cosu; Log «, etc..

4. Différentielle «'^'"» de m = e<^ f{y).

R. On applique la formule symbolique du n° i56. On trouve, en
interprétant les puissances de /comme des indices de dérivation,

i" «"* f{y) = c«^ Ifiy) dy-\-a dx]" .
! résultat à la fonction e^ <
6. Différentielle totale m''"" de u = arc tg'
une première f
xdy — ydx 1

5. Appliquer ce résultat à la fonction e^ cos by.

X '
R. Difïérentions une première fois, il viendra

~dx + idy dx — idy

du =

xi -l-jj/2 2»

x+yi x—yi _

puis, en différentiant encore (h — i) fois,

l56 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

fl'«î^ = (— l)«-l-

— T^!

(dx + idy)" {dx — idyY

21 |_ {x-{-yiY {x — yiy*

Pour se débarrasser des imaginaires, on pose

X -\-yi = r (cos 6 + » sin 6) dx -\-idy = ds (cos f -\-i sin cp).

On a alors

^« « = (— i)n-i (;j _ i) ! / — j sin n{f — C).

On peut aussi calculer d'une manière analogue les dérivées partielles.

y. Différentielle totale «'«""* de « = Log V^^ +3'^-
R. On trouve d'abord

du =

xdx-\-ydy i

dx -\-idy dx — i dy

x^-\-y^ 2 |_ x-{-yt X — yt

ensuite, par les substitutions de l'exercice précédent,

/ ds \^
d'*u = {— i)«-i(« — i) ! ( — j cos « (cp — 6).

Remarque. Les résultats des exercices 6 et 7 dérivent immédiatement
du calcul de d" Log z dans la théorie des fonctions d'une variable
complexe.

8. Sif'^{x + ^- y, •2')---) iend vers une limite déterminée quand h tend
vers 0, on a

/i (x, y,z,...) = lim/^ {x + h,y,z...).

R. Ce théorème se démontre en faisant tendre h vers 0 dans la rela-
tion

/(;. + h,y, z,...)-f(x, y, z,...) _^,^^ ^ ^^^ ^^ ^^^^^^^
h

C'est donc une propriété de la dérivée des fonctions d'une seule
variable.

9. Si le point x, y,,., est un point de discontinuité isolé de la dérivée
seconde f xy {x , y,...), c'est-à-dire s'il n'y a pas d'autre point de discontinuité
dans un domaine suffisamment petit enveloppant ce point, on aura, pourvu
que ces limites existent,

f';^{x,y,..,) = \xmr{x,y^k,...) = \imf^^{x,y + k,...),
f';^{x,y,.,.)^Xxmf'nx^h,y,.,.) = \xvcvfl{x-^h,y,...Y

R. C'est l'application du théorème précédent.

10. Déterminer, en appliquant le principe précédent, les dérivées
partielles du second ordre au point x =y = 0 de la fonction.

FORMULE DE TAYLOR POUR PLUSIEURS VABIABLES l57

f{x, y) = ;p2 arc tg-^ —y^ arc tg -,

R. On trouve en général

f:M,y) =

x^ — y

On en conclut

/" (0, 0) = lim/" (;»:, 0) = i
/" (0, 0) = lim/" (0,>') = — I.

11. Déterminer les dérivées partielles à l'origine de

/(^,J'.^) = (^ + ^)'arctg^^-(j'-2)2arctg^-~.

12. Déterminer directement les dérivées partielles des deux exercices
précédents en recourant à la définition générale de la dérivée.

§ 3. Extension de la formule de Taylor
aux fonctions de plusieurs variables.

164. Formule de Taylor. — Considérons une fonction f{x, y,...)
de plusieurs variables. La formule de Taylor a pour but de
développer la différence /"(a 4 /i, 6 + A:,...) — /(a, h,...) sous
forme d'une somme de polynômes homogènes et de degrés res-
pectifs I, 2,... (n — i) par rapport aux accroissements h, k,...
des variables.

Le problème de trouver ce développement se ramène à celui
qui a été résolu pour les fonctions d'une seule variable. Pour
abréger l'écriture, considérons seulement une fonction de deux
variables.

Soit u = f{x, y) une fonction différentiable jusqu'à l'ordre n
pour toutes les valeurs de x entre a et a -4- /i et toutes celles de
y entre b Qib -\- k. Soit ensuite t une nouvelle variable indé-
pendante ; posons

De la sorte, u est une fonction composée de t dont les déri-
vées seront déterminées jusqu'à l'ordre n et continues jusqu'à
l'ordre n — i inclusivement dans l'intervalle (0, i). On a donc,
par la formule de Maclaurin (n" i25) pour une seule variable
t (prise égale à i) et avec le reste de Lagrange,

l58 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

( (0 < e < i).

Les différentielles dx =- hdf et dy = kdt étant constantes, les
différentielles successives de f{x, y) se calculent par la formule
symbolique du n° i56 et l'on a

d'où
Pour / = 0, on a X -= a, y = b, et la formule (2) prend la forme

Pour t -=- 6, on a a; = a + QA, y = b -{- 9â- et la formule (2)
devient

r ^'(9) = (^^ + A- ^^Jf{a + 8/1,6 4- 0A-).

Portons ces valeurs dans (1), nous trouvons la formule de
Tiiylor :

f{a + h,b + k)- f{a, b) = (a^ ^^ k ^ ) Aa, (>)

Cette formule ne suppose pas la continuité des dérivées de
l'ordre n.

Lorsque x et 3' sont des variables indépendantes, on x>cut
écrire h — dx, k = dy ; si l'on remplace alors a par x et b par
y dans la formule (3), elle devient

(3)

d^f d'^-^f

(0 < 0 < i)

seulement, ces différentielles sont maintenant des différen-
tielles totales, La notation employée pour le dernier terme

FORMULE DE TAYLOR POUR PLUSIEURS VARLABLES iSq

signifie qu'il faut remplacer, dans les dérivées /iièmes q^i entrent
dans ce terme, x par x i- ^ dx et y par y -{- ^ dy.

Ces résultats s'étendent d'eux-mêmes aux fonctions d'un
nombre quelconque de variables. Ainsi, pour trois variables,

f(a + h,b + k,c + l) = /-(a, b, c) 4- (h^ + ''^ + '^)Aa, b, c)

et ainsi de suite.

165. Formule de Maclaurin. — Celle-ci se déduit de la formule
(3) en y faisant a==h— 0, h=xetk = y. Nous écrirons le
résultat comme il suit :

n.. y) = fm + (4 + y I) r... + ^(«^ + y !;)>.,.+•••

Ces indices signifient qu'après avoir calculé les dérivées par-
tielles, il faut y remplacer x et y par 0. La formule de Maclau-
rin développe donc la fonction en une somme de termes homo-
gènes et de degrés croissants en x, y.

§ 4. Maximes et minimes (extrêmes) libres des fonctions
de plusieurs variables.

166. Fonctions de deux variables. — On dit qu'une fonction
f{x, y) de deux variables indépendantes est extrémée au point
(a, b), lorsque la différence

f{a + h,b + k)-f{a,b)

garde le même signe pour toutes les valeurs de h et de k infé-
rieures en valeur absolue à un nombre positif suffisamment
petit. La fonction est maximée si cette différence est négative
et minimée si elle est positive. Les extrêmes des fonctions de
plusieurs variables indépendantes sont appelés libres. S'il y
avait des relations entre les variables, les extrêmes seraient
liés. Nous étudierons ce cas plus loin.

Tout d'abord la fonction, pour être extrémée, doit l'être quand
on ne fait varier que :c seul ou y seul ; de là, le théorème sui-
vant :

l6o CHAPITRE TII. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

Les seuls points où la fonction f{x, y) puisse être extrémée
sont ceux où chacune de ses deux dérivées partielles f'^ et f
s'annule ou cesse d'exister.

Supposons f{x, y) différentiable ; pour trouver ses extrêmes,
il faudra donc poser les deux équations simultanées :

ôx ' dy

En résolvant ces équations par rapport à ic et à j, on trouve
généralement un certain nombre de solutions. Soit x ^a, y = b
l'une d'elles. Il reste à examiner s'il y a réellement maxime ou
minime en ce point. Voici la méthode à suivre pour trancher
cette question.

Supposons les dérivées partielles premières différentiables
au point (a, b). Développons la différence /"(a -f A, 6 + k) — f{a, b)
par la formule de Taylor en nous arrêtant au premier ordre,
ce qui est légitime si | A | et | /c | sont assez petits (n° 164). Il
viendra

/•(a -f A, 6 + k)-f{a, b) = hfj^a -f 9/i, b -f 9A:) -f- kf[{a +e/i, 6-f 9/c).

Posons

r --= sjh"^ -\- k-, h — r sin a, k — r cos a,

de sorte que r est une quantité positive infiniment petite et a
un angle arbitraire avec h et k. Ecrivons encore, en abrégé,

_ d'f{a, b) _ d'aria, b) _ d'aria, b)

da^ ' dadb ' db^

et désignons par e', t" des quantités infiniment petites avec r.
Les dérivées partielles premières étant différentiables au point
(a, b) et nulles en ce point, on a

/;(a + 9A, fr + e/c) - %Ah + B/f -f e'r),
/•^(a -h e/i, 5 + e/c) = 9(B/i + Ck -\- e"r).

Substituant ces valeurs, la différence f{a -\- h, b -\- k) — f{a, b)
prend la forme

(1) 9r2[A sin'^a -f 2 B sin a cos a -[- C cos^a + e],

où e ^ e' cos a + e" sin a et tend encore vers 0 avec r.

La considération de cette expression conduit, 9 étant positif,
aux conclusions suivantes :

1°) Si le trinôme

EXTRÊMES LIBRES l6l

A sin* a -|- 2 B sin a cos a 4- C cos- a

ne peut s'annuler, comme il est fonction continue de a, il con-
servera un signe invariable et sa valeur absolue restera supé-
rieure à un nombre positif m. C'est donc ce trinôme qui donnera
son signe à l'expression (1) dès que l'on aura | e | < m, donc à
partir d'une valeur suffisamment petite de r, quel que soit a. Il
y aura maxime ou minime selon que le trinôme sera négatif ou
positif.

2**) Si le trinôme peut changer de signe, comme il donne
encore son signe à l'expression (1), pour chaque valeur de a qui
ne l'annule pas, à partir d'une valeur suffisamment petite de r,
il n'y aura ni maxime ni minime.

3°) Enfin, si le trinôme, sans pouvoir changer de signe, peut
cependant s'annuler pour certaines valeurs de a, pour ces va-
leurs, le signe de l'expression (1) dépend de celui de e qui reste
inconnu et l'on ne peut rien conclure.

Les caractères analytiques particuliers à ces trois cas sont
faciles à indiquer :

Supposons A différent de zéro. Le trinôme peut se mettre
sous forme de fraction, comme il suit :

(A sin g + B cos a)^ + (AC — B'') cos'^ a
A

1°) Si AC — B* > 0, le numérateur de cette fraction est une
somme de deux carrés qui ne peuvent s'annuler ensemble et il
est toujours positif. Donc le trinôme ne peut s'annuler et a le
signe de A. Il y a maxime si A < 0 et minime si A > 0.

2") Si AC — B^ < 0, le numérateur a des signes différents dans
les hypothèses cos a ^ 0 et tg a =- — B : A, le trinôme change
de signe et il n'y a ni maxime ni minime.

3°) Si AC — B* = 0, le numérateur se réduit à un seul carré,
le trinôme, sans changer de signe, peut s'annuler. C'est le cas
douteux.

Supposons encore que A soit nul. Le trinôme se réduit à
cosa (2B sin a -j- C cos a).

Si B n'est pas nul, cette expression change de signe avec
cosa supposé infiniment petit, et il n'y a ni maxime ni minime.

Enfin, si A et B sont nuls tous les deux, le trinôme se réduit

11

l62 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

à C cos-^a, qui peut s'annuler mais ne peut changer de signe.
C'est encore une fois le cas douteux.

Cette théorie ne suppose pas la continuité des dérivées se-
condes ni même leur existence aux environs du point (a, b).

Remarque. — C'est uniquement pour rendre la discussion
plus claire qu'on a remplacé h et k par rsina et rcosa, mais
cette substitution n'est pas nécessaire. Le raisonnement peut
se faire directement sur le trinôme

A A^ + 2 B hk -\- C A•^

c'est-à-dire sur l'ensemble des termes du second ordre de la
formule de Taylor, et les résultats obtenus peuvent se résumer
comme il suit :

1° Il n'y a ni maxime ni minime si les racines de ce trinôme
sont réelles et inégales ;

2° Il y a extrême si les racines sont imaginaires : maxime si
A est < 0, minime si A est > 0 ;

3" Doute, si les racines sont égales.

Pour trancher le cas douteux, il faut faire intervenir des
termes d'ordre plus élevé, mais la discussion générale est assez
dfficile et ne peut trouver place ici.

167. Fonctions de plusieurs variables. — Une méthode semblable
s'applique aux fonctions de trois et d'un plus grand nombre de
variables. Pour que f{x, y, z) soit extrémée au point (a, b, c), il
faut, dans l'hypotlièse la différentiabilité, que ses t^ois dérivées
partielles f'^, f , f'^ s'annulent en ce point, ou, ce qui revient
au même, que sa différentielle totale df soit identiquement
nulle. En exprimant que ces conditions sont satisfaites, on ob-
tient un système d'équations simultanées dont les solutions
peuvent fournir des extrêmes. Pour s'en assurer, on remplace
X, y, z par a-{- h, b -\- k, c -\- l et l'on calcule d^f, c'est-à-dire
l'ensemble des termes du 2'' ordre en h, k, L Ce sera un poly-
nôme homogène du second degré, qui devra avoir un signe
unique. On le transforme donc en une somme algébrique de
carrés : i'' Si tous ces carrés ne sont pas de même signe, il n'y
a pas d'extrémé ; 2° s'ils sont tous de même signe, il y a
minime s'ils sont positifs et maxime s'ils sont négatifs, pourvu
qu'ils ne puissent s'annuler en môme temps que pour /? -^ A* = / = 0 ;

EXTREMES LIBRES l63

3° si tous les carrés sont de même signe mais peuvent s'annuler
ensemble, le doute subsiste.

168. Problème. — Trouver la plus courte distance de deux
droites A et B de l'espace.

Soient a,, a^, a^ les coordonnées d'un point a de la droite A,
et a,, ^j, tta les cosinus directeurs de cette droite ; les coordon-
nées X, y, z d'un point quelconque de cette même droite peu-
vent s'exprimer au moyen d'une variable indépendante u par
les formules :

/ A \ ^ — ^1 _ y ^2 __ ^ ^3 _

a, ag ag *

De mêmes, les coordonnées ^, t\, ^ d'un point quelconque de
la droite B s'exprimeront en fonction d'une seconde variable
indépendante v par les formules :

où b^, b^, 63 sont les coordonnées d'un point b et p,, ^2» ?3 1^^
cosinus directeurs de la droite B.

Soit 8 la distance de deux points {x, y, z) et (^, yj, t) pris sur
chacune des droites A et B. On a

(1) ^'=-{1- xy + (n - yf + (2; - z)\

C'est une fonction de u et de y en vertu des équations (A) et
(B) et il faut en chercher le minime. Pour cela, il faut annuler
ses deux dérivées partielles. En se servant des relations :

/ l — x = p,j; — ajW 4- (^1 — a,),
(8) j ^ — y- PîP — «2" +-(^2 — «2),

et en appliquant la règle de dérivation des fonctions de fonc-
tions, on trouve ainsi

( -~|J-=(^-^0«. +(^-y)a2 + (J;-c)a3-^0,

(3) \ .J.2

Ces équations sont susceptibles d'une interprétation géomé-
trique immédiate. En effet, désignons par t,, Tj, t., les cosinus

l64 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

directeurs de la plus courte distance q des deux droites ; on a

(4) ç — X == St„ ri — y = hr^, ^ — z^ 8x3,

et les équations (3) peuvent s'écrire

/5\ j 'i^i + ^2^2 + Tgag -= 0,

Elles expriment donc que la plus courte distance est une per-
pendiculaire commune aux deux droites A et B. Les cosinus
directeurs de la plus courte distance sont fournis par ces der-
nières équations. En effet, si l'on pose, en abrégé,

il vient

(7)

'■2

Ti T, T3 yrp2_^rp2_^rp2

La valeur de la plus courte distance elle-même s'en déduit
aussi ; car, en additionnant les équations (4) multipliées respec-
tivement par T], T,, Tj, il vient

puis, en remplaçant^ les parenthèses par leurs valeurs (2) et en
tenant compte des équations (5) et (7), on trouve

(8) 0 = T, {bi — a,) + T2 (^2 — a,) + ^3 (^3 — a,)
_ Ti {b, - aQ + T, {b,-a,)±T, (h -a,)

Enfin, il reste encore à trouver les valeurs de 11 et de v cor-
respondant aux extrémités de la plus courte distance. Pour
cela, on remplace dans les équations (3) les parenthèses par les
valeurs (2) et l'on trouve, par les propriétés des cosinus direc-
teurs d'une droite, les deux équations suivantes :

o7hr ^ " "" '' ^^^ (^' K) — p = 0,

( ~ ^y" ^ " ^^^ ^^' ^^ ~~ " ~ ^ ^ ^'
où l'on a posé, en abrégé,

j /> = (^1— a,)a, +(f;2 — a,)a2 + (i-3 — a3)a3,
( q = {b, - a,) i3, -f {b, - a,) i^, + (^3 - «3) §3.

EXTRÊMES LIBRES l65

On en tire

(\r\\ „ = /> — q^ cos (A, B) _ p cos (A, B) — g

^^"^ sin2(A,B) ' "~ sin2(A,B) '

ce qui achève la solution du problème.

Remarque. — On vérifie facilement que la solution précé-
dente satisfait aux conditions analytiques d'un minime. En
effet, on tire des équations (9)

. g ^ 2, -■ -. = — 2 cos (A, B), , „ = 2

Donc la quantité représentée par AC — B^ dans la théorie
générale est égale à 4 sin^ (A, B). Elle est positive, et il y a
minime parce que la quantité A est positive.

Exercices.

I • f^x, y) = x^ +J/3 — (jxy + 27.

R. Une solution : x^'i,y = 1 (minime).

2- /(^, y) = x^-\-y^ — 2x^ -\-4xy — 2y^

R.Trois solutions : x = ~^\/2, y = — \/2 (minime) ;x = — \/2,y =
+ \/2 (minime) ;x = 0,y = o (pas d'extrémé).

3- A^, y)^'X^ — 2xy^ +y — j5.

R. Une solution : ;ir = 0, ji/ = 0 (cas douteux). Comme la fonction
peut se mettre sous la forme {x—y^)^—y^, on voit facilement qu'il
n'y a pas d'extrémé.

On remarquera que cependant la fonction /{ht, kt) de t seul est
maximée pour t = 0 quels que soient les coefficients h et k. Cet exemple
prouve donc, contrairement à l'affirmation de certains auteurs, que
l'existence d'un extrême de /(a -{-ht,b-[- kt) pour t = Oquels que soient
h et k, n'entraîne pas l'existence d'un extrême àef{x,y) au point {a, b).

4. Etant donné un triangle, trouver dans le plan du triangle un
point O tel que la somme des carrés de ses distances aux trois som-
mets soit minimée,

R. Soient (ai, b^), {a.,, bo), {a-s, b-s) les coordonnées rectangulaires des
trois sommets, (x, y) celles du point O. On trouve

S X == ai -i- 02 + Ua, ^ y = bi -{- bo -\- ba.

Le point O est le centre de gravité du triangle.

5. Etant donné un triangle, trouver dans le plan de ce triangle un
pomt O tel que la somme de ses distances aux trois sommets soit
minimée.

R. Conservant les notations précédentes, il faut minimer

l66 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

/(AT, j) - S V (^ - a,r + ( V - b,) (î = 1 , 2, 3).

Soient ri, r^, r^ les droites joignant le point O aux trois sommets,
et Oi, 62, O3 leurs angles avec l'axe des x. On a, si les dérivées partielles
s'annulent,

Y~ = cos ^i + cos 0^ -\- cos O;) = 0.

L'axe des v étant quelconque, on en conclut que les trois droites
fi, r.^, y,) font entre elles le même angle. Le minime a lieu au point oîi
les trois côtés du. triangle sont vus sous le même angle (120°). Ce
point est facile à construire si les trois angles du triangle sont < 120".
Mais si l'un des angles, A par exemple, est > 120°, ce point n'existe
plus. On montrera que, dans ce cas, le minime a lieu quand le point O
vient coïncider avec le sommet A du triangle. C'est un exemple remar-
quable où l'extrémé correspond à un point de discontinuité des
dérivées.

CHAPITRE I\5.

Fonctions implicites. Changement de variables.

§ 1 . Théorèmes d'existences.

Les fonctions implicites sont celles qui sont définies par des
équations non résolues. Nous commencerons par démontrer les
théorèmes fondamentaux sur les conditions d'existence de ces
fonctions. Il en résultera que les équations différentiables ne
définissent que des fonctions différentiables.

169. Théorème I. — Soit ¥{u, x, y,...) une fonction continue

des variables u, x, y,... Supposons qu'en un point particulier

M(Uo, a, b,...), la fonction F soit : i" nulle, 2*^ différentiable,

3"» douée d'une dérivée F^ non nulle. Alors il existe au moins

une fonction u = ^ {x, y,...) qui se réduit à Uq au point

{a, b,...) et qui, dans son voisinage, satisfait identiquement à

l'équation

¥{u, X, y,...) = 0 ;

enfin toute fonction u qui possède ces deux propriétés est diffé-
rentiable (donc continue) en ce même point (Young).

Il suffira de considérer trois variables u, x, y. Puisque F est
nulle au point M et que F[^ ne l'est pas, ou peut d'abord se
donner un S positif assez petit pour que

F (Wo — 8, a, b) et F (Ho + S, a, b)
soient de signes contraires, car F est une fonction croissante ou
décroissante de u au point Uq. Ensuite, puisque F est continue,
on peut se donner un 8' positif assez petit pour que les quantités,
aussi voisines qu'on veut des précédentes,

F («„ — 0, .V, y) i'i. F (//., — ô, A-, y)
soient aussi «le signes contraires sous la condition que \ x — a |
et 1 y — b \ .soient < 8'.

l68 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

Ceci fait, donnons nous un système quelconque x, y entre
ces limites ; ¥{u, x, y) est une fonction continue de u qui
change de signe entre zïo — S et Uo + 8 et s'annule, p^r consé-
quent, dans cet intervalle. Soit ii ^^ (f> {x, y) la racine (la plus
grande s'il y en a plusieurs) : ce sera une solution de F =\0 se
réduisant à Uq au point (a, b).

Soient maintenant Aw, ^x, ^y les accroissements correspon-
dants d'une telle fonction u et de x, y à partir du point (a, b).
Puisque F est différentiable au point («o, a, b), on a

^ I' = (Ko + 0 ^" + {F'„ -r e') àx + (F; + e".)Ay = 0,
où les e tendent vers 0 avec les A et peuvent donc être supposés
aussi petits qu'on veut avec o et B'. Nous supposerons 8 et 8' assez
petits pour que les e soient < i F' 1 qui n'est pas nul. Alors

l'équation précédente montre que A« tend vers 0 avec A^c et Ay,
donc que la fonction u est continue au point (a, b).

Cette équation montre, de plus, que la fonction est différen-
tiable au point (a, b), car on en tire

A« = - (F;-|-e')AA; + (F; + e")Ar
c'est-à-dire

f' f'

A" =■ - -f ^^ - -7^ Ay + e'" Ax + e'^Ay,
où les s tendent encore vers 0 avec les A, donc avec ùix et Ay.

Remarques. — Si F^ ejc/sfe ef «e s'annule pas au voisinage
du point (uo, a, b), la solution u de l'équation F = 0 est unique.

En effet, s'il y en avait deux m et u', on aurait, contrairement
à l'hypothèse, pour une valeur U comprise entre u et u',

0 = F («, X, y) - F(u', X, y) = {u- u') f; (U, x, y)
¥u{T],x,y)^Q.

Si, déplus, F est différentiable aux environs du point {uo> a, b),
la fonction u est différentiable au voisinage de (a, b), car la dé-
monstration précédente s'applique en chaque point (u, x, y).

170. Théorème II. — Soient n fonctions F,, Fg,... Fn des
m -}- n variables x, y,... u, v, w,... Supposons qu'en un point

THEOREMES d'eXISTENCE

169

M (a, b,... Uq, Wo> ^0,-"), f^s fonctions F soient : 1° nulles,
2" différentiables, 3° telles que le déterminant

dF, d¥\ dF.^

du do dw

dFj dYj dF^

J = du dv dw

dFn dFn dFn
du dv dw "

ne s'annule pas au point M. Alors il existe au moins un sys-
tème de fonctions u, v, w,... des m variables x, y,... se réduisant
à Uo, Vo, u?o,... au point a, b,... et satisfaisant identiquement aux
équations Fj ^^ 0, Fj = 0,... F^ = 0 aux environs de ce point.
Ensuite tout système de fonctions de x, y,... possédant ces deux
propriétés est différentiable au point (a, b,...). Enfin, si les déri-
vées partielles qui composent le déterminant J sont des fonctions
continues de x, y,... u, v, w,... au point M, J ne 'annule pas
au voisinage de M et le système de ces solutions u, v, w,... est
unique (Joung).

Ce théorème se réduit au précédent quand il n'y a qu'une
seule équation. Pour l'établir en général, admettons qu'il ait
été déjà établi pour n — i équations et montrons qu'il subsiste
pour n.

Désignons par J,, Jg,... J„ les mineurs relatifs aux éléments
de la première colonne de J ; on aura

(1)

dF,
'^'~dû

4- Js

dF,

+ - + Jn

dF„

' du ' ' "" du

Comme J ne s'annule pas au point M, il faut que l'un au
moins des mineurs ne s'annule pas en ce point et nous pouvons
supposer que ce soit Jj. Dans l'hypothèse où les dérivées sont
continues au point M, J, ne s'annulera pas non plus dans les
environs de ce point.

Or le théorème est supposé s'appliquer pour {n — i) équa-
tions. Donc, Ji étant différent de zéro, il existe un système
(unique dans la dernière hypothèse) de (n — i) fonctions :

(2) v = Y {x, y,... u), w - W {x. y,,., u),...

de m 4- I variables indépendantes x, y,... u, se réduisant à

170 CHAPITRE IV. PONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

Vo, Woy... au point (a, 6,... u^), différentiables en ce point et satis-
faisant identiquement aux n — i équations :

(3) F2(;x;,y,...«,V,W,...) = 0,...,Fn(^,r.-«.V,W,...)^0.

Si l'on substitue ces fonctions dans la relation Fi =» 0 qui
reste seule à vérifier, elle devient

(4) Fi {x, y,... u, V, W,...) - <ï> {x, y,... u) = 0.

En vertu du théorème I, il existe au moins une fonction u des
m variables x, y,... se réduisant à Uo au point a, b,... satisfai-
sant à l'équation précédente dans le voisinage de ce point et

différentiable, pourvu que -v- ne s'annule pas en ce point.

Mais cette condition est réalisée. En effet, on a

du du dv du dw du

Multiplions cette relation par Ji et ajoutons membre à mem-
bre avec les identités ci-dessous, multipliées respectivement
par Jg, Js,..., identités qui s'obtiennent en dérivant par rapport
à u les relations (3) :

0 =

àF\ àF^âV âF\dW^

du dv du dw du

dF^ , dF., d\ dF^ dW

0 = ^^ +

du dv du dw du '

Il viendra, par l'équation (1) et les propriétés des mineurs
d'un déterminant,

d^ d^

J, 3— = J, d'où -— ^J:J,.
du du ^

d^
Donc, puisque J et Jj sont différents de zéro, ^- l'est aussi.

Enfin, si les dérivées partielles sont continues au point M,

d^
la solution u est unique, puisque -r- ne s'annulera pas non plus

dans le voisinage du point (a, b,...).

Si l'on substitue dans les équations (2) la fonction u dont
l'existence vient d'être établie, on obtient pour u, v, w,... un
système de fonctions de x, y,... qui satisfont à toutes les con-
ditions requises dans l'énoncé du théorème.

DIFKÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES I71

§ 2. Différentiation des fonctions implicites.

171. Les fonctions implicites sont celles qui sont définies
par des équations non résolues. Dans le paragraphe précédent,
ou a indiqué sous quelles conditions on peut s'assurer de l'exis-
tence de ces fonctions et l'on a montré que les équations diffé-
rentiables définissent des fonctions défférentiables. Ceci admis,
la détermination des dérivées et des différentielles des fonctions
implicites se fait, sans aucune difficulté et par une méthode
uniforme, en différentiant totalement les équations qui définis-
sent les fonctions.

172. Dérivées et différentielles du 1" ordre. — i'' Considérons
d'abord la fonction implicite y d'une seule variable x, définie
par une équation différentiable unique

F {x, y) = 0.
Différentions totalement cette équation (n° i6i), il vient

.-dx -\- v-dr = 0,
ax ôy '

d'où nous tirons, pourvu que F,, ne soit pas nul,

f'oj dy V'a,

F^ dx f;

ce qui fait connaître la dérivée et la différentielle de y au moyen
des dérivées partielles de F.

On peut aussi obtenir la dérivée de y sans passer par la diffé-
rentielle. On observe que F {x, y) est une fonction composée
de X qui demeure constante quand on y remplace y par sa valeur
o(x) tirée de l'équation F ^^^ 0. Donc sa dérivée sera nulle, et il
vient, pai- la règle du a" i6o,

dx dy dx '

équation d'où l'on tire aussi ^K Quand on opère ainsi, on dit
souvent que l'on dérive totalement l'équation proposée par rap-
port à X.

2" Soit maintenant u une fonction implicite des variables
indé])endantes x, y,..., définie par l'équation différentiable
F{x,y,...u) = 0.

T72 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABL^Eg

Il vient, eu différeutiant,

-^ dx + ^— dy + ... + r- du = 0 ;
dx dy * du '

et l'on en tire l'expression de la différentielle totale

du

= _ f!. dx 4- f;, dy 4-
F,.

pourvu que ¥[^ ne soit pas nul.

Les déi-ivées partielles de u sont les coefficients de dx, de
dy,...

^ _ _ F^ du F,'

dx Fl'

dy

V

D'ailleurs ces valeurs s'obtiennent par le même calcul que
dans le premier cas, en considérant toutes les variables indé-
pendantes sauf une comme constantes, et u comme fonction
d'une seule variable.

3" Considérons maintenant m fonctions implicites u, v,.,.
d'une seule variable indépendante x, définies par m équations :
, ( Vi{x, u,v,...) = 0
\ {i = I, 2,... m)
, Il vient, en différeutiant totalement ces m équations,

(1)

(2)

f dFi , , ^F, , , JF» , ,
~^—dx-\--^du-\-^-^dv-\--'
dx du dv

0

(ï = I, 2,... m)
Soit J le déterminant des coefficients de du, dv;..., à savoir

I ^ ^
du dv

J = dF\âF\
du dv

Si J n'est pas nul, on tire des équations (2) les valeurs de du,
de dv,... sous forme de fractions ayant pour dénominateur com-
mun J. En divisant par dx, on trouve les dérivées. D'ailleurs
ces dérivées peuvent aussi s'obtenir, sans passer par les diffé-
rentielles, en dérivant totalement les équations (1) par rapport
à x, ce qui revient à diviser les équations (2) par dx.

4° Passons enfin au cas général. Soient m fonctions implicites

DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES 178

II, u,.... (le n variables iudépeiidaiites x, y,..., définies par m
équations simultanées:

I Vi{x, y,..., u, V,...) = 0
( (' = I, 2,... m)

En diflérontiant totalement ces équations, il vient

(2) ^ dx dy -^ du ôv ^

\ {i = 1, '2,... m)

Soit, connue dans le cas précédent, J le déterminant des
coefficients de du, dv,... Si .) n'est pas nul, on résout les équa-
tions (2) par rapport à du, dv,... On obtient ces différentielles
sous forme de fractions ayant J pour dénominateur commun et
dont les numérateurs sont linéaires par rapport à dx, dy,...
Les dérivées partielles d'une des fonctions sont respectivement
les coefficients de dx, de dy,... dans sa différentielle. Elles
s'expriment donc rationnellement au moyen des dérivées par-
tielles des fonctions Fj par rapport aux variables .y, y,... u, v,...
et elles ont J pour dénominateur commun. On peut aussi les
obtenir directement, comme dans le cas précédent, en considé-
rant u, u,... comme fonction de A' seul, de y seul, etc.

173. Dérivées et différentielles successives. — Les dérivées et les
différentielles du deuxième ordre, du troisième, etc.. s'obtien-
nent par l'application des mêmes principes, eu différentiant ou
en dérivant totalement deux fois, trois fois... l'équation ou les
équations proposées toujours'supposées différentiables. Aucune
notion nouvelle ne s'introduit, mais il faut observer que, dans
ces différentiations successives, les différentielles premières des
variables indépendantes doivent être traitées comme des con-
stantes, tandis que les différentielles des fonctions sont elles
mômes des fonctions ayant des différentielles successives que
l'on désigne par les caractéristiques d, d^... d" et qui sont
précisément les inconnues que l'on cherche.

Soit d'abord à déterminer les dérivées successives d'une fonc-
tion y de .y, définie par une seule équation F (.y, y) ^ 0. On a,
en dérivant successivement,

174 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

dx dy dx '

dW , ô^¥ dy , df'Y ^dyV , ÔF d^r .

L 2 — ( — ^ I 4- — = 0

dx^ dxdydx dy\dx/ dy dx-

La première équation donne Dy, la deuxième D^y après
qu'on a remplacé Dy par sa valeur, la troisième D^y après
avoir remplacé Dy et D^y par leurs valeurs, et ainsi de suite.

Pasons enfin au cas général où m fonctions u, v,... des n
variables indépendantes x, y,... sont définies par le système de
m équations :

Fi{x, y,... u, y,...) = 0, (i = i, 2,... m).

En différentiant de proche en proche, on en tire les systèmes
successifs :

â''«+|<'>- + -+^''" + |r <'" + •••)''' = »'

Le premier système donne du, dv,... Portant ces valeurs dans
le système suivant, on en déduit d^u, d^v,... et ainsi de suite.
On a chaque fois à résoudre un système d'équations linéaires :
les inconnues sont du, dv,... dans le premier ; d^u, d^v,... dans
le second, etc.. On remarquera que le déterminant des coeffi-
cients des inconnues est, dans tous ces systèmes, le même dé-
terminant J supposé différent de 0.

Les dérivées partielles d'ordre/? des fonctions m,... s'obtien-
nent encore, par le principe du n° iSy, en identifiant la valeur
obtenue pour d^u avec l'expression générale de cette différen-
tielle

/' d d ^^

"""-C^*^-^ + 5^"^ + ■•■)"•

On peut aussi déterminer ces dérivées par des dérivations
totales successives effectuées sur les équations proposées par
rapport à chacune des variables indépendantes, mais le procédé
par différentiations totales successives sera généralement plus
pratique.

EXTRÊMES LIÉS I75

Exercices.

I. Calculer les dérivées successives de la fonction j' de x définie par
l'équation

Log V^' + J'^ ^ arc tg - •

dy x-\-y d'^y _ x- -\- y^

dx X — y' dx^ {x — y)'

2. Dérivées successives des fonctions jv et z àe x définies par les deux
équations

x-\-y -\- z=^ a, x'^ -]- y'^ -[- z"^ = b'~ .

dy z — x d^y 5b'^ — d^
ti.. ' — —

dx y — 2' dx^ {2 — yy*"

3. Différentielles totales et dérivées partielles de la fonction 2 des
variables x eiy définie par l'équation

R. d2 = — — (^ dx + 4^dy
z \a^ b-

d-^2

, z^ \ dx-^ . 2xy r y^ z^ \ dy''

4. Différentielles totales et dérivées partielles des fonctions ^ et m de ;»;
et j définies par deux équations

' x-\-y-\-z-\-u = a, X- -\~y- -{- z' -\-u' = b.

iu — x)dx + {u — y) dv , {z — x)dx-\- (z —y)dy

K. dz = ' — —,du= ,.••

z—u u—z

5. Etant données deux équations entre quatre variables x. y. u, v, on
peut considérer u, v comme fonctions de x, y ou x, y comme fonctions
de u, V. Les dérivées partielles de u, v dans la première hypothèse,
celles de x, y dans la seconde, vérifient les équations

du dx ,àvdx_ ^ ÉZ _i_ ^ É^ - - 0

dx du dx dv ~ ' dx du dx dv '

et deux autres analogues qu'on obtient en permutant ;r et r dans les
précédentes.

§ 3. Extrêmes liés.

174. Extrêmes liés d'une fonction explicite de deux variables. —
Soit f{x, y) une fonction différentiable de deux variables .v et 3'
liées entre elles par une équation différentiable

K(v. y) - <t.

176 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

en sorte que f ne dépend en réalité que d'une seule variable,
par exemple ^c. Il s'agit de déterminer ses maximes et ses mi-
nimes. Ceux-ci sont ce qu'on appelle des maximes ou des mi-
nimes liés.

En supposant toujours satisfaites les conditions d'existence
et de continuité, on est donc conduit à annuler la dérivée totale
de f{x, y), y étant considérée comme fonction de x. D'autre
part, j' s'obtient en dérivant l'équation F {x, y) = 0. On trouve
ainsi les deux équations :

dx^dy^~ ' ôx'^dy^~ '
d'où l'on tire, en éliminant y',

dxdy dydx

Cette équation, combinée avec F = 0, donnera les systèmes
de valeurs de x, y pour lesquels /"peut être extrémée. La véri-
fication pourra se faire au moyen du signe d^f.

175. Cas général. — Supposons que l'on cherche les maximes
et les minimes d'une fonction différentiable, f{x, y,.., u, v,...),
de m -h 71 variables liées entre elles par n équations indépen-
dantes et différentiables :

(1) Yi{x,y,...;u,v,...) = Q, (f - i, 2,... n),

de sorte que f ne dépend en réalité que de m variables indépen-
dantes, par exemple ;x;, y,... Laissant de côté les cas de discon-
tinuité, tout système de valeurs de ces m variables qui extrèmera
/"devra annuler sa différentielle totale (n*» 167). D'autre part,
les équations (1) peuvent être différentiées totalement. On est
donc conduit à poser le système de (n -h i) équations :

/■ |tdx + |?^dy + ... + ^d« + ...=0,
i dx dy "^ du

(2) { d¥i . , d^i . . . dFi , . „

-^^^ + ^^^ + -+^^" + - = ^-

{i = I, 2,... n)

Entre celles-ci, on peut éliminer les différentielles du, dv,...

des n variables indépendantes. L'équation résultante sera de la

forme

Mdx + Ndy + ... = 0 ;

EXTREMES LIES I77

et, comme elle ne renferme plus que les m différentielles arbi-
traires, elle se décompose en m autres :
M = 0, N = 0,...

qui, jointes aux n équations (1), constituent un système de
(m + n) équations simultanées entre les (m + n) inconnues
oc, y,... u, V... En résolvant ces équations, on trouve les sys-
tèmes de valeurs des inconnues qui peuvent extrémer /'. 11
restera à discuter ces valeurs au moyen du signe de d^f ou
par toute autre méthode, cette discussion étant généralement
très compliquée.

176. Méthode des multiplicateurs de Lagrange. — L'élimination
des différentielles entre les équations (2) du numéro précédent
se fait généralement de la manière la plus commode par la
méthode des multiplicateurs, qui introduit plus de symétrie
dans les calculs. On multiplie respectivement les équations (2),
hormis la première, par des facteurs à déterminer \, \,... Xrn,
puis on additionne toutes ces équations (2) membre à membre.
On trouve un résultat de la forme

Adx + Mdy + ... -f Vdii }-... = 0.

On imagine que l'on dispose des m facteurs arbitrairs \ de
manière à faire évanouir dans cette équation les coefficients P,...
des m différentielles du,... qui ne sont pas indépendantes. Alors
il ne reste plus dans l'équation que les différentielles arbitraires,
de sorte que les autres coefficients doivent également s'annuler.
On est ainsi conduit à annuler les coefficients A, B,... P,... de
toutes les différentielles, ce qui fournit m + n équations :

dx^""' dx

4- V^^ + ... = (

àf , . dV\
du'^^' du

+ Vt+... = c

(3)

JjCS systèmes (1) et (3) renferment en tout um + n équations,
qui serviront à déterminer les valeurs des m -\- n variables x,
y,... u,... et des m facteurs inconnus Xj, ).2,... "k^.

llEMAuquE I. Le système (3) est le même que celui que l'on

V2

178 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

forme en chercliant les extrêmes libres de la fonction $, définie
par l'équation

<D = /•+ A, Fi + Ag F„ + ... \m Fm,

et dans laquelle on considère x, y,... u,... comme des variables
indépendantes et \, \,... 'km comme des constantes.

Remarque II. — La considération de la fonction <ï> est aussi
commode pour la discussion du signe de d^f. En effet, l'équation
$ = /"est une conséquence des équations (1) ; on a, en vertu
des mêmes équations, d^f = d^<ï> et aussi

d^d» =. d2/-+ \ d^¥, + ... + \md^Ym.

Remplaçons dans le second membre les différentielles se-
condes de /', F,,... par leurs expressions générales telles que

"^•*' - ii ". + ... + lclu + ...)' F + ^d'u + ...

IjCS termes en d^u, d-v,... disparaîtront en vertu des équa-
tions (3) et il restera

,2

rfY=d=<i. = (|^dx + ... + Adu + ...)'

<I>.

On peut donc remplacer d^f^dbV d^^, qui se calcule comme si
les variables étaient indépendantes et les X constants. Bien en-
tendu, pour la discution du signe de d^f, il faudra peut-être
encore éliminer les différentielles premières du,... des variables
dépendantes, mais l'introduction de <I> a eu pour avantage
d'éliminer immédiatement leurs différentielles secondes.

Exercices.

I. Trouver la route que doit suivre un rayon lumineux pour aller
d'un point A à un point B dans le moindre temps possible. Ces points
sont situés dans deux milieux distincts où les vitesses de la lumière
sont respectivement u et v. On suppose plane la surface de séparation
des deux milieux.

R. On voit de suite que cette route est dans le plan mené par A et
B normalement à la surface de séparation. Soient a et é les distances
de A et de B au plan de séparation, ;t; et v les angles respectifs du
rayon incident et du rayon réfracté avec la normale à ce plan. La
fonction qui doit être minimée est

a b

/(;V, VO- -\ —

// cos J' V cos y

EXTREMES LIES 179

avec la condition

a tg X -f h X^g y -= const.

On trouve sin x : sin_y == u : v.

2. Plus courte distance d'un point à un plan.

3. Triangle de périmètre minime inscrit dans un triangle donné.

R. C'est le triangle formé en joignant les pieds des trois hauteurs.

4. Déterminer les axes de la section faite dans un ellipsoïde par un
plan.

R. Soient, en coordonnées rectangulaires,

X'^ 1/2 2^

;^ + ïi- + 7r=^' Ix -]- my + nz = 0,

les équations de l'ellipsoïde et du plan. On doit extrémer la fonction

ri^x'^+y^-^-z-,

les variables étant liées par les équations précédentes.
La méthode des multiplicateurs donne

x + l,—-{-hl=^0, y+h — + hm=^0, z-^-y^iAr + Kn^O.

«2 O2 C-

On en tire

"■' ^%(J^X + f "■

hi — r^J ' W2 — r

Les carrés r^ des demi-axes de la section sont les deux racines de
l'équation

a^l^ b^m^ c^n^

5. Même problème pour la sur/ace d'élasticité

R. On trouve, pour déterminer les extrêmes de r, l'équation

y'i _l,'i^rz — c^

= 0.

6. Déterminer les axes de la conique qui a pour équation en coor-
données obliques

Ax2-\-2Bxy-\-Cy'^ = H.

R. Soit 0 l'angle des axes. Il faut extrémer

r'^ =^ x^ -{- y'^ -\- 2 xy cos 0.

La méthode des multiplicateurs donne

A;t 4- By = ). {x + y cos 0), B.v + Qv = À {y -f x cos 0).

l8o CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

D'où Xy2 =^ H et les valeurs de X sont les racines de l'équation
(A — À) (C — À) = (B — X cos 6)2.

7. Problème analogue pour une surface du second degré.

8. Partager le nombre positif a en trois parties x, y, z, telles que
f =^x"*y" z^ soit maximée {m, n, p étant positifs).

R. On trouve facilement --- = - = -- = — t— n— , • Le caractère d'un
m n p m-\- n-\- p

maxime se vérifie immédiatement car on a, pour ces valeurs de x,y, z,
\ x~ y^ z~ J

§ 4. Changement de variables.

Il arrive fréquemment que l'on doive transformer les expres-
sions différentielles en substituant de nouvelles variables aux
anciennes. Ces calculs se font par l'application des régies géné-
rales de différentiation. Mais il peut être utile d'indiquer un
procédé systématique pour effectuer les transformations les
plus usuelles. Nous commencerons par résoudre une question
préalable.

177. Dérivées successives d'une fonction par rapporta une autre
fonction. — Jusqu'ici, pour calculer les dérivées successives de
y par rapport à x, on a considéré x comme la variable indé-
pendante et supposé dx constant, auquel cas,

La première formule subsiste, même si x est une fonction
{i\° 95, V), mais il n'en est plus ainsi des suivantes qui suppo-
sent dx constant (n" 117). Pour calculer les dérivées succes-
sives de y par rapport à ;x; au moyen des différentielles succes-
sives de ces deux variables, sans choisir x comme variable
indépendante, il suffit d'appliquer successivement la première
formule en observant les règles générales de différentiation.
On trouve de proche en proche

CHANGEMENT DE VARIABLES iSl

-^y-%

d^

(^)\ T)S. _ d-Bg^y dy ^dxd^y — dyd^x
""-^ dx ^ dx dx^"

3 _d. D%y _ dx{dxd^y — dyd^x) — 3d^x(dxd^y — dyd^x)

et ainsi de suite. La loi générale est assez compliquée.

Soit maintenant t la variable indépendante. Proposons-nous
d'exprimer les dérivées successives de y par rapport à 5C au
moyen des dérivées successives de x et de y par rapport à t.
En désignant par des accents les dérivées par rapport à ^, on a

dx = x'dt, dKx = x"dt^, d^x = x"'dt\...
dy=^y'dt, dy = y"dt', d^y = y'"dt\...

Substituons ces valeurs dans les formules (1), dt disparait
du résultat, car les seconds membres sont homogènes et de
degré 0 par rapport aux indices de différentiation. Il vient donc

•^ x"

(2) . Diy = "'y"

3 ,. _ «' (x'y"< - yx'") - 3x" (x-y" - .r'x")

\ ^xy — — — — • -ji , etc.

178. Fonctions d'une seule variable. — Soient 3^ une fonction de
la variable indépendante x, et

une expression renfermant ^c, y et les dérivées de y par rapport
à ;x; jusqu'à un certain ordre. La transformation de cette expres-
sion par un changement de variable donne lieu à deux: pro-
blèmes principaux :

1° Changement de la variable indépendante. Etant donnée
une relation

(4) ^-^{t)

entre x et une nouvelle variable i, on choisit t comme variable
indépendante au lieu de ;x;. Il s'agit d'introduire t au lieu de x

l82 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

dans V ot, par suite, les cl«?rivées de r ])ar rapport à t au lieu
ies dérivées par rapport à a*.

(>e problème peut être résolu au moyen des formules (2), où
l'on trouve les valeurs des dérivées de y par rapport à a* en
fonctions des dérivées x', x"..., y', y"... de x et de y par rapport
à ^ Ou substitue ces valeurs dans V, et l'on remplace x, x',
x"... par leurs expressions ^{t), ^' (t), (p"(f),... tirées de (4), le
problème sera résolu.

2*' Le deuxième problème est celui du changement de toutes
les variablest. Etant données deux équations

F {x, y, t, u) = 0, F, {x, y, t, u) = 0,

entre x, y et deux nouvelles variables t, u, on demande d'ex-
primer V au moyen de t, u et des dérivées de u par rapport à t.
Dérivons totalement les équations données par rapport à t, en
considérant x, y, u comme des fonctions de t prise comme
variable indépendante. Nous en tirons de proche en proche
(n° 178) les valeurs des dérivées x',y',x",y",... de x et j par rap-
port à f en fonction de x, y, u, u', «",... Substituons ces valeurs
dans les équations (2), nous obtenons des expressions de D^. j,
J)%y,... que nous porterons dans V. II ne restera plus qu'à
éliminer x, y au moyen des équations F == 0 et F^ = 0. Le pro-
blème sera résolu.

Ce cas se présente lorsque, une grandeur géométrique étant
exprimée en coordonnées rectangulaires x et y par une expres-
sion telle que V, on veut la transformer en coordonnées polaires
r et ô par les relations

X ~ r cos 0, y == ^' sin 6.

Les accents désignant des dérivées par rapport à 9, on a

x' = r' cos 9 — r sin 9, y' = r' sin 9 + r cos 9,

^"=.= r"cos9 — 2r'sin9 — rcos9, y" = r" sin 9 4- 2r'cos9 — 7'sin9

et les relations (2) deviennent

_ ^ ®"^ 9 -h r cos 9 2 _ r- -\- ar'^ — rr"

''^'"r'cos9-r"sl]^' ^^'^" ~ (r'cos9-rsin9)=^'

Substituant ces valeurs de x, y, Da^r,... dans V, on aura
résolu la question.

CHANGEMENT DE VARIABLES l83

179. Fonctions de plusieurs variables. — Nous supposerons,
pour abréger, qu'il n'y ait que deux variables indépendantes,
mais la méthode sera générale. Soit H une fonction des deux
variables indépendantes x et y, et

une expression renfermant les variables et les dérivées par-
tielles de H jusqu'à un certain ordre. Comme dans le cas pré-
cédent, la transformation de cette ex-pression par un changement
de variables donne lieu à deux problèmes principaux :

1° Changement des variables indépendantes. On donne deux
relations entre x, y et deux nouvelles variables u, v :

(6) Fi {x, y, u, v) = 0, F2 {x, y, u, v) = 0.

On choisit u, v comme variables indépendantes au lieu de x, y
et l'on demande d'introduire u, v au lieu de x, y dans V et,
par suite, les dérivées de H par rapport à u, v, au lieu de celles
par rapport à x, y.

Il faut d'abord exprimer les dérivées partielles de H par rap-
port èb X, y en fonction des dérivées par rapport à, u, v. On y
arrive comme il suit : Prenant x, y comme variables indépen-
dantes, on différentie successivement les équations données
Fi = 0 et Fg = 0. On en déduit, de proche en proche (n" 178),
les valeurs de du, dv, d^u, d^v,.,. en fonction de ^c, y, u, v, dx
et dy. Portant ces valeurs dans les expressions suivantes des
différentielles de H (n°* i56) :

dH = -^ — du A — T— dv,
du dv

d^H = \^—du -\- ^—dv pH -\ — K — d^u -j- — , — d^v,
\du dv J du dv

on trouve, en réduisant,

/ dH — p dx + q dy,
(8) ! dm =^rdx^ -{--2s dx dy (- t dy-,

où p, q, r, s, t,.., renferment x, y, u, v et les dérivées de H par
rapport h, u, v. Les variables x, y étant indépendantes, on en
conclut (n<* iS^)

l84 CHAPITRTÎ IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

du dn dm

ôx—^'^ ây—'' dx^-'' ^*«-

Ce sont les expressions des déi-ivées partielles qu'on se pro-
posait d'obtenir. On porte ces valeurs dans V et on élimine, s'il
y a lieu, x, y par les équations (6). Le problème sera résolu.

2° Changement de toutes les variables. On donne trois rela-
tions :

(9) Fi {x. y, H, u, V, K) - 0, F„ = 0, F^ -^ 0,

entre x, y, H et trois nouvelles variables ii, v, K. On demande
d'exprimer A^ en fonction de u, v, K et des dérivées partielles
de K considérée comme fonction de u, v.

Choisissant x, y comme variables indépendantes, on diffé-
rentie totalement les trois équations données et on en tire, de
proche en proche, les valeurs des différentielles successives de
u, V, K en fonctions des différentielles de x, y, H. Les diffé-
rentielles de K en particulier, sont de la forme

/ f/K -- A (Ix + B dy -{-CdJi,
(10) I r?2K = Dr/.\-2-f ...+ ErfH^ 4-Fr/2H,

\ , .

où A, B, C, D,... sont des fonctions connues de x, y, H, u, v, K.
D'autre part, portons les valeurs analogues trouvées pour
du, dv, d^u, d^v,... dans les formules générales :

rtK = -3 — du -f -3 — du,
\ du dv '

^^^^ \ \i2jr f ^ A , <^ ^ ^21.^ , à\< ,, , dK ,,
I d^K = ^- du -{--^dv rK-\ — r— dhi 4- — - d^v,
I \du dv J 'du ov

\ , .

il viendra, en réduisant,

/iK = M c?5c + N dy + P dH,
(12) ] d^K = Q dx-' + ... -f R dW -f S d^H,

où M, N, P, Q,... contiennent linéairement les dérivées par
tielles de K par rapport à u,v.

En égalant les valeurs (10) et (12) de dK, d^K,... il vient
(M _ A) dA; + (N — B) dy -f (P _ C) dH = 0,
(Q — D) d^c2 4- ... 4- (R _ E) dH^ H- (S — F) d^l = 0,

CHANGEMENT DE VARIABLES l85

La première équation donne dH. Portant cette valeur dans
la suivante, on en tire rf^H, et ainsi de suite. Les résultats sont
de la Forme

r/H ^- p (Ix -\- q dy,
dm = r dx' + 2 .s- dx dy -\- l dy'^,

où }>, (], r,... sont des fonctions rationnelles connues des déri-
vées de K par rapport à ii et v. On conclut de ces relations

- 'h ÀZTi = ^' etc.

^i _ dH _ dm

dx ~''' ôy "' ''' dx'

On portera ces valeurs dans V . On éliminera, s'il y a lieu, x, y,

H par les relations F, = Ko ^^ Kg — 0. Le problème sera résolu.

180. Premier exemple. — Soit H une fonction de deux variables, x, y.
On demande de transformer l'expression

par les formules de transformation des coordonnées rectangulaires en coordon-
nées polaires dans le plan :

(14) X = ucos V, i' = «sinî'.

C'est le premier des deux problèmes résolus au numéro précédent.
Suivant la méthode générale, on différentie les équations données et
il vient

dx ^^ (cos v) du — (sin v) u dv,
dy = (sin v) du -f (cos v) u dv.
On en tire

/JE» I du — COS V dx -}- sin V dy

( n dv - — sin v dx -f- cos v dy

et. en différentiant de nouveau,

d'-u = ( — sin V dx -f- cos v dy) dv — u dv-

du dv -\' u d^v — — (cos v dx-\- sinv dy) dv -= — du dv.

On a donc

d'^u = udv^, d-v = — 2 .

u .

Portant ces valeurs dans le seconde formule (7), elle devient

d^H = ^7 du' - - 2 ;r— r — )dudv-\-[ -r- - + «-V- dH.

du- \du dv u dv J \ dv- du J

Il reste à remplacer du et dv par leurs valeurs (15) et à ordonner par
rapport à dx et dy. La quantité V sera la somme des coefficients de

l86 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

dx^ et dy^. Or la somme de ces coefficients est égale à i dans le déve-
loppement de du^, à 0 dans celui de du dv et à i : u^ dans celui de dv^.
On a donc immédiatement

na\ d^H I dm idH

^^^^ du^ '^ u^ d v^ u du'

181. Deuxième exemple. — Soit H une fonction de trois variables
x,y, z. Transformer l'expression

(17) v=^-^^+^^:m+^!5

^ *^ dx^ ^ dy^ ^ dz^

par les formules de transformation des coordonnées rectangulaires en coordon-
7iées polaires dans l'espace :

(18) X = usmw cosv, y ^^usinwsinv, z = ucosw.

On simplifie le problème en faisant la transformation en deux fois.
Posons d'abord u sin w = u\ et éliminons x, y par les relations

(19) x = UxCO&v, y = Uismv.
On aura, par la solution du problème précédent,

^ ^ âx^ ^ ây^ âu\ "^ ul dv^ "^ «i du,'

Eliminons ensuite z et Ui par les relations

(21) z = ucosw, Ui ^'usinw.

On aura

^ ^ dz^ '^ dul du^"^~n^ dw^'^u du'

Ajoutant membre à membre les équations (20) et (22), il vient

^ ^ dx-^ oy^ ^ dz^ du^ u^ dw^ u du

u\ dv^ ui dui

Il faut encore exprimer -r— au moyen de u, w par les relations (21) .
dui

Pour cela, on forme les valeurs suivantes, analogues aux valeurs (15):

du == cos w dz -]- sin w du\ , udw = — sin w dz -{- cos w du,;
on les substitue dans l'expression

dn dB.

dH=-^du + -^dw

CHAMGEMJÎNT DE VABIABLES 1B7

et, en cherchant le coefficient de dui. on trouve

dU àH . , ifJH

— = — - sin w H — 3— CCS w.
du\ Ou u Ow

Portant cette valeur dans (23), on a finalement

^ ' c)w-^ M (?M «• V dît/- sin a^ t^y^; y w^sin"'??' âv- '

18. Transformation de Legendre. — Dans certains cas, les rela-
tions qui lient les nouvelles variables aux anciennes renferment aussi
leurs dérivées. La transformation de Legendre en est un exemple
remarquable. Soit z une fonction de deux variables indépendantes
X, y. On pose

. _dz _dz

dx' ày'

On suppose qu'il n'y ait pas de relation entre /> et ^ et l'on se pro-
pose d'exprimer les dérivées secondes de ^ par rapport à ,r et à j/ en
prenant p, q comme nouvelles variables indépendantes, et, comme
nouvelle fonction, la variable u définie par l'équation

(1) u^px-\-qy — z.

En différentiant cette relation et en observant que l'on a

(2) dz = pdx^ q dy,

il vient

du = xdp -\-y dq.

On en conclut, p g\ q étant indépendants par hypothèse,

du du

dp"- rr''

puis, en diftérentiant ces deux relations,

d^u d^u d^u d^u

(3) V- dp + 3—- - dq -= dx, dp-\- ^—dq^ dy.

^ ' dp-' ^ ôpdq ^ âpdq dq^ -^

Les différentielles dx et dy étant arbitraires dans ces deux équations,
on en conclut que le déterminant

(5) K^p^-^-f^'"'

dp^dq^ \dpdq

est différent de zéro par hypothèse. Par suite, ces deux équations
peuvent se résoudre par rapport à dp et dq et il vient

,. I fd'u d'H \ I fd^u^ d'u . \

'^==H[dq-^''-d^dq'''J' ''=H[àp^''-lpdç'V-

l88 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

Portant ces valeurs dans la différentielle totale

d^z =dp dx -\- dq dy,

obtenue en différentiant l'équation (2) et en considérant x, y comme
les variables indépendantes, dx et dy comme constants, on trouve enfin

'' = H Ui ''' - ' ôpôç'''^+àf^ 'y'

Cette formule résout la question. On en conclut

^__L^ _^j!__ L ^^^ d'^u _ I d'^u

dx^~ H dq^' dxdy~~ U âpdq' d^^^lîdp^-

Exercices.

1. Exprimer les dérivées dey par rapport à a^ en fonction des déri-
vées x', x",... de X par rapport à. y.

2. Transformer, en prenant j/ comme variable indépendante, l'équa-
tion

dx dx^ \dx^J
R. On trouve x'" = 0.

3. Transformer, par la relation ;tr = cos t, l'équation

4. Transformer, par la relation x^Sji — t^, l'équation

R. L'équation conserve la même forme, t prenant seulement la
place de x. Donc, si_y = f {x) est une première solution de l'équation,
y = 'f {\Ji — x^) en est une autre.

5. Montrer que l'on a, par les relations x = r cos 6, ^ == y sin Ô,

, dy^^-i r dr^

3

CHANGEMENT DE VARIABLES 189

6. Transformer, par les relations m = xy, v = i :y, l'équation

^-~ + 2 xv^ -^ -1-- {y — j-0 -V" + xyz = U.
Ox- Ox Oy

R. L'équation conserve la même forme, « prenant seulement la
place de a: et î; celle de v'. Donc, s\ z=-<^ {x,y) est une première solu-
tion, ■3' = «p ( xy.- \ en est une autre.

7. Soit H une fonction des trois variables x, v, z. Transformer les
deux expressions

' \dx)^\dyj ^\

il,, = 1-

dz y ' ' dx- ' dy- dz^

par la substitution orthogonale

x = au-\^hv^civ, fl- + è'^ -l-c2 = 1, aa' + ii' -f ce' = 0,

V -^ a'« + Vv + c'zê', fl'^ + V-^ + c'2 = I , aa" + hV^ + <^<;" = 0.

z =^ a"u -f è"v + c"7i>, a"-' + ^"- + c"' = i , a' a" + è'è" + c'c" =- 0.

R. Les expressions A, et A.,, conservent la même forme, u, v, w rem-
plaçant x, y, z.

CHAPITRE V.

Intégrales indéfinies. Méthodes classiques d'intégration.

§ 1. Procédés généraux d'intégration.

183. Problème des quadratures. — Le calcul intégral est l'in-
verse du calcul différentiel. Il a pour objet de remonter des
relations données entre les variables et leurs différentielles
aux relations qui existent entre les variables seulement.

La première question traitée dans le calcul différentiel était
de trouver la dérivée ou la différentielle d'une fonction donnée
f{x). Le calcul intégral doit débuter par la question inverse :

Une fonction f{x) étant donnée, trouver toutes les fonctions
qui ont f{x) pour dérivée ou, ce qui revient au même, f{x) dx
pour différentielle.

Ce problème a reçu le nom de Problème des quadratures,
d'après le problème de géométrie auquel il est étroitement lié
et que nous étudierons plus loin. On doit d'abord se demander
s'il existe toujours une fonction ayant pour dérivée f{x), ou si
le produit de f{x) par dx constitue toujours une différentielle.
Nous prouverons bientôt, en exposant la théorie des intégrales
définies, qu'il en est bien ainsi dans tout intervalle où la fonc-
tion f{x) est continue. Nous admettrons provisoirement ce
résultat dans le chapitre actuel et nous supposerons une fois
pour toutes que la condition de continuité est réalisée dans les
théorèmes généraux que nous allons énoncer.

184. Fonction primitive. Intégrale indéfinie. — Une fonction F (x)
qui a f(x) pour dérivée ou f(x) dx pour différentielle s'appelle
une fonction primitive de f{x) ou une intégrale de f{x) dx. On
dit aussi une intégrale de f{x).

La connaissance d'une seule fonction primitive de f{x) four-

PROCEDES GENERAUX D INTEGRATION I9I

uit la solution complète du problème des quadratures. Ou a,
en effet, le théorème suivant :

Soit f{x) une fonction continue ; si F (a-) a pour dérivée f(x)
dans un intervalle (a, b), l'expression

F(a:)4-C,

où C est une constante arbitraire, représente, dans cet inter-
valle, toutes les fonctions qui ont pour dérivée f{x).

En effet F{x) + C a pour dérivée f{x) ; et, réciproquement,
toute fonction qui a f{x) pour dérivée, ayant la même dérivée
que F{x), ne diffère de F{x) que par une constante (n" io5).

D'après cela, la fonction F(a:) + CoùC est une constante
arbitraire, est la fonction la plus générale qui ait f{x) pour
dérivée et f{x) dx pour différentielle. Cette fonction se nomme
Vintégrale indéfinie ou générale de f{x) dx et se représente par
la notation

J f{x)dx,

qui comprend implicitement la constante arbitraire.

185. Propriétés des intégrales indéfinies qui résultent immédiatement
de leur définition. — i*^ Par définition de l'intégrale indéfinie, on
a la relation

d I f{x) dx ^ f{x) dx.

Donc les signes d et J se détruisent quand le signe d est placé
devant le second.

Pareillement, par définition,

D (f{x) dx =-- f{x).

2° F (x) étant une intégrale de d F (x), on a

j*dF(.v) =F(a:) + C.

Donc les signes (/ et J se détruis nt encore devant F{x) quand
le signe d est le second, mais il faut ajouter une constante arbi-
traire à la fonction F (x).

3° Un facteur constant peut être mis hors du sig^ne d'intégra-
tion, c'est-à-dire que, si a est constant,

I a f{x) dx = H \ f(x) dx.

192 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES

En effet, les deux membres out af{x) pour dérivée. Donc ils
ne peuvent différer que par une constante. Mais, comme ils com-
prennent tous deux une constante arbitraire, ils ont le même
sens.

4° L' intégrale indéfinie d'une somme de différentielles est égale
à la somme des intégrales de chacune des différentielles. Ce
théorème est exprimé par la formule

(h + y — m -f- •••) dx = udx -\- I vdx — wdx ^- •••

En effet, les deux membres, ayant la même dérivée (u -[- v —
IV + •••), ne pourraient différer que par une constante ; mais,
comme leur définition comporte une constante arbitraire, ils
)nt la même signification. 11 est vrai qu'il y a en apparence
plusieurs constantes arbitraires dans le second membre, car
chaque terme en comporte une à lui seul, mais, comme ces
constantes s'ajoutent entre elles, elles se réduisent en réalité à
une seule distincte.

186. Intégration immédiate. — Les résultats trouvés dans le
calcul différentiel permettent d'écrire immédiatement les inté-
grales de quelques différentielles simples. En effet, lorsque,
dans l'expression à intégrer, on reconnaît la différentielle d'une
fonction connue F (oc), il suffit d'ajouter à celle-ci une constante
arbitraire pour obtenir l'intégrale. Cette remarque, appliquée
au tableau des différentielles des fonctions élémentaires, con-
duit à former le tableau suivant, qu'il importe de bien posséder
par cœur :

J'a- dx = -^l^ + C, je- rf.v = e- + C,

I sin ;x; dx = — cos a- + C, cos x dx = sin x + C,

C dx ,. Ç dx ^ , t.

-^- =■ tgA; + C, -7-^ = — eot X + C,

Jcos^a: ^ jsm^A:

dx

^ — arc tg a: -f C = — arc cot a* -\- C,

I + a;
dx

= arc sin a -f- C = — arc cos a 4- C,

Vi — X''-

dx

— -== arc sec x -\- C =^ — arc cosec a -f C.

av'a^'- — I

PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATION igS

Nous allons indiquer maintenant les principaux artifices à
l'aide desquels on peut ramener l'intégration des différentielles
plus compliquées aux formules du tableau précédent. Ces arti-
fices sont au nombre de trois : i*> Décomposition en éléments
simples ; 2° changement de variables ; S*' intégration par parties.

187. Intégration par décomposition. — C'est l'application de la
propriété énoncée au n° i85 (4°). Si l'on peut décomposer la
différentielle f{x) dx en une somme de termes que l'on sait
intégrer, en faisant la somme des intégrales de chaque terme,
on obtiendra l'intégrale de f{x) dx.

Cette méthode s'applique à un polynôme ;

f

X^ 5C"+*

(ao + ai5c + ... + a„5C")d«; = aoX-\- a^ 1 h a„ — r— + C.

Elle s'applique aussi à d'autres fonctions, par exemple,

r dx ^ r(sin' X H- cos^ x) dx Ç dx Ç dx

J sin* X cos* X J sin* x cos'' x ~ J cos^"^ "^ J sin'-'"^'

I

dx

= tg ;>C — COt 5C -f- C.

sm^ ;x; cos* x

188. Intégration par substitution. — Cette méthode résulte de
la règle de différentiation des fonctions de fonctions. Propo-
sons-nous d'exprimer J f(x) dx à l'aide d'une nouvelle variable t,
liée à X par l'équation

X =^ <f) (t).

Je dis qu'il suffit de faire la substitution sous le signe f,
c'est-à-dire que l'on a, f (t) ayant une dérivée continue (f'{t),

jf{x)dx=jf[:f{t)]<^'{t)dt,

En effet, les deux membres, ayant la même différentielle

f{x)dx = f[<f{t)]^'{t)dt,

ne peuvent différer que par une constante, mais, comme ils
comportent une constante arbitraire, ils ont le même sens.

On voit que, si l'on choisit la substitution de manière à rame-
ner f{x) dx à une forme que l'on sait intégrer, on obtiendra
l'intégrale en fonction de t. Pour l'exprimer en fonction de x,
il suffira d'y remplacer t par sa valeur tirée de .v = cp(/).

i3

Iq4 chapitre V. INTÉGRALES INDEFINIES

, . . t ^ at

On obtient ainsi, par les substitutions x = -et x = -^,

J aj a a

û-^^^— ^ A f--7^ = A- arc tgt+C^^avctg^ + C.
Ja'-\-bKx' abji + t- ab ^ ^ ab ''a

De même, par substitution x— p == qt, on obtient l'intégrale,
que nous rencontrons bientôt (n° 196) :

Remarque. — Dans les cas simples, il est inutile d'introduire
de nouvelles lettres et la substitution se fait mentalement.
Ainsi on écrit, sans passer tout au long par la substitution

P

c.

<f{x)
En particulier,

Ja + bx b) a + bx b ^^ ^ ^
i 2{x-p)dx ^ rd[{x-py + q^ _ -j^ ^(^ _ y ^ ,^ _|_

189. Intégration par parties. — Cette méthode est une consé-
quence de la règle pour différentier un produit. Soient m et u
deux fonctions de «;, on a

duv = udv -\-vdu, d'où udv =- d.uv — v du.
Il vient donc

\udv= (d.uv— \vdu.

Mais le premier terme du second membre est égal k uv + C ;
et, comme cette constante C peat être comprise dans le second
terme, il reste simplement

iudv -=uv — \vdu.

Cette formule renferme la règle d'intégration par parties.
Elle ramène l'intégration de 11 dv à celle de y du, qui peut être
plus facile.

PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATION IqS

Soit, par exemple, à intégrer xe^dx. On pose x = u et e^^ v
(d'où e^dx ^ dv). Il vient alors

jjce^d^x; = xe^ — e^cf^c = xe^— e^4- C.

190. Combinaison de diverses méthodes. — On doit souvent em-
ployer successivement plusieurs des méthodes précédentes
pour effectuer complètement l'intégration. En voici quelques
exemples :

i**) En intégrant d'abord par parties et ensuite par substitu-
tion, on trouve

larctgica^c == ocarctgac — \~ZL — 1~ ^^^^&^ ^^^ — — -■\-C

2°) On trouve, en intégrant d'abord par décomposition et en-
suite par substitution,

} a^ — b^x"^ Q.aja^bx 2a J a — bx 2ab a — bx

3°) Par la substitution .v = a sin (p, il vient d'abord

1 dx\Ja^ — x^ = a* I cos^cpdip.

Ensuite, en effectuant la décomposition par la formule
, I + cos 2<p

COS^CD = î-,

2

il vient

a^ I cos*(pd(p = — 1 ^<p H 1 cos 2fd<f

aV . sin2^\ ^^

-—[ 9 +

2 V ' 2

Enfin, en revenant à la variable x, on trouve

I

a^ . X xsja^ — x^

dx\/a* — x"= — arc sin- -1 \- C.

^ 2 a 2

191. Formules de réduction. — Pour fixer les idées,. considérons
un exemple. Soit à intégrer ^c^e*"^ dx. Appliquons la formule
d'intégration par parties, en regardant e^^dx comme une diffé-
rentielle dv (n° 189) ; il vient

[x'^e^-^dx = .v" \x^-U'"^dx.

196 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES

Cette formule ramène l'intégrale du premier membre à une
intégrale de même forme, mais où l'exposant n est abaissé d'une
unité. Si n est entier et positif, cette formule s'aj)plique de
proche en proche et change successivement n en {n — i),
(n — 2),... jusqu'à ce que l'exposant de x soit abaissé à zéro. Il
n'y a plus alors qu'à intégrer e^^dx, ce qui est immédiat. Une
formule telle que la précédente, qui s'applique de proche en
proche et permet de simplifier de plus en plus l'intégrale pro-
posée jusqu'à ce qu'on sache l'intégrer, est une formule de ré-
duction. Nous en rencontrerons de nombreux exemples.

192. Dérivation par rapport à un paramètre. — Soit f{x, a) une
fonction de la variable x et du paramètre a ; supposons qu'on
ait obtenu, en considérant a comme une constante indéterminée,

(1) jf{x,a)dx = F{x,a) + C.

.le dis que l'on peut en déduire, en dérivant par rapport à a
sous le signe J ,

(2) Jd„ f{x, a) dx = I)aF{x,a) + C.

Cette règle suppose seulement que les conditions de continuité
des dérivées partielles de F qui assurent l'égalité F" = F"
soient vérifiées (n° i53).

En effet, les dérivées par rapport à la variable x des deux
membres de l'équation (2) sont respectivement

J)af{x,a) et D^DaF(«;,a).

Ces deux dérivées sont égales, car on peut intervertir par
hypothèse D^; et D^ , et l'on a

Ba:.DaF{x, a) = Da.D^F(.Y, â) = Baf{x, a).

Les deux membres de l'équation (2), ayant même dérivée, ne
diffèrent que par une constante par rapport à x. Mais, comme
ils comprennent tous deux une constante arbitraire, ils ont
exactement le même sens.

Le résultat précédent peut être généralisé. En dérivant suc-
cessivement l'équation (2) par rapport à a et en admettant
toujours que les conditions de continuité des dérivées partielles

PROCKDKS GKNKRAUX d'iNTÉGRATION jq-r

cousidérées restent vérifiées, on peut aussi conclure de l'équa-
tion (1) à la suivante

(8) Jl>2 f{x, a) dx = B^F{x, a) + C.

La règle précédente fournit un procédé commode d'intégra-
tion. En voici quelques exemples :
1° On a, pour a différent de 0,

J

cl

Les conditions de continuité sont remplies. Dérivons n fois
par rapport à a et observons que

nous obtiendrons, par la règle précédente,

(4) \x^e^^dx = D»~4-C.

J "a

Cette intégrale a été obtenue autrement au n" 191.
2" Soit a > 0 ; on a, comme cas particulier d'un résultat pré-
cédent {n° 188),

h

dx I , .Y

; = — ^arctg— ^ f C.

X -^a ya \ja

Les conditions de continuité ont lieu. Dérivons n— i fois
par rapport à a et observons que

D«-l ^— ^(—,\n-i (^ — i)-'

« x^ + a ^ '^ T^^-T^'

nous obtiendrons, après division par (— i^-i (n _ i) !,

Les formules (4) et (5) ramènent le calcul des intégrales pro-
posées dans les premiers membres à des déterminations de
dérivées et fournissent pour ces intégrales des expressions très
condensées. Elles s'appliquent aussi bien au cas où l'on donne
à a des valeurs particj^Jières. La formule (5), par exemple, four-
nit un procédé pour calculer l'intégrale classique

dx

/(

198 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES

Mais il faut effectuer les dérivations par rapport à a avant
de faire a = i. Toutefois le procédé le plus pratique pour cal-
culer cette intégrale consiste dans l'emploi d'une formule de
réduction indiquée plus loin (n° 206).

193. Variabilité de forme de l'intégrale. — i" L'intégrale d'une
même fonction peut s'écrire sous des formes en apparence
différentes. Cela provient de ce que l'on peut séparer de la con-
stante arbitraire une constante déterminée pour la réunir à la
fonction intégrale. Ainsi, au lieu de l'expression habituelle
arc tg :>c + C, on peut donner à l'intégrale les formes équiva-
lentes :

(J^ -V* T

j qr^ = (arc tg a; — arc tg i) 4- C = arc tg j-^-^ -f C.
(arc tgx -\- arc tg i) -|- C = arc tg —^ — \- C.

2** L'intégrale d'une même fonction peut se présenter sous des
formes analytiques nécessairement différentes lorsque x varie
dans des intervalles différents. Cette remarque s'applique à
l'intégrale

dx

/

x — a

= Log (x — a) -h C.

Les quantités négatives n'ayant pas de logarithme réel, cette
formule suppose 5c > a. Si «; < a, on a

La forme de cette intégrale change donc suivant que x est > a
ou que ;x; est < a. Afin de ne pas revenir à chaque instant sur
cette distinction, nous conviendrons, une fois pour toutes, que,
lorsque la valeur d'une intégrale renferme un logarithme, la
quantité sous le signe logarithme sera prise en valeur absolue.

ExERCici;s.

1° Par substitution :

sm axdx = 1- C. ~. — Log tg ;p + C,

a j sm X cos x

( dx ■ ^ , n r xdx .— -•

I ^=1== = arc sm— + C. ______ == _ y^2 — x^-\-C.

J\Ja^—x^ « J\Ja^ — x^

PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATTON 199

f ( xdx I f ^L _L r

r _i-_=-L arctgr-^tg.)+C. r^^ = tg^ + C. .

)i-\rCOS^x ^2 W2 ^ ji+cos;»; 2

2° Par décomposition :
(tg^xdx=^tgx-x + C. jdx^^^^ = 3.vcsmx-\/i-x''+C.

C 1 j i/^sin6;i; sin4;>^ sina;»^ \ ^
CCS ;rcos2;vcos 3 ;»?«;»; =-1—^ 1 r ^ ^^^t^*^-

I.

'^^ ' ■ -^— +2Logtg;r+C.

sin^ ;r cos^ x 2 cos^ ;>; 2 sin^. ,r
30 Par parties :

I

<i;p arc sin ;i; = AT arc sin a; + Vi — •*^''' + C.

J=

AfiA;

arr.sin^ = ;y — Vl — x^ arc sin^r+C.

I

J

Vi — *

xdx

COS* AT

= ;t tg a; + Log cos/; + C.

/?«* (sin AT + « ces at)

40 Combinaison de diverses méthodes :

"* dx^ V^ —a^ —a arc cos - + C.

I'

X

I:

i;t: _ flAT 4- è Log {a cos a; + ô sin a;) ^
a-\-btgx^ a^ + b^

j X tg^AT dx = x\.gx -\- Log cos AT h c.

(7 ^^-^. v^ = tg ( A? + arc tg ;J ) + C.

j{xcosx — sm a;)- \ xj

/

I

1+ cos AT 2

arcsinA^iAT a? arc sin at i 9\ i /-
^3-= — ^ z-l — Log (I — a;2) + c.

/•^arctg:r^;y <« "« *g ^ (fl + A;)

Af* arc tg xdx i . i

/-

= arc tg AT (;ir arc \gx) Log (i + x'^) + C.

X + a;2 "^^ ' 2 2

N. B. Les trois derniers exercices se ramènent à d'autres qui pré-
cèdent, le premier par la substitution x = sin «p, et les deux autres par
la substitution a; =^ tg f .

I>()0

CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES

§ 2. Intégration des fractions rationnelles.

194. Décomposition de la fraction à intégrer. — Soit à calculer
l'intégrale

/:

dx,

Fix)

où f{x) et F(x) sont des polynômes entiers à coefficients réels.
Quand f{x) n'est pas de degré moindre que F(;x:), on commence
par effectuer la division. Le quotient f{x) : F(;x;) se décompose
en une partie entière et une fraction proprement dite. L'inté-
grale de la partie entière s'obtient immédiatement (n» 187) et
l'on est ramené à intégrer une fraction proprement dite.

Supposons donc que l'expression à intégrer ait été débar-
rassée de sa partie entière et que f{x) : F{x) soit une fraction
proprement dite. Décomposons F{x) en ses facteurs linéaires
et soit

F(x) = {x — a)^(x — bf ...

On sait en déduire (n° 144) la formule de décomposition de
f{x) : F{x) en fractions simples. Soit :

/ f(x) _ A, ^2____, , Ag

k F{x) x-a^{x — ay^""^(x-'a)^

Sous cette forme, la fonction est préparée pour l'intégration.
Nous rangeons les termes de la décomposition en deux caté-
gories, comprenant ; la première, les termes de la première
colonne où le dénominateur est du premier degré ; la seconde,
les autres termes où le dénominateur est de degré supérieur au
premier. Il n'y a donc de termes de la seconde catégorie que si
F {x) Sb des racines multiples.

195. Intégration dans le cas des racines réelles. — Si toutes les
racines a, b,... sont réelles, tous les termes de la décomposi-
tion sont immédiatement intégrables et l'on obtient la formule
d'intégration

INTEGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES 20I

^^ ^ {x-b) ^-^x-b)P-

+ •••

L'intégrale se compose d'une partie logarithmique et d'une
partie rationnelle. La partie logarithmique est la somme des
intégrales des termes de la première catégorie et la partie
rationnelle la somme des intégrales des termes de la seconde.

196. Intégration dans le cas des racines imaginaires. — Si toutes
les racines ne sont pas réelles, si, par exemple, les racines a,
b,... sont imaginaires, les logarithmes qui figurent dans la for-
mule (2) n'ont plus de sens, au moins jusqu'à présent, et nous
verrons dans un instant par quoi il faut les remplacer. Mais il
n'y a rien à changer aux autres termes qui sont rationnels. En
effet, ce sont bien des fonctions primitives des termes corres-
pondants de la formule (1), à condition de se placer au point de
vue plus général de la différentiation des fonctions d'une va-
riable complexe. D'ailleurs les imaginaires ne jouent qu'un
rôle transitoire. Il suffit de faire la somme de ces termes pour
rendre à l'intégrale la forme réelle. Nous allons montrer, en
effet, que, x étant réel, les imaginaires se détruisent.

Les coefficients de F{x) étant réels, à toute racine imaginaire
a correspond une racine conjuguée b du même degré de multi-
plicité. La loi de formation des numérateurs de la formule de
décomposition montre ensuite (n'^ 143) que les nombres complexes
Al et Bj, Ag et B2,... sont conjugués deux à deux. Donc les
fractions écrites sur la première ligne dans la formule (2), sont
conjuguées des fractions écrites en dessous dans la seconde et,
par conséquent, leur somme sera réelle.

Les termes de la seconde catégorie s'intègrent donc de la
même façon que les racines a, b,... soient réelles ou imaginaires.
Il n'en est plus ainsi pour les termes de la première catégorie.
Lorsqu'il y en a d'imaginaires, il faut, avant d'intégrer, com-
mencer par ajouter deux à deux les termes conjugués. Après
quoi, l'intégration se fait de suite. Soient, en effet, a. /; deux
racines imaginaires conjuguées. On peut poser
^ = p-\- qi, b ^p — qi \ , .-:. M I- X/\ IJ, = M _ x/.

202 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES

p, q, M, N étant réels. Il vient alors, en ajoutant les termes
conjugués, ce qui donne une somme réelle,

A, Bi _ M + Nt M — Nt ^^M(jc — p) — gN

x — ax — b~ X — p — qi x — p + qi {x — pf -\- q^

KAi , Bi ^ _ ra {x — p) dx Ç qdx

^^ZI-a^^c::Zb) «f«^ - J^ J (^_;,)2^g2 2P^ J {x-pf + q^-

Ces intégrations ont été effectuées au n° i88. On trouve donc

(3) J(^ + ^Zh) ^^=^ ^«^ t(^ -pY 4- g*] - 2 N arc tg^.
Remarque. — Si l'on observe que l'on a

, x — p Tt .X — p

arc tff ~ --= arc cot

q 2 q

et que — {x — p) : q est la cotangente de l'argument de a; — p — qi
ou 5C — a, on voit que

arc tg ==■ - 4- arg. {x — a).

Comme on peut négliger le terme constant, on obtient pour
l'intégration des termes conjugués la formule pratique suivante :

-+■ conj. ] dx = 2M Log \ x — a | — 2N arg {x — a)

/

X — a

= Log. \ X — a \ ^^ — arg. {x — a)^^

Sous cette dernière forme, la formule a l'avantage de se prê-
ter immédiatement à la réduction des termes semblables (une
somme d'arguments étant égale à l'argument du produit des
nombres).

De là, le théorème fondamental suivant :

197. Théorème. — Toute fonction rationnelle s'intègre par
les fonctions élémentaires. L' intégrale se compose généralement
d'une partie transcendante et d'une partie rationnelle. La frac-
tion à intégrer étant débarrassée de sa partie entière, la partie
rationnelle provient de l'intégration des fractions simples de la
seconde catégorie ; elle n'existe que si le dénominateur, ¥{x), a
des racines multiples. La partie transcendante provient de l'in-
tégration des fractions simples de la première catégorie ; elle se
compose exclusivement de logarithmes si F{x) a tontes ses
racines réelles ; elle peut, en outre, comprendre des arcs tan-
gents (ou des arguments) s'il y a des racines imaginaires.

INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES 203

198. Calcul direct de la partie rationnelle de l'intégrale. — La mé-
thode exposée dans les numéros précédents suffit déjà pour
effectuer en pratique l'intégration des fractions rationnelles.
Mais, dans le cas où l'intégrale a une partie rationnelle, elle ne
conduit pas aux calculs les plus simples. En effet, la détermi-
nation des numérateurs de la formule de décomposition est
laborieuse dans le cas des racines multiples, surtout si elles
sont imaginaires. La méthode que nous allons indiquer et dont
le principe est dû à Hermite, permet de trouver directement
la partie rationnelle de l'intégrale et d'achever le calcul par
l'intégration d'une fraction rationnelle dont le dénominateur
n'a plus que des racines simples. La décomposition se fait alors
très simplement par la formule de Lagrange (n° i45)- Cette mé-
thode repose sur les considérations suivantes :

La somme des termes de la première catégorie dans la for-
mule de décomposition (l) est une fraction proprement dite
X : P, où

(4) V = {x — a){x — b)...

D'autre part, la somme des termes rationnels dans le second
membre de la formule d'intégration (2) est une fraction propre-
ment dite Y : Q, où

(6) Q. = {x — a)«-i {x — b)P-'-

La formule d'intégration (2) devient ainsi

w jl^^^-l+l^"-

Dans cette formule, Y : Q et X : P sont des fractions propre-
ment dites et le polynôme P n'a que des racines simples. Je
dis qu'une décomposition qui possède ces caractères n'est pos-
sible que d'une seule manière.

En effet, si l'on avait deux décompositions semblables, à
savoir

on en déduirait, par dérivation, la relation équivalente
>^Q qJ p, p-

2o4 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES

Supposons qu'on remplace chacune de ces quatre fractions par
une somme de fractions simples ; ces fractions simples se
détruiront dans chaque membre séparément. En effet, comme
la dérivée d'une fraction simple est une fraction de la seconde
catégorie, le premier membre ne contient plus après la dériva-
tion que des fractions de la seconde catégorie, tandis que le
second n'en contient, par hypothèse, que de la première. Ces
fractions doivent donc se détruire, car la décomposition en
fractions simples est unique. On en conclut

Q Qi' P P/

c'est-à-dire que les deux décompositions sont les mêmes.

D'après cela, on peut déterminer directement Y : Q et X : P
par la méthode des coefficients indéterminés. En effet, dérivons
la formule (6) ; il vient

Le polynôme Q, défini par la formule (5), est le plus grand
commun diviseur entre F et sa dérivée et s'obtient par des cal-
culs rationnels. Le polynôme P, défini par la formule (4), est
le quotient de F par Q et s'obtient aussi par des calculs ration-
nels. Les deux polynômes P et Q étant connus, on remplacera
dans la formule (7) X et Y par des polynômes à coefficients
indéterminés, de degré immédiatement inférieurs à ceux de P
et de Q respectivement. En effectuant la dérivation indiquée et
en multipliant la formule (7) par F -- PQ, il viendra

/•(«:) = PY'-Y^ 4- QX.

On voit de suite, Q'P étant multiple de Q, que le second
membre est un polynôme de degré immédiatement inférieur à
celui de F. En égalant les coefficients des mêmes puissances
de X dans les deux membres, on aura le nombre d'équations
linéaires nécessaire et suffisant pour déterminer les coefficients
inconnus de X et de Y .

Remarque. — La méthode précédente permet de trouver la
partie rationnelle de l'intégrale sans résoudre l'équation F(.v)=-0.

INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES 2o5

Elle met immédiatement eu lumière un fait important. ( ''est
que la partie rationnelle de l'intégrale est rationnelle non seule-
ment par rapport à la variable x, mais aussi par rapport aux
coefficients de f{x) et F(^). Cette même remarque s'applique à
la fraction X : P, qui reste à intégrer pour obtenir la partie
transcendante de l'intégrale.

199. Exemple. — Soit à intégrer

/(^) I

F(Ar) ^3 — 1)2

Puisque ¥{x) a des racines multiples, l'intégrale a une partie ration-
nelle. On la détermine par la méthode du numéro précédent. Le po-
lynôme Q de la théorie générale s'obtient en diminuant d'une unité
l'exposant des facteurs simples de F(;»;) ; il est égal à x^ — i. Donc P
est aussi égal à. x^ — i. Les polynômes inconnus X et Y sont, par
suite, du second degré. On pose donc

r dx ^ ax^ +bx-\-c Çex^+fx-

on dérive et on chasse les dénominateurs. Il vient

i = {x^ — i) {2ax + b) — 3x^ {ax^ -^hx-\-c)-\- {x^ — i){ex^ +/x + g).

L'identification des deux membres fournit le système d'équations ;

e = 0. /—a = 0, g — 2b = 0,

e + 3c=0, /+2a = 0, g + 2è = — i,

d'où l'on tire les valeurs des coefficients inconnus :

e = 0, a = {), b^ — i:3.

c = 0, /— 0, g = — 2:3.

On a donc

/gv C dx ^ _ £ X _ 2 r dx

^^ J(«3 — l)^ 3 ;r3 — I 3J x^ —

Le calcul de la partie transcendante de l'intégrale exige la détermi-
nation des racines de x^ — i, qui n'a plus que des racines simples
a, b, c, ayant pour valeurs :

-i+»V3 . -i-i\/3
a = 0= , c=i.

2 2

Les coefficients de la formule de décomposition :
X' — I x — a X — b X — I

206

CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES

se calculent par la règle du no 145. La dérivée de x^ — i étant 3x^,
et a^ étant égal à i, on a de suite

I a

-i+»V3

= M + Nt, B = M — Ni, C = j.

On trouve, par la formule (3),

I

-^- = — ^ Log {x^ + x+ i)-
x^ — I 6

+ jLog(;^-i) + C.

V3 ^ 2;t+i
^-arc tg p~

3 \/3

Portant cette valeur dans (8), il vient enfin

i

dx

{x^ — 1)2

3 x^—i

2 V3 , 2 ;»; + I
arc tg

+ -Log
9

9 V3

L i^-^r J

+ C.

Exercices.

I. Démontrer les formules suivantes :

{x^ — X -{- 2) dx _i ^ (^ + i)M^ — a) , r

;r2rfAr

I
I

;t;V3

i_ a; — i,V2 , ^ 1/-

-=-Log— 7— :+-^arctg-— ^ + C.

^* + ,i;2 — 2 6 ° x + i 3 ^2

J

Sat — 6

I-X^" 12 ^ (l-^)Hl-^ + ^') 2^3

arc tg

i—x'

+ C.

2. Soit /(;*;) un polynôme de degré < n ; démontrer la formule
'/{x)dx I

/

D«-i

(;i; — a)" (k— i)! "

fia) Log (;\? — a)

+ C.

R. C'est une application de la méthode de dérivation (n» 192). On
intègre par rapport à x, puis dérive n — i fois par rapport à a la formule

X— a ■ X— a

où P (;*;, a) est un polynôme en a de degré < n.

3. Soit f{x) un polynôme de degré < 2 w. On le met sous la forme
^^;j;2) -\-x'^ {x'^) où «p et 4> sont des polynômes en x'^. Soit a > 0 ; on a

{x''-\-aY («-I)! « L V« V'ï '^ -•

R. Solution analogue à la précédente.

I

INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGÉBRIQUES 207

§ 3. Intégration des irrationnelles algébriques.

200. Rationalisation et réduction. — On a vu, dans le paragraphe
précédent, que les différentiell^.s rationnelles s'intègrent par
les fonctions élémentaires. Il n'en est plus ainsi pour les diffé-
rentielles irrationnelles que dans des cas particuliers. Lorsque
cette intégration est possible, elle se fait généralement par l'un
des deux procédés suivants : i° ou bien on rend la différentielle
rationnelle par une substitution, ce qui ramène au cas précé-
dent ; 2° ou bien on établit une formule de réduction qui fait
dépendre l'intégrale cherchée d'une autre plus simple, celle-ci
d'une autre plus simple encore, et ainsi de suite jusqu'à ce que
l'on arrive à une intégrale connue. Nous rencontrerons d'abord
des applications de la première méthode.

201. Différentielles où figfiirent des exposants fractionnaires. —
Théorème. Si a, b, c, f sont des constantes quelconques ; a, p,...
des exposants rationnels et R (x, y, z,...) une fonction ration-
nelle de X, y, z,..., l'intégrale

j R \x,

fax -h fc Y r?^±^v

\cx + f) ' \cx + fj ■

dx

est réductible par une substitution rationnelle à celle d'une
différentielle rationnelle.

Soit m le plus petit commun dénominateur des fractions
a, p,... et f une nouvelle variable ; la substitution

ax+b , „ . ft^—b

^±-L-„=t"', d'où x=^' -^ = p(0

ex -{- f a — ct"^ ^ ^ '

rendra la différentielle rationnelle. En effet, l'intégrale devient
ainsi

'' 9\t)dt

Jr \^{t), t^^, t^^,...

et la différentielle sous le signe f est rationnelle, car p (^) et,
par suite, p'(f) sont des fonctions rationnelles de t et les expo-
sants ma, m^,... sont entiers. On intègre par les procédés du
paragraphe précédent et l'on revient, s'il y a lieu, à la variable
X par la substitution

~ ex 4- f

2o8 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES

Dans les applications, on rencontre souvent le cas où la frac-
tion {ax + b) : {ex -\- f) se réduit à la variable x elle-même ou
à une fonction linéaire de x, comme dans les exemples suivants :

Exemples. Par la substitution x = t^, il vient

X 'i -j-X 3

= 6t—3t^ + 2i^ — 6Log{i-{-t) + C

1 ± i. i_

^6x^—3x^ + 2x^—6Log{i+x^) + C.

Par la substitution x — i ^^t^, il vient

r x^ dx r

(^2 + 1)3^^=^2^

/6 U

+ 3— +^2 + i

\Jx—i J L7 5

+ c

= 2\Jx — I

Mi + |(,_,). + ,

202. Différentielles qui renferment la racine carrée d'un trinôme du

second degfré. — Soit R (:x;, y) une fonction rationnelle de x et de

y ; si l'on y fait

y =\/a -\- bx -\- cx^,
l'intégrale

/

Il {x, y) dx

est réductible par une substitution rationnelle à celle d'une
différentielle rationnelle.

La transformation doit être choisie de manière à éviter l'in-
troduction des imaginaires quand les données sont réelles. On
y arrive par l'une des deux substitutions suivantes :

1° Si les racines a et ^ de (a -\- bx -\- cx'^) sont réelles, la sub-
stitution est fournie par le théorème précédent. En effet,

y =v^ç^^^(^ - P) = {X - ^)y^j^Z^-

Donc y et, par suite, E {x, y) sont des fonctions rationnelles
de X et de ce dernier radical. La rationalisation se fera par la
substitution

ç{x-^^^,
X — a

2° Si les racines de (a -h bx + cx^) sont imaginaires, c doit
être positif pour que le radical soit réel, sinon le trinôme.

INTEGRATION DES IRRATIONNELLES ALGEBRIQUES 209

ayant le signe de c, serait négatif et sa racine imaginaire. Donc,
quand les racines sont imaginaires et, plus généralement, quand
c est positif, on peut faire la substitution

\Ja-{-bx + ex* = ^ ± x\/c,
d'où, en élevant au carré,

a-\- bx = f^ d= 2tx\/c.

Cette relation est linéaire en x. On en tire donc, p(^) dési-
gnant une fonction rationnelle,

x = p{t), dx=^p'{t)dt r-^±p(OVc~

On substitue ces trois valeurs dans l'intégrale et la différen-
tielle à intégrer est rendue rationnelle. Après l'avoir intégrée,
on remplace t par sa valeur

t =\Ja -\- bx +• cx^ ± xsjc.

Autre substitution. — Lorsque a est positif, la seconde sub-
stitution s'appliquera, après avoir remplacé ^c par —, car

\Ja -\- bx -f- cx^ ■=

Sjaz'^ -\- bz -{- c

z

et le coefficient de z^ sera positif. La différentielle devient
donc rationnelle par la substitution

Vaz* + 62 -f c = f ± z\Ja,
ce qui revient à poser directement

V'a -\-bx -\- cx^ = ±\/a + tx.
Quand a est positif, cette dernière formule définit une troi-
sième substitution rendant la différentielle rationnelle.

Remarque. — Un autre procédé d'intégration consiste à
transformer R {x, y) dx dans une différentielle rationnelle en
sin t et ces t. Nous y reviendrons au n<* 2i5.

203. Applications. —I. Considérons d'abord l'intégrale

dx

/,

On applique la seconde substitution :

Va + 6jc H- .\:* = / — x, d'où a + bx = t- — a/.v.

^4

210 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES

Différentiant la dernière relation, il vient

dx _ 2dt

et, par conséquent,

( I' ^^~ C-^^ = Log C^ + t) + C.

(l) ) Jyja + bx + x' Jt — x =V2 J

/ = IjOg(^-\-x+s/a + bx + x^j+C.

On rencontre souvent le cas où 6 = 0 ; il vient alors

J \Jx^ + a
II. Considérons ensuite l'intégrale

I,

dx

\Ja-\-bx — x^

On pourrait utiliser la première substitution, mais le calcul
se fait plus facilement en observant que

a-\- bx — x^ = [ a~\-

iH-iy-

On pose, a étant une constante et t la nouvelle variable,
4 2

et il vient

dx f dt

(3)

/

sJa-\-bx — x^ J\/

Vi — ^"^ ~

arc sin t -\- C

. 2x — b^
arc sm ^=- + C.

Vfc'+4a

m. On rencontre aussi fréquemment les intégrales

r dx

J x\Jax^ -i[- bx ± I
Elles se ramènent aux deux précédentes par la substitution.

X =^ 1 : z, déjà signalée au n° 202 :

/ r dx _. Ç dz

\ I .^» l'^TZ^ i ÛZ. i T ' ) V /o J_ /^

(4)

( =_Log('? + L±y«£î

X

Log (I + L ± V«^±^^^±i) + C

INTEGRATION DES IRRATIONNELLES ALGEBRIQUES 211

r dx _r

J xsjax^ + bx — I j Va -f- 52 — 2*

dx C dz

(6)

. f bx — '2\.^

= arc sin — =^ I + C.

\x\Jb^ + 4a>'

Voici deux cas particuliers fréquents :

( { ^^ = — Lo (^ +Vi— Jc«>| ç

(6) Jx\lT^~x^ ^^V X J

(7) I — =^1 = — arc sin — h C = arc sec x -\- Q.

J XSjx^ — I ^

IV. Les deux intégrales suivantes :

f ''* f

J \la -\- bx A- cx^ J (x —

dx

\Ja -[- bx -\- cx^ ' J (x — m)\/a -f- fe^c -j- cx^ '

se ramènent à celles qui précèdent en prenant respectivement
comme nouvelle variable

z =\J ± c X ou z^\/±c{x — m).
On choisit le signe ambigu de manière que ± c soit positif.

204. Cas d'intégrrabilité des différentielles binômes. — Les inté-
grales des différentielles binômes sont de la forme

i

x*^{a-\-bx^)Pdx,

où a et & sont des constantes quelconques, différentes de zéro,
et m, n, p des exposants rationnels.
Faisons la substitution

x^ = t d'où 5C = f" dx=^- e" dt ;

n

l'intégrale devient

m + i

-y » {a^bt)Pdt.

Désignons par q l'exposant de t, de sorte que q = (^^^-i)
L'intégrale prend la forme simplifiée

f{P>fl)= ({a->-bt)Pt<idt.

212 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES

Théorème. — L'intégrale o{p, q) est réductible à celle d'une
différentielle rationnelle par le théorème du n" 201, si l'un des
trois nombres p, qou p -\- q est un entier, positif, nul ou négatif.

En effet, soit R une composante rationnelle ; on met ^ ( p, q)
sous la forme prévue au n° 201 en écrivant : si p est entier,

si q est entier,

? (p» <Ù - |r [(a + ^0^, ^] dt ;
et, si p + 9 est entier.

Remontons maintenant à l'intégrale primitive, et observons
que q = ^^7^^— *• nous obtenons l'énoncé suivant :

Théorème. — L'intégrale d'une différentielle binôme est ré-
ductible à celle d'une différentielle rationnelle et, par suite, l'in-
tégration se fait par les fonctions algébriques, logarithmiques

et circulaires, si l'un des trois nombres ou p ou |-P

n ^ n ^

est entier.

Tchebichef a démontré (*) que, en dehors de ces trois cas
d'intégrabilité pratique, l'intégrale ne peut pas s'exprimer au
moyeu des fonctions élémentaires. On devra donc alors se bor-
ner à la ramener à la forme la plus simple en se servant des
met] iodes de réduction que nous allons indiquer.

205. Formules de réduction des intégrales de différentielles binômes. —
Supposons l'intégrale préalablement ramenée à sa forme sim-
plifiée :

^{p,q)-- ^{a-\ ht)Pt<idt.

Théorèmk. — Sauf les cas d'intégrabilité pratique, cp(p, q) est
réductible à des fonctions algébriq ues et à une autre intégrale
de même forme où chacun des exposants p et q est augmenté ou
diminué d'autant d'unités qu'on le veut.

(*) Sur l'intégration «les différentielles ii*ra{ionnelles. Jouiiial de Liou-
ville T. XVIII. i«r,:{.

INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGÉBRIQUES 2l3

Considérons, en effet, les deux identités :

(a + bt) {a-{-bt)Pt9 = a{a + bt)P t<i -\- b{a + bt)P <«+*,
D.(a+ 6f)*H-i i9+i = (p-l- 1) 6 (a -h bt)P ^'+^ -j- {q+ 1) (34-60**+* t^ •

En les intégrant (ce qui revient à une intégration par décom-
position et une autre par parties) on obtient respectivement :

<p(p -h I, g) = a cp(p, g) + 6 <p(p g + i),
(a -f W)ïH-i i^+i _ (p + I) fc ^(p, g ^_ i) 4. (g 4. i) ^(p ^ .1, g).

Entre ces deux équations, on peut éliminer cp(/ï -f- i, 7) ou
bien cp (p, q + i)- En résolvant alors par rapport à <j>(p, q), on
trouve les deux formules :

(1) a<p(p,g) = -^^^ ^^-^ + p4_i ?(Pfi>g)>

(S) a<p(p, g) ^-^ ^Jj~^ 5/l__X__,p(p, g + i).

Ces formules font dépendre çp(p, q) d'une intégrale de même
forme, mais où p ou q est augmenté d'une unité. Les deux for-
mules suivantes, qu'on en déduit en résolvant les précédentes par
rapport aux intégfrales des seconds membres, mais en rempla-
çant p par p — I dans la première et q par q — i dans la seconde,
à savoir :

fA\ T. r X (a + bt)P+'t<i aq

font dépendre (p(p, q) d'une intégrale de même forme, mais où
p ou g est diminué d'une unité. Aucune des quatre dernières
formules ne peut devenir illusoire, car, aucun des nombres
p, g, p + g n'étant entier, aucun des dénominateurs p + i, g 4- i,
p + g + I ne peut être nul.

L'emploi des formules (1), (2), (3), (4) permet donc d'augmen-
ter ou de diminuer d'autant d'unités qu'on le vent un des deux
exposants p ou g, sans toucher à l'autre. On pourra donc, de
proche en proche, faire dépendre ©(p, g) d'une autre intégrale
de même forme, mais où p et g seront compris entre deux
entiers consécutifs choisis à volonté, par exemple 0 et i.
Comme celle-ci n'est plus susceptible de réduction ultérieure,
on la considérera comme une nouvelle transcendante.

2l4 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES

206. Usages des formules de rédaction dans les cas d'intégrabilité
pratique. — Dans les cas d'intégrabilité pratique, les formules
de réduction peuvent devenir illusoires. Mais cette éventualité
ne se présente que pour des valeurs exceptionnelles de p, q et
les formules peuvent servir à l'intégration. Nous allons en
donner des exemples.

Nous pouvons toujours supposer, dans les cas d'intégrabilité,
que ce soit l'un des exposants p on q qui est entier. En effet,
si p -\- q était entier, on ferait la substitution ^ =^ i : 2 et l'on
aurait

(p (p, q)--=— \z-P-9-^ {b + az)Pdz,

ce qui ramène au cas précédent.

Supposons, en premier lieu, que p et q soient entiers tous les
deux : je dis qu'on pourra les réduire tous les deux à l'une des
valeurs 0 ou — i. En effet, sip, q sont négatifs tous les deux,
on les ramène à — i par l'emploi des formules (1) ou (2), qui ne
deviennent illusoires que si /; + i = 0 ou si g + i -= 0. Si un
seul des exposants p, q est négatif, on commence par le réduire
à — I ; après quoi on abaisse l'autre à zéro par les formules (3)
ou (4), Celles-ci ne seront pas illusoires, car p -\~ q -\- i ne s'an-
nule pas au cours de la réduction. Enfin, si p, q sont tous deux
positifs, les formules (3) et (4) permettent de les réduire tous
deux à zéro. Dans ces divers cas, le calcul de l'intégrale réduite
sera devenu immédiat.

Supposons, en second lieu, qu'un seul des exposants p, q soit
entier. Les formules ne deviennent illusoires que pour réduire
l'exposant entier de — i à 0. Elles pourront donc servir à le
réduire à 0 s'il est positif, et à — i s'il est négatif. Dans le pre-
mier cas, l'intégration sera immédiate. Dans le second, elle
sera simplifiée, mais devi*a s'achever par rationalisation.

Exemples : I. Considérons l'intégrale de différentielle binôme

r dx

où p est entier et positif. Par la substitution x = \Jt, il vient

INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGÉBRIQUES 2l5

Donc l'emploi de la formule de réduction (1) permet de réduire
l'exposant^ à i. Il vient ensuite, ce qui termine le calcul,

i_

(t '^dt ^ Ç dx

2arc tg;»r+C.

Il est clair d'ailleurs que la formule (1) peut s'exprimer directement
au moyen de ;*:. On trouve, en y remplaçant t par x^ et divisant par 2,
la formule de réduction suivante, qu'il est facile d'établir directement :

dx I X 2p —2>( dx

y{l-\-X^)P 2p-2 {l-\-X^)P-^ ' 2p — 2j{l+X^)^^'

IL Considérons l'intégrale de différentielle binôme

i' x*"dx

J\ji—x^

dans laquelle m désigne un entier positif ou négatif. Par la substitu-
tion x^ = t,ondi

r x^dx \Ç, ^.-l.i^'rL,, 1 ( i m — i\

)\ji-x^ ^j 2^v 2 2 ;

Suivant que m est positif ou négatif, on se sert de la formule (4) ou
de (2). Elles permettent de ramener l'exposant — - — à la valeur — —
si m est pair, et à l'une des valeurs 0 ou — i selon que m est impair
positif ou négatif. Alors m a une des valeurs 0, i et — i. En revenant
à la variable x, on aura à calculer une des trois intégrales :

r ^^ Ç _x_dx__ Ç dx

J \li — x^ J Sjï'^x^ J x\jV—x^'

qui ont pour valeurs (n» 2o3), à une constante près,

arc sin x, — Sji — x^, Log-

X

III. Dans la théorie du pendule, on rencontre l'intégrale

x^dx

I;

\jax — X-

Ce n'est plus une intégrale de différentielle binôme, mais on la ra-
mène, à son choix, à l'une ou à l'autre des deux intégrales de diffé-
rentielle binôme (I) ou (II) par les substitutions :

X = at^ ou \/ax — x^ = xz.

On trouve, après quelques réductions faciles,

r xf^dx C f^'^dt C dz

C t^'^di r dz

2 a"* I —=. = — 2a"'\ -, — j — Tx— TT'
J yJi—i^ j (i + ■^')'"+*

J\lax~x^ J\l-i

ce qui ramène aussi l'une à l'autre les intégrales (I) et (II).

2l6 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES

207. Cas particuliers simples des intégrales de diflEerentielles binômes.

— Parmi les oas d'intégrabilité pratique de l'intégrale o(p, q),
il y en a trois que l'on peut considérer comme des cas d'inté-
grabilité facile. Ce sont ceux où l'un des nombres p, q ou

— (i^ + 9 + 2) est entier positif.

En effet : i" Si /> est entier positif, on développe (a + bt) p par
la formule du binôme et l'intégrale

J'

(a 4- Ifi)P t9 dt

se calcule par décomposition. 2° Si q est entier, on prend a -\~ bt
pour variable, ce qui ramène au cas précédent. 3° Si p -j- qr + 2
est entier négatif, la substitution t = 1 : z ramène au cas que
nous venons d'examiner. Dans ces divers cas, l'emploi de la
formule de réduction sera donc rarement avantageux (*).

Exercices.

I. Intégrales à calculer par le théorème du no 201 :

r x^dx Ç dx Çi -\- x^

JSjx — ï J x\la-\-bx " T -4- ^"i

f — — [{a + x) ^xHx \

J x^\lx — I J J ,

^ ï-\-x^
dx

'V^-i ^ {i+x)^-{i-\-xy

2. Intégrales à calculer par le théorème du n» 202 :

J

dx I X\l2 , ^
= -—= arc tg , ^ . + C

(i + x^)\li — x^ Va Vi — x^

dx I _ Vi+^'+Wa , n
— Log , . h C

(I — x^)\Ji + x^ V2 \Jï+x^

dx ^ Mi+x — x^-{ï+x)
■ == — 2 arc tg h C.

(i-|-;i^)Vi+^ — ^^ ^

3. Différentielles binômes à intégrer :

x^dx X {x^ — 3) 3

3 — , arc sin x-\-C

\xi [a + ,1^2)^' dx-^ — (a+ x^yfx^ ~ —^ + C

(l_;,2)a Wi-^ 2

(*) L'exemple II du numéro précédent rentre dans le troisième cas d'in-
tégrabilité facile si m est pair et négatif.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES Ûl'J

4. Montrer que toute difFérentielle binôme x'* {a -\- hx' ydx peut, à
part un facteur constant, se ramener à la forme (fi et v rationnels)

sinf^ipcos^ fd<f.

R. On y anive par les trois substitutions suivantes, dont l'une au
moins est réelle :

a -j- bx^ „ I

^ cos^ <p ou r— ou — tfir*<J>.

a cos^ip ° '

§ 4. Inté^ation des fonctions transcendantes.

208. Bationalisation. — Un grand nombre de différentielles,
qui renferment des fonctions exponentielles et circulaires ou
leurs inverses, peuvent être rendues rationnelles par nne sub-
stitution de variables, c'est-à-dire qu'elles prennent la forme

R («) du,

où R désigne une fonction rationnelle. Les substitutions qui
conduisent à ce résultat sont immédiatement apparentes dans
les différentielles suivantes :

Jl{e^)e^dx, R(Log^)^, R(arctgx)-^;

ce sont respectivement :

e^ = u, Logar = u, arctg3C = w.

Mais on peut rendre rationnelles des différentielles pour les-
quelles la substitution convenable est moins facile à apercevoir
et nous allons en examiner quelques types généraux.

209. Intégration de R (sin ;x;, cos .x) d;x. — Suivant le cas,
quatre substitutions principales rendent rationnelles les diffé-
rentielles de cette forme où R désigne une composante ration-
nelle :

I. Si R est une fonction impaire de cos x, c*est-à-dire une
fonction qui ne fait que changer de signe quand on y remplace
cos X par — cos x, on rend Udx rationnelle par la substitution

sin X = z.

En effet, le quotient R : cos x, ne changeant plus de signe,
ne contiendra plus le cosinus qu'au carré et sera, par consé-

2l8 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES

quent, une fonction rationnelle, Kj, du sinus seul. On aura donc

R = Ri (sin x) cos x,

et, par la substitution proposée,

R dx == Ri (z) dz.

II. Si R est une fonction, impaire de sin x, on rend Rd^
rationnelle par la substitution

cos oc = z.

On a, en effet, par le raisonnement analogue au précédent,

R = Ri (cos x) sin x, R d;x; = — Ri {z) dz.

TII. Si R (sin x, cos x) ne change pas quand on remplace à la
fois sin x par — sin x et cos ;x; par — cos x, on rend "Rdx ration-
nelle par la substitution

tgx ^ z.

En effet, remplaçons, dans R, sin x par cos x tg ;x;. Nous
formons une fonction du cosinus et de la tangente que le chan-
gement de signe du cosinus n'altère plus, qui ne contient donc
le cosinus qu'au carré. C'est donc une fonction rationnelle, R,,
de la tangente seule, car cos'^oc peut se remplacer pan : (i+tg^;x;),

et l'on a

dz
R doc - Ri (tg x) dA; = Ri (2) j-p^.

IV. Dans tous les cas, on rend R (sin x, cos x) dx rationnelle

par la substitution

. x
^ = tg-.

On a, en effet, en fonction rationnelle de z,

2Z 1—Z^ , 2dz

sm X = — : — :r, cos X = ; — 5-, dx =

1+22' -"-*- 1+22' l-\-Z^

Remarques. — La dernière substitution peut toujours être
évitée. En effet, si l'on décompose R comme il suit :

2 R dA; = [R (sin x, cos x) -f R (— sin x, — cos x)] dx
+ [R (sin X, cos «;) — R ( — sin x, cos x)] dx
+ [R (— sin 5c cos «;) — R ( — sin x, — cos x)] dx,

chacun des termes écrit sur une ligne peut être rendu rationnel

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES 21Ç)

par une des trois premières substitutions : le premier par la
substitution III ; le deuxième par la substitution II ; le troisième
par la substitution I.

On rencontre souvent des différentielles renfermant d'autres
lignes trigonométriques que sin A" et cos x, comme tg x, sec .v,
etc.. On commence par exprimer rationnellement ces nouvelles
lignes au moyen de sin x et de cos x, après quoi les théorèmes
généraux s'appliquent.

Dans d'autres cas, la différentielle renferme, outre sin x et
cos X, des sinus et des cosinus de multiples entiers de x comme
sin 2X, sin 3x, cos '2X, etc. On les exprime par des polynômes
en sin x et cos x et les méthodes générales s'appliquent.

Enfin, si la différentielle renferme sin ctx, sin ^^c, cos yx, etc.,
a, (3, y... désignant des nombres rationnels dont m sera le plus
petit commun dénominateur, on pose x = mz, on prend z comme
nouvelle variable et on est ramené au cas précédent.

Applications. — I. On trouve, par les substitutions (I) ou (II),

l'coHxdx , . , „ fsinxdx . , ^,

r = Log sin .v -f C, = — Log cos x ■+- C,

j sin x ° J cos ;x: » i »

1 sin X cos X dx = — sin^^c + C = cos^^c 4- C;

j 2 2

par la substitution III,

C dx

J sin X cos X
par la substitution (IV),

Log tg 5C + C ;

/

= Logtg- +C,

sm X ° "^ 2

7C

et, en remplaçant x par x +

2

/H^s^-^°«»<i-:")+--

II. Passons à l'exemple plus compliqué

dx

cos a:

Aucune des trois premières substitutions n'est applicable
isolément, employons la dernière :

220 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES

4. ^

COS3C =

^-^" d^

I + z«' "^^

L

'intégrale

proposée devient

r

zdz

adz

I + z^

J{a + b)-\-{a—b)z-'

En changeant au besoin le signe de l'intégrale, nous pouvons
admettre que (a + b) est positif, alors (a — 6) est positif ou
négatif.

Si a — b est > 0, posons a -|- 6 = a*, a — 6 = p* ; nous aurons

Si a — 6 est < 0, posons a + 6 = a*, a — 6 = _ p* ; nous
aurons

Ja-h6cos5c"'J a2-P*z*~^ ^^a — §2 "^

yô+^ + VÂ^^tg^
= -==. Log ^ + C

T 6 + a cos X -f- \Jb^ — a* sin x , „

y6« — a^ a H- 6 cos a;

III. On ramène à la précédente l'intégrale

dx

/.

a-\-b cos 5C + c sin oc'
en déterminant deux quantités r et (f> par les relations

b ■= r cos ip, c ^^ r sin <p ;

l'intégrale devient

dx

/^

a -|- '' cos (5C — <p)'

et sa valeur s'obtient en remplaçant b par r et :x; par x — œ dans
la précédente.

210. Intégration de sin "^x cos **^xdx. — Si m et /i sont entiers,
cette différentielle est un cas particulier de celle du n° précé-
dent. Elle peut donc être rationalisée par les substitutions

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES 221

indiquées. Nous allons d'abord attirer l'attention sur cinq cas
dans lesquels l'intégration est facile par ces substitutions. Les
trois premiers ne supposent pas que m et n soient entiers tous
les deux.

Cas d'intégrabilité facile. — Voici d'abord quatre cas où
l'intégration est immédiate par décomposition en développant
la puissance d'un binôme tel que (i — 2*). On suppose k entier
et positif :

i" m -= 2/c 4- 1, on pose ces x = z, d'où

J sin *"x cos "X dx = — J(i — z-y^z*^dz ;

2* il = 2^ -h I, on pose sin x = z, d'où

j sin "*x cos **jc dx = (z*^ (i — z^)'^dz;

3** m -4- n = — 2k, on pose tgx ^ t ou cot x =^ u, d'où
J sin "^x cos ^xdx = j t"^ (i f f*)*-* d^ -= — J w«(i + m«)^-» du ;

X

4** /i =^ 0 et m = — 2A* — I, on pose tg - = 2, d'où

(* dx I i*(i 4-2*)'*rf2 I Çf . iY*d2

:{T+z^)^dz I ff . iV

j sin2*+* oc 2«* j z«*+i 2** J V 2y z "

Considérons encore un 5® cas où la décomposition se fait
autrement :

5** Si m + n = 0 (m entier) les substitutions du cas S** donnent

ïts'^xdx = \ — --— = — I ;.

Si c'est m qui est positif, on effectue la division de t"' par
I -h ^^ et chaque terme est immédiatement intégrable. Dans le
cas contraire, c'est u" qu'on divisera par (i -j- u*).

Formules de réduction (*). — On a

J sin'»» X cos**5C dx = ( sin»"-*5c (cos** x sin x dx) ;

(*) La différentielle siu *>*x cos nx dx se transforme à an factear numé-
rique près dans la différentielle binôme

m + i n—i

t 2 (i— #) 2 d/

par la substitution sin x =^t. Les formules de réduction établies ici ne
sont que les transformées de celles relatives aux différentielles binômes.

222 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES

d'où, en intégrant par parties, la formule (1)

/

• y» « j sin»"-*a;eos"+*5c , m- ^ i . _ , , , ,

sin^xcos** xdx= ; , — f:i\n"^-^xcoë^^+'xdx

i

D'autre part, si l'on fait porter l'intégration sur le sinus après
avoir isolé un facteur cos x, on a la formule (2) :

r . ^ ^ j sin*"+*A'cos"-* .x; n — i /* ,„ „ ,

sm^xcos^ xdx -=- 1 — sm'^+^xcos^^-^xdx

j m + I m + ij

Dans l'intégrale qui est au second membre de la formule (1),
remplaçons un facteur cos^^c par i — sin^^c. Cette intégrale se
décompose en deux autres, dont celle du premier membre. En
résolvant par rapport à celle-ci, nous obtenons la formule (3) :

• «. « j sin'«-*5ccos*»+*«; , m — i , . _ ,

sin"^cos« 5cax= — sm^^-^^ccos" jc dA;.

m + n m-f-/ij

Opérons de même sur l'équation (2), mais en remplaçant un
facteur sin^iv par i — cos*5C, nous obtenons la formule (4) :

r • ». « j sin'«+*.\;cos"-*5c , n—i ( . ^ », , _,

I sin"»5c cos** xdx= \ — I sin"*:x: cos^-^^cd^c

j m -\- n m-{-nj

Enfin, changeons m en m H 2 dans la formule (3) et n en
n + 2 dans la formule (4) et résolvons chacune des deux formules
par rapport àl'intégr-ale du second membre. Nous obtenons les
formules (5) et (6) :

r • », « J siD"^+';x;cos"-^*«; . m+n-f2 C . ^,^ „ ,

\ sin*"JCC0S";x;d5c= — , ■ — - — I sin*^'+''xcos"«;a;x:

J m -\- ï m + 1 J

r • «. « T sin*"+*:x;cos'»+^A; m-hn+2 f . ^ „ , „ j

I sin*"5ccos'*5ca5C= , 1 ; 1 sm^xcos^-^^xdx

J n-{-i /i + ij

Si m et n sont entiers, l'emploi combiné des quatre dernières
formules permet d'effectuer l'intégration dans les diverses
hypothèses possibles.

En effet, ces formules permettent de diminuer ou d'augmen-
ter de deux unités un des deux exposants sans toucher à l'autre.
Par la répétition de cette opération, on peut donc ramener les
deux exposants à l'un des trois nombres — i, 0 ou i. Seul le
passage de — i à -j- i ne peut se faire, le dénominateur des for-
mules s'annulant dans ce cas. Quand la réduction des exposants
est faite, l'intégration est immédiate ou très facile.

Les deux premières formules serviront aussi avec avantage si
les deux exposants m et n sont de signes contraires, car elles

INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES 22.3

permettent de réduire les deux exposants à la fois jusqu'à ce que
l'un d'eux soit ramené à — i, 0 ou i. Après cela, la réduction
doit se continuer par les autres formules.

Intégration par décomposition. — La méthode que nous
allons indiquer est applicable chaque fois que les deux expo-
sants m et n sont entiers nuls ou positifs. Mais la méthode de
rationalisation est plus expéditive, sauf peut-être si m et n sont
pairs tous les deux.

Cette méthode consiste à décomposer, par les formules de la
trigonométrie, cos";x; en une somme de cosinus de multiples de
X et sin^'ac en une somme de sinus ou de cosinus de multiples
de X (*). En effectuant la multiplication, on trouve des produits
partiels, qui se décomposeront eux-mêmes par les formules :

sin "kx cos [i.x= - sin Q. -{- ^)x -\- sin (k — p.) «;

cos "kx cos fx ic = - cos (X -f fji) a; -|- cos (k — u) x
et ces nouveaux termes s'intègrent immédiatement.

(*) Ces formules se déduisent facilement de celle de Moivre. On part de

l'identité

2 cos X = (cos X -\- i sin x) -f- (cos x — / sin x).

On élève à la puissance n par la formule du binôme, mais en ayant égard

aux relations

(cos X + i sin x)P = cos px -f- i sin px.

(cos X -f- / sin x) (cos x — i sin x) = i.
Il vient facilement

an cosw X = (cos nx + i sin nx) -\- n [cos (n — a) .v -f- / sin (« - 2) x]

-|- " [cos(n — 4) ^ + ' sifl(" — 4)-^] + •••

En négligeant les termes imaginaires, qui se détruisent, on trouve l'ex-
pression cherchée pour cos" x :

2" cos"^ X = cos nx -\- n cos(n — 2) x-\ ^ cos(n — 4)+ •■■>

Les coefficients sont ceux du binôme, de sorte que les termes à égale
distance des extrêmes sont égaux dans cette formule.

Le développement analogue de sin" jc se déduit du précédent, en y chan-
geant X en .V -f TT : 2. Il est de l'une des deux formes suivantes, suivant que
n est pair ou impair :

2" sin" X = (— i)^ [cos XIX — n cos {n — 2) x -f- — ^ — - cos (n — 4) « — ,• •

w-t-i ,

2"sin"x = ( — 1) 2 [sin /ijc — n sin (/t — 2) .v -j ^ sin(n — 4)'*'" — •••

Dans les deux cas, les termes à égale distance des extrêmes seront
encore égaux.

224 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES

Lorsque m et n sont pairs tous deux, le procédé de décompo-
sition suivant, qui ne demande aucun effort de mémoire, est
commode en pratique. Soit m = 2p, n ^ ^q :

1° Si p est ^ q, on écrit
sin^P 5ccos«<? X - sin^P x(sin5ccos5c)=« = /'£IzCOS2.•^c^ ^«^ sin25c \^<i

■-) [f^)

_ (i — cos 2oc)^^'-«sin*9 2A;

2*» Si p est < q, on écrit

/'sin23C^*^ /I + COS25CV~^

sin*Paccos*9 5c=(sinjccos.x)*^cos*«-*Px= i i i i

_ (sin 23c)«^(i + cos 2xY~P

On développe par la formule du binôme en une somme de
termes de la forme sin 2a: cos'^25c, mais où X + jji ne peut sur-
passer p -\- q. Ceux où l'un des exposants X ou {/. est impair
rentrent dans un cas d'intégrabilité facile. Les- autres termes
se décomposent par le même procédé en éléments de la forme
sin ^XGO^^ ^. On continue ainsi de suite jusqu'à ce que tous
les termes s'intègrent. La réduction marche rapidement, puis-
que la somme X 4- f*^ des exposants est réduite au moins de
moitié à chaque nouvelle décomposition.

211. Intégration de B(x)e^'^dx. — Cette différentielle, dans
laquelle E (x) désigne un polynôme, s'intègre le plus facilement
par la formule d'intégration par parties. On a

JE {x) e^dx=- E(5c) e«^ — - (e'{x) e''^ dx.

Cette formule fait dépendre l'intégrale proposée d'une autre
de même forme, mais où le degré du polynôme est abaissé d'une
unité. C'est une formule de réduction. En l'appliquant de proche
en proche, il vient

^E{x)e^dx = ^]^E{x) A_!+_A^_...J

Cette formule s'arrête d'elle-même quand les dérivées de-
viennent identiquement nulles.

Remarque 1. — Il existe une expression symbolique utile de
l'intégrale précédente. Décomposons-la en une somme d'autres.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

225

ne renfermant qu'un seul terme du polynôme E(a;). Chacune de
celles-ci s'intègre par la formule symbolique (4) du n° (192) ; on
a ainsi, pour /i = 0, i, 2, 3....,

I

xn eax dx = D« h C.

a

Si l'on multiplie chacune de ces formules par le coefficient
de X" dans E (x) et si l'on fait leur somme, on trouve l'équation
suivante, remarquable par sa concision :

/

Qaa

E (x) e«^ c?5c = E (D„ ) \- C

Remarque II. — On ramènerait à la précédente les différen-
tielles des n°^ 212, 2i3 et 214 en remplaçant les lignes trigono-
métriques par des exponentielles imaginaires, au moyen des
formules d'Euler données à la fin du volume, mais nous écar-
tons cette méthode pour le moment. Elle serait cependant la
plus simple.

212. Intégration de E (x) sin ax dx et de E {x) cos axdx. — Ces
différentielles, dans lesquelles E (x) désigne encore un poly-
nôme, s'intègrent par parties et s'obtiennent par un calcul
analogue au précédent. Une première intégration par parties
donne

cos ax dx --= E (x) — ^ E ' («;) sin ax dx,

Je(x)

j E(5c) sin axdx = — E(;x;)

a

Gosax

a

^/e'W

cos axdx.

Ces deux formules ensemble fournissent une méthode de ré-
duction. En les employant alternativement, il vient ;

I E (x) cos ax dx = E (x) ^^-^-\ ^— ^ — ••

J a L a- a*

+

a
cos ax

jE(x)

sin ax dx =-

a
sin ax

a
cos ax

E'(x) _^{xl W{x)

a a^ a^

F'{x) E"'(jc) , EV(a:)

4-c

E(.)-^-;;i^4-^-^)-...i^c.

i5

226 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES

213. Intégration de jc" e<^^ cos bx dx et de x^ ef^^ sin hx dx. —

On a

d(e^^ cos bx) = ef^ (a cos bx — b sin bx) dx,

d{e"^ sin bx) = e*^*^ (è cos bx -{- a sin feoc) dsc.

On en tire

a d (e«^ sin bx) — bd (e«^ cos bx) = (a^ + fr^j gaa? gijj ^^^ j/^^
Z? d (e«^ sin i?5c) + a d {e^ cos 6a;) == (a" + b^) e"^ cos èoc dx.

11 vient donc, en intégrant,

Ç . , T e«^(asin65c — fc cos t^c) , ^
J e«^ sin bx dx = 5^ ^^^-ç^, '- + C,

/' , , e^ (b sin bx + a cos bx) . ™
e^^'cosfoicdA;^ ^^ ^ , ^ ^ + C.

Les intégrales plus générales proposées dans le titre, se dé-
duisent des précédentes par la méthode de dérivation. En déri-
vant n fois par rapport à a, il vient

. ^ - ^ne^^(asin ;6a' — j&cos;6a;) , „
a'' + O''

r 7 ,^„e«^(6 sin;65C+acos6A;) , ^
jc« e«^ cos Z>5C rf5C = Da ^^ ^2 1 ^g ^ + C .

214. Différentielles réductibles aux précédentes. — 1. On peut
réduire aux précédentes et, par conséquent, intégrer les diffé-
rentielles de la forme générale

^{x, e^^, sin bx, sin ex,... cos ex, cos fx,...) dx

où E(x, 3',...) désigne un polynôme en x, y,... ci a, b, c,... des
constantes quelconques.

En effet, chaque terme du polynôme E contient eu facteur
un produit de sinus et de cosinus à certaines puissances. On le
décomposera en une somme de sinus ou de cosinus par les for-
mules indiquées au n^' 210 pour la décomposition des puissances
ou des produits de sinus ou de cosinus, formules auxquelles il
faut ajouter

sin Xx sin [xx =- cos (). — p.) 5C — cos (k -f jx)a; | ,

et qui permettent de décomposer de proche eu proche des pro-
duits de deux, trois, quatre,... facteurs. Après ces décomposi-
tions, la différentielle proposée se partagera en une somme
d'autres des divers types déjà intégrés :

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES 227

x"^e^"^ dx, x"^e^"^ sin px dx, x^e^^^ cos px dx.

II. On peut ramener aux précédentes et, par conséquent,
intégrer les différentielles :

E {x, Log x) dx, E (x, arc sin x) dx, E (x, arc cos x) dx

où E {x, y) est un polynôme en x, y.

En effet, par les substitutions respectives

Log X ^ z, arc sin x = z, arc cos x = z,

ces différentielles deviennent

E (e^, z) e^ dz, E (sin z, z) cos z dz, — E (cos z, z) sin z dz

et elles rentrent dans celles du théorème précédent.

215. Différentielles qui renferment la racine carrée d'un polynôme du
second degré. — Les différentielles qui ne renferment pas d'autre
irrationalité que la racine carrée d'un polynôme du second
degré peuvent, comme nous allons le montrer, se ramener par
substitution à des différentielles rationnelles en sin t et cos t.
C'est un nouveau procédé d'intégration à ajouter à ceux du 11^202.

1° Si le radical est de la forme \/a^ — x^, on pose
X = a sin t, d'où

dx = a cos t dt,

\ja^ — «;2 = a cos t.

C'est la méthode déjà rencontrée au n° 190, 3".
2° Si le radical est de la forme \Ja^ -\- x-, on pose

adt

dx = r-T,

, , j, . T cos^r

5c = a tg r, d ou

Va'^ + oc2 = -~.
cos t

3° Si le radical est de la forme sjx'^ — a*, on pose

, ■,, . ( dx =' atgt9>iiQ.tdt,
X = a sec t, d ou { ^

{ \!x^ — a2 = a tg t.

Dans tous les cas, on peut ramener, par une substitution
linéaire, le radical (supposé réel) à l'une de ces trois formes.

Exercices.

I. Cas d'intégrabilité facile du n° 210 :

1 sin^ X dx = —{ cos 'i' — x cos'^ *' ~l~ c" ^^^^ -^ ) i C.

228 CHAPITRE V. INTÉGRALE S INDEFINIES

sin" xdx = — (cosx — cos=' ^ + t cos^ x—- cos' xj-\-C.

2. On trouve par les formules de réduction du n» 210 :
dx cos X 2

sin* ;tr 3 sin^ x 3

cot;«r+C.

Jcos5;r 4 Vcos*;tr ^2 cos2.ry^8 ^^U 27 ^

fsin^ ;»? , sin^AT 2 , ^

7-'^^ = ô 5 5 hC.

j cos* X 3 cos^AT 3 cos;t

f . . , sin;»; cos ;»?/^ . „ , 3\ , 3;tr , ^
I sin*;tr dx = f sin^ ;i;+ -- ) + — + C.

3. On trouve par décomposition (n» 210)

i • i 2 j I Z' sin 4;»; sin3 2;t;^ , „

I sm*Ar cos^ ;V' dx = — - ;i; — + C.

J 2*\ 4 3 7'

4. Démontrer les formules suivantes :

|a^ cos^/+^^sin^;.=^ "^" *^ G *^ ^^ + ^^

I — ; dx = Log (2 + cos x) +-^ arc tg ( —z-^ tg— ) + C.

J2 + cos;t; ''' ' y3 ''VV3 27

T— i = - + arctgl tg - + C.

J I — 2ycos;»; + y^ 2 Vi — r 2/

1 ;»;* cos xdx = sin ;»; (;»;* — 12 ^^ + 24) + cos x{^x^ — 2/^) + C.

I

^* cos^ ;tr <^;y= , , , — ^ (a^ cos^ X -\- 2a sin ;r cos x-\-2)-\-C.
« (<» + 4)

^^sin^ Ari;i?==— —r— — r- (a^ sin^ ;i; — 2a sin ;v COS ;tr + 2) + C.
a («2 + 4)

\x*'Logxdx= — ; — ( Log;ir j — ) + C.

j ° » + i\ » + 1 7
\{Logx)''dx=x[Logx)'' — n{Logx)"-^ + n{n — i){Logx)*t-^ l+C.

j (arc sin xy dx == x [(arc sin xY — 2] + 2 (arc sin x)\Ji — x^-\-C.

CHAPITRE VI.

Théorie élémentaire des intégrales définies.
Intégrale de Eiemann.

§ 1. Intégrales définies considérées comme
limites de sommes.

216. Fonctions intégrables au sens élémentaire. Première définition
de l'intégrale définie. — Nous nous proposons ici de faire la théo-
rie des intégrales définies sous la forme la plus élémentaire et
non la plus générale. Nous dirons donc, quitte à généraliser
cette définition plus tard, qu'une fonction f(x) est intégrable
(au sens élémentaire) dans un intervalle (a, b) si elle est continue
dans cet intervalle et, plus généralement, si, n'étant pas con-
tinue, elle est bornée et ne possède qu'un nombre limité de
points de discontinuité dans l'intervalle (a, b).

Ceci posé, soit f{x) une fonction intégrable dans un intervalle
(a, b) et ayant pour bornes supérieure et inférieure les nombres
M et m, c'est-à-dire (n° 12) que ce sont les deux nombres les
plus rapprochés entre lesquels la fonction demeure comprise
quand x varie dans (a, b). Décomposons l'intervalle (a, b) en
éléments consécutifs par les points x^ = a, x^, .Vg,... Xn-iri = b.
Soient, en général, Sj = Xi^i — Xt l'amplitude d'un des inter-
valles élémentaires et nii la borne inférieure de f{x) dans cet
intervalle 8,. Formons la somme, étendue à tous les intervalles
Si depuis a jusque b,

n

S == ^ ITLi Bj.

i=l

On peut former une infinité de sommes analogues en faisant
varier le mode de subdivision de l'intervalle (a, b). Mais, puis-
que nxi est compris entre m et M, toutes ces sommes sont com-
prises entre /nES^ = m (6 — a) et MIS* == M (fc — a). Elles ont

23o CHAPITRE VI. THEORIE ELEMENTAIRE DES INTEGRALES DEFINIES

donc en ])articulier une borne supérieure, c'est-à-dire qu'il
existe un plus petit nombre qu'elles ne peuvent surpasser
(n° 12). Cette borne est une intégrale définie ; elle se désigne
par la notation

(1) Çf{x)dx.

Les quantités a et b, valeurs extrêmes de x entre lesquelles
se fait la sommation, sont les limites de l'intégrale : a est sa
limite inférieure, b sa limite supérieure.

L'expression (1) se prononce intégrale ou somme deakb f{x)dx.

La lettre x sous le signe d'intégration est la variable d'intégra-
tion et elle peut être remplacée par toute autre lettre, l'expres-
sion

est identique à la précédente.

L'intégrale définie jouit des deux propriétés suivantes, qui
vont nous servir à en transformer la définition.

217. Théorème de la moyenne (Cas particulier). — De même que
les sommes s dont elle est la limite, l'intégrale (1) est comprise
entre les deux quantités m {b — a) et M {b — a). On exprime ce
théorème, connu sous le nom de théorème de la moyenne, par
la relation

l{x)dx = ij.{b — a),

Ja

où tj. désigne une certaine moyenne entre les valeurs de f{x)
dans l'intervalle (a, b), c'est-à-dire une quantité comprise entre
m et M.

Quand f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), cette fonction
prend la valeur pi en un point l de l'intervalle (n° 27, VI) et l'on
peut aussi écrire

Çf{x)dx = m{b-a).

Ja

218. Partage de l'intervalle d'intégration. — Théorème. Si l'on
partage l'intervalle (a, b) en deux autres par un point intermé-
diaire c, on a la relation

jj{x) dx =jj{x)dx + JV(^) dx.

INTÉGRALES CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES 23 1

Observons d'abord que si l'on partage un des intervalles
8„ 82,—» par exemple 8/, en deux autres Sj et 8^' par l'addition
d'un nouveau point de subdivision, la somme Sm^S,- augmentera
(si elle change), car le terme /n,8i sera remplacé par une somme
m'iù'i + ml' 8i' au moins égale (puisque nii et nii sont > mi).

Ceci entendu, montrons que les deux membres de l'équation (2)
ont la même définition.

Le premier membre est la borne supérieure de toutes les
sommes 2/n8 étendues de a à 6 (n° 2i6) ; le second est la borne
supérieure des sommes analogues quand on s'astreint à pren-
dre c comme point de subdivision. Mais cette restriction est
sans conséquence, car toute somme SmS étendue de a à t ne
surpasse pas celle qu'on en déduit en prenant en plus c comme
point de subdivision.

Remarque. — Le théorème précédent se généralise de proche
en proche : Si l'on partage l'intervalle (a, b) en plusieurs autres,
l'intégrale dans l'intervalle entier est la somme des intégrales
dans chaque partie.

219. Déflnition usuelle de l'intégrale définie. —Partageons l'in*
tervalle (a, b) en intervalles consécutifs d'amplitudes o^, dési-
gnons par Mi et m» les bornes supérieure et inférieure de f{x)
dans l'intervalle 8, et formons les deux sommes :

S m.Â, 2 Mi8j,

étendues à tous les intervalles 8^. Nous allons démontrer le théo-
rème suivant, qui fournit la définition usuelle de l'intégrale
définie :

Théorème. — L'intégrale

•b

f{x) dx

est comprise entre les deux sommes I,miti et SMjSi et est leur
limite commune quand tous les intervalles 8^ tendent vers zéro.
En effet, en vertu du théorème précédent (n"^ 218), l'intégrale
dans (a, b) est la somme des intégrales dans chaque intervalle
8i, c'est-à-dire la somme des intégrales prises entre deux points
de subdivision consécutifs oc, et Xf+i. On a donc

Çf{x)dx = j: p^'f{x)dx.

Ja >»

232 CHAPITRE VI, THEORIE ELEMENTAIRE DES INTEGRALES DÉFINIES

Le second membre est compris entre S/7ï,8, et SM^Oj, car le
théorème de la moyenne (n» 217) s'applique à chaque intégrale,
ce qui prouve la première partie du théorème.

Pour établir la seconde, il reste à montrer que la différence
de ces deux sommes, à savoir

S (Mi ~ nii) Oi,

i

tend vers zéro avec tous les intervalles 8»-. La conclusion est
immédiate si f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), car les
oscillations M^ — nu deviennent toutes inférieures à tout nom-
bre donné e quand les intervalles S, deviennent tous suffisam-
ment petits (n° 27, IV), et la somme 2 (M^ — m,) 8» est alors
moindre que eSS» ou e (6 — a), quantité aussi petite que l'on veut
avec e. Cette somme tend donc vers zéro.

Cette conclusion subsiste, si f{x), restant bornée, possède un
nombre limité de points de discontinuité entre a et b. En effet,
donnons-nous un nombre positif w arbitrairement petit. Les
oscillations M^ — lUt deviendront, comme ci-dessus, inférieures
à e dans tous les intervalles 0, qui restent à une distance > w
des points de discontinuité, et sont, par suite, intérieurs à des
intervalles fixes où la fonction est continue. La partie corres-
pondante de la somme 2 (M» — nii) 8» aura donc pour limite zéro.

La somme des autres intervalles 8/ et, avec elle, l'autre partie
de la somme 2 (Mj — m,) 8/ peuvent être supposées aussi petites
que l'on veut avec w, puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de
points de discontinuité. La limite de la somme complète ne peut
donc encore être que zéro.

220. Autres limites de sommes qui peuvent servir de déftnition à
l'intégrale définie. -^ Il est souvent utile de considérer l'intégrale
définie comme limite d'expressions différentes des précédentes.
Supposons f{x) iutégrable dans l'intervalle (a, b) et partageons
encore cet intervalle par les points x^ = a, x^, ... Xi, ... Xn^i = b
en parties d'amplitudes 8^. On aura

I

'f{x)dx = \imîf{l,)oi,

i=l

le point li étant choisi arbitrairement dans l'intervalle 8j et tous
les intervalles 8, tendant vers zéro. En effet, f{\^ étant compris

INTÉGRALES CONSIDKRÉBS COMME LIMITES DE SOMMES 233

entre les bornes M» et nu, la somme précédente est comprise
entre les deux expressions SM^ et ^mS,, qui ont toutes deux
pour limite l'intégrale définie, donc elle a la même limite.

On peut choisir, en particulier, ^i = Xi et écrire Of ^- dxf ; il
vient alors

i

'b n

f(x) dx = lim i: f{xi)dxi.

i=i

Ainsi l'intégrale définie peut être considérée comme la limite
d'une somme de différentielles. C'est même là le premier point
de vue auquel on s'est placé pour la définir. Aussi c'est dans la
relation précédente que l'on trouve l'origine de la notation de
l'intégrale définie et, en particulier, du signe J qui représente
une limite de sommes.

221. Cas où a est > b. — Nous avons supposé jusqu'ici a < b,
mais la définition de l'intégrale

I f{x) dx

comme limite de sommes et ses conséquences subsistent pour
a > b. Seulement, comme les points de subdivision .v,- sont sup-
posés numérotés dans le sens de a vers b, toutes les différences
Xi^i — Xi = 8j deviennent maintenant négatives et les ampli-
tudes des intervalles élémentaires sont — Sj. Ecrivons donc

J f{x)dx = lim S MA = — lim 2 M^ (— 8^) ;

nous avons, par la définition antérieure, b étant < a,

lim 2 M, (— Si) == rf{x) dx ;
par conséquent,

Cfix) dx == - (y^x) dx.

Jft Jb

Donc intervertir les limites d'une intégrale définie revient à
changer son signe.

Remarque. — Ce théorème permet d'écrire l'équation (2) du
n** 2i8 sous la forme suivante :

(" f{x) dx + Cfix) dx + f/X.Y) dx = 0.

Ja Jb Je

234 CHAPITRE VI, THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DÉS INTEGRALES DÉFINIES

comme on a en géométrie ab + ^'c -\- ca = 0 en vertu du prin-
cipe des signes. Sous cette forme, l'équation est symétrique en
a, b, c. Par conséquent, elle subsiste quelle que soit la situation
respective de ces trois points. Elle suppose seulement la fonc-
tion intégrable (n° 216) dans tous les intervalles considérés.

222. Signification géométrique de l'intégrale définie. — L'intégrale
définie est susceptible d'une interprétation géométrique. Soit
f{x) une fonction continue dans l'intervalle (a, b) ; considérons
la courbe qui a pour équation en coordonnées rectangulaires

y -= f{x)
et supposons, pour fixer les idées, que son ordonnée soit posi-
tive. Proposons-nous de définir et d'évaluer l'aire comprise
entre la courbe, l'axe des x et les deux droites x ^ a et x = b.
Partageons cette aire en segments élémentaires par des paral-
lèles à l'axe des y d'abscisses successives x^, x^,... Xn menées
entre les droites extrêmes x = a (ou x^) et x = b (ou Xn+i). Un
segment quelconque de base Xt+i — Xi (ou 81) est compris entre
deux rectangles, l'un inscrit dans le segment et l'autre circons-
crit. Le premier a pour hauteur le minime nii de f(x) entre
Xi et Xi^i, l'autre le maxime M^ entre les mêmes points. Leurs
mesures sont mSi et M^Sj. Donc l'aire à évaluer est comprise
entre la somme llm^i des rectangles inscrits et celle 2M<8i des
rectangles circonscrits. Comme ces deux sommes tendent vers
la même limite quand tous les segments tendent vers 0, cette
limite commune peut servir de définition et de mesure à l'aire
que nous nous sommes proposés d'évaluer. Cette aire est donc
égale à l'intégrale définie

•b

f{x)dx.

Ja

Telle est l'interprétation géométrique annoncée : Une intégrale
définie représente une aire plane.

223. Intégrale considérée comme fonction de sa limite supérieure ;
sa dérivée. — Remplaçons la limite supérieure b de l'intégrale
définie par une variable X, nous formons une fonction de X :

r(X) = r f(x)dx.

'(X) = r/-(^)

Ja

INTÉGRALES CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES 235

Cette fonction jouit des propriétés fondamentales suivantes :
La fonction F(X) est continue dans tout intervalle où /"(X)

est intégrable.

En effet, pour un accroissement h de signe quelconque donné

à X, on a (n'^ 221)

1 A«^)<^^-( +1 f{x)dx;

donc, par le théorème de la moj'^enne (n° 217),

F (X + /i) — F (X) = r^ /■(«:) d5C = [x/i,

où (i. est une valeur moyenne de f{x) dans l'intervalle de X à
X + /i. Cette relation prouve que F(X + h) — F(X) tend vers
zéro avec h, donc F(X) est fonction continue de X,

Supposons maintenant que /"(X) soit continue au point X ; la
valeur moyenne pi tendra vers /"(X) quand h tendra vers zéro,
et l'on tirera de la dernière équation

F'(X)= lim^^i^tJ^ZM ^ lim f, ^ /-(X).
71=0 n

De là, le théorème fondamental suivant :

La dérivée d'une intégrale définie par rapport à sa limite su-
périeure est égale à la valeur de la fonction sous le signe d'inté-
gration à cette limite, pourvu que cette fonction soit continue en
ce point.

224. Autres propriétés des intégrales définies. — I. Si f{x) se dé-
compose en une somme de fonctions intégrables (n° 216), à savoir
f{x) -\- '^{x) -\- •••, la fonction f{x) est intégrable et l'on a

(1) I f{x)dx= 1 (f{x)dx-{-{ '\'{x)dx

Ja Ja Ja

+

C'est la règle d' intégration par décomposition pour les inté-
grales définies. Elle se démontre facilement au moyen de la
définition de l'intégrale donnée au n° 220. En effet, on a

Faisons tendre les 8/ vers zéro et passons à la limite ; par défi-
nition, l'équation précédente sera remplacée par l'équation (1).

II. Un facteur constant peut être mis hors du signe d'intégra-
tion.

236 CHAPITRE Vi. THEORIE ELEMENTAIRE DES INTÉGRALES DEFINIES

Soit, en effet, A constant ; on a, par définition (n" 220),
Ca f{x) dx ^ lim 2 A f{^i) S, = A lim 11 f{lf) 5« ;
(2) r A f{x) dx = A Çf{x) dx.

Ja Ja

225. Théorème de la moyenne. — Considérons l'intégrale

f{x) <p (;x;) dx

f

Ja

et supposons que la fonction à intégrer soit le produit de deux
fonctions intégrables, l'une (f>{x) constamment positive dans
l'intervalle (a, b) et l'autre f{x) comprise entre m et M. On
aura, si b est > a,

{ [M — f\x)] f(x) dx > 0, Cifix) — m] cp {x) dx > 0.

Ja Ja

car, les fonctions à intégrer étant positives, ces intégrales sont
des limites de sommes positives. On peut décomposer ces inté-
grales en deux autres et faire sortir les constantes M et m du
signe d'intégration (n» 224) ; il vient ainsi, sans difficulté,

M <û{x)dx > f{x)(D{x)dx > m (D{x)dx.

Ja Ja ' Ja'

Donc, en désignant par \t. une moyenne convenable entre les
valeurs de f{x) dans l'intervalle (a, b), on peut écrire

(3) /"(oc) <p (.x) dx -= p. j <û{x)dx.

Ja Ja

C'est dans cette relation que consiste le théorème de la
moyenne. Nous l'avons établie en supposant 6 > a et co (x) posi-
tif, mais elle subsiste évidemment pourvu que (f{x) ne change
pas de signe dans l'intervalle (a, b).

Quand f{x) est une fonction continue dans l'intervalle (a, b),
on peut remplacer jx par /'(^), où ^ est une valeur convenable
de X dans cet intervalle, et écrire l'équation (3) sous la forme
suivante :

(4) Cf{x) <^{x) dx = Ai) C?{x) dx.

Ja Ja

En faisant «p(.x;) = i dans les formules (3) et (4), on retrouve
celles du n** 217 :

RELATION ENTRE LES INTÉGRALES DEFINIES ET INDEFINIES '20"]

j f{x) dx = [li dx =^ [i-ib — a),

Ja Ja

Cf{x) dx = /(O ('dx = m (b - a).

Ja Ja

§ 2. Relation entre les intégrales définies et indéfinies.
Calcul des intégrales définies.

226. Retour sur le chapitre précédent : Existence d'une fonction
ayant pour dérivées f{x). Remarques sur les notations. — Dans tout le
chapitre V, on a admis provisoirement le résultat suivant,
énoncé au n** i83 : Si f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), il
existe une fonction ayant f{x) pour dérivée dans cet intervalle.
Ce théorème se trouve maintenant rigoureusement établi. En
effet, l'intégrale

rf{y)dy

Ja

est une fonction particulière qui jouit de cette propriété (n° 228).
Lorsqu'il n'en résulte aucune confusion, on remplace habituel-
lement la variable y par oc dans la notation de l'intégrale pré-
cédente, qui devient

rx

I f{x) dx.

Cette expression a donc pour dérivée la fonction f{x) écrite
sous le signe d'intégration. Cette propriété commune des inté-
grales indéfinie et définie :

{f{x)dx, rf{x)dx,

explique l'origine du signe f dans la notation de la première.

227. Relation fondamentale pour le calcul des intégrales définies. —
Lorsque, par un procédé quelconque, on a trouvé une fonction
continue F{x) qui admet f(x) pour dérivée clans l'intervalle
(a, b), cette fonction ne peut différer que par une constante de
l'intégrale définie considérée ci-dessus, car ces deux fonctions
ont la même dérivée. 11 vient donc, C désignant une constante
à déterminer,

rf{x)dx = F(A;)-fC.

Ja

238 CHAPITRE VI. THEORIE ÉLÉMENTAIBE DES INTÉGRA1,ES DÉFINIES

En particulier, si x = a, on trouve 0 ==^ F (a) -f C, d'où l'on
tire C = — F (a) ; par conséquent,

f

Ja

f{x)dx = F(x) — F{a) ;
et, si l'on fait x = b,

(1) Çj{x)dx = F{b)-F{a).

C'est la formule fondamentale pour le calcul des intégrales
définies. On la met souvent sous la forme plus condensée

(2) Cf{x)dx=[F{x)].

Ja a

Le second membre se prononce en abrégé : F {x) aux limites
a et b. Il représente l'accroissement éprouvé par la fonction
continue F.{x) quand x passe de a à ^, ce que nous appellerons
la différence de F{x) dans l'intervalle (a, b). De là, le théorème
suivant :

L'intégrale définie f{x) dx, prise entre deux limites entre

Ja

lesquelles f{x) est continue, est égale à l' accroissement d'une
fonction continue F{x) ayant f{x) pour dérivée, quand x passe
de a à b.

228. Sur la manière d'employer le théorème précédent. — Le théo-
rème précédent est fondamental. Il ramène le calcul de l'inté-
grale définie à celui de l'intégrale indéfinie, auquel s'appliquent
toutes les méthodes exposées dans le chapitre V.

En effet, l'intégrale indéfinie a pour dérivée f{x) par défini-
tion, et l'équation (2) peut s'écrire

(3) Çf{x)dx=^\^(f{x)dx

L'intégrale indéfinie comporte une constante arbitraire, mais
on peut la négliger pour le calcul de l'intégrale définie, car le
théorème précédent s'applique à toute fonction aj^ant pour dé-
rivée f{x).

Lorsque la fonction F (5c) est à déterminations multiples, le
choix des valeurs à attribuer à F (a) et F (6) dans la formule (1)
résulte de la condition de continuité imposée à F{x). En gêné-

CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 289

rai, on pourra choisir arbitrairement la détermination de F (a),
mais alors celle de F{b) est imposée, car il faut que F{x) varie
d'une manière continue de F (a) à F{b) quand .y varie de a à, b.
Cette remarque s'applique, en particulier, aux inverses des
fonctions circulaires. On a, par exemple,

^* dx

i

= arc tgb — arc tg a ;

mais les valeurs arc tg a et arc tg b doivent appartenir à la
même branche de la fonction. Le plus simple est donc de con-
sidérer la branche principale. Si l'on fait a = 0 et 6 = i, il vient
ainsi

Jo I + X' Uy 4

229. Remarque sur la définition de l'intégrale définie. — Certains
auteurs prennent la relation (3),

Ja

f{x) dx

\f{x)

dx

comme définition de l'intégrale définie, et considèrent comme
une propriété l'égalité de cette expression avec une limite de
sommes. Ce mode d'exposition peut paraître plus simple à pre-
mière vue, mais cette simplicité est plus apparente que réelle.
En effet, cette définition postule l'existence d'une fonction ayant
pour dérivée f{x), et celle-ci ne peut être établie d'une manière
générale que par la considération d'une limite de sommes.

230. Intégration par décomposition et par parties. — Les règles
d'intégration par décomposition, par parties et par substitution
s'étendent aux intégrales définies, mais avec des modifications
tenant aux limites.

Si II, V, IV,... sont des fonctions intégrables de x (n^ 216), on a

{il + V - w i- .-) dx = \ udx ^ \ udx— \ iv dx -\- ■-

C'est la règle d'intégration par décomposition, déjà démon-
trée (n" 1224).

Si u et y sont des fonctions de x ayant des dérivées intégra
blés II' et v' dans l'intervalle (a, b), uy a pour dérivée uv' -\- u'u ;
on a donc

24© CHAPITRE VI. THÉORIE ELEMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES

I {uu' -{- u'v)dx = uv

a L Ja

et, par la règle précédente,

(6) uv' dx = uv\ — 1 vu' dx.

Ja L Ja Ja

C'est la règle d'intégration par parties. On peut l'écrire, en
abrégé,

I udv -= uv\ — V du,

Ja L Ja Ja

en sous-en tendant que les limites sont relatives à x.

231. Intégration par substitution. — Cette règle exige un peu
plus d'attention. Soit f{x) une fonction continue de x dans
l'intervalle (a, b) ; posons

X = <p(0

et supposons : i° que, quand t varie de t^ à T, cp(f) varie d'une
manière continue de a à 6 ; 2° que cp(^) ait une dérivée continue
cp'(f) dans l'intervalle (^i, T) ; 3° que /[f(0] soit aussi continue
dans cet intervalle. Cette dernière condition résultera d'ailleurs
des précédentes si f{t) reste compris entre a et b, mais nous ne
faisons pas cette hypothèse. Je dis qu'on aura

(6) Cf{x)dx^- rf[<,{t)]<o'{t)dt.

Ja Jt^

C'est la formule d'intégration par substitution. Pour la dé-
montrer, considérons les deux fonctions de t :

('~^''^f{x)dx et Çf[^{t)]<i.'{t)dt.

J^{t^) Jti

Elles ont même dérivée. La dérivée de la seconde est la fonc-
tion sous le signe d'intégration (n° 228). Celle de la première
s'obtient par la règle des fonctions de fonctions : on calcule
d'abord la dérivée de cette iatégrale par rapport à sa limite
supérieure (f{t), ce qui donne f[^{t)], puis on multiplie ce résultat
par la dérivée de (f{t). On trouve dans les deux cas f['f{t)] ^'{t).
Les deux intégrales, ayant même dérivée, ne diffèrent que par
une constante ; elle s'annulent toutes deux pour 1^=1^, donc
elles sont égales. En particulier, si f = T, il vient

CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 2^1

(7) ('^'^^^f(x) dx = CfW)] ^'(t) dt

Cette équation revient à (6), car <^{t{) == a, œ(T) = b.

Cas où il y a des discontinuités. — Plus généralement, la
formule (6) subsiste si la fonction <p(?) est continue et si les
fonctions f[^{t)\ et -^'{t) sont bornées dans l'intervalle de ^j à T
et n'ont, dans cet intervalle, qu'un nombre limité de points de
discontinuité.

En effet, on peut partager l'intervalle (^i, T) en parties con-
sécutives dans lesquelles il n'y ait de discontinuités qu'à l'une
des limites, et il suffit de démontrer que la formule (7) s'applique
dans chaque partie, car, en additionnant les résultats, elle
s'étend à l'intervalle entier.

Nous pouvons donc admettre qu'il n'y ait de discontinuité qu'à
la limite supérieure T, auquel cas nous avons (sans difficulté,
quelque petit que soit e positif)

y f{x)dx= fW)]<?'(t)dt;

'f(ti) -'h

et, à la limite pour e = 0, cette équation revient à (7) et, par
suite, à (6).

232. Intégrales définies généralisées. — La définition de l'inté-
grale définie suppose les limites a et 6 finies et la fonction f{x)
bornée dans l'intervalle (a, b). Si ces conditions n'ont pas lieu,
il faut de nouvelles définitions.

I** Soit f{x) une fonction bornée et intégrable (n° 216) dans
l'intervalle (a, x'), quel que soit x', pourvu que x' soit > a.
L'intégrale de f{x) dx prise entre les limites a et 00 est, par
définition, la limite, si elle existe, de l'intégrale prise entre a
et x' quand x' tend vers l'infini et c'est une intégrale générali-
sée. On a donc

(8) f f{x)dx='\imr'f{x)dx.

Si cette limite n'existait pas, l'intégrale à limite infinie
n'existerait pas non plus. L'existence de l'intégrale à limite
infinie n'est pas assurée, même quand f{x) est continue. Cer-

16

242 CHAPITRE VI. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES

taines règles permettent, dans des cas étendus, de constater si
l'intégrale à limite infinie est déterminée ou non. Nous nous en
occuperons dans une autre partie du cours. Pour le moment,
contentons-nous de remarquer que, si l'intégration indéfinie
peut être effectuée, la définition de l'intégrale généralisée suffit
pour s'assurer de son existence et la calculer. Par exemple,

e~^dx = lim e^^ dx = lim i — e~^ ^ i.

0 X'=:aaJo xl=x\_ Jo

Les intégrales prises entre les limites — œ et b, ou entre
— 00 et + 00 s'interprètent d'une manière analogue.

2° Soit maintenant f(x) une fonction qai croît à l'infini quand
X tend vers b, mais est bornée et intégrable dans l'intervalle
(a, b — e), quelque petit que soit e. On pose par définition, a
étant donc supposé < b,

(9) Çf{x)dx--^\im( y{x)dx.

)a 6=0 Ja

L'existence de l'intégrale généralisée est liée à celle de cette
limite. Lorsque l'intégration indéfinie peut être effectuée, cette
définition suffit pour le calcul, on a, par exemple,

f

dx .. . , \ '^

= lim arc sm (i — e)

.2 ^ ' 2

h \Ji — x^

3° Si f{x) augmentait indéfiniment quand x tend vers a, mais
était bornée et intégrable dans l'intervalle (a -f e, b) quelque
petit que fût e, on poserait d'une manière analogue

(10) {^f{x) dx = lim I f{x) dx,

Ja £=0 Ja-k-z

et l'existence de l'intégrale serait liée à celle de cette limite.

4° Supposons enfin que f{x) devienne infinie pour un nombre
limité de valeurs de x dans l'intervalle (a, b). Partageons cet
intervalle en parties consécutives où f{x) n'est infinie qu'à l'une
des limites. L'intégrale de f{x)dx dans (a, b) sera, par définition,
la somme des intégrales dans chaque partie. Pour que V intégrale
généralisée existe dans l'intervalle (a, b), il faut donc qu'elle
existe dans chaque partie, ce qui ramène aux définitions précé-
dentes.

CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 243

233. Extension de la formule fondamentale (1) au calcul des inté-
grales généralisées. — I. Lorsque la fonction f{x) est continue
pour toutes les valeurs de ;x: dans l'intervalle (a, b), sauf pour
un nombre limité de valeurs exceptionnelles qui peuvent la
rendre infinie, l'équation fondamentale (1) pour le calcul des
intégrales définies (n" 227), à savoir

i

f{x)dx = F{b)-F{a),

subsiste pour l'intégrale généralisée, pourvu que la fonction
F {x) soit continue dans tout l'intervalle (a, b) sans exception,
et qu elle ait f{x) pour dérivée sauf pour les valeurs exception-
nelles.

En effet, si b est la seule valeur exceptionnelle, l'équation (9)
donne

f f{x) dx = lim [F{b — e) — F (a)] = F(fe) — F (a).

./a

Lia, conclusion est analogue, si a est la seule valeur exception-
nelle. S'il y a une valeur exceptionnelle c intermédiaire entre
a et b, il vient

f f{x) dx = T-f ( V(^) dx=^F (c) — F (a) -\-F{b) — F (c).

m'a Ja Je

Comme F(c) disparaît, on retrouve encore la même équation.
Enfin la démonstration s'étend de proche en proche au cas où
il y aurait plusieurs valeurs exceptionnelles intermédiaires.

II. Si les fonctions /(ic) et F (a;) sont continues pour toutes
les valeurs de x supérieures à a, et si F{x) tend vers une limite
déterminée F.(oo ) quand .v tend vers l'infini, l'équation fonda-
mentale,

rf{x)dx = F{œ)-F{a),

Ja

subsiste encore, car, en appliquant l'équation (8), il vient
f{x) dx = lim [F{x') — F(a)] = F(oo ) — F(a).

Ja

234. Application au calcul de quelques intégrales définies. — Indi-
quons quelques applications de la formule fondamentale

jj-{x)dx=^jf(x)dx']\

244 CHAPITRE VI. THÉORIE ELEMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES

I. Si a est différent de 0, on a

'sin ax

Jo

a Jo"

sm âTz

a

Jo

cos ax dx =
donc, si a est entier et différent de 0,

COS ax dx = 0.

On conclut de là que, si m et ii sont des entiers différents,
l GOsmxcosnxdx=-\ cos {m -f n)xdx-\ — I cos(m — n)xdx=0;

tandis que, si m = n,

C^ I rit ^

I cos^ mx dx = -\ {i-{-cos2mx)dx~-.

Jo 2^0 2

II. De la relation du n** i88 :

on déduit

I:

dx

a^ + b^x^ ab

I . bx . ^,

--^arctg^+C,

j:

dx

arc tg 00 — arc tg 0

,0 a^ 4- b^x^ ab [_
III. De la relation du même numéro :

7t

2a-6'

h

dx

I , a — bx.^
Log „ , ^„ + C,

a^ — fc^^:^ 2a6 """^ a -\- bx
on déduit (a, 6 étant positifs et a > 6)

r

dx

/oa'' — b^x^ 2ab ""a — 6
IV. Si (a -f- -6) et (a — 6) sont positifs, on a (n° 209)
dx

J:
f-

Jo a

a-\- b cos a; y/az 5?

dx 2

~ arc tg

V

tg?l + c,

a + '^ 2y

arc tg 00 — arc tgO

I

Jo a-\- b cos 5c \/a2 b^

Si, au contraire, a-\- b est > 0 et a — 6 < 0, on a
dx I

Va2 — b^ '

a + ^ cos a; w^2

f

_ /^/>-hacosx4-\/'&^ — a^ sin x\ , ^

Log I —^ + C,

^ V a -\- b cos X J

Log

fb^SJb'^-a^ \

a-\-b cos X y'£,2 32 """*' V a y

CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 245

V. Des deux relations du n'' 2i3, à savoir

r ^ r j e"^ la cos bx -\- b sin bx) , ^
e^ cos bx dx = ^^ , . ^„ ^ + C,

Ç „„ . r , e^^ (a sin bx — b cos fijc) , „
Je«^sin bx dx = î^ â'-^fT' -^^'

on déduit, a étant positif,

1 e-''^ cos -6^; dx = „ . .„, j e-«^ sin ôjc Ja; = — ^^ -r^r.

^ a^ + 6^ jo a^ + 62

235. Intégrales obtenues par des formules de réduction. — I. Les
formules de réduction se simplifient souvent quand on les ap-
plique aux intégrales définies. Ainsi, de la formule

j x^ e-^ dx = — x^ e-^ + n j x"-^ e-^ dx,

on conclut, si n est positif,

x^ g-* dx = n x^-^ e-^ dx.

Si, de plus, n est entier, cette formule donne, de proche en
proche,

j 5c"e-^ dx --= II! I e-^ dx = n
Jo Jo

II. Lorsque m et n sont des entiers positifs, les formules de
réduction (3) et (4) du n'' 210 donnent les deux suivantes :

rsin*"5C cos" X dx = ; — 1 sin^-^ cos" x dx,
m + njo

I sin'w^v cos"«; d^c =- 1 sin'"^cos"~*5ccf.ic.

jo m + njo

La première subsiste pour n = 0 et la seconde pour /n -= 0,
auxquels cas il vient

fm — I /* *
sin"* xdx = sin"»-* x dx,
m Jo

1 cos"5C dx = 1 cos"-2 X dx.

Jo n Jo

Ces quatre formules permettent de réduire de pioche en

246 CHAPITRE VI. THEORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DEFINIES

proche les exposants m et n à 0 ou à i, donc les intégrales à
l'une des quatre suivantes :

7t 7t IT t:

rdx, 1 sin X dx, j cos x dx, sin x cos x dx,

Jo Jo Jo

7t ^ I

ayant respectivement pour valeurs -, i, i et -.

Pour abréger l'écriture, convenons de représenter par m 1! le
produit de tous les entiers non supérieurs à m mais de même
parité que m (ce que nous pouvons appeler une semi-factorielle).
Il viendra

r- r- l ^ rf^-(^ pair),

I sin*" X dx = \ cos*" xdx= {

Jo Jo 1 (m — ï)\l , . . .

f ^^ rr— (m impair).

\ m 11 ^ r- /

/ (m — i)!!(n — i)ll7t , ^ . ,

Tc l ^^ , ' , . ,, — (m et n pairs),

sin*" X cos" ;x: dix; = {
Jo j (m — i) II (n — i) !! //n ou /i ou tous>i

\ (m + Ji) !! Vdeux impairs.y

Lorsque metn sont impairs, soit m = 2/) -f- i, n = 2q + i, la
formule précédente se simplifie,

IL

f * sin2p+* X cos2«+* xdx = - , ^,^^\ , ,.
jo • 2(/) + g + l)!

236. Exemples de changements de variables. — I. Par la substitu-
tion 5C = tg 2, il vient, eu égard aux résultats précédents (m en-
tier et positif),

r dx f? ,„, o J (2m — 3)!!7r

7 Sv- = COS^'W-S zdz = 7 r-rr "•

Jo (i + x")»" jo (2m — 2) !! 2

II. Par la substitution x = sin z, il vient (m entier positif)

I (i - ^^)- d;x = I cos^-+* z dz = (^^^^^;^-

III. Par la substitution x = sin z, il vient (m entier positif)

i(m — i) 11 7t . . ,
^^ ry^ (m pair),
ml! 2
('"-•,^>" (m impair).

CALCUL DES INTEGRALES DEFINIES

247

IV. Par la substitution \Jax — x^ =^ xz, d'où x^ a:{i -{- z^),
il vient (m entier positif)

ça xmdx r dz (2m-l)!!

Jo Vi^^^=^ ~ Jo (1 + ^'r^' (2m) 1 !

V. Par la substitution x = sin^ z, il vient (/), q entiers positifs)

1 xP(i—xYdx =2! %in2i'+i2cos2«+izd2 =, ^ ' ^ . — x-
Jo ^ ^ Jo (P + g' + i)

VI. Par la substitution oc = 2 : (i 4- 2), la même intégrale se
transforme dans

zvdz P ! 9 î

I

lo (i+2)P+«+- (p4-g + i)!

237. Formule de Wallis. — Soient n un nombre entier positif
et X une variable comprise entre 0 et tt : 2 ; on a
gin2n+i X < sin*" x < sin^"-* x,
par conséquent,

^sin2"+i 5C doc < 1 *sin-" x dx < 1 ^sin^"-! oc dx

Jo Jo .0

et, en remplaçant les intégrales par leurs valeurs numériques,

(2n) !! (2/1 — i)!!7r (2/1—2)!!

(2n+i)!I^ (2n)!! 2'^(2n — i)!!'

On déduit de ces inégalités

(2/1)!

I -«

_(2n — i) !!J 2n + i 2
donc, ô étant compris entre 0 et i.

(2n) !!

(2/1-1)1!.

2n

(2/1)

M l!

2 L(2/i — i)!!j 2n 4-9*

Faisant tendre n vers l'infini, et observant que (2n) : (2/1 4- 9)
tend vers l'unité, on obtient la formule de Wallis

,. r (2n)!! 1^1
it =^ lim ' ^ '

n-«L(2/i — 1) l!j ri'

238. Intégrales obtenues par des artifices de calcul. Exemples. —

L'intégration indéfinie est le procédé le plus important pour

248 CHAPITRE VI. THEORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES

calculer les intégrales définies, mais ce n'est pas le seul. Cer-
taines intégrales définies se déterminent par des artifices de
calcul, sans qu'il soit possible d'obtenir sous forme finie les
intégrales indéfinies correspondantes.

I. Un des exemples les plus remarquables est fourni par
l'intégrale généralisée

I e-^* dx,

,0

qui joue un rôle important en calcul des probabilités. Pour la
calculer, établissons d'abord quelques inégalités.

La fonction (i + a)e-« , ayant sa dérivée — ae-a de signe
contraire à a, atteint son maxime (qui est i) pour a =^ 0. Nous
avons donc, en remplaçant a par ± x^,

(i + x^)e-^- < I, {i—x^)e^'<i;

d'où les deux inégalités

I — x^ < e-^' < — - — .
i-\- x^

Elevons-les à la puissance positive n, en supposant i — x^
positif dans la première, nous trouverons

(l — .X2)n <- g-nxi ^ ^ ^ .

Comme nous avons

f e-*-» dx =-- \/n j e-«^^ dx >\/n C e-»^^ dx,
nous tirons des inégalités précédentes, pour n entier (n« 236),

f e-^^ dx > \/n (\i—x^)» dx = v'^ . ^^"^'!...

jo Jo (2n + i)!!

Ces deux résultats peuvent aussi s'écrire comme il suit :

^1 _r_(2n)!!_^1 r , 71 2n [-(2n-i)!! -"l

2n + iL(2/i-i)!!VnJ Jo ^22/i-iL (an)!! ^ _

Faisons tendre n vers l'infini ; ces deux crochets tendent
respectivement vers \/- et i : y- par la formule de Wallis, donC
les deux membres extrêmes vers y-n : 2, et il vient

/:

2

CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 249

II. Comme second exemple, considérons l'intégrale suivante
C^ X sin xdx (^ x sin x dx , C^ x sin x dx

r^ X sin xdx _ Ç^x sin xdx Ç"^ xi
Jq 1 4- cos*;>c ~ Jo I + cos*;>c J it i -

4- cos*«;

2

Par la substitulion x = - — z, la dernière intégrale devient

7C

ro (tî — z) sin z dz T s sin z dz Ci z sin z dz^
jii I + cos-z ~ jo I -f cos'^z Jo I + cos^z •
1

Portons cette valeur dans l'équation précédente, nous trou-
vons

Ç"^ X sin xdx _ T 2 i
Jo I 4- cos* X ~ ' Jo I

sin X dx

= 7t

Tt

..2

arc tg (cos x)

+ COS^ X

III. Considérons, en dernier lieu, l'intégrale suivante :

TT

1 Log (sin x)dx =^ Log (sin x) d^ + Log (sin x) dx.
Jo Jo J-iz

T
Nous avons, d'une part,

Log (sin x)dx = 2\ Log (sin :x;) dx,

Jo Jo

car, par la substitution x = tz — z, l'intégrale aux limites tz : 2
et 7î se transforme dans celle aux limites 0 et tt : 2.

X X

D'autre part, sin x =^ 2 sin - cos-, donc, en prenant les loga-
rithmes et intégrant, nous avons

j Log(sin3c)diV = 7îLog2 4- Logf sin- jd^c-f I Logf cos- jd^c

= 7tLog2-|-2) Log(8in5c)d5c-4-2 1 Log(cos:x;)djc
Jo Jo

TZ

= ir Log2 4- 4 r * Log (sin 5c) d^;,

car les deux intégrales aux limites 0 et tc : 2 se ramènent l'une
à l'autre par la substitution «; = (~ : 2) — 2 et sont, par consé-
quent, égales.

De la comparaison des valeurs obtenues de part et d'autre,
nous tirons, en réduisant, la valeur de l'intégrale cherchée
(Euler) :

i

TC

Log (sin x)dx *= Log 2.

G 2

2^0 CHAPITRE VI. INTÉGRALE DE RIEMANN

§ 3. Intégrale de Riemann.

L'intégrale de Riemann fournit la généralisation la plus directe de
la théorie élémentaire des intégrales définies, mais elle n'a plus guère
qu'une importance historique, car elle rentre comme cas particulier
dans celle de Lebesgue, qui sera étudiée dans le chapitre suivant.

239. Théorème de M. Darboux. — Soient /(.r) une fonction univoque
et bornée dans un intervalle {a, b), M et m ses bornes supérieure et
inférieure. Partageons l'intervalle {a, b) en n parties consécutives par
les points :

xi = a, Xi, Xs,... Xi,... x„, x„+i = b.

Désignons, en général, par S,- = Xi+i — Xi l'amplitude d'un de ces
intervalles, par Mi et nu les bornes supérieure et inférieure de f{x)
dans l'intervalle S,-. Formons les deux sommes :

S = SM,S,-, s = 'kfni8i.

i i

Ces deux sommes sont comprises entre m{b — a) et M{b — a). Voici
maintenant le théorème de M. Darboux :

Théorème. — Si l'on multiplie indéfiniment le nombre des points de sub-
division, de manière que tous les intervalles ô/ tendent vers 0, les deux sommes
S et s tendront respectivement vers des limites déterminées, L et l, indépen-
dantes du mode de subdivision adopté.

Il suffit de faire la démonstration pour S, car S est remplacé par — s
quand / est remplacé par — /. Ensuite on peut supposer/ > 0; en
effet, si A est une constante, les sommes S relatives à/ ne diffèrent
des sommes correspondantes relatives à/+ A que par une constante
A(è — a), de sorte que le théorème sera vrai pour/ s'il est vrai pour
/+ A et on peut prendre A assez grand pour que/+ A soit positif.

Supposant/ positif, faisons encore une observation préliminaire :
si l'on partage un intervalle S,- en sous-éléments S^, S,- ,... où les bornes
supérieures de/ sont M,-, M^ ,... le produit M,-8, ne sera pas inférieur à
la somme MA- + M, 8, + ... étendue aux sous-éléments de S,, ni à
fortiori (les termes étant positifs) à toute somme analogue qui ne
s'étendrait qu'à une partie seulement de ces sous-éléments.

Démontrons maintenant le théorème de M. Darboux.

Toute somme S est > m{b — a) ; l'ensemble des sommes possibles
admet donc une borne inférieure L. Je dis que S a pour limite L quand
les éléments 5,- tendent vers 0.

En effet, soit t un nombre positif arbitraire. Par définition de L, il
existe une somme fixe S', fournie par un certain mode de partage en
éléments déterminés o^, telle qu'on ait S' < L + e. Considérons main-

INTÉGRALE DE RIEMANN sSl

tenant les éléments décroissants h relatifs à la somme variable S, et
partageons-les en deux classes : i» ceux qui sont intérieurs à l'un des
éléments fixes 8' ; 2° ceux qui empiètent sur plusieurs éléments ô'. En
même temps, S est partagé en deux parties Si + S2 où Si se rapporte
aux éléments de la première classe et S2 à ceux de la seconde. Si est
< S', car, par notre observation préliminaire, chaque terme de S' est
remplacé par une somme moindre dans Si ; ensuite S2 tend yersj)
avec les intervalles S,-, car les éléments S,- de la seconde classe sont en
nombre limité (comme les intervalles fixes 8') et leur somme tend
vers 0 en même temps qu'eux tous. On a donc

limS=limSi^ S'< L + e.

Donc, e étant arbitraire et S au moins égal à L, la limite de S est L.

On prouve d'une manière analogue que 5 tend vers sa borne supé-
rieure /.

240. Ditéçrales par excès et par défaut. — Fonctions intégrables au
sens de Riemann. — Les deux limites L et / des sommes

S MA, Sw,S,-.

limites dont le théorème de M. Darboux établit l'existence, s'appellent
les intégrales par excès et par défaut (Jordan) de /{x) dans l'intervalle
{a, h). On les représente par les notations

C'f{x)dx, jy{x)dx.

(R)

Si elles sont égales, leur valeur commune est, par définition, l'inté-
grale définie de /(;*;) ^^r au sens de Riemann. Celle-ci se représente
par la notation

j f{x) dx ou simplement 1 /{x) dx.

On dit, dans ce cas, que la fonction /(;»?) est intégrable au sens de
Riemann, ou, en abrégé, est intégrable (R) dans l'intervalle (a, h).

La condition nécessaire et suffisante pour que/(;r) soit intégrable (R)
est donc que la différence L — / soit nulle, ou que l'on ait

L — / = lim 2 (M.- — mi% — 0.

Lorsque la fonction /(at) est intégrable (R) dans l'intervalle {a, b), on
peut évidemment définir l'intégrale par la formule

Cf{x)dx = \\mïf{\i)h,

les points $, étant choisis d une manière arbitraire dans les intervalles
8, de même indice.

252 CHAPITRE VI. INTEGRALE DE RIEMANN

Lorsque J{x) n'est pas intégrable (R), cette limite n'existe plus,
mais S^^{) § a pour limites d'indétermination (plus grande et plus
petite limites) les intégrales par excès et par défaut. Nous conserverons
donc un sens à l'expression

{K)\'nx)dx,

même au cas o\\.f{x) n'est pas intégrable (R), en lui attribuant une
valeur indéterminée dans l'intervalle des intégrales par excès et par
défaut.

Nous avons supposé jusqu'ici la fonction /(;tr)univoque. Rien n'em-
pêche de former des sommes analogues quand /(;»r) est indéterminée
pour certaines valeurs de x, pourvu que ses limites d'indétermination
soient connues pour chacune de ces valeurs. On conçoit, en effet, que
la fonction puisse prendre, pour chacune des valeurs de x, toutes les
valeurs comprises entre ces limites. La connaissance de ces limites
permet donc d'assigner aussi les bornes supérieure et inférieure àef{x)
dans un intervalle quelconque, donc de former les deux sommes S et 5
considérées au n» aSg. D'ailleurs le fait de l'indétermination n'altère
en rien les raisonnements, de sorte que ces deux sommes tendent
encore vers des limites, qui sont les intégrables par défaut et par excès
de la fonction considérée.

Si ces deux limites sont égales, la fonction /(;v) est intégrable (R) et
cette limite commune se représente comme précédemment. Cette
extension permet de simplifier la théorie de la réduction des intégrales
multiples (Voir t. II).

241. Propriétés des fonctions intégrables (R). — I. Soient /{x) une
fonction intégrable (R) dans l'intervalle {a, b) et c une constante ; la fonction
cf{x) est intégrable (R) dans le même intervalle.

En effet, soient mi et M,- les bornes àef{x) dans l'intervalle ^i, celles
de cf{x) seront cmi et cM,-. Or on a, puisque/ est intégrable,

lim S {cUi — cmi) ^i = <; lim S (M,- — m^) S,- = 0,

donc ç/est intégrable aussi.

II. La somme de plusieurs fonctions intégrables (R) dans (a, b) est intégrable
(R) dans le même intervalle.

Soient/=y' +/" + ... la somme de plusieurs fonctions intégrables,
mi et M,-, mi et M,-, % et M, ,... leurs bornes respectives dans S,. On a

M,- — mi < (M; — m\) + (M,'' — m'!) + ...

Mais,/',/",... étant intégrables dans (a, b),

lim S (M; — m% + lim S (mJ-' — m'l)^i + . . . = 0 ;

donc a fortiori

lim2(M,— w,)S,=0.

INTÉGRALE DE RLEMANN 253

III. Le produit de deux fonctions intégrables (R) dans {a, b), est intégrable
(R) dans le mime intervalle.

So\tf =/'/", le produit de deux fonctions intégrables et positives.
On a, avec les notations précédentes,

M,- — mi ^ M'iM'i — fn[m'i < M'J(Mi — w|) + m'^iMJ' — m'/)

et, en désignant par M' et M" les bornes supérieures de /' et de /"
dans tout intervalle d'intégration,

M, — Mi < M"(M; — m'i) + M'(M;' — m'/).
Donc

lim S (M, — w.)S,- < M" lim S (U', — m]) h + M' lim S (M'' - m'-) o/.

Le second membre a pour limite 0, puisque/' et/" sont intégrables,
donc le premieT a fortiori a pour limite 0, ce qui prouve que /est
intégrable.

Le cas où/' et/" sont de signes quelconques se ramène au précé-
dent. On a, en effet,

/'/" - (/' — m') (/" — m") + mf" + m"f> — m'm".

Or le second membre est une somme de fonctions intégrables, car
les deux facteurs (/' — m') et (/" — m") sont positifs et leur produit
intégrable. Donc/'/" est intégrable (propriété II).

IV. Si la fonction f est intégrable (R) dans l'intervalle {a, b) et si ses bornes
supérieure et inférieure M et m sont de même signe, la fonction i : / est
intégrable (R) dans le même intervalle.

Supposons, pour fixer les idées, M et w positifs. L'oscillation de
I :/dans l'intervalle S,- sera

I I Mt —mi ^ I ,-,

T7- = — ^TVT < - "o (M,- — mi).

mi Mi Mt-nii m-

Par conséquent,

lim S ( -- - ~] 8i ^ JL lim S (M.- — mi) 8,- = 0.

242. Expression par une intégrale de la diflference entre les inté-
grales par excès et par défaut. — Soit f{x) une fonction bornée dans
l'intervalle (a, b). Représentons par

Osc./(;>r)

l'oscillation def{x) au point x (n» 24). La relation que nous voulons
établir est la suivante :

r / W dx — Ç f{x) dx = f Osc.fix) dx.

Ja Ja Ja

254 CHAPITRE VI. INTÉGRALE DE RIEMANN

Décomposons l'intervalle {a, b) en parties consécutives S^ et dési-
gnons par Mî et nu les bornes supérieure et inférieure de f{x) et par
At la borne supérieure de Osc.f{x) dans chaque intervalle o,. La dé-
monstration repose sur le lemme suivant :

Quelque petit que soit s positif, on peut trouver un mode de décomposition
de {a, b) en parties o/ aussi petites que Von veut, tel quon ait dans chacune
d'elles

M, — mi < A,- + e.

En effet, si, e étant donné, aucun mode de décomposition de l'inter-
valle (a, b) ne vérifiait la condition précédente, en raisonnant comme
dans la démonstration du théorème du n» 26, on prouverait qu'il existe
au moins un point c dans l'intervalle {a, b), tel qu'une décomposition
de l'intervalle {c — S, c + ^) vérifiant la même condition fût impossible
pour des valeurs aussi petites qu'on veut de 0. Or cette conclusion est
inexacte, car, à partir d'une valeur suffisamment petite de S, l'oscil-
lation àef{x) dans l'intervalle (c — S, c + S) sera inférieure à Osc./(c)+e.

En second lieu, on peut vérifier la condition proposée par un mode
de décomposition en parties aussi petites que l'on veut. En effet,
après avoir préalablement décomposé (a, h) en parties aussi petites que
l'on veut, on peut encore, en vertu du raisonnement précédent, subdi-
viser chacune de ces parties de manière à réaliser la condition pro-
posée.

Le lemme précédent conduit facilement à la relation à démontrer.
En effet, considérons un mode de subdivision en parties o,- vérifiant la
condition de ce lemme, à savoir

A/ < Mî — Mi < A/ -\- £.

Multiplions par S^ et sommons pour toutes les parties, il vient

S lA < S MA- - S mA <. S AA + £ (è — a).

Faisons tendre à la fois 8, et t vers zéro ; les deux membres extrêmes
de ces inégalités tendent vers la même limite, qui est, par définition,
le second membre de l'équation à démontrer. Donc la limite de l'ex-
pression du milieu, qui en est le premier membre, est la même.

243. Longueur des ensembles linéaires (Jordan) (*). — Soient E un
ensemble linéaire, e{x) une fonction égale à i en tout point de E et à
0 en tout autre point, aetb{b> a) deux nombres quelconques ; for-
mons les deux intégrales :

7* r* ■

/«E = l e{x) dx, liK = I e{x) dx.

(*) Ces notions ont perdu de leur importance depuis que MM. Borel et
Lebesgue ont donné une définition plus satisfaisante de la mesure des
ensembles (Introduction § 11).

INTÉGRALE DE RIEMANN 255

La première est la longueur extérieure de E dans l'intervalle (a, b), la
seconde sa longueur intérieure (au sens de M. Jordan). Quand ces deux
intégrales sont égales, leur valeur commune est la longueur de l'en-
semble dans l'intervalle [a, b) et l'ensemble est mesurable dans cet inter-
valle au sens de M. Jordan ou, en abrégé, mesurable (J). Lorsque l'en-
semble E est borné par les points a et b, on dit que les expressions
précédentes sont les longueurs de E, sans désignation d'intervalle.

Supposons que l'on décompose l'intervalle (a, b) en parties consécu-
tives, infiniment petites, o» et rappelons-nous la signification des deux
intégrales précédentes, nous pourrons énoncer les propositions sui-
vantes, qui ont été prises comme définition par M. C. Jordan :

La longueur extérieure de l'ensemble E dans l'intervalle (a, b) est la limite
de la somme des parties S, qui contiennent un point au moins de E ; la lon-
gueur intérienre la limite de la somme des parties qui ne renferment que des
points de E. Ces limites sont indépendantes du mode de subdivision de {a, b)
en intervalles 8i,

Il suit évidemment de ces nouvelles définitions que, si /,(CE) dé-
signe la longueur intérieure du complémentaire de Edans l'intervalle

(a, b), on aura

leE^-li{CE)-=b-a.

Appliquons aux deux intégrales qui mesurent les longueurs exté-
rieure et intérieure de E la relation du no 242. Il vient

( e{x) dx — l e{x) dx = \ Ose. e{x) dx.

Or Ose. e(x) est égal à i en tout point frontière de E et à 0 partout
ailleurs. D'où les propositions suivantes :

La différence entre les longueurs extérieure et intérieure d'un ensemble est
égale à la longueur extérieure de l'ensemble de ses points frontières.

Pour qu'un ensemble soit mesurable (J), il est nécessaire et suffisant que
l'ensemble de ses points frontières soit de longueur nulle, ou que l'on ait

6 {x) dx = 0.

1:

244. Formes diverses de la condition d'intégrabilité (R). — La con-
dition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction bornée, /(.r), soit
intégrable (R) dans l'intervalle (a, b), est que les deux sommes S et 5
(no 239) aient la même limite, ou que la somme essentiellement posi-
tive :

S — s = 2 (M.- — mi)h

i—i

ait pour limite 0 avec tous les intervalles S,. Or, quand les 5, tendent
vers 0, S tend vers sa borne inférieure, 5 vers sa borne supérieure, donc
S — 5 vers sa borne inférieure. La condition d'intégrabilité (R) est que
cette borne soit nulle. Donc :

256 CHAPITRE VI. INTÉGRALE DE RIEMANN

I. Pour que f{x) soit intégrable (R) dans V intervalle (a, b), il faut et il
suffit qu'à tout nombre positif t, si petit qu'il soit, corresponde un mode de
subdivision pour lequel on ait S — 5 < e.

La formule du n» 242 fournit une autre régie :

II. La condition d'intégrabiliié (R) d'une fonction bornée f{x) dans t in-
tervalle {a, b) est

r Osc.f{x)dx=-Q.

Ja

Telle est, en effet, la condition d'égalité des intégrales par excès et
par défaut. Elle peut être présentée sous une forme d'une vérification
plus commode. A cet effet, soit e un nombre positif quelconque. Dé-
signons par Es l'ensemble des points de l'intervalle {a, b) où l'oscilla-
tion de f{x) est ^ e. Cet ensemble dépend généralement de e. La
considération de l'ensemble Eç conduit à la règle suivante :

III. La condition d'iniégrabilité (K) d'une fonction bornée dans l'intervalle
{a, b) est que Es soit de longueur nulle, quel que soit t.

En effet, soit e{x) une fonction égale à i en tout point de Es et à 0
partout ailleurs, soit M — m l'oscillation de f{x) dans (a, b) ; on a. évi-
demment, pour toute valeur de x dans cet intervalle,

Be{x)<Osc.f{x) <e + iM — m)e{x).

Multiplions par dx et intégrons par excès entre a et è ; il vient, E^ dé-
signant aussi la longueur extérieure de l'ensemble Ee,

eE. < COsc.fix) dx^t{b — a) + {M — m) Et.

Ces inégalités prouvent que l'intégrale ne peut être nulle que si
Es est nul et que, réciproquement, l'intégrale sera nulle si Ee est nul
quel que soit e.

Théorème. — Toute fonction f{x) monotone et bornée dans l'intervalle
{a, b) est intégrable (R) dans cet intervalle.

En effet, la somme des oscillations de f{x) en tous les points de
(a, b) ne pouvant surpasser la valeur absolue def{b) — f{a), le nombre
de celles qui surpassent une quantité donnée £ est nécessairement
limité et l'ensemble Es de la règle précédente est de longueur nulle.

CHAPITRE VII.

Intégrale de Lebesgue.

§ 1 . Définition et propriétés de rintégrale de Lebesgue.

245. Définition de l'intégrale d'une fonction bornée. — Pour obtenir
l'intégrale de Riemann, on commence par partager l'intervalle d'inté-
gration et l'on multiplie la longueur de chaque partie par une ordon-
née correspondante. M. Lebesgue suit une marche inverse ; il
commence par diviser l'intervalle de variation de la fonction.

Soient E un ensemble borné de mesure mE, f{x) une fonction mesu-
rable dans E (n» 82) et y admettant une borne inférieure (jl et une
borne supérieure M. Donnons-nous un intervalle (A, B) débordant
((X, M) et décomposons-le en parties consécutives par une Uhelk de
nombres croissants :

^0 ^= A, Ixy hf' h, ... In = B.
Désignons par a l'ensemble des points de E pour lesquels on a h-i
</ < /, et aussi la mesure de cet ensemble. Formons alors les deux

sommes

S == S (ili^ 5 = 2 dli—i

i=i 1

Théorème. — Si tous les degrés, h — /,_i, de V échelle tendent vers 0,
les deux sommes S et s tendent vers une limite commune, indépendante du choix
dés échelons l,-.

Cette limite est l'intégrale de Lebesgue et elle se désigne par les
notations :

(L) \/{x) dx ou (L) \f{x) dx (si E est un intervalle).

On supprime l'indice L quand il n'y a pas de confusion possible,
ce qui est le cas ordinaire.

La démonstration résulte des trois propriétés suivantes :

10 S et 5 sont bornés et compris entre [x(wE) et M(«E).

2° La différence S — s tend vers 0 avec les degrés de l'échelle.
En effet, S étant le plus grand de ces degrés /, — /,_i, on a

(X S — 5 = ï ei{li — h-i) ^ SS<r,- =- S(»»E).

^7

258 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

3° Si l'on intercale de nouveaux échelons entre les U, S est station-
naire ou décroissant, s stationnaire ou croissant.

Il suit de là que S et s, étant bornés, ont une limite commune quand
les degrés de l'échelle tendent vers 0 par intercalation de nouveaux
échelons. Ensuite cette limite est indépendante du mode de subdivi-
sion. En effet, soient S et 5 deux sommes relatives à une première
échelle et différant de s au plus, S' et 5' deux sommes relatives à une
seconde échelle et différant de e au plus. Les quatre sommes différe-
ront au plus de 2e, car les unes et les autres comprennent entre elles
les deux sommes S" et s" relatives à une tioisième échelle formée
avec les échelons combinés des deux autres.

246. Propriétés des intégrales de fonctions bornées. — I. Théorème
PE LA MOYENNE. — Si / {x) a pouv bomes [X et M, on a immédiatement

[x (wE) ^ ( fdx < M(ȕE).

II. Si un ensemble borné E est la somme d'un nombre fini ou d'une infinité
dénombrable d'ensembles Ei, E^,... sans points communs, ou bien n'ayant en
commun que des ensembles de mesure nulle, l'intégrale dans E est la somme
de celles dans Ei, E2,...

Il n'y a lieu à démonstration que s'il y a une infinité d'ensembles
Soit S« l'ensemble Ei + E2 + ... + E« et soit Mi le maxime de | / 1 .
On a, sans difficulté,

I {fdx— { fdx \ = \{ fdx\ <Miw(E — S«).

Mais m (E — S« ) = w E — mSn et tend vers 0 pour n infini ; il vient
donc, la décomposition s'appliquant à Sh ,

(fdx = lim r fdx = (-{-( +

m. Lemme. — Si deux fonctions mesurables f et cp diffèrent au plus de t
dans E, leurs intégrales dans E diffèrent au plus de £(wE).

Donnons-nous une échelle de nombres li et définissons les ensem-
bles e,; par rapport à/, comme au no précédent. Comme E est l'ensem-
ble-somme des ei, on a, par la propriété précédente.

I"f '"=?!-

(f dx.

Mais, dans et, œ est compris entre li-i — e et li+i + £. Il vient donc,
par le théorème de la moyenne,

S li—i ei — eS^ï < I f dx <^ It-ei + eS«,-

L

DÉFINITION ET PROPRIETES 250

et, à la limite, les échelons tendant vers 0,

j f dx — e(wE)^ j ^dx^Xfdx-^tiniK).
JE. j& Jb

\V . U intégrale de la somme d'un nombre limité de fonctions mesurables
est égale à la somme des intégrales de ces fonctions.

Il suffit de considérer la somme/4-? de deux fonctions. Si elles
sont toutes deux constantes dans E, le théorème est immédiat. Si elles
ne sont susceptibles que d'un nombre limité de valeurs, E se partage
en plusieurs parties sur lesquelles les deux fonctions sont constantes
et pour lesquelles le théorème est déjà démontré : il suffit alors d'ap-
pliquer la propriété II. Passons au cas général. Soient/« et «p« les
fractions de dénominateur « approchées de /et de «p par défaut à moins
de I : « près. Ces fonctions ne sont susceptibles que d'un nombre limité
de valeurs, donc l'intégrale de (/« + ? « ) est la somme de celles de
/« et de tf« ; mais, quand n tend vers l'infini, ces trois intégrales tendent
respectivement vers celles de (/+ «p), de /et de f, en vertu du lemme
précédent, ce qui démontre la proposition.

247. Comparaison avec l'intégrale de Riemann. ~ Pour que l'inté-
grale de Lebesgue soit une généralisation utile, il faut qu'elle renferme
celle de Riemann comme cas particulier. Nous allons montrer qu'il
en est ainsi, à l'aide des propositions suivantes :

1° Si f est intégrahle (R) dans {a, b), l'ensemble E de ses points de dis-
continuité est de mesure nulle.

En effet, soit sj, t^,... e»,... une suite positive décroissante tendant
vers 0. Désignons pat Ej l'ensemble des points où l'oscillation de/
est > El et, en général, par E» celui où cette oscillation est > t„ mais
^ t„—i. Chacun de ces ensembles est de longueur nulle (n" 244), donc
aussi de mesure nulle, et l'ensemble E qui est leur somme est de me-
sure nulle (no 78).

2° Une fonction f est mesurable dans tout intervalle {a, b) oti V ensemble
de ses points de discontinuité est de mesure nulle.

En effet, les seuls points-limites qui manquent à l'ensemble E (/>A)
sont des points de discontinuté de/, dont l'ensemble est de mesure
nulle. Donc l'ensemble E(/> A), différence d'un ensemble fermé et
d'un ensemble de mesure nulle, est mesurable (n^ 78) et / est mesu-
rable (no 82).

30 Toute fonction f intégrable (R) dans {a, b) est donc aussi intégrabk (L)
et, de plus, ses intégrales (R) et (L) sont égales.

Décomposons (a, b) en intervalles élémentaires S, par des points
intermédiaires Xi. Soient M,- et mi les bornes de/ dans S,- = Xi — Xi—i.
On a, par le théorème de la moyenne pour l'intégrale de Lebesgue,

«.•8,<(L)r' fdxCMt^i

260 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

et, en sommant par rapport à »,

Donc l'intégrale de Lebesgue, comprise entre les deux sommes qui
ont pour limite commune celle de Riemann, est égale à cette dernière.

248. Intégrales de fonctions non bornées. Fonctions sommables. —

jo Soit d'abord f{x) une fonction non négative. Supposons-la me-
surable, mais non bornée, dans l'ensemble mesurable et borné E.
Définissons la fonction /« comme égale à/si/< m, et à «si/>«.
L'intégrale de /dans E est, par définition, la limite (finie ou infinie)
de celle de/« quand n tend vers l'infini.

Si cette intégrale est finie, la fonction/est sommable dans V ensemble^ (^).

Si la fonction/n'est pas sommable, son intégrale dans E est infinie
positive.

Si une fonction est sommable dans un ensemble E, elle n'y devient
infinie que dans un ensemble de mesure nulle. En effet, dans le cas
contraire, /« serait > n dans l'ensemble, de mesure a, où / est infinie,
son intégrale serait donc > «« et croîtrait à l'infini avec n.

Ces définitions s'étendent aux fonctions non négatives par un simple
changement de signe.

2" Considérons maintenant une fonction/ de signe quelconque.
C'est la différence /i — /2 de deux fonctions non négatives, /i étant
égal à /ou à 0 selon que/ est > 0 ou < 0 et /2 égal à /ou à 0 selon
que f <i on > 0. La fonction / sera dite sommable dans rensemble E
(borné), si/i et/2 sont tous deux sommables dans E et alors l'intégrale
dans/ est, par définition, la différence de celles de /i et de /a. Nous
ne nous occuperons pas, dans ce chapitre, du cas où l'ensemble E ne
serait pas borné.

Si les fonctions/i ou/2 n'étaient pas sommables, nous n'attribuerions
à /aucune intégrale.

Il suit évidemment des définitions que nous venons de donner que,
si une fonction est sommable, sa valeur absolue l'est aussi, et réciproquement.

249. Propriétés des intégrales de fonctions sommables. — 1. Si f est

sommable dans un ensemble E, à tout nombre positif 2e correspond un nom-
bre S- tel que l'intégrale de f soit de valenr absolue < 2s dans toute portion
de E de mesure < S.

Il suffit de faire la preuve pour une fonction /non négative. Défi-

(*) M. Lebesgue n'appelle sommables que les ionciions partout finies. Nous
ne faisons pas cette restriction,

DÉFINITION ET PROPRIETES 26l

nissons/« comme dans le no précédent et prenons n assez grand pour
que l'on ait, ce qui est possible par hypothèse,

Je m

fn dx < e.

Cette relation subsiste a fortiori si l'on y remplace E par l'une de
ses parties Ei. Il s'ensuit que le nombre 8 du théorème peut-être fait
égal à e : «, cai on aura, dans toute portion Ei de mesure < 8 = e : «,

j f„dx<n^<t, d'où fdx<2t,

II. Soit E V ensemble-somme d'un nombre fini d'ensembles Ei, Eo,... sans
points communs et dans lesquels f est sommable, f sera encore sommable dans
E, et Von aura

(1) {fdx^[+{ fdx +

JE JE^ Jb^

Il suffit encore de faire la preuve pour /non négatif. Dans ce cas,
on a, quelque grand que soit « {n° 246, II),

(2)

{/„dx=^ [+ { fndx-i-

Quand « tend vers l'infini, le second membre de (2) a pour limite le
second membre de (1) donc le premier membre de. (2) a une limite
finie, et celle-ci est par définition le premier membre de (1), ce qui
prouve les deux parties du théorème.

m. Si E (borné) est la somme d'une infinité d'ensembles sans points com-
muns El, E2,..., la formule (1) subsiste encore pourvu que f soit sommable
dans E.

Posons, en effet,

E = Ei + E2+...+ E«+R«.

Quand « tend vers l'infini, la mesure de R„ tend vers 0. Donc, par la
propriété I,

lim ( fdx = 0.

Ceci entendu, on a, par la propriété II,

[fdx=^ (+(+...+ ( +[ fdx.

Faisons tendre n vers l'infini, le dernier terme tend vers 0 et la
somme embrasse tous les ensembles E«, ce qui prouve le théorème.

IV. La somme f d'un nombre limité de fonctions fi,f 2,..., sommabhs dans
un ensemble E, est sommable aussi et l'on a

(8) (fdx =- [a dx + (f, dx -f ....

JE Je Je

262 CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUE

Soit (/)x\ une fonction égale à /ou à N selon que /est ^ ou > N,
Définissons (/a )n de la même façon par rapport à/«. ; nous avons

(/)n<(/i)n+(/2)n+-</

d'où, en intégrant {n° 246, IV),

(ifhdx^ ( {A)Ndx+ ({Ahdx+...^ {fdx.
Je Je Je Je

Faisons tendre N vers l'infini. Par définition (no 248), la somme du
milieu dans ces dernières inégalités a pour limite le second membre
de l'équation (3), tandis que les deux membres extrêmes (qui com-
prennent cette somme) deviennent tous deux égaux (à la limite) au
premier membre de la même équation (3). Celle-ci est donc démontrée.

V. Si f est sommahle dans E, on peut encore, comme on Va fait (n» 246)
pour définir tintégrale d'une fonction bornée, construire, au moyen d'une
échelle de nombres h, deux sommes :

s = 'Stli-i ei, S = ^liCi,

Vune inférieure. Vautre supérieure à l'intégrale de f dans E, et aussi voisines
que l'on veut l'une de l'autre.

Pour simplifier, considérons seulement une fonction/ non négative.
Soit e un nombre positif aussi petit qu'on voudra. Formons une
éjchelle croissant de 0 à 00 par degrés < z :

'0 = 0< 11) *2v li. ...

Soit e, l'ensemble (ou la mesure de l'ensemble) des points où l'on a
//_! ^ / < //. Abstraction faite d'un ensemble éventuel de mesure
nulle où /serait infini et que nous pouvons négliger pour l'intégration,
nous avons E, = ei-\-ez -{-... ; par conséquent (par la propriété III),

{fdx= S { fdx;

h i Jei

puis, en appliquant dans chaque ei le théorème de la moyenne,
5 = 2/j_i «/ ^ I /rf;»r < ^hei = S.

Enfin vS — s est aussi petit qu'on veut avec £, puisque, les degrés
étant < £, nous avons

S — s = 2 (// — h-i) et < z^ei = e(wE).

VI. Inégalité de Schwarz. — Si f^ et 'f^ sont sommables dans E, /f
l'est aussi, car il est de valeur absolue moindre que J^ + ?^j ^^ ^on a

(//'"^j^d'^'^odj^'*^

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS 263

Si/ et 'f sont constants dans E, les deux membres sont identiques.
Si/et cp ne sont susceptibles que d'un nombre limité de valeurs finies,
l'ensemble E se partage en un nombre limité d'ensembles de mesures
(Ti, <!2,... où/et cp prennent les valeurs constantes ai, bi ; a^, bi ; ... et
l'inégalité précédente revient à

(«1 61 «1 + «2 h «2 + -Y < («1 «1 +alei+ •••) {b\ t\ + ^2^2 + -)

ou, en posant «i = Ai : V^i. ^i = Bi : V'Ji» etc.

(AÏ + A| + -)(B? + B| + -)-(AiB, + A2B2+-)'^:>^0,
ce qui est exact, car le premier membre est une somme de carrés :

(AiB2-A2Bi)2 + -

On passe ensuite au cas oi^i/et » sont bornés quelconques, puis
sommables, par de simples passages à la limite comme précédem-
ment (nos 246, TV et 249, I).

250. Passage à la limite sous le signe J. — Considérons une suite
de f onctions /i,/2,.../w,... sommables dans un ensemble E et tendant
vers une limite (finie ou infinie)/. Cherchons sous quelles conditions
nous aurons

(1) lim \fndx== \fdx.

n=^cc Je Je

Voici le théorème fondamental :

Théorème I. — L'équation (1) est légitime si les fonctions fn sont bor-
nées dans leur ensemble, c'est-à dire quels que soient n et x (Lebesgue).

En effet, dans ce cas, la fonction-limite/, étant bornée aussi, a une
intégrale finie et déterminée. Il suffit donc de montrer que l'intégrale

i

{f-fn)dx

a pour limite 0 avec i : n, c'est-à-dire qu'elle peut être rendue aussi
petite que l'on veut à condition de prendre « assez grand.

Soit £ un nombre positif, ensuite E» l'ensemble des points où
1/ — f„ I > e. Faisons la décomposition en deux intégrales :

[(/-/» )dx^{ {/-fn)dx+( (/-/« ) dx.
Je Je-e„ Je„

La première est aussi petite qu'on veut avec s, en vertu du théorème
de la moyenne (/— /» étant de valeur absolue < s.), il suffit donc
maintenant de démontrer que l'intégrale

w iy-f

fn)dx

tend vers 0 avec i : ».

264 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

C'est ce qui résulte, dans ce cas-ci, du théorème connu (no 85) sur la
convergence, en vertu duquel wE« tend vers 0 avec i '■ n. La fonction
sous le signe étant bornée, l'intégrale tend vers 0.

Théorème. II. — Plus généralement, l'équation (1) est légitime si les
fondions f„ sont toutes de module inférieur à une fonction positive sommable 'f .

En effet, la valeur absolue de la fonction-limite /ne surpasse pas cp,
donc/ est sommable. Comme on peut négliger l'ensemble de mesure
nulle des points oîi l'une des fonctions serait infinie, tout revient,
comme dans la démonstration précédente, à prouver que l'intégrale (2)
tend vers 0 avec mK Ceci résulte immédiatement de ce qu'elle est
inférieure en valeur absolue à l'intégrale

I

2^ dx,

laquelle tend vers 0 avec mEn {n° 249, I).

Théorème III. —Lorsque la suite fi,fz,...f„,... est positive et non dé-
croissante, on a toujours

lim \ fndx = 1 fdx,
«= «Je Je

mais les deux membres peuvent être infinis en même temps.

Ce théorème est un cas particulier du précédent si /est sommable,
puisque /« ne surpasse pas la fonction positive sommable tp =/. Il
reste seulement à montrer que, si /n'est pas sommable, le premier
membre de l'équation est infini.

Soit (/)n une fonction égale à/ ou à N selon que/ est < ou > N ;
définissons (/«)n de la même manière relativement à/«. Ainsi la suite
bornée (/i)n, (/2)n,... tend vers la fonction bornée (/)n et il vient,
par le théorème I,

lim \ fndx^ lim {fn)„dx= {fLdx.

La dernière intégrale est infinie avec N, donc la première (qui est
indépendante de N) est infinie.

Théorème IV. L'équation (1) est légitime, si à tout w positif correspond
un 8 positif tel qu'on ait, quel que soit n,

(3) I f/«

dx

<^o.

sous la condition que F soit une portion de E de mesure < 8. Cela étant,
f est sommable dans E.

Montrons d'abord que /sera sommable dans E. La condition (3)
est de telle nature que si elle a lieu pour fn elle a aussi lieu pour

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS 265

|/« I (car on peut prendre pour F les ensembles où fn ne change
pas de signe). D'ailleurs |/« | a pour limite \f\ . Il suffit donc de
raisonner sur les modules. Autant admettre que les fonctions sont
positives. Dans ce cas, on a, avec les notations de la démonstration
précédente,

f (/)/;«; = lim [ <^fn\dx ^\xx^ [fndx.

JE n=<»j¥, «=» Je

Mais la mesure de E ne surpasse pas k^ où k est un entier suffisam-
ment grand ; donc E peut se partager en k ensembles de mesure ^ S
et la dernière intégrale ne supasse pas k^. Ainsi l'intégrale de/N est
bornée quel que soit N, c'est-à-dire que /est sommable dans E.

Tout revient alors à montrer, comme dans la démonstration du
théorème I, que l'intégrale (2), qui se décompose en deux autres :

dx,

tend vers 0 avec i : «, ce qui est vrai pour la première parce que/est som-
mable, et pour la seconde par hypothèse (wE» tendant vers 0 avec i : «)•

Théorème V. — Soit fi, fz,.-. fn,... une suite positive non décroissante
de fonctions somtnables dans E, ayant pour limite f ; soit ensuite f une fonc-
tion de signe quelconque, telle seulement quefi^ soit sommable dans E ; on aura

lim \fn 'fdx= i ff dx.

On partage l'ensemble E en deux autres où f ne change pas de
signe. En raisonnant sur ceux-ci séparément, on est ramené au
théorème III.

Théorème VI. — Si la suite des fonctions fi,f2,...fn,... sommables dans E,
tend vers une limite f, sommable aussi, de telle façon que les fonctions {f—fn )^
soient encore sommables et leurs intégrales dans E bornées dans leur ensemble,
c'est-à-dire inférieures à une constante h indépendante de n, l'équation (1)
subsiste encore (Riesz).

En effet, tout revient, comme dans la démonstration du théorème I,
à montrer que l'intégrale (2) ,

J^n

{f-fH)dX,

tend vers 0 avec mEn. Ceci résulte de l'inégalité de Schwarz (no 249),
qui montre que le carré de cette intégrale est inférieure à

(f if-M'dxYi dx^<h{mE»).

251. Intégrale indéfinie. — Avec M. Lebesgue, nous appelerons
intégrale indéfinie l'expression

F(;r)=p/W^-1-C.

266 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

On suppose que x varie dans un intervalle où /(;»;) est sommable et
que C est une constante. D'après cette définition, si l'on désigne par A^F"
la différence de Y{x) dans un intervalle a, c'est-à-dire la différence
F(*") — F(^') relative aux extrémités de l'intervalle a ou {x\ x"), on a

i

f{x)dx = ^^¥.

Ainsi ^intégrale de f dans un intervalle a est égale à la différence de F
dans cet intervalle.

Théorème. — L'intégrale indéfinie, F(;r), est une fonction à variation
bornée, absolument continue, et sa variation totale dans {a, b) a pour valeur

I

' \f{x)\dx.

Nous allons prouver ces diverses propositions. Rappelons d'abord
que toute fonction sommable,/, est la différence /i — fi de deux fonc-
tions analogues mais non négatives (no 248). D'après cela, nous avons

y{x) = (ydx = f/i dx -(y, dx,

en sorte que la fonction F{x) est la différence de deux fonctions con-
tinues non décroissantes : elle est donc à variation bornée (no 88).

Ensuite F{x) est absolument continue. En effet, soit E l'ensemble
d'une infinité dénombrable d'intervalles a, on a

^\^aF\=^\(fdx\^(\f\dx

Cette dernière intégrale est aussi petite qu'on veut avec wE, par la
propriété I du n^ 249 ; donc la somme des différences absolues de F
dans un ensemble d'intervalles tend vers 0 avec la somme de ces
intervalles, autrement dit, F est absolument continue (n» 89).

Cherchons maintenant la variation totale de F dans l'intervalle
{a, b). A cet effet, partageons (a, b) d'une manière quelconque en
intervalles consécutifs. Désignons, en général, par a ceux où la diffé-
rence Aa F est positive, par p ceux où Aq F est négative. Les sommes
/» et — « des différences positives et des différences négatives (n» 86)
ont pour expressions :

p=.j:(fdx, —n=^(fdx.

Donc, si E/ désigne l'ensemble des points de (a, b) où/> 0, E/, celui
où/ < 0, les bornes supérieures P de p et N de « sont assujetties aux
inégalités :

P^ (" fdx, N^— { fdx.

JSf Je„

DÉFINITION ET PROPRIETES 267

Mais je dis que l'égalité seule est possible et je vais le prouver pour
P (ce qui suffit) en montrant que P ne peut être moindre que cette
limite.

L'ensemble E/ est constitué, comme il suit :

Ej» = S + «' — e<\

d'un ensemble S formé d'intervalles en nombre fini et de deux en-
sembles «' eie" de mesures infiniment petites (n» 77). Par suite, on a

[/dx = ( fdx+ ( fdx—{ fdx.
J$ h^ Je'l Je'

Le premier membre est une somme de différences de F{x). Dans le
second, les intégrales sur e" et e' sont infiniment petites ; donc celle
sur E/, différant aussi peu qu'on veut d'une somme de différences de
F(*-), ne peut être supérieure à la borne supérieure P de cette somme.

En définitive, la variation totale P + N (no 74) aura bien la valeur
que nous lui avons assignée :

[ - f fdx = Ç\f\dx.

252. Variation d'une fonction dans un ensemble mesurable. Relation
entre les intégrales définies et indéfinies. — Soient E un ensemble mesu-
rable contenu dans un intervalle (a, h) et F(;jr) une fonction continue
dans cet intervalle. Enfermons E (au sens étroit) dans une infinité
dénombrable d'intervalles ai, aj,,.., a„,... n'empiétant pas (n» 74) et dési-
gnons, en général, par A^F la différence de Y{x) dans un intervalle
a. Si la somme étendue à toutes ces différences,

2Aa„F,

n

est absolument couvergente, sa valeur est la variation (algébrique) de
F{x) dans l'ensemble des a.

Si cette variation tend vers une limite, toujours la même, quand on
fait tendre la somme Sa des longueurs des intervalles vers la mesure
de E, cette limite est la variation (algébrique) de F{x) dans l'ensemble E.

Théorème. — Soient f{x) une fonction sommable dans {a, b) et ¥{x) son
intégrale indéfinie. Soit E un ensemble mesurable compris dans {a, b), l'intégrale
de f{x) dans E est égale à la variation de F{x) dans E.

Enfermons È dans un ensemble d'intervalles a non empiétants, et
soit CE l'ensemble complémentaire de E par rapport aux a. On a, la
somme s'étendant aux a,

ÏAfltF^S (fdx= [ fdx-\- ( fdA
Ja Je Jce

268 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

Faisons tendre Sa vers wE, alors mCK tend vers 0 et la dernière
intégrale disparaît. Il vient ainsi

(fdx =
Je

lim S Ajt F =var, de F(;t;) dansE.
<x

§ 2. Recherche des fonctions primitives.

253. Fonctions primitives. — Les fonctions qui ont pour dérivée
ou pour nombre dérivé une fonction donnée, sont ses fonctions primitives.
La recherche des fonctions primitives se résout d'une manière élémen-
taire pour une fonction continue /(;i;). Toutes les fonctions primitives
de/(;i^) sont, en effet, comprises dans l'intégrale indéfinie

r

/W + c,

qui est élémentaire. Mais, si on laisse de côté la condition de conti-
nuité, le problème de trouver une fonction dont la dérivée soit une
fonction donnée, f{x), n'admet pas en général de solution, car toute
fonction n'est pas une dérivée. Il faut donc remplacer ce problème
par l'un des suivants :

1° Reconnaître si une fonction donnée est une Jonction dérivée et trouver,
dans ce cas, la fonction primitive.

2" Reconnaître si une fonction donnée est un nombre dérivé supérieur à
droite (ou un autre nombre dérivé) et trouver, dans ce cas, la fonction
primitive.

L'intégrale de Lebesgue permet de remonter, dans des cas très géné-
raux, de la fonction dérivée à la fonction primitive et de donner, en
même temps, la solution des problèmes précédents. Cependant la
réponse complète ne peut s'obtenir que par une nouvelle extension de
la notation d'intégrale qui est due à M. Denjoy (*). Mais celle-ci
repose sur un ordre de considérations qui est étranger au cadre de cet
ouvrage et nous nous bornerons à l'intégrale de Lebesgue.

Nous avons d'abord une remarque préliminaire à faire :

La dérivée ou les nombres dérivés d'une fonction continue ¥{x) sont des
fonctions mesurables.

En effet, la dérivée si elle existe, est la limite de la fonction continue

V{x + ^) — ¥{x)
' k . '

tandis que les nombres dérivés sont les limites d'indétermination de
ce rapport et nous savons (no 84) que ces fonctions sont mesurables.

(*) Calcul de la primitive de la fonction dérivée la plus générale. C. R. de
Paris, 22 avril, 1912.

RECHERCHE DES PONCTIONS PRIMITIVES 269

La fonction primitive d'une dérivée bornée s'obtient simplement
par le théorème de M. Lebesgue relatif au passage à la limite sous le
signe f, et, quoique ce résultat rentre comme cas particulier dans les
suivants, il est cependant intéressant de l'établir pour commencer.

254. Fonction primitive d'une dérivée bornée. — Soit F(x) une fonc-
tion ayant une dérivée bornée f{x), on a

Çf{x)dx = ¥{b)-¥{a).
En eftet, on a, par le théorème de M. Lebesgue (n» 25o),

parce que le rapport sous le signe J reste borné quand h tend vers 0.
Mais on peut faire la transformation

\¥{x\h)-'¥{x)\dx^\ - Y{x)àx^\ - Y{x)dx

Ja Ja+A Ja Jb Ja

et appliquer le théorème de la moyenne à ces deux dernières inté-
grales. En divisant par h, passant à la limite et observant que F est
continue, on trouve la formule de l'énoncé.

Ce théorème s'applique en remplaçant h par toute valeur x de l'inter-
valle (a, &) ; on a donc

¥{x)==Y{a)^^J{x)dx.

Donc une fonction dérivée bornée a ses intégrales indéfinies Pour fonctions
primitives.

Le théorème précédent permet de reconnaître si une fonction me-
surable et bornée /(«) est une dérivée. On calcule F{x) par la formule
précédente et l'on vérifie directement si F a pour dérivée/.

Si la fonction dérivée /(a;) n'est pas bornée, le passage à la fonction
primitive exige des raisonnements plus délicats. Les théorèmes fonda-
mentaux ont été obtenus par M. Lebesgue, mais nous adopterons
pour y arriver un procédé diftérent du sien, que nous avons fait con-
naître dans l'édition précédente de ce cours et que nous allons préciser
un peu davantage dans celle-ci. Ce procédé consiste à construire,
comme nous allons le faire, des fonctions auxiliaires dont les déri-
vées satisfont partout à certaines conditions d'inégalité.

255. Fonctions majorante et minorante. — Nous donnerons ce nom
à deux fonctions qui sont respectivement approchées par excès et par
défaut de l'intégrale

I.

f(x)dx

270 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

et qui seront construites de manière à réaliser certaines conditions
que nous allons indiquer.

Soit f{x) une fonction sommdble dans Tintervalle {a, h), finie sauf peut-
être aux points d'un ensemble de mesure nulle. Nous allons construire, dans
cet intervalle, une fonction continue, f i(-î^), infiniment voisine par excès de
l'intégrale ci-dessus et dont les quatre nombres dérivés surpassent f {x) en tous
les points où f{x) est finie. Nous V appellerons la fonction majorante rela-
tive à f{x).

Nous construirons, en même temps, une fonction minorante, ^2{x), infi-
niment voisine par défaut de la même intégrale et dont les nombres dérivés
seront tous < f{x) en tout point où f{x) est finie.

La construction de la fonction minorante se ramène à celle de la
fonction majorante, car, si — l' est la majorante relative à — /, alors
'^ est la minorante relative à/. Il suffit donc de construire la majorante.

D'autre part, il suffît de savoir construire la majorante pour/ non
négatif. En effet, définissons /n(;i^) comme égale èif{x) ou à — N selon
que /est ^ ou < — N. Pour N positif infiniment grand, l'intégrale
de/v surpasse infiniment peu celle de/. Il suffit donc de savoir con-
struire la majorante relative à/N. Pour cela, il suffit de construire la
majorante relative à/N + N qui n'est pas négatif. Soit, en effet, <]^i
cette majorante, celle cpi relative à/N sera «l'i — N;»;.

Proposons-nous donc de construire la majorante relative à une
fonction /(;»;) non négative. Soit e un nombre positif aussi petit qu'on
voudra. Donnons-nous une échelle de nombres positifs :

croissant jusqu'à l'infini par degrés < e.
Désignons par en l'ensemble des points de l'intervalle {a, b) où l'on a
In ^f{x) < l„+i.

Désignant aussi par en la mesure de l'ensemble de même nom, nous

aurons, par définition de l'intégrale (n» 249, V),

00 r6 00

S /« e» < I fdx < S l„+i en .

Par conséquent, puisque /«+i — In est < e,

S In+i en < I fdx + e (è — a).

Désignons encore par en (x) la mesure de la portion de l'ensemble
en comprise entre a et x. On aura, de la même manière,

s In en (x) < I fdx < S l„+i en {x)

«=0 Ja «=0

et a fortiori, pour x compris dans (a, b),

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES 2'JI

00 ^X

s l„+i tn {x) < fdx -f- e (è — a).

n=0 Ja

Donnons-nous maintenant une suite positive £i, t2,--- £«,••. assez
rapidement décroissante pour que l'on ait

2 /«+! t„ < e.

Ceci fait, enfermons Cn (au sens étroit) dans une infinité d'intervalles
non empiétants (n» 74) d'amplitudes 8", S"..,, de manière qu'on ait

e„ < S 8^ < «« + e„ .

Appelons S" (x) la somme de tous les intervalles 8" et portions d'in-
tervalles S" compris entre a et x. On aura a fortiori

en {x) < S" {x) < en {x) 4- e„ .
Je dis maintenant que la fonction

^,{x) = Iln+iS-{x)
n

satisfait aux conditions du théorème.

On a d'abord, par les dernières inégalités,

S l„+i e„ {x) < (fi{x) < S In+i e„ {x) + 1 l„+i z„

n n M^

et, a fortiori, par les précédentes

{''fdx < ^,{x) < (ydx + t{b - fl) + e.

Ja Ja

Donc <^i(x) est aussi voisin qu'on veut par excès de l'intégrale. Mon-
trons que les nombres dérivés de ^i{x) surpassent /(;v) en tout point
oùf{x) est finie.

Supposons donc que/(.r) tombe entre In et In+i (exclu) ; le point x
fait alors partie de l'ensemble en et est intérieur au sens étroit à un
intervalle 8" ou est la limite commune de deux d'entre eux (n» 74).
Or on a

?i(^ + h) — cpi(,t:) = S In+i [S« ix-\-h) — S« (x)]

Tous les termes de la somme sont positifs avec h (ou nuls) et non
décroissants si h augmente. Donc, si h est positif et assez petit pour
que x-{- h soit encore dans le même 8" que x, on aura (en ne gardant
qu'un terme)

cpi(;»r + A) - cp,(;r) > l„+i [S* {x+h)- S" (x)] > hl„+i.

Le sens de l'inégalité changerait pour h négatif, de sorte que l'on a
toujours, pour | h \ assez petit,

<fi{x-\-k) — <fi{x)^

Donc les quatre nombres dérivés, étant au moins égaux à U+t, sont
tous > f{x).

272 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

256. Remarques sur les fonctions précédentes. — 1° Les fonctions ma-
jorante et minorante sont telles que les différences :

Ja Ja

sont non décroissantes.

Il suffit évidemment de faire la preuve pour la première différence
et cela dans le cas fondamental où/ est non négatif. Conservons donc
les notations de la démonstration précédente.

Soit {x\ x") un intervalle {x" > x'), Lsl portion de l'ensemble en con-
tenue dans cet intervalle a pour mesure en {x") — en {x'), de sorte que
l'on a

^"""/dx ^ S l„+i [e„ {x") — e„ {x%
»=o

/:

£

Mais, comme on a, par définition de S" {x),

S» {x") — S" (x') > en {x") — en {x'),
il vient a fortiori

'"fdx < S In+i [S" {x") - S» {x')]

<Ti(^")-?i(^')
et c'est ce qu'il fallait démontrer (l'intégrale étant positive).

2" Si f{x) est bornée dans l'intervalle {a, b), ^i{x) et (fzi^) sont à nombres
dérivés bornés.

Bornons-nous encore à la construction de fi dans le cas où /est
positif, ce qui est permis. Si / est borné, l'échelle h, h,... peut être
bornée à un nombre limité de termes. D'autre part, l'ensemble en est
enfermé dans des intervalles 8« n'empiétant pas. Alors, le point x ne
pouvant tomber dans l'intérieur de deux intervalles ^| de même indi-
ce n, la dérivée de S"{x) ne peut surpasser l'unité et celle de ^x{x) ne
peut surpasser la somme finie S/«.

257. Théorème I. — S'il existe une fonction f{x) intermédiaire {au sens
large) entre les deux dérivées à droite d'une fonction continue F{x), et si
f{x) est finie et sommable dans l'intervalle {a, b), on a, dans cet intervalle,

¥{x) — ¥{a) = rf{x) dx.

En particulier, par conséquent, si F(;tr) a un nombre dérivé fini et som-
mable A, on a (Lebesgue)

Kdx,

Construisons, pour la fonction /(.r), les deux fonctions majorante et
minorante «pi et cp^, infiniment voisines et telles que l'on ait

rx

'fiW>J f{x)dx>^.{x).

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES 278

Les nombres dérivés de cpi sont tous >/, ceux de «pz sont tous </
(supposée finie) ; par conséquent, les deux fonctions

sont à nombre dérivés partout positifs et sont, conséquemment, crois-
santes dans {a, b). Donc, «pi et «fz s'annulant par construction au
point a, il vient

<fr{x)>F{x) — ¥{a)><f2{x);

enfin, par comparaison avec les inégalités précédentes et en rappelant
que les fonctions <f 1 et f 2 sont infiniment voisines.

F{x)-F{a)= rf{x)dx.

2 5 8. Théorème II. — L'intégrale indéfinie d'une fonction f{x) mesurable
et BORNÉE (*) dans un intervalle {a, b), a f(x) pour dérivée presque partout.

Nous convenons de dire, avec M. Lebesgue, qu'une propriété a lieu presque
PARTOUT si elle a lieu sauf dans un ensemble de mesure nulle.

Reprenons les fonctions, majorante 'fi, et minorante ^2, de la démon-
stration précédente. Elles sont à nombres dérivés bornés puisque
f{x) est bornée (n» 256).

Soient Ai et A2 les nombres dérivés supérieurs à droite de «fi et de
<P2 ; on a (n» 255)

Al >/> Ag.

Soit A le nombre dérivé supérieur à droite de l'intégrale indéfinie

X

fdx. Celle-ci ne peut croître ni plus vite que fi ni moins vite que
f 2 (no 256). On a donc aussi

Ai>A>A2.

Si l'on compare ces inégalités aux précédentes, il vient

I A— /l <Ai — A2 ;
d'où, en intégrant puis appliquant le théorème précédent, ce qui est
permis (puisque Ai el A2 sont bornés),

j \K—f\ax< \ IVxdx—\ hidx=^ cpi(è) — ^.i{b).

Cette dernière différence peut être supposée aussi petite qu'on veut ;
par conséquent,

i

i

(•) Cette restriction disparaîtra au théorème IV (n" 260).

18

274 CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUE

et A ~f presque partoiii. Donc chacun des quatre nombres dérivés de
l'intégrale de/ est égale à / presque partout. Ils le sont donc aussi
simultanément presque partout, ce qui prouve la proposition.

259. Théorème III. — Si la fonction continue V{x) est non décroissante
dans un intervalle {a, b), l'un quelconque A de ses nombres dérivés est sont-
mable dans cet intervalle et l'on a

I

\dx<:V{b)-¥{a).

Définissons A« comme égal à A ou à « selon que A (qui est néces-
sairement ^ 0) ne surpasse pas le nombre positif ;/ ou le surpasse.
Formons l'intégrale indéfinie

^n {x) -=^\ Andx

et construisons la fonction minorante '^i{x) relative à cette intégrale
et dont tous les nombres dérivés sont, par conséquent, < An et a for-
tiori < A. Cette dernière conséquence entraîne, puisque «'^(a) est nul,

¥{b) - ¥{a) > cp,(è)
et, en faisant tendre «p2 vers sa limite <ï>„,

F{b) - F(a) > a)„ (b) = [ An dx.

Faisons main enant tendre n vers l'infini ; cette dernière intégrale,
étant bornée par le premier membre, tend vers une limite finie. Celle-
ci est, par définition, l'intégrale de A, donc A est sommable. De plus,
on obtient à la limite l'inégalité qu'il fallait démontrer.

260. Théorème IV. — L'intégrale indéfinie d'une fonction sommable,
bornée ou non, admet cette fonction pour dérivée presque pat tout CLebescue).

Une fonction sommable est la différence de deux fonctions som-
mables non négatives (n" 248). Il suffit donc de prouver le théorème
pour une fonction non négative.

Soit A le nombre dérivé supérieur à droite de

F{x)=rfix)dx.

Jà

Définissons une fonction fn égale à / ou à « selon que / est <^ n
ou > «. Le nombre dérivé supérieur à droite de l'intégrale (moins
rapidement croissante que F)

r

fndx.

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES 27.*»

sera ^ A , mais il est égal à/n presque partout (no 258). Par suite, on
a presque partout A >/n, donc >/, puisque n est quelconque ; c'est-
à-dire que l'on a presque partout

A-/^lA-/i.

Ceci posé, on a, par le théorème III précédent (F étant non décrois-
sant),

{\dx<C F{b) - F{a) = Çf{x) dx;

d'où l'on tire, en utilisant l'égalité précédente qui a lieu presque
partout,

{\jS.-f)dx=C \ A-f\dx^O.

Donc A =/ presque partout. La même chose a lieu pour les autres
nombres dérivés, ce qui prouve le théorème.

Corollaire. — Comme, dans le calcul d'une intégrale, on peut
négliger l'ensemble de mesure nulle où elle n'a pas pour dérivée la
fonction sous signe (',on peut énoncer le théorème suivant(LEBESGUE).

Une intégrale indéfinie est Fintegrale indéfinie de sa dérivée considérée seu-
lement aux points où, elle existe (ou supposée nulle aux autres points).

261. Théorème V. — Une fonction continue et à variation bornée dans
un intervalle, a une dérivée dans presque tout l'intervalle et cette dérivée est
sommable considérée là où, elle existe (Lebesgue).

Une fonction semblable est la différence de deux fonctions conti-
nues non décroissantes {n° 88). Le théorème, vrai pour ces deux-ci,
le sera pour leur différence. Il suffit donc de le démontrer pour une
fonction FU) continue et non décroissante.

Soit A^. un des nombres dérivés de ¥{x) ; on a, pour h positif, par
le théorème III,

Ak dx ^ ¥{x + A) — ¥{x).

r

Jx

Donc la fonction

'i{x)=^Y{x)-{\,.dx

est non décroissante ; et il en sera de même pour la fonction '^{x),
construite avec 'f comme cf l'est avec F, à savoir

^{x) = '^{x) — I Acp dx.

Il vient, par l'addition de ces deux équations,

['' {h^^A^)dx=^¥{x)-^{x).

276 CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUE

Cette nouvelle équation met en évidence que l'intégrale du premier
membre ne croît pas plus rapidement que F(x) et que, par conséquent,
son nombre dérivé (de l'espèce A) ne surpasse pas Aj, . Mais ce nombre
est Ap + A(p presque partout (Théorème IV), donc Aœ = 0 presque
partout. D'ailleurs, A désignant un nombre dérivé d'espèce quel-
conque, on en conclut que cp a une dérivée nulle presque partout ;
d'où il suit enfin que la lonction

F{x) = tp(^) +1 ^p dx

I
a presque partout la même dérivée que Jaf^x, c'est-à-dire Ap (Théo-
rème IV) et cette dérivée est sommable.

Corollaire. — Une fonction F{x), continue et à variation bornée, dont
un nombre dérivé A est fini dans un intervalle, est l'intégrale indéfinie de ce
nombre dérivé (Lebesgue).

On applique le théorème I (n» 257), après avoir remarqué que A est
sommable, car il est égal presque partout à la dérivée F'{x) qu'on
vient de prouver sommable.

262. Construction d'une fonction auxiliaire à dérivée finie. — Soit
F{x) une fonction continue à variation bornée dans un intervalle (a, b),
ayant donc (no 261) une dérivée finie F'{x} sauf dans un ensemble E
de mesure nulle. Enfermons E (au sens étroit pour tous les points
sauf peut-être a et b) dans une infinité d'intervalles a, non empiétants,
contenus dans {a, b) et de somme Sa inférieure à un nombre positif e
donné.

Ceci fait, définissons une lonction continue Fi(;ir), voisine de F{x),
par les deux conditions suivantes : i» Hors des intervalles a et aux
extrémités, Fi(;t) == F(;ir) ; 2° dans l'intérieur des a, Fi(a;) varie linéai-
rement de manière à coïncider avec F{x) aux extrémités.

Cette fonction Fi jouit des propriétés suivantes :

Elle est continue et à variation bornée (car sa variation totale ne peut
surpasser celle de F), elle a des dérivées à droite et à gauche finies dans
(a, b), mais, en dehors des intervalles a, elle a une dérivée unique F'{x).

Faisons la démonstration en considérant la dérivée à droite seule-
ment. Si X est à l'intérieur (au sens étroit) ou à l'extrémité gauche d'un
intervalle a, Fi varie linéairement et a une dérivée à droite finie.

Dans le cas contraire, x, supposé différent de b, n'est pas un point
de E. Sa dérivée à droite sera F'{x}. En effet, formons les deux quotients :

F(;>; + ^)-F(^) Fi(;r + ^)-Fi(A;)

h ' A '

où A tend vers 0 et dont le premier tend vers F'{x) par hypothèse. Le
second est égal au premier si ;r -|- ^ tombe hors des a ; et, si x -\- h

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES 277

tombe dans un a, il est intermédiaire entre les deux valeurs du premier
aux extrémités de cet a, valeurs qui ont encore toutes deux pour
limite F'{x). Donc le second quotient a pour limite F'{x).

263. Théorème VI. — Si F{x) est continue et à variation bornée dans
{a, b), on a

¥{b) - V{a) == {'v\x) dx + V,

l'intégrale s' étendant aux points oii F' est finie et déterminée, et V désignant
la variation de F dans l'ensemble E des points où F' est indéterminée ou
infinie.

Construisons, comme au n» précédent, la fonction a dérivée finie
Fi(;r) voisine de F{x) ; nous aurons, par le corollaire du théorème V,

FiW — Fi(a)= { F[{x)dx.

Désignons par Ca l'ensemble complémentaire des intervalles a par
rapport à (a, h), ensemble dans lequel F\ = F'. Comme, d'autre part,
Fi et F coïncident aux points a et b, l'équation précédente peut
s'écrire (la sommation s'étendant aux a)

F(*) — F(a) = r F\x) dx+'ïl [f'Xx) dx.
. ca OL Ja

Mais, F et Fi coïncidants aux extrémités des «, nous avons encore,
par le théorème V,

{F[{x)dx^^^F, = ^^F
Jx

et l'équation précédente devient

F[b) - Fia) = ( F'(Ar) dx + SA„ F.
Jcx

Faisons tendre Sa vers 0 ; l'intégrale dans Ca tend (no 249, I) vers
celle dans (a, b), puisque l'ensemble exclu est de mesure infiniment
petite et que cette intégrale existe (no 261). Donc la dernière somme
tend aussi vers une limite, toujours la même, qui sera la variation V
de F dans E, et la dernière équation fournit celle du théorème énoncé
par un passage à la limite.

264. Théorème VII. — Les hypothèses sur F subsistant, la variation V
du théorème précédent est la même que celle de F dans V ensemble Ei {contenu
dans E) des points oit l'un {toujours le même), A, des nombres dérivés de F
est infini.

Nous allons, en effet, retrouver la formule du théorème précédent
en donnant ce nouveau sens à V,

278 CHAPITRE VIT. INTÉGRALE DE LEBESGUE

Formons les deux fonctions majorante et minorante, «fi et 'f^. infini-
ment voisines de Adx et faisons une remarque préliminaire. La

fonction :

F(^) — ^.{x) = F — j A dx + r\ dx — cp2 1

est à variation bornée dans {a, b), et la somme de ses différences ou
bien de ses variations totales, respectivement dans des intervalles
«1, ag,... de somme l'a, est, pour Sa infiniment petit, infiniment voisine
de la somme analogue pour la fonction ¥{x). En effet, considérons la
décomposition précédente ; la somme des variations totales de f A ^a^
qui est absolument continue (n" 25i) est infiniment petite avec Sa, et la

même chose a lieu pour \ h dx — ^,, parce que cette fonction est

Ja
monotone (no 256) et infiniment petite.

Ceci posé, enfermons Ej dans aj, a^,... n'empiétant pas. Soit Yn{x)
la somme des différences de F — 'fa dans ceux des n premiers inter-
valles ai, a^,... a,i qui tombent entre a et x et éventuellement dans la
portion d'un de ces intervalles encore comprise entre a et x. Soit
Tn{x) la somme des variations totales de la même fonction dans les a
restants ou portion d'un de ces a, toujours entre a et x. Formons la
fonction

FW - 'f oU) - V„ {x) + Tn {x).

Je dis qu'elle est non décroissante. Elle l'est, en efiet, dans les n
intervalles aj, a^,... a„ où elle se réduit à Tn qui ne décroît jamais.
Elle l'est encore dans les intervalles complémentaires des n précédents,
où elle se réduit à

F(A:)-cp,(;.)+T„W,

parce que son nombre dérivé (de même espèce que A) y est partout
> 0. Il l'est, en effet, dans chacun des a restants, où la fonction est non
décroissante, puisque Tu croît alois comme la variation totale de
F — cp2 ; il l'est encore en chaque point hors de ces a, puisque A (étant
alors fini) surpasse tous les nombres dérivés de fa et que Tn n'a ja-
mais les siens négatifs.

La fonction considérée étant non décroissante dans (a, b), nous
avons, dans cet intervalle,

¥{x) - ¥{a) > '^o{x) + Vn {x) - Tn {x).

Faisons tendre n vers l'infini, puis Sa vers 0 ; Tn a pour limite 0 et,
suivant la remarque préliminaire, Vn pour limite la variation V{x) de
F(,r) dans la portion de Ei entre a et x. Remplaçons encore «2 par sa
limite, nous trouvons

¥{x) — ¥{a) ^Ta dx + V(,r).

RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES 279

Mais l'égalité seule est possible, car on trouve des inégalités de sens
contraire en remplaçant <p2 par <pi et T-n par — T» . Il vient donc pour
x = h,V étant maintenant la variation de F dans Ei,

Ja

ce qui montre que V est bien le même que dans le théorème précé-
dent (car A = F' presque partout).

265. Théorème VIII. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une
fonction ¥{x) soit l'intégrale indéfinie d'une fonction sommable dans (a, b), est
quelle soit absolument continue dans cet intervalle. Elle est alors l'intégrale
indéfinie de sa dérivée considérée là où elle existe.

En eftet, si F est absolument continue, F, étant à variation bornée,
a presque partout une dérivée /(;»;) et l'on a

FW = F(a)+ (y{x)dx + V,

où V est la variation de F{x) dans l'ensemble de mesure nulle où sa
dérivée n'est pas finie et déterminée (no 263). Mais, cette variation
étant nulle parce que F est absolument continue, le terme V disparaît.
Donc F est une intégrale indéfinie. Réciproquement, nous avons vu
(n» 25i) qu'une intégrale indéfinie est absolument continue.

Ce théorème entraîne les corollaires suivants :

Corollaire I. — Une fonction absolument continue dont la dérivée est
nulle presque partout dans un intervalle, se réduit à une constante.

Corollaire II. — Deux fonctions absolument continues qui ont la même
dérivée presque partout dans un intervalle, ne diffèrent que par une constante
dans cet intervalle.

Ce théorème permet d'étendre immédiatement la règle d'intégration
par parties à l'intégrale de Lebesgue.

266. Intégration par parties. — Soient f{x) et -Kv) deux fonctions ab-
solument continues dans un intervalle {a, b), on a, dans cet intervalle,

J <f{x) ^'{x) dx = ^{x) 4/ (Ar)T— [%{x) ^'{x) dx,

les dérivées 'f' et <{>' étant considérées aux seuls points oit elles existent.

En effet, si f et '|/ sont absolument continues, leur produit tp<I/ l'est
aussi (*) et, par conséquent, les deux membres de l'équation précé-

(*) En effet, si cp et t]; sont de valeurs absolues < M, la variation de <p<|/ ne
surpasse pas en valeur absolue le produit par M de la somme des varia-
tions absolues de » et de •]/.

fiSo CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUE

dente ont la même dérivée presque partout. Ils ne diffèrent donc que
par une constante et cette constante est nulle, puisque les deux mem-
bres s'annulent pour x = a.

La règle d'intégration par substitution admet une généralisation
aussi étendue que la précédente mais moins immédiate. Nous lui con-
sacrerons un paragraphe spécial, où ce résultat sera établi, pensons-
nous, pour la première fois.

§ 3. Intégration par substitution.

267. Remarques préliminaires. — Soit /(;«;) une fonction sommable
dans une intervalle (a, b). Soit ensuite x = cp(0 une fonction absolu-
ment continue de t, qui varie de x^ = f{io) à X = <f(T), sans sortir de
l'intervalle (a, b), quand t varie de ^o à T. Posons, dans ces intervalles,

F{x)=(y{x)dx, $(^) ^ F[»(/)].

Ces fonctions jouissent des propriétés suivantes :

1° La fonction ^{t) est absolument continue. En effet, si l'on considère
une infinité dénombrable de différences de t dont la somme des valeurs
absolues tend vers 0, la somme des valeurs absolues des différences
correspondantes de ;»; = <^{t) tend vers 0 (puisque f est absolument
continue), donc la somme des valeurs absolues des différences corres-
pondantes de F(©) tend aussi vers 0 (puisque ¥x est aussi absolument
continue). Il suit donc de là, d'une manière générale, qu'une fonction
absolument continue de fonction absolument continue est absolument continue.

2" La fonction <I>(^), étant absolument continue, a, presque partout,
une dérivée ^'(/). Celle-ci est sommable quand on la considère là où
elle existe et l'on a (n» 265)

^{i)=Çnt)

dt.

3o En tout point oii <ï)'(/) et f'{t) existent et où ^'{t) est fini et différent
de 0, F'(tf) existe aussi et Von a

<ï,'(^) = F'(<p)cp'(<).

Dans la démonstration, supposons, pour fixer les idées, tp'(^) positif.
Alors les différences correspondantes A/ et A(p tendent vers 0 en restant
de même signe, et A(f) passe par toutes les valeurs intermédiaires en
même temps que A/, c'est-à-dire que A<p tend arbitrairement vers 0
avec A^. Considérons le quotient

A$_ AF(cp) A^

~Kt~ Acp At*

Quand A^ tend vers 0, Aa> : A/ et A^ ; A^ ont des limites, la seconde

INTEGRATION PAR SUBSTITUTION 281

finie et différente de 0. Il s'ensuit que le troisième rapport AF : A<p
tend aussi vers une limite déterminée (finie ou infinie), donc que la
dérivée F'(cp) existe et est égale au quotient des deux autres limites
<ï>'(0 et f'{i), ce qui revient à la relation écrite plus haut.

4" Si /{x) est bornée dans [a, b), <ï>'(^) s'annule en même temps que '^'(t).

C'est ce qui résulte de l'application du théorème de la moyenne à
l'intégrale

A(i) = r f{x)dx.

5" Si f{x) est bornée, on a (voir 2°)

$(^) = (%\t) dt = fF'((p) cp'(/) dt,

k h

l'intégrale s'étendant à tous les points où f'{i) existe et à condition de rem-
placer F'(cp) par un nombre fixe, par exemple i, aux points où cette dernière
dérivée n'existerait pas.

En effet, avec cette convention, on a presque partout, en vertu du 3"
si cp'(/) n'est pas nul et du 4° si ^'{t) est nul,

$'(^) = F'(cp)T'W.

Si l'on désigne par a l'intervalle d'intégration et par AaO(/) la difté-
rence de ^ dans a, on aura donc, avec la même convention,

A„$(^)=rF'(<F)TWrf^

résultat que nous utiliserons tout à l'heure.

268. Théorème. — Soit f{t) une fonction absolument continue dans un inter-
valle (to, T). Faisons parcourir à t, entre ces limites, un ensemble Ft de me-
sure non nulle ; si le point x = uf{t) varie alors dans un ensemble E^c de
mesure nulle, la dérivée f'{t) sera nulle presque partout dans E^.

Soit/(4:) une fonction égale à i dans E;r et à 0 en dehors. Il suffit
de prouver la formule

car, puisque/(;»;) est égale à i dans E/ et à 0 ailleurs, cette formule
revient à suivante :

\fV)\dt=0,

qui entraîne le théorème énoncé. Proposons-nous donc de démontrer
cette formule.

Soit e un nombre positif arbitraire. Donnons-nous une suite illimitée
positive

Ei + e^H l-e« + - <«.

282 CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUE

Ensuite à chaque terme £« de cette suite, faisons correspondre une
fonction F,i{x), non négative et < e« , définie comme il suit :

Puisque Rx est de mesure nulle, nous pouvons l'enfermer (au sens
étroit) dans une infinité dénombrable d'intervalles n'empiétant pas et
dont la somme des longueurs est < e„. Cela fait, Fn{x) sera, par défi-
nition, la somme des longueurs des intervalles et (éventuellement) por-
tion des intervalles précédents qui sont à gauche du point ;tr. D'après
cela, Fnix) est bien une fonction non négative et < en. Elle est non
décroissante, absolument continue, à nombres dérivés compris
entre 0 et i (non exclus) et elle a/(x) == i pour dérivée dans Fx, c'est-
à-dire partout o\xf{x) n'est pas nul.

Soit P l'ensemble des points de {t^, T) où a>'(^) est > 0, N celui où
f'(/) est < 0. L'équation à démontrer revient évidemment aux deux
suivantes :

f /(?) I t'(0 I ^^= 0, [/(cp) I cp'(0 I ^/ = 0.

Comme elles se démontrent de la même façon, il suffit de prouver
la première.

A cet eftet, enfermons l'ensemble P dans une infinité dénombrable
d'intervalles a,, a,... a^,... n'empiétant pas et dont la somme Sa soit
suffisamment voisine de mV pour que l'on ait, dans l'ensemble CP
complémentaire de P par rapport aux a,

l

T'(0 \dt<z,

/CP

ce qui est possible puisque f' est sommable (n" 265). Posons

<D„(0 = F„[cp(0];

et formons la somme des différences de <ï>i dans ai, de <I>2 dans ag, etc.,
c'est-à-dire

2 Aa <ï.„(^).

Ces différences sont respectivement de valeur absolue inférieure
à £1, à H,--- à En,... (puisque leurs deux termes sont de mêmes signes
et moindres que ces limites), donc on a

2 Aa(ï>„(;)|<£i + £2 + ...<£.

Désig^nons maintenant par F'(^), non une véritable dérivée, mais
une fonction égale à Fi(<f) dans ai, à F2(<p) dans a2 et, en général, à
F„(cp) dans a^ quand ces dérivées existent, et à i dans le cas contraire.
Comme les F^, cette fonction sera comprise entre 0 et i (non exclus)
et égale à/(cp) partout oùy(tp) n'est pas nul. On aura, en utilisant la
remarque 5" du n^ 267,

INTÉGRATION PAR SUBSTITUTION 283

et l'inégalité précédente peut s'écrire

'{t) dt\ <t.

i f F'(0?'(

Mais, en réduisant le premier membre à l'intégrale suivante qui est
à éléments positifs (ou nuls)

i

F'{t)<f'{l)dt,
p

on commet une erreur de valeur absolue moindre que

f \f'{t)\dt<e,

JCP

car F'(^) ne peut surpasser l'unité. Il vient donc

I

F'(/) (p'C/) dt < 26.
■'p

Donc la mesure de l'ensemble des points de P où la fonction positive

F'{t)<f'{t)

surpasse un nombre positif w, est < e : w ; et cela est vrai a fortiori
pour la mesure (extérieure) de l'ensemble des points de P où la fonction

/(T)?W
surpasse w, car /((p) est nul ou égal à F'(/). Donc, s étant arbitraire,
ce nouvel ensemble est de mesure nulle quel que soit w, et l'on a

i

/(cp)cp'(0^/=0.

269. Règle d'intégration par substitution. — Soit f{x) une fonction
finie et sommable dans l'intervalle {a, b) ; ensuite x = cp(^) une fonction de t
absolument continue et qui varie de Xq = œ(/o) à X = f (T), sans sortir de
l'intervalle {a, b), quand t varie de t^ à T, on aura

ç^f{x)dx= r/(<p)cp'(<)rf^

^^0 J^o

l'intégrale s' étendant seulement aux points où. cp' existe, c'est-à-dire presque tous.
Posons

FW= {''f{x)dx, (D(0 = F[«>W].

Supposons d'abord /(;r) bornée dans (a, b). Alors on a, par la remar-
que 5» du n" 267,

^{t)= {'F<{^)^\t)di,

en remplaçant F'(<p) par i aux points où F' n'existerait pas. Je dis, ce
qui prouvera la proposition, que l'on peut remplacer dans cette
intégrale F'('f) par/(<ï>).

284 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

On sait, en effet, que ¥'{x) ne diffère de/{x) que dans un ensemble
Ex de mesure nulle. Soit E/ l'ensemble des points t pour lesquels
x = <f{t) appartient à Ex. Si E^ est de mesure nulle, la substitution de
/à F' ne modifie pas l'intégrale. Elle ne la modifie pas non plus si
Ei n'est pas de mesure nulle, car alors, en vertu du théorème précé-
dent, (f'{t) est nul presque partout dans E/, et la quantité à intégrer
n'est encore modifiée par cette substitution que dans un ensemble de
mesure nulle.

Considérons, en second lieu, le cas oùf{x) n'est pas bornée. D'ail-
leurs,/étant toujours la différence de deux fonctions non négatives,
nous pouvons raisonner sur une fonction /positive.

Soit/n(^) une fonction bornée auxiliaire, égale 3l/(x) si /^ m et à «
si/ > «. Pour celle-ci, on a, sans difficulté par la démonstration précé-
dente,

Je dis qu'on obtient la formule à démontrer, par un passage à la
limite, en faisant tendre n vers l'infini. En effet, l'intégrale de/» (x) tend
vers celle de/(;tr) supposé sommable, et l'intégrale de /n(«f) «p'(0 vers
celle de/(œ) <f{i), pourvu que cette fonction soit sommable (n" 25o, V)
et c'est ce qu'il est facile de vérifier.

En effet, dans l'ensemble où cp'(/) n'est pas nul, on a presque par
tout (no 267, 3»)

et, par suite, aussi

W)=/(<p)tW,

puisque F'{f) se confond avec/((p) pour presque tous les tp, donc auss-
pour presque tous les t n'annulant pas f' (Théorème précédent).

D'autre part, dans l'ensemble où <f' est nul, on a, puisque /est fini
et le second membre nul,

\ni)\>\/{'?)<f'{t)\.

En définitive, cette inégalité a lieu presque partout, puisqu'elle est
encore exacte dans le cas précédent. On en conclut que, son premier
membre étant sommable, le second l'est à fortiori.

Remarque. Sif{x) toujours sommable, n'était pas finie, mais deve-
nait infinie dans un ensemble de mesure nulle, la démonstration
précédente prouverait seulement que l'on a (/étant positif)

1 /{x) dx==( lim/„ (cp) cp'(0 dt.

La formule d'intégration par substitution subsistera donc encore, à
condition de considérer le produit /(cp) cp'(/) comme s'annulant avec
<f'(0 même aux points où /(tp) serait infini. Cette circonstance peut
évidemment se présenter dans un ensemble de mesure non nulle.

DÉRIVÉE SECONDE GÉNÉRALISÉE. SA PRIMITIVE 285

§ 4. Théorèmes sur la dérivée seconde généralisée.
Recherche de sa fonction primitive (*).

270. Dérivée seconde généralisée. — Soit F{x) une fonction conti-
nue. Posons

A2F = F{x + A) + F{x — h) — 2¥{x).

Quand h tend vers 0, le quotient A*F : h^ a une plus grande et une
plus petite limites (finies ou infinies). Nous les appellerons les dérivées
secondes généralisées supérieure et inférieure de ¥{x) au point x. Si elles sont
égales, leur valeur commune est la dérivée seconde généralisée de F(;«:) en
ce point et cette dérivée est alors unique.

L'existence d'une dérivée seconde généralisée unique n'entraîne pas
celle de la dérivée seconde au sens ordinaire. Par contre, la dérivée
seconde généralisée est unique et coïncide avec la dérivée seconde ordinaire en
tout point où, celle-ci existe. C'est là un cas particulier du théorème suivant:

Théorème. — Si F{x) admet au point x une dérivée première ¥'{x) con-
timue en ce point, les dérivées secondes généralisées supérieure et inférieure
sont intermédiaires eutre les quatre nombres dérivés du premier ordre de F'{x)
au même point.

Ecrivons, en eôet,

A2F = f ' [¥'{x + 0 — y\x — t)] dt,

.'O

A2F r* 2tdt

h^ ~" L A2

r

■¥'{x + t)—¥'{x — t)-

2t

dt.

Quand h, et t avec lui, tendent vers 0, le crochet dans la dernière
intégrale a pour limites d'indétermination des mo3''ennes entre les
nombres dérivés à droite ou à gauche de ¥\x) au point x. Le théorème
énoncé résulte donc de l'application du théorème de la moyenne à
cette intégrale.

Nous allons établir maintenant sur les dérivées secondes généralisées
quelques théorèmes fondamentaux, analogues à ceux que nous avons
exposés au chapitre I«r sur les nombres dérivés du premier ordre, et
sur lesquels nous nous appuierons pour déterminer la fonction
primitive.

271. Théorème I. — Si une fonction ¥{x) possède une dérivée seconde généra-
lisée supérieure positive (donc non nulle) en tout point intérieur à l'inter-
valle (a, b), alors, dans cet intervalle, tout arc de la courbe y = ¥{x) est
situé au-dessous de sa corde. Au contraire, il serait au-dessus, st la dérivée se-
conde inférieure était négative.

(*) Sur l'Unicité du développement trigouométrique, par Ch-J. de la Vallée Pous-
sin, Bulletin de T Académie royale de Belgique (Classe des Science), 1912.

286 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

Il suffit de démontrer la première partie de l'énoncé qui suppose la
dérivée seconde généralisée supérieure positive. Soient AMB un arc
quelconque de la courbe et AB sa corde. Supposons, par impossible,
que cet arc soit en totalité ou en partie au-dessus de AB. La courbe
étant continue, il existe au moins un point de la courbe au-dessus de
AB tel que sa distance à AB soit la plus grande possible, mais il peut
y en avoir plusieurs.

Soit M celui de ces points dont l'abcisse x est la plus grande pos-
sible ; soient M' et M" deux autres points de la courbe d'abscisses
X — h e\. X -\- h. Désignons par w un nombre positif plus petit que la
dérivée seconde généralisée supérieure au point x et prenons, ce qui
est alors possible, h positif assez petit pour satisfaire à la condition

A2F V{x-\-h) — ¥{x) ¥{x — h)-¥{x)
h h — h

Cette inégalité exprime que le coefficient angulaire de MM" est plus
grand que celui de M' M ou que l'angle M'MM" a son sommet tourné
vers le bas, c'est-à-dire vers la corde AB. Or ceci est impossible, car,
en ce cas, un au moins des deux côtés de cet angle, MM' ou MM",
serait au-dessus de la parallèle menée par M à AB et l'un des deux
points M' ou M" serait plus loin que M de AB.

272, Théorème II. — Soit ¥{x) une fonction continue dans un inter-
valle. Si l'on peut, sans sortir de cet intervalle, inscrire dans la courbe y = V{x)
une corde AB située en totalité ou en partie au-dessous (au-dessus) de l'arc
sous- tendu AMB, l'ensemble E des points où la dérivée seconde généralisée
supérieure (inférieure) de F{x) est négative (positive), ne peut être de mesure
nulle, à moins que cette dérivée généralisée ne soit infinie négative (positive) en
un point au moins à l'intérieur de l'intervalle considéré.

Supposons E de mesure nulle ou même, par impossible, inexistant ;
nous allons montrer que la dérivée seconde généralisée supérieure sera
infinie négative, au moins en un point, si l'arc AMB passe au-dessus
de sa corde.

Construisons, comme dans la remarque du n» 14, une fonction ^[x)
infinement petite, continue, non décroissante et douée d'une dérivée
première infinie positive en tout point de E (supposé existant). Alors
la fonction, infiniment petite aussi,

r

ifix) dx

possède une dérivée seconde infinie positive en tout point de E ; et d'ail-
leurs ses dérivées secondes généralisées ne sont négatives nulle part.

Donnons-nous maintenant une constante positive e infiniment petite
et construisons la courbe, infiniment voisine dejy = F(Ar),

^-2

rx x^

^ = F(;i;}-fJ '^{x)dx^t~

DÉRIVÉE SECONDE GÉNÉRALISÉE. SA PRIMITIVE 287

Si, par impossible, E était inexistant, on supprimerait cette intégrale.

Cette courbe possède un arc infiniment voisin de AMB, donc,
comme lui, en totalité ou en partie au-dessus de sa corde. Il en résulte
que la dérivée seconde généralisée supérieure de la fonction

F,{x) = F{x)+ [%{x)dx + z^

ne peut êti-e positive pour tous les points intérieurs à l'intervalle
considéré, en vertu du théorème précédent. Mais elle ne peut cesser
de l'être que dans E, et encore à condition que F ait sa dérivée seconde
généralisée infinie, ce qui prouve l'existence de E et le théorème.

On déduit de là le théorème suivant, qui fait connaître dans quelle
mesure une fonction est déterminée par une de ses dérivées secondes
généralisées.

273. Théorème III. — Deux fonctions continues, V\{x) et Yi{x), dont
les dérivées secondes généralisées supérieures sont : 1° finies dans tout l'inter-
valle {a, b) et 2° égales, sauf peut-être dans un ensemble E de mesure nulle,
ne Peuvent différer que par une fonction linéaire dans cet intervalle.

Une dérivée seconde généralisée supérieure étant une plus grande
limite, celle d'une différence vaut au moins la différence de celles
de chaque terme. Il suit de là que les deux fonctions :

¥,{x)-¥.{x), ¥.Ax)-¥,{x),

ont leurs dérivées secondes généralisées supérieures non négatives sauf
dansE, donc partout, car les points de E ne peuvent faire exception en
vertu du théorème précédent. Dans ce cas, en vertu du théorème I
(no 271), aucune des deux courbes :

_y=Fi(;»;) — F2(^), y^¥i{x) — ¥i{x),

ne peut passer au-dessus d'une de ses cordes et, comme elles sont
symétriques par rapport à l'axe des ;*;, elles doivent se confondre avec
leurs cordes. Ce. sont donc des droites et (Fi — Fo) est une fonction
linéaire.

Corollaire. (Théorème généralisé de Schwarz). — Une fonction
continue dont la dérivée seconde généralisée supérieure (inférieure) est finie
partout et nulle presque partout dans un intervalle, est une fonction linéaire.

274. Condition (K). — Pour aller au. delà des résultats précédents,
il faut assigner à F(-r) une condition nouvelle, tenant la place de celle
de continuité pour le théorème de Scheeffer (no 116). Nous l'appel-
lerons la condition (K) et cette condition se vérifiera en particulier
partout où ¥{x) aura une dérivée première unique et finie.

Nous dirons donc que la fonction continue ¥{x) satisfait à la condi-
tion (K) en un point x, si l'on peut définir deux nombres positifs infini-

288 CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUE

ment petits correspondants, h eik, rendant infinimentpetiteladifïérence

V{x + h)~¥{x) F(^ + >^) — F(;>r)
h k

Nous dirons que cette condition a lieu dans un ensemble E ou à
l'intérieur d'un intervalle, si elle a lieu en tout point appartenant à
l'ensemble ou intérieur à l'intervalle.

Remarque. — 11 peut être utile d'observer que, si l'on prend k^^h,
la différence ci-dessus est égale au produit

, A2F

Or on peut faire tendre h vers 0 de manière que A^F : h^ tende vers
n'importe quelle valeur assignée intermédiaire entre les deux dérivées
secondes généralisées de F(;»;). On en conclut que les seuls points où la
condition (K) puisse tomber en défaut sont ceux où la dérivée seconde géné-
ralisée de V{x) est unique et infinie.

275. Théo"ème IV. — Soit ¥{x) une fonction continue dans un inter-
valle {a, b). Supposons qu'il existe, dans cet intervalle, un arc de la courbe
y = Y{x) passant au-dessus (au-dessous) de sa corde. On sait (Théorème II)
quil existe, dans ce cas, un point au moins dans l'intérieur de {a, b) où la
dérivée seconde généralisée supérieure de ¥{x) est négative (positive). Soit E
l'ensemble de tous les points semblables dans l'intérieur de {a, b). Si F{x)
satisfait à la condition (K) datis E, cet ensemble E a, dans tous les cas, la
puissance du continu et contient un ensemble parfait, car :

10 Si E n'est pas de mesure uulle, il contient un ensemble parfait de me-
sure non nulle (*).

2° Si E est de mesure nulle, la portion de E où ¥{x) a une dérivée se-
conde généralisée unique et infinie négative (positive), a déjà la puissance du
continu et contient un ensemble parfait.

11 suffit de prouver le 2° et d'en faire la démonstration dans l'hypo-
thèse où l'arc passe au-dessus de la corde.

A cet effet, revenons à la courbe, infiniment voisine àey = F{x), déjà
considérée dans la démonstration du théorème II,

y = V{x) + j cf(;t) dX']-t^^

Ja

(*) C'est là une proposition générale sur les ensembles, facile à vérifier.
Soit l'ensemble E contenu dans {a, b) et de mesure 2£. Enfermons son com-
plémentaire par rapport à (a, b) dans des intervalles a de manière que Sa
soit < {b — a) — e ; l'ensemble des points de {a, b) non intérieurs aux a est
parfait, de mesure e et contenu dans E.

DÉRIVÉE SECONDE GÉNÉRALISÉE. S'A PRIMITIVE 289

et pour laquelle il existe aussi un arc AMB situé au-dessus de sa
corde AB. Posons

J a 2

La fonction Fi a sa dérivée seconde généralisée supérieure positive
et > e en tout point où celle de Y{x) n'est pas infinie négative. Donc
celle-ci doit être infinie négative en tout point où l'on a A^Fi <;; 0 pour
h infiniment petit, et nous allons d'abord montrer que l'ensemble Ei
de ces points a la puissance du continu.

Soit, au-dessus de AB, M le point de l'arc AMB dont la distance à
AB est la plus grande possible et qui a la plus grande abscisse. Nous
aurons en ce point, pour h infiniment petit,

A2Fi^0,

de sorte que M est un point de Ei (donc de E) et la condition (K) y
est vérifiée pour F (et, par conséquent, aussi pour Fi). Menons à AB
par le point M la parallèle MT ; ce sera la tangente à la courbe AMB
au point M, en convenant d'appeler ici (par extension) tangente une
droite qui passe par M sans traverser la courbe ; et il ne peut pas y en
avoir deux, car elles enfermeraient la courbe dans un angle, ce qui
est contraire à la condition (K). Cette tangente sera d'ailleurs tout
entière au-dessus de l'arc AMB.

Soit maintenant AB' une seconde corde, obtenue en faisant tourner
la première dans le sens direct autour du point A, d'ailleurs sufiisam'
ment voisine de la première pour qu'il reste encore des points de l'arc
au-dessus de AB'. Soit M' celui de ces points qui est à la distance la
plus grande de AB' et qui a la plus grande abscisse ; au point M' la
tangente sera parallèle à AB' et l'on aura, pour h infiniment petit,
A^Fi^o.

A chaque corde AB" intermédiaire entre AB et AB', correspond
ainsi un point M" diftérent (la tangente y étant difiérente) où A^Fi ^ 0.
Donc l'ensemble Ei des points où cette condition a lieu, a, comme
nous l'avons annoncé, la puissance du continu.

Nous allons montrer maintenant qu'il contient un ensemble parfait.

Commençons par une remarque préalable. Le point M' que nous
avons construit est à gauche du point M, car M, étant plus éloigné de
AI3 que les points de la courbe situés à sa droite, est aussi plus éloigné
qu'eux de la droite AB'. Cette remarque s'applique pour deux cordes
quelconques. Soit donc 0 l'inclinaison d'une corde variable AB", le
point M" correspondant se déplace toujours vers la gauche quand 6
augmente.

Il suit de là que le point M" tend vers une position limite [jl quand 0
tend vers 0„ et que la tangente M "T tend, en même temps, vers une posi-
tion limite (xT d'inclinaison O^. D'ailleurs, la tangente variable M"T

19

200 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

étant au-dessus de l'arc AMB, sa limite [xT l'est aussi et la condition
A2Fi <0 subsiste au point [x. Cette condition est donc réalisée dans
l'ensemble décrit par le point M" et aux points-limites de cet ensemble,
donc dans un ensemble fermé qui, ayant la puissance du continu,
contient un ensemble parfait (no 6i).

Corollaire, — Soit ¥{x) une fonction continue dans l'intervalle {a, b), à
Vintérieur duquel elle vérifie en outre la condition (K) ,• si l'ensemble E des
points où, une dérivée seconde généralisée de V{x) est d'un même signe, est de
mesure nulle, la portion de E oii la dérivée seconde généralisée de ¥{x) est
unique et itifinie, a la puissance du continu et contient un ensemble parfait.

Soit E l'ensemble des points oii la dérivée considérée a le même
signe qu'au point x, par exemple le signe négatif ; A^F sera négatif
pour un système de trois points x — h, x Qi x -\- h suffisamment rap-
prochés. Soient M', M et M" les points correspondants de la courbe :
le point M sera au-dessus de la corde M'M", ce qui ramène au théo-
rème précédent.

276. Théorème V. (Construction de la primitive). — Soit Vix) une
fonction continue dans un intervalle {a, b). S'il existe une fonction f{x) inter-
médiaire entre les deux dérivées secondes généralisées de F{x) ou égale à l'un^
des deux, laquelle fonction f{x) soit finie et sommable dans l'intervalle [a, b),
on aura, dans cet intervalle,

F(x) ^\ dx \ f{x) dx + fonction linéaire de x.
En effet, construisons, relativement à l'intégrale

{"'f{x)dx,

Ja

les deux fonctions, majorante ^\{x), et minorante f 2(^)> du théorème
du no 255. Formons alors les deux fonctions nouvelles :
Çx Çx

F(^') — ?2(^) àx, Yix) — ^y{x) dx,

Ja Ja

lesquelles sont infiniment voisines l'une de l'autre et comprennent
entre elles la fonction

Y{x)-{yx{y{x)dx,

qui est inférieure à la première et supérieure à la seconde. Ces trois
fonctions s'annulent pour x^^ a.

Construisons, entre les points d'abscisses a et è, les arcs AMiBi,
AMB, AM2B2 des trois courbes infiniment voisines :

rx
yx = F{x) — «P2(^) dx,

y = F{x)- rdxrf{x)dx,

Ja Ja

roc
y%^F{x)— ^i{x)dx.

DERIVEE SECONDE GENERALISEE. SA PRIMITIVE 29I

Nous avonsj'i > y > y2, et les trois cordes ABi, AB, AB2 sont infini-
ment voisines, mais AB est au-dessous de ABi et au-dessus de ABo.

Rappelons no (255) que les nombres dérivés des fonctions continues
'fi{x) et fiix) sont respectivement tous > f{x) ou tous <f{x) ; il en ré-
sulte, en vertu du théorème du n" 270, que la dérivée seconde généra-
lisée supérieure de_yi sera plus grande que celle de F(;»;) diminuée de
f{x) et, par conséquent, positive. De même, la dérivée seconde généra-
lisée inférieure àeyz sera négative.

Appliquons donc le théorème I ; l'arc AMiBi est au-dessous de
sa corde et l'arc AM2B2 est au-dessus de la sienne. Donc l'arc inter-
médiaire AMB est a fortiori comTpns entre les deux cordes ABi et AB^.

Ainsi l'arc AMB, qui est invariable et compris entre deux droites
infiniment voisines de la droite AB, ne peut différer de cette dernière
droite. Soitjv =px -\- g l'équation de cette droite ; nous avons donc

rx çx
Y{x) — ^ dx \ f{x) dx = px -\- g,

ce qui prouve le théorème.

277. Théorème VI. — Si la fonction /(x) du théorème précédent n'est
Pas finie partout, mais devient infinie dans un ensemble E, la conclusion de
ce théorème V subsiste, pourvu gue ¥{x) satisfasse à la condition (K) dans l'in-
térieur de l'intervalle [a, b), et gue l'ensemble E n'ait pas la puissance du
continu, ou encore ne contienne pas d'ensemble parfait (donc, en particulier,
si E est dénombrable).

En effet, nos conclusions de la démonstration précédente touchant
les signes dejvi et deyz ne pourraient tomber en défaut que dans
l'ensemble E. Mais, en vertu du théorème IV, cela ne peut modifier
la situation relative des arcs et des cordes considérés dans la démons-
tration. Donc les conclusions subsistent.

278. Remarque. — Si les hypothèses de l'un des deux théorèmes
précédents ont lieu, il en résulte que F(;ir) aura partout une dérivée
première continue et presque partout une dérivée seconde, à savoir
respectivement

F'(^)

rf{x)dx + p, ¥"ix)^/{x).

CHAPITRE VIII.

Formules fondamentales de la théorie des courbes planes.

§ 1 . Tangente et normale aux courbes planes.

279. Représentation analytique d'une courbe plane. — En premier
lieu, une courbe plane peut être considérée comme le lieu des
points du plan dont les coordonnées cartésiennes x et y sont
liées par une équation

(1) F(.v, y)^^0.

Nous appellerons point ordinaire de la courbe, tout point où
les deux dérivées partielles F!^ et F^ sont continues et ne s'an-
nulent pas simultanément. Les autres points de la courbe sont
des points sing-uliers ; nous les supposerons, s'il en existe,
isolés les uns des autres.

Dans le voisinage d'un point ordinaire où F|^ n'est pas nul,
l'équation (1) définit une fonction implicite y de x (n° 169) ; on
peut donc résoudre l'équation (1) par rapport à y et la ramener,
au moins implicitement, à la forme

(2) y = f{x),

la fonction f{x) ayant, suivant les principes de dérivation des
fonctions imj)licites, une dérivée continue — F^ : F^

Si F' s'annulait en un point ordinaire, F^ ne s'annulerait x^as ;
la résolution de l'équation pourrait se faire par rapport à x
considérée comme fonction de y et l'on aurait une conclusion
analogue à la précédente.

Nous mettrons le plus souvent l'équation de la courbe sous la
forme (2). Nous supposerons alors l'existence ou la continuité
des dérivées de f{x) jusqu'à un certain ordre qui sera indiqué
dans chaque cas particulier. Nos formules s'étendront aux
équations de la forme (1), en vertu des règles de dérivation des

TANGENTE ET NORMALE 298

fonctions implicites, à condition de nous borner aux points or-
dinaires de la courbe et de supposer l'existence ou la continuité
des dérivées partielles de F jusqu'à l'ordre requis pour les déri-
vées de f.

En second lieu, on peut considérer une courbe plane comme
le lieu des positions successives d'un point mobile. On est alors
conduit à exprimer les coordonnées x et y de ce point en fonc-
tions continues d'un paramètre variable t. La courbe est alors
définie par deux équations

(3) X = <p(0, y = Wl

et l'on dit que ces formules fournissent une représentation para-
métrique de la courbe. Quand nous ferons usage de cette repré-
sentation, nous supposerons que les fonctions ;p et (}^ sont conti-
nues ainsi que toutes leurs dérivées jusqu'à un certain ordre.

Nous appellerons points ordinaires de la courbe, ceux où l'une
au moins des deux dérivées cp'(f) ou <\i'(t) est différente de 0.

En supposant que t devienne égal à x, on reviendra, comme
cas particulier, du mode de représentation (3) au mode de repré-
sentation (2).

Une courbe étant donnée sous la forme (3), il suffit d'éliminer
t pour mettre son équation sous la forme (1). L'élimination
pourra toujours se faire si l'une des deux équations est réso-
luble par rapport à t, car il suffira, cette résolution faite, de
porter la valeur de t dans l'autre équation. C'est ce qui a tou-
jours lieu en un point ordinaire.

280. Tangente en coordonnées cartésiennes. — Considérons d'abord
une courbe plane, rapportée à des axes rectangulaires ou obli-
ques, et dont l'équation soit de la forme

y = f{x),
la fonction f{x) ayant une dérivée déterminée et finie.

La tangente en un point M de la courbe est, comme on le sait
déjà (n° 92), la limite d'une sécante qui passe par M et un autre
point M' de la courbe qui se rapproche indéfiniment du premier.
Soient x, y les coordonnées de M, .v 4- ^x et j 4- ^y celles de
M' ; l'équation de la sécante sera, en coordonnées courantes 5, r[.

294 CHAPITRE VIIT. COURBES PLANES

Faisons tendre le point M' vers M ; ^x et Ay tendent vers 0
et leur quotient vers la dérivée, y', de y par rapport à x. L'équa-
tion de la tangente au point M sera donc

(5) y\-y-y'{k-x).

On met l'équation de la tangente sous forme symétrique en
remplaçant y par dy : dx dans l'équation (5) ; elle devient ainsi

dx dy '

Cette nouvelle forme est indépendante du mode de représen-
tation de la courbe.

Supposons, en second lieu, que l'équation de la courbe soit
de la forme plus générale

F(.x, y) = 0.

Si M est un point ordinaire, une des deux dérivées F'^ ou F^^
par exemple F' est différente de zéro. On peut, en vertu de
l'équation précédente, considérer y comme fonction de x, et
l'on trouve, en dérivant totalement l'équation,

F' 4- r'F' =0.

Remplaçant y' par sa valeur — F!^ : F' , l'équation (5) devient

(7) (^-x)¥'^ + {r,-y)Fl=0.

Cette forme de l'équation de la tangente est également symé-
trique en X et en y. Elle donne lieu au théorème suivant :

En tout point ordinaire d'une courbe V{x, y) — 0, existe une
tangente unique et bien déterminée. Son équation s'obtient en
différentiant totalement celle de la courbe et en remplaçant dx
par l — X et dy par 7\ — y.

On remarquera que l'équation (7) devient illusoire en un
point singulier, car F^ et F' s'annulent à la fois et l'équation
devient identique.

Considérons maintenant une représentation paramétrique

oc = fit), y^Ht)>
et cherchons la tangente en un point ordinaire M de cette courbe.
L'équation de la sécante MM' est

k — x^ Tj — y
ùkX ày

TANGENTE ET NORMALE ûqS

Divisons les dénominateurs par l'accroissement ù^t qu'il faut
donner au paramètre pour passer de M à M' ; faisons tendre àt
vers 0, donc M' vers M, et passons à la limite. Les quotients
Ax : Af et Ay : A^ tendent vers les dérivées supposées existantes,
x' et y', de x et de y par rapport à t. L'équation de la tangente
sera donc, puisque ^c' et y' ne sont pas nuls tous deux,

W "^^^~y~'

281. Normale en coordonnées rectangulaires. — La normale en
un point M de la courbe est la perpendiculaire à la tangente en
ce point. Supposons les axes rectangulaires. Alors les coeffi-
cients angulaires de la tangente et de la normale sont inverses
et de signes contraires. On peut donner à l'équation de la nor-
male diverses formes correspondant à celles de la tangente.

La première correspond à l'équation (6) et est indépendante
du mode de représentation de la courbe, c'est

(9) (i - x) dx + (yi - y) dy = 0.

Si l'on considère y comme une fonction de .v ayant pour dé-
rivée y', l'équation de la normale, sous la forme qui correspond
à (5), sera

(10) r,-y

v

Si la courbe a pour équation F(*'^'' Y) = 0, celle de la normale
en un point ordinaire x, y sera

(11) L- ?= !iz;y.

-fa? i V

Enfin, si a* et y sont considérés comme fonctions de t, l'équa-
tion de la normale, sous la forme qui correspond à (8), sera

(12) {l-x)x'-v{n-y)y = o.

282. Calcul de quelques segments remarquables. — Certains seg-
ments, définis au moyen de la tangente et de la normale, se
rencontrent naturellement dans l'étude des courbes planes ;
nous les calculerons d'abord dans l'hypothèse d'une rcf)rcsenla-
tioji paramétrique, c'est-à-dire en considérant vY et y comme
fonctions de i.

296 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

La sous-tangente Sf est le segment PT de l'axe des x (fig. 4),
y compté avec un signe déterminé du

pied de l'ordonnée du point M jus-
qu'au point où la tangente coupe
l'axe des x. Les sens positifs et
négatifs sont les mêmes que pour
^ P T X les abscisses. La sous-tangente

Fig. 4- s'obtient donc en faisant yi = 0 dans

l'équation (8) de la tangente et en tirant de là la valeur de i — x.
Il vient ainsi (en coordonnées rectangulaires ou obliques)

(13) S, =

yx

r

La sous-normale S„ se définit par rapjjort à la normale comme
Si par rapport à la tangente. C'est le segment PN dans la figure.
Sa valeur s'obtient en posant 7^ = 0 dans l'équation (12) et en
tirant de là la valeur de i — ^.11 vient (en coordonnées rectan-
gulaires) :

(14) ®»=^-

Les longueurs T et 1^ de la tangente et de la normale sont les
longueurs absolues MT et MN, comprises sur ces droites entre
la courbe et l'axe des ^c. On a donc (en coordonnées rectangu-
laires) :

( T = Vs! + r'-= ± Z- V^'' + r'%

(15) ^

[ N = VS^ -f y^^ ± |r V^'^ -l- y"-

La distance P de l'origine à la tangente se tire de l'équation
de cette droite par un principe bien connu de géométrie analy-
tique. On conclut de l'équation (8) (en coordonnées rectangu-
laires ) :

(16) P = ± "ÙC^riJ^

Si, au lieu de considérer x et y comme fonctions de t, on
considère y comme fonction de x, il faut faire ^c' = i dans les
formules précédentes. On trouve les expressions plus simples :

( S. = - ^, S„ = yy\ T == dz ^^T+V',

(17) ^ ^ ,

^ Vi + y

TANGENTE ET NORMALE 207

283. Applications (coordonnées rectangulaires). — I. Parabole :
y2 = 2/35C. Considérant y comme fonction de x, on a yy' = p.
On trouve donc

Tangente : -r^y = p(ç + x) ;
Normale : {^ — x) y -{- {■f\ — y) p ^ 0.

Les formules (17) donnent ensuite :

s, =-^ = 2.Y, ^„ = p, T = '-\'p'+y\ N = Vp'+r'-

Donc, dans la parabole, la sous-normale est constante.

x^ y2
II. Ellipse : -^ + ^^1. On trouve :

Tangente :|| + |^- = i;

Normale : ^— ^ =3^ — 5^ ^ c^.
X y

On se sert aussi de la représentation paramétrique :

X =^ a cos t, y = b sin t.

On trouve, par les formules (13), (14), (15) et (16) :

b'

S( - a sin t tg t, S» = cos t, T = tg f \/a^ sinH -\- b'^co^H,

a

a ' \Ja^ sinH+b^cosH

d'où PN = b'.

x^ v^

III. Hyperbole :— t — t:^ = i- On trouve :

a^ o^

Tangente : ^-j[ ^ i|;

Normale : ^+ -^ = a^ + 6^ = c^.
X y

IV. Logarithmique : y =^ ae^^^. La sous-tangente est constante.
On trouve, en effet, par la première des formules (17),

s, =--!-.

m

V. Cycloide. — La cycloïde (fig. 5) est décrite par un point
M de la circonférence d'un cercle de rayon a qui roule sans
glisser sur une droite fixe OX. Prenons cette droite pour axe

(18)

298 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

des .V, pour axe des y la perpejtidiculaire menée par le point

Y décrivant au moment où

-° il se trouve sur OX. Con-

sidérons une autre posi-
tion du cercle générateur.
Soit OA la quantité dont
"p X Iti point de contact s'est

Fig. 5. déplacé sur l'axe des ^c.

D'après la définition du roulement, il s'est déplacé de la même
quantité sur le cercle. Donc l'arc AM entre le point de contact
et le point décrivant est égal à AO. Cela posé, soit t l'angle
variable des rayons CA et CM. Exprimons x et y en l'onction
de t. Nous avons OA -= AM = at ; d'où

X == OA — MQ -= a(f — sin t),
3. = AC — QC = a(i — cos t).

Ces équations fournissent une représentation paramétrique
de la cycloïde. Elles montrent que la cycloïde se compose d'une
suite illimitée d'arcades égales, situées au-dessus de OX, aj^ant
respectivement pour hauteur le diamètre 2a, et pour base la
circonférence 237: du cercle générateur.

Nous avons, dans le cas actuel,

x' = a (i — cos t) = y, y' = a sin t,
et la valeur de la sous-normale s'en déduit :

Sn = ^^ = y' = a sin t.

X

Donc S„ est égale à la projection du rayon MC sur l'axe des
X et, par conséquent, la normale passe par le point de contact
du cercle générateur avec cet axe.

284. Podaire d'une courbe plane. — On appelle podaire d'une
courbe par rapport à un point O le lieu géométrique du pied de
la perpendiculaire abaissée de ce point sur la tangente.

Supposons que la courbe ait pour équation F{x, y) = 0. Pour
trouver celle de la podaire par rapport à l'origine, il faut
éliminer x et y entre l'équation de la courbe et les deux
suivantes :

(E - x) f; + (.^ - y) f; = 0, ^F', - tif; =. o,

TANGENTE ET NORMALE 299

qui sont celles de la tangente et de la perpendiculaire abaissée
de l'origine sur la tangente. La relation qui en résulte entre Ç
et 71 est l'équation de la podaire.

Exemple. Les courbes de Lamé ou courbes triangulaires symétriques ont
pour équation

^aj ^\J>,

Les équations de la tangente et de la perpendiculaire issue de l'ori-
gine sont :

On tire de la seconde, par les propriétés des fractions égales,

m m m—i

iar+Kir°lar+(i)"J

L'élimination de x et y est donc immédiate. La podaire par rapport
à l'origine a pour équation

m m m

L'ellipse et l'hyperbole en particulier, qui ont pour équations :
x^ y^ x^ y^

auront pour podaires par rapport au centre :

(f2 + Ti2)2 = (a$)2 + {bri)\ ($2 + ri2)2 = (a^^2 - [b-ny^,

car on passe de l'ellipse à l'hyperbole par le changement de b en bi.
Si l'hyperbole est équilatère, a = b ; sa podaire devient

($2 + Ti2)2 =- a2 ($2 — Tj2).

C'est une lemniscate de Bernoulli, dont l'équation en coordonnées
polaires est r- = a^ cos 26.

285. Coordonnées polaires. — Soient r et 8 le rayon vecteur et
l'argument d'un point du plan ; une courbe plane peut aussi
être définie par une relation,

F(r, 9) ^ 0,
entre les coordonnées d'un quelconque de ses points. Nous sup-
poserons généralement que cette équation peut être résolue par
rapport à r. L'équation de la courbe prend alors la forme

300 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

Nous supposerons /"(G) dérivable et nous désignerons sa déri-
vée par r'.

Soient r et G les coordonnées d'un point particulier M de la

courbe (fig. 6). Menons la tangente en
ce point. Abaissons du pôle la perpen-
diculaire OP sur la tangente. Soient p
la longueur de cette droite et a l'angle
qu'elle fait avec l'axe OX. L'équation
de la tangente, en coordonnées cou-
rantes p, T, sera

p cos (t — a) == p.

Tl s'agit de déterminer a et p. La tangente passant par les
points (r, 9) et (r -f dr, 9 + d9), on a les deux équations :

r cos (9 — a) == p, d. r cos (9 — a) = 0.

On tire de la seconde, divisée par c?9 ;

tg(9-a) = -^;
d'où

cos(T-a)_cos[(T-9)4-(9-a)] r' . , ,.

ir^^9-lô ^o^l^-V) cos(T-9)--sm(T-9).

L'équation de la tangente au point (r, 9) devient donc, par
l'élimination de a et p,

(19) - = cos (t — 9) — — sin (x — 9).

Soit (a l'angle du rayon vecteur OM avec la tangente menée
dans le sens où 9 va en croissant. Cet angle est le complémen-
taire de (9 — a). Comme il est compris entre 0 et 7t, il est com-
plètement déterminé par la formule

(20) tg|x = ^.

La sous-tangente S^ et la sous-normale S]^ en coordonnées
polaires sont les valeurs algébriques des segments OT et ON
(fig. 6) compris, sur la normale au rayon vecteur, entre le pôle
et la tangente ou la normale. On a

(21) ^t--Ç, S^,^r'.

TANGENTE ET NORMALE 3oi

Les segments ainsi calculés auront le signe de tg[x. On voit
facilement qu'ils seront positifs ou négatifs, suivant qu'il faut
faire tourner le rayon OM d'un angle droit dans le sens positif
ou dans le sens négatif pour l'amener dans la direction de ON.

La tangente T' et la normale N' en coordonnées polaires sont
les portions MT et MN de la tangente et de la normale comprises
entre le point M et la perpendiculaire NOT menée par l'origine
au raj^on vecteur. Leurs expressions, qui doivent être prises
positivement, sont

r

(22) T' = — = -VV^' + ^^ N' = -v— =V^'+^".
^ ' cos [f. r sm [Ji ^

La perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente a pour
longueur p et pour inclinaison a ; on a

p -^ r cos (0 — a)
(23)

r-

\Jr^ -fr'*'

r
z = 6 — arc te — .
^ r

En éliminant 8 entre les deux équations p == p et t = a, où les
seconds membres seront exprimés en fonctions de 9, on obtien-
dra, entre p et t, l'équation de la podaire de la courbe par rapport
au pôle.

Applications. — I. Spirale d' Archimède : r =^ a^. On a

n ' t

Donc, dans la spirale d'Archimède, la sous-normale polaire est con-
stante et la sous-tangente au point {r, 6) a même longueur qu'un arc
de cercle de rayon r et d'ouverture 8. En particulier, la sous-tangente
au premier point où la spirale recoupe l'axe polaire a même longueur
que la circonférence décrite avec le rayon vecteur de ce point
(Archimède).

II. Spirale logarithmique : r = ae"*^- On a

r' = mr, tg fx = ^, S] = -^^ , S'^^mr^

p = - a = 0 — ;x.

Vi + m''

Donc : i" La spirale logarithmique coupe le rayon vecteur sous un
angle constant u. ; 2" les points T et N (fig. 6) décrivent des spirales

302 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

semblables à la proposée ; 3° la podaiie a pour équation

V'i + m"_
et c'est aussi une spirale semblable à la proposée.

Exercices.

1. Tangente, normale et segments correspondants pour l'hyperbole
rapportée à ses asymptotes : xy == a^.

2. Dans un cercle de rayon a, on mène un diamètre 00' et la tan-
gente à l'une des extrémités O'. Par l'autre extrémité O, on mène une
sécante quelconque coupant le cercle en P et la tangente en Q. On
retranche de OQ un segment QM égal à OP. Le lieu du point M est
une cissotde de Diodes. Trouver son équation, latangente, la normale, etc.

R. On prend O comme pôle, OO' comme axe polaire. L'équation
est, en coordonnées polaires,

r == 2a (sec 6 — cos 6) :
et, en coordonnées cartésiennes,

^2 _.^3 . (2fl — x).

3. Un cercle de rayon a roule sur une droite OX ; un point fixé à ce
cercle décrit une cycloïde allongée s'il est intérieur au cercle, une cycloïde
raccourcie s'il est extérieur. Trouver les équations de ces courbes, la
tangente, la normale, etc.

R. Conservons les notations du n» 283 (V). Soit, en plus, h la dis-
tance du point décrivant au centre du cercle. On a

X ^^ at — h sin /. y = a — h cos t.

La normale à la courbe passe encore par le point de contact du
cercle et de la droite.

4. Un cercle de rayon b roule extérieurement sur un cercle de rayon
a. On considère trois points. M, M' et M", fixés au cercle mobile, le
premier sur la circonférence, le second dans l'intérieur, le troisième à
l'extérieur du cercle. Le point M décrit une épicycloïde, le point M' une
épicycloïde allongée, le point M" une épicycloïde raccourcie. Trouver les
équations de ces courbes, la tangente, la normale, etc.

R. Prenons pour origine le centre du cercle fixe, pour axe des x le
diamètre passant par le point décrivant au moment où il est le plus
près du centre fixe. Soient h la distance du point décrivant au centre
mobile et t l'angle dont a tourné le rayon vecteur mené du centre fixe
au point de contact. On aura

x = {a-{- b) cos i — h cos f - -r — t j,
y ^ {a -\-b) smt — h sin f — r — t j-
La normale passe par le point de contact des deux cercles.

LONGUEUR d'un ARC. INCLINAISON DE LA TANGENTE 3o3

5. Même problème, le roulement se faisant intérieurement. Les
courbes sont alors des hypocycloïdes.

R. Leurs équations s'obtiennent en changeant dans les précédentes
^ en — h eib en — b. On a

l X = {a — b) cos i + h cos ' — 7 — t j,
I y — {<* — ^) sin t — h sin f — - — t )•

6. La cardioïde (courbe en forme de cœur) est l'épicycloïde engendrée
par le roulement de deux cercles de même rayon a. Si l'on prend pour
pôle le point décrivant au moment où il coïncide avec le point de con-
tact, l'équation de la courbe est, en coordonnées polaires,

r = 2a{i — cos 6).

Déterminer les éléments de cette courbe et sa podaire.
R. On trouve

|j. = a = — , b'=ytg— , b'=2asmO,

2 f 2 "

6 .6 e

T' == r : cos — , N' = y : sin — , P = rs\n.—.

2 22

La podaire a pour équation

p = 4a sin^ T.

7. Podaire d'une circonférence de rayon a par rapport à un point
de la courbe.

R. La courbe est une cardioïde (Exercice précédent).

8. Podaires de la parabole par rapport : 1° au foyer ; 2° au sommet.
R. La première est la tangente au sommet ; la seconde une cissoïde

(Exercice 2).

§ 2" Longueur d'un arc de courbe plane.
Inclinaison de la tangente.

286. Longueur d'un arc de courbe plane. — Considérons une
courbe

y = f(x),

rapportée à des axes rectangulaires. La longueur s d'un arc
compris entre les points dont les coordonnées sont x =^ a,
y = f{a) et X = b. y = f{b), est, par définition, la limite du
périmètre d'un polygone inscrit, dont les sommets se suivent
dans un sens déterminé, lorsque le nombre des côtés augmente
indéfiniment et que chacun des côtés tend vers zéro.

3o4 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

Xous allons montrer, en admettant que f{x) a une dérivée
continue f'{x), que cette limite est déterminée et s'exprime par
une intégrale définie.

Prenons, à cet effet, sur l'arc considéré, n -\- i points (y com-
pris ses extrémités) et désignons les coordonnées de l'un quel-
conque d'entre eux par Xt et yi, de sorte que, les abscisses étant
numérotées par ordre de grandeur, Xi et y^ seront les coordon-
nées a et /"(a) de l'origine, Xn+i et yn+i les coordonnées b et f{b)
de l'extrémité.

Inscrivons le polygone qui a ces (n + i) points pour sommets.
Le côté Ci qui joint (xt, yt) à (oCe-|-i, yi+i) a pour mesure

Ci = \J{Xi+i — XiY -\- {yi+i — yi)K

Mais la formule des accroissements finis donne, li étant inter-
médiaire entre a.', et Xi^i ,

Xi+i — Xi - f\U) {Xi+, — Xi).
11 vient donc

a -:={Xi+,-Xi)\/i+f'{^iY.

Lorsque les côtés du polygone tendent vers zéro, les diffé-
rences Xi+i — Xi tendent aussi vers zéro. 11 vient

n n

S -=- limS Q = lim E (a^ï+i — Xi)\/i -\- f\ki)'.

C'ette limite est, par définition (n^' 220), une intégrale définie ;
nous avons donc, en définitive.

s -^ {^dxsji -f f'{xf.

Ja

L'opération qui consiste à calculer la longueur d'un arc s'ap-
pelle rectification. Nous reviendrons sur ce problème au cha-
pitre X et nous en donnerons des exemples.

287. Dérivée et difiFérentielle d'un arc de courbe. — Considérons
maintenant, sur la courbe

y - A-v),

un arc variable s, compté depuis une origine fixe x = a, y = f{a)
jusqu'à une extréjnité mobile x, y. Cet arc sera mesuré par
l'intégrale

(1) rdxsjYTTlxY- rvîTr^

Ja Ja

LONGUEUR d'un ARC. INCLINAISON DE LA TANGENTE 3o5

Nous avons établi cette formule en regardants comme essen-
tiellement positif, nous avons implicitement supposé 3C > a et
le radical pris positivement. Mais, pour la généralité de la for-
mule, il convient de considérer s comme susceptible d'un dou-
ble signe, suivant le sens dans lequel on compte cet arc.

Nous conviendrons de prendre le radical positivement dans
la formule (1), de sorte que s sera positif pour x > a et négatif
pour X < a. Cela revient à regarder l'arc comme positif dans le
sens où X croît et comme négatif dans le sens contraire. Si l'on
prenait le radical négativement, la conclusion serait inverse.

Dérivons la formule (1), il vient

(2) s' = ^ = Vi +r'S ds^^dxsji-hy";
et, en remarquant que dy = y'dx,

(3) ds = s/dx^ + dyK

Considérons une représentation paramétrique de la courbe,
X = (f>{t), y = <\i{t) ; soient ^c' et y' les dérivées de ;x; et de j par
rapport à t ; d'où dx == x'dt, dy = y'dt ; il vient

(4) ds = dt\/x" +y'K

Nous conviendrons de prendre ce radical positivement, c'est-à-
dire de considérer s comme croissant dans le même sens que t.
Enfin on passe facilement des coordonnées rectangulaires
aux coordonnées polaires par les relations x^ r cos 9, y = r sin 0,
d'où

dx = dr cos 9 — r sin 9 d9, dy =■ dr sin 9 -1- r cos 9 d9.
On trouve ainsi, r' désignant la dérivée dr : d9.

(5) ds = V^^* + r^d^^ = dh \Jr^ + r'«.

(6) ^ = y7M^rpr.

Nous conviendrons de prendre ce dernier radical positive-
ment, c'est-à-dire de considérer s comme croissant dans le même
sens que 9.

288. Théorème. — Le rapport d'un arc infiniment petit à sa
corde a pour limite l'unité

En effet, soient As la longueur de l'arc, ^x et Ay les diffé-
rences des coordonnées des extrémités. La corde c a pour nie-

20

3o6 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

sure V^^^ + ^y^' Ces quantités tendant vers zéro, on a donc

A«

,. As -. Ajc s'

lim — == hm = _^____ ^ j^

289. Inclinaison de tangente. — Soit (p l'angle de la tangente à
la courbe y = f{x) avec l'axe de x. Les axes étant rectangu-
laires, le coefficient angulaire de la tangente est égal à tg (p. Il
vient donc

On en déduit (la tangente étant menée dans le sens où x et s
croissent simultanément)

I

^'^^f'^7Î7=f=^=fr = ~^T, sin^-

y _y

Vi -h r" * ' VI + r" ^

Remplaçons y' et s' par rfy : dx et ds : dx ; nous tirons des
relations précédentes les formules très employées

(8) dx = ds cos (f, dy = ds sin (p.

Ces deux dernières formules supposent seulement la tangente
menée dans la direction où s va en croissant.

§ 3. Sens de la concavité (*).
Points d'inflexion des courbes planes.

290. Sens de la concavité. — Soient y = f(x) l'équation d'une
courbe en axes rectangulaires ou obliques, et M un point de la

courbe où la tangente MT n'est
pas parallèle à l'axe des y
(fig. 7). Si la courbe ne tra-
verse pas sa tangente au point
M, elle sera, au deçà et au delà
du point M, située du même
Fig. 7. côté de la tangente MT (au

moins dans le voisinage du point M). On dit que la courbe
tourne, au point M, sa concavité du côté des y positifs ou du

(*) Les théorèmes du § 4 du chapitre VIII fournisseut une généralisation
des résultats ici obtenus.

SENS DE LA CONCAVITÉ. POINTS d'iNFLEXION 807

côté des y négatifs, suivant que la courbe se trouve par rapport
à la tangente du côté des y positifs ou du côté des / négatifs.

Supposons les dérivées des deux premiers ordres, f'{x) et f'\x),
déterminées et continues dans le voisinage du point M ; nous
aurons le théorème suivant :

La courbe y = f{x) tourne sa concavité du côté des y positifs
ou du côté des y^ négatifs, suivant que la dérivée seconde, f"{x),
est positive ou négative au point considéré.

En effet, l'un ou l'autre de ces deux cas se présente suivant
que l'ordonnée de la courbe est plus grande que l'ordonnée de
la tangente ou plus petite que cette ordonnée dans le voisinage
du point M (aussi bien au deçà qu'au delà de ce point). Donnons
à .V un accroissement positif ou négatif Ax = dx. L'accroisse-
ment de l'ordonnée de la courbe sera Ay, l'accroissement cor-
respondant de l'ordonnée de la tangente sera dy (n*' 94)- 1^^ sens
de la concavité dépend donc du signe de la différence

^y — dy;

elle sera du côté des y positifs si cette différence est ])ositive,
du côté des y négatifs si cette différence est négative (le signe
de dx devant rester arbitraire). Mais la formule de Taylor
(n° 117) nous donne

^y - dy 4--^- (rf^r),+,,^, = dy + l f"{x 4- Mx) dx\

Si f"(x) n'est pas nul, f"{x -f ^dx) sera du signe de f"{x) à
condition que dx soit suffisamment petit ; ensuite dx- est essen-
tiellement positif. Donc Ay — dy sera du même signe que f"{x).
La courbe sera située au-dessus ou au-dessous de sa tangente,
de part et d'autre du point M, selon que t"{x) sera > 0 ou < 0.

291. Points d'inflexion. — Par définition, ce sont ceux où la
courbe y = f{x) traverse sa tangente (*). Si la dérivée f'ix)
existe, un tel point ne peut se rencontrer, en vertu du théorème
précédent, que si f"{x) =^ 0. Donc les abaisses des points d'in-
flexion sont racines de l'équation f''{x) = 0,

(*) Dans la théorie de eourbes algébriques, on définit ordinairement
les points d'inllexion par la condition f" {x) =^ 0 elle-même. Les deux défi-
tions ne sont pas eipiivalentes.

3o8 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

Ainsi, pour trouver les points d'inflexion, on cherchera les
racines de cette équation. Mais toute racine ne donne pas un
point d'inflexion. Pour qu'un point M où la tangente n'est pas
parallèle à l'axe des y soit un point d'inflexion, il faut que
l'ordonnée de la tangente MT surpasse celle de la courbe d'un
côté du point M et que l'inverse ait lieu de l'autre côté. Il faut
donc que ^y — dy change de signe avec dx.

Les dérivées première et seconde étant supposées continues,
on a

^y — dy = f {x-\- Mx).

Pour que x soit l'abscisse d'un point d'inflexion, il faut que
f'{x + ôdoc) change de signe avec dx. De là, le théorème sui-
vant : Les points d'inflexion de la courbe y = f{x) sont ceux où
f"{x) change de signe,

Supposons qu'une valeur x annule f"{x) et toutes les dérivées
suivantes jusqu'à l'ordre n exclusivement : la formule de Tay-
lor donnera

Ay _ dy := ^ f^") {x + Mx),

La dérivée n^^^^ a maintenant un signe indépendant de celui
de dx supposé suffisamment petit. Les changements de signes
dépendent donc uniquement du facteur dx"-. Celui-ci ne change
de signe avec dx que si n est impair. De là, la règle suivante :
Pour qu'une racine de f"{x) donne un point d'inflexion, il faut
que la première des dérivées d'ordre supérieur au second qui ne
s'annule pas en même temps que f"{x), soit d'ordre impair.

§ 4. Courbure et développée d'une courbe plane.

292. Courbure. — Considérons une courbe ayant pour équation

y = f{x)

et supposons que f{x) ait des dérivées continues des deux pre-
miers ordres. Soit MM' un arc de courbe tel que la direction
de la tangente varie toujours dans le même sens lorsque le
point de contact se déplace de M en M'. Considérons les deux
tangentes MT et M'T' menées à ses deux extrémités dans le
même sens. On appelle courbure de l'arc l'angle des deux tan-

COURBURE ET DÉVELOPPÉE SOQ

gentes extrêmes ; courbure moyenne, le rapport de cet angle à
la longueur de l'arc ; courbure au point M, la limite vers laquelle
tend la courbure moyenne quand le point M' se rapproche
indéfiniment du point M.

Désignons par As et Acp les accroissements de la longueur de
l'arc et de l'inclinaison de la tangente quand on passe du point
M au point M'. La courbure de l'arc MM' sera A^, sa courbure
moyenne Atp : As et sa courbure au point M

as as

Nous remarquerons, pour commencer, le théorème suivant :
Dans un cercle de rayon R, la courbure est la même en chaque
point et égale à i : R.

En effet, l'angle au centre correspondant à l'arc MM' est le
même angle A^ que celui des tangentes extrêmes ; donc la lon-
gueur As de l'arc MM' est R A(p. La courbure moyenne est, par
conséquent, égale à i : R, quel que soit l'arc MM'. Passant à la
limite, on voit que la courbure sera aussi égale à i : R en
chaque point.

293. Rayon de courbiure. — La courbure étant uniforme dans
le cercle, il est naturel de comparer les autres courbes à un
cercle sous le rapport de la courbure. On appelle rayon de cour-
bure d'une courbe au point M, le rayon du cercle qui a même
courbure que la courbe en ce point. Comme, dans le cercle, le
rayon est l'inverse de la courbure, on a le théorème suivant :

Le rayon de courbure d'une courbe quelconque au point M
est égal à l'inverse de la courbure en ce point.

Le rayon de courbure se désigne par R, on a donc

(^) « = !•

Supposons les axes rectangulaires. Les accents désignant des
dérivées par rapport à x, on a (n° 289) f =^ arc tg y' ; d'où, en
dérivant,

I!

(8) ,j - y

D'autre part, on sait (n° 287) que

f l^y'^'

(3) s' = vi+r".

3lO CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

Substituant ces valeurs, il vient

(4) B„* 4=<^+r>

df <»' y"

Cette formule comporte l'extraction d'une racine carrée. On
convient de considérer R comme essentiellement positif et l'on
choisit en conséquence le signe du radical. Ce signe doit être
celui de y", ce sera donc -f ou — selon que la courbe tourne sa
concavité du côté des y positifs ou du côté des y négatifs (n'' 290).

On remarque qu'en un point d'inflexion où y" est nul, le
rayon de courbure devient infini.

294. Cercle osculateur ou de courbure. — Le cercle osculateiir en
un point M d'une courbe plane est la limite d'un cercle })assant
par le point M et deux autres points M' et M" de la courbe qui se
rapprochent indéfiniment du premier.

Supposons encore que la courbe ait pour équation en coor-
données rectangulaires

y = fix)>
f{x) ayant des dérivées continues des deux premiers ordres.

Soient x, x^ et Xg les abscisses des points M, M' et M", a et (â
les coordonnées du centre, et R le rayon du cercle qui passe par
ces trois points. Posons, y désignant la fonction f(x) et a, ^ et
R des constantes,

(5) F{x) == (.X - ay + (y - ^y - UK

Les équations qui expriment que les trois points M, M' et
M" sont sur le cercle sont :

F(^) = 0, F{x,) - 0, F{x^) = 0.

Mais alors, en vertu du théorème de Rolle, F'{x) a une ra-
cine ç entre x et x^ et une autre racine ^' entre .Xj et oCg. Pour la
même raison, ¥"(x) a une racine ^1 entre ^ et ^'. Les éléments
a, p et R du cercle passant par M, M' et M" vérifient donc les
trois équations :

F{x) ^ 0, F'(^) = 0, F"(iO = 0.
Passons à la limite. Quand ;v, et x^ tendent vers x, il en est
de même de ^ et Ç,. Les éléments a, (3 et R du cercle osculateur
sont donc déterminés par les trois équations :

(6^) F(.r)-=0, F'(a:) = 0, F"(a;) - 0.

1
COURBURE ET DÉVELOPPÉE 3ll

En les développant, il vient

(6»») (^-a) + (r-P)r' = 0,

Ces équations fournissent des valeurs déterminées pour les
éléments du cercle osculateur, pourvu que y" ne soit pas nul.
Les deux dernières déterminent les coordonnées a et ^ du cen-
tre, car on en tire

(7) P — y = y/ , a — A, — yj

Portant ensuite ces valeurs dans la première équation, il vient

(8) E = ±(i^f:!)-l

Cette formule est la même que (4). Donc le rayon du cercle
osculateur est égal au rayon de courbure. C'est pourquoi le
cercle osculateur s'appelle aussi cercle de courbure et son cen-
tre, centre de courbure.

Les formules (7) peuvent s'écrire sous une forme plus con-
densée. Si l'on tient compte de l'équation (2), on a

,^x a I dx y' dy

(9) P-r = y = a^, -—^ = -f = -^f

ds
Ces formules sont analogues à R == -^-, mais elles ont lieu

sans ambiguïté de signe.

295. Théorème. — Le centre de courbure Z relatif au point M
se trouve sur la normale au point M à V intersection de celle-ci
avec une normale infiniment voisine.

En effet, ;x; et y étant les coordonnées de M, la seconde des
équations (6), à savoir

^V'{x) = {x-a)^{y-^)y'^0,

exprime que le point Z de coordonnées a, [3 est sur la normale
au point M. De même, Xy étant l'abscisse du point M', l'équa-
tion F'(jc,) = 0 exprime que le point Z est sur la normale au
point M'. Mais alors, suivant le théorème de RoUe, F"(.v) s'an-

3l2 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

nule en un point ^ intermédiaire entre .-v et x,. Les coordonnées
a, j3 de l'intersection des Qormales en M et M' vérifient donc
les deux équations :

F'{x) = 0, F"(0 = 0.

Faisons tendre M' vers M, ^ tend vers x, et, à la limite, les
deux équations précédentes reproduisent les deux dernières
équations (6) qui déterminent les coordonnées du centre de
courbure.

296. Position du rayon de courbure. — Le rayon de courbure a
été considéré jusqu'ici en grandeur seulement. Il est souvent
commode de le définir en grandeur, position et sens. On appelle
alors rayon de courbure le vecteur MZ mené du point M au
centre de courbure correspondant. Le rayon de courbure est
donc dirigé suivant la normale au point M du côté où la courbe
tourne sa concavité.

297. Relation entre le rayon de courbure et la normale. — La lon-
gueur de la normale, considérée au n° 282 a pour expression
dtzy\Ji-\- y''. Il en résulte que l'on a, au signe près,

(10) ^^_i+yi.

Précédemment N a été considéré comme positif ainsi que R.
Mais nous allons faire en sorte que l'équation (10) subsiste
même en signe. Il faut pour cela donner un signe à N, à savoir
le signe -h si N est du même côté de la courbe que R, et le
signe — s'il est du côté opposé.

En effet, le second membre de l'équation (10) a le signe de
— yy". Il sera positif si y et y" sont de signes contraires,
alors, la courbe tournant sa concavité vers l'axe OX {n° 290),
R et N sont du même côté de la courbe. L'inverse aurait lieu
dans le cas contraire.

298. Développée et développante. — Si le point M se déplace
sur la courbe, le centre de courbure correspondant Z se déplace
en même temps. Le lieu géométrique du centre de courbure se
nomme développée. Par opposition, la courbe génératrice se
nomme développante.

COURBURE ET DÉVELOPPKK 3i3

On obtient immédiatement une représentation paramétrique
de la développée. Elle est fournie par les équations (7), (|ni
donnent

(11) ^^^-rJii + y% P = .v + 4^.

et qui expriment les coordonnées d'un point a, (3 de la dévelop-
pée en fonction du paramètre x. En éliminant x entre ces deux
équations, on met l'équation de la développée sous la forme
F(a, P) = 0. Mais il est souvent tout aussi avantageux d'envisa-
ger la développée sous la forme (11).

La développée jouit de propriétés remarquables, que nous
allons démontrer.

I. Le rayon de courbure en M touche la développée au centre
de courbure Z correspondant.

Considérant y, a et ^ comme fonctions de x, on a (B^)

(12) (x - a) + (j - (3) y' = 0.

Dérivons totalement cette équation. La somme dos termes
provenant de la variation des lettres x et y est nulle en vertu
de la troisième équation (6) ; il reste donc

(13) _a'-13'y' = 0, d'où ^--y-

Donc la tangente en Z à la développée, qui a pour coefficient
angulaire ^' : a', est parallèle à la normale en M à la dévelop-
pante (donc au rayon de courbure), qui a pour coefficient angu-
laire — I : y'. Par suite, ces droites, ayant le point Z commun,
coïncident.

II. L'arc de la développée est égal à la différence de longueur
des rayons de courbure tangents à ses extrémités.

Considérant y, a, ^ et R comme fonctions de x, on a (6*^)

Si l'on dérive totalement cette équation, la somme des termes
provenant de la variation des lettres ^c et y est nulle en vertu
de la seconde équation (6) ; il reste donc

(,v_a)a' + (y-P)(ii' = -RK'.

D'autre part, en éliminant y' entre (12) et (13), il vient

(r-?K-(^--a)?' = o.

3l4 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

Résolvant alors ces deux dernières équations par rapport à a'
et P', on trouve, en observant que le déterminant du système
est W,

Ajoutons ces deux équations élevées au carré et observons
que a"-' -f- (3'^ est le carré de la dérivée de l'arc de la développée.
Si Ton désigne cet arc par n, il vient u'^ = R'^, d'où

R' = ± cr'.

Le signe à choisir dépend du sens dans lequel on compte
l'arc or. Comptons-le dans le sens où R croît, ce qui suppose que
R varie constamment dans le même sens dans l'intervalle con-
sidéré des valeurs de x, nous aurons R' = <t'. Donc R et a,
ayant même dérivée, ne diffèrent que par une constante dans
cet intervalle.

Considérons (fig. 8) un arc MqM de la développante compté
depuis un point fixe Mo d'abscisse Xo jusqu'à un point variable
M d'abscisse x. Supposons que le rayon de courbure varie con-
stamment en croissant quand on se déplace sur la courbe de Mo
vers M . Soit ZoZ l'arc correspondant de la développée, de sorte
que MqZo et MZ sont les rayons de courbures Ro et R des points
Mo et M. Désignons par <j l'arc ZqZ, nous aurons

R = a + C.

Pour X = Xo, cette relation donne Ro = C, nous obtenons
donc la relation à démontrer :

ff = R — Rq.

Nous avons supposé dans cette démonstration que la variation
de R était toujours de même sens ; le théorème tomberait en
défaut si R passait par un maxime ou un minime.

Remarque. — Les formules (14) mettent en évidence que toute
courbe plane dont le rayon de courbure est constant est un
cercle. En effet, a' et §' s'annulant avec R', a et ^ sont constants
et le centre de courbure est fixe.

299. Description de la développante d'un mouvement continu. Sa
détermination analytique. — Les théorèmes précédents fournissent
un moyen de décrire la développante d'un mouvement continu

COURBURE ET DEVELOPPEE 3l5

quand on connaît la développée. Concevons un fil parfaitement
flexible, inextensible et sans épaisseur, enroulé sur la dévelop-
pée et s'en détachant tangentiellement
en Zo pour venir aboutir en Mo où on
le coupe (fig. 8). Imaginons qu'on dé-
roule le fil en le détachant tangentiel-
lement de la développée et en le main-
tenant toujours tendu ; l'extrémité
libre du fil décrira la développante.
En effet, quand le fil se détachera en ^^'

Z, il prendra la direction ZM, et comme le brin détaché s'est
accru de l'arc ZoZ, sa longueur sera R. Son extrémité sera donc
en M. Comme la longueur ZoMo du brin initial est arbitraire, à
une même développée correspondent une infinité de dévelop-
pantes.

Au point de vue analytique, la détermination des dévelop-
pantes quand la développée est donnée, se ramène à la rectifi-
cation de l'arc de la développée, c'est-à-dire à une quadrature.

En effet, supposons que l'équation de la développée soit
ramenée à la forme

(15) (3 = (p(a).

Prenons a comme variable indépendante. Désignons par ^' la
dérivée de (3 par rapport à a. L'are a compté à partir du point
Zo (fig. 8) dans le sens où a augmente, se détermine par la for-
mule (n^ 287)

J(Xo

Cette quadrature effectuée, le problème sera résolu. En effet,

soit X l'inclinaison sur l'axe des abscisses de la tangente ZM à

la développée ; les coordonnées du point M de la développante

sont :

«; = a -f R cos X, y = ^ -f R sin X.

On a tg X =^ [3'. On en déduit, ZM faisant un angle obtus avec
l'axe des abscisses (fig. 8),

„.„ •> ?' __

cos X = , sin X =

Comme H = » l- C, il vient donc

(16) .v = «-it-i. y = r,_t(U-^,

3l6 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

Les seconds membres étant fonctions de a, les équations (16)
fournissent une représentation paramétrique de la développante.

Si la tangente ZM était dirigée en sens opposé, cos "k et sin A
changeraient de signe, mais les équations précédentes n'en
seraient pas altérées, car, R variant alors en sens inverse de a,
on aurait R = — (<j + C).

Les équations (16) renferment une constante arbitraire C, ce
qui doit être, puisqu'il existe une infinité de développantes.

300. Adaptation des formules au cas d'une représentation paramé-
trique. — Si x et y sont des fonctions de t ayant pour dérivées
x' et y', les dérivées première et seconde de y par rapport à x
ont pour expressions (n" 177) :

r' T^o x'y" — x"y'

X' ' "-" x'"

On doit donc substituer ces valeurs à y' et à y" dans les for-
mules précédemment trouvées.

L'expression du rayon de courbure se déduit de la formule (4),
la transformation donne

(17) B = ^f+yf,

^ ' x'y" — x"y'

Les coordonnés a et p du centre de courbure sont déterminées
par les équations suivantes, déduites des équations (7) :

nft\ _- y'(^" + y") Q__ , x\x'^ + y<^)

Enfin la relation (10) entre R et N devient
R x'{x'^ 4- y'2)

(19)

N y{x'y" — x"y')'

301 . Applications diverses. — I. Coniques en général. Prenons
un axe de la courbe comme axe des x. L'équation d'une conique
en coordonnées rectangulaires sera de la forme

On en tire

oo^+_g_ ,./, __ gy - (gjc 4- ^)y' _ «y - §'

COURBURE ET DÉVELOPPÉE 3l7

Substituons ces valeurs dans la relation (10), il vient

^ i+y- ^ y'{i + y")_ '^^ .

N yy" OLf — p2 p2 _ ay '

d'où

Donc /e rayon de courbure d'une conique est proportionnel
au cube de la normale limitée à un axe de la courbe.

Si l'on prend un foyer pour origine et l'axe focal pour axe
des X, l'équation prend la forme

x^ -\- y^ = {ex -{- pY.

En identifiant cette équation avec la précédente, on a

a == e^ — I, p = ep, T = p^

d'où 82 — ay = p^ et

Donc le rayon de courbure d'une conique est égal au cube de
la normale divisé par le carré du demi-paramètre (ordonnée au
foyer).

II. Parabole. Prenons l'axe de symétrie comme axe des y et
la directrice comme axe des x. Les points de la parabole sont,
à égale distance du foyer et de la directrice ; l'équation de cette
courbe sera

«;' + (r — py ^ y'''

d'où

5C« 4- p^
y^ ip '

, X „ I

y-p> y"=p

On aura donc

R

N ~

yy" ~

Donc le rayon de courbure de la parabole est double de la
normale limitée à la directrice et il est dirigé en sens contraire,
ce qui fournit une construction facile de ce rayon.

Les coordonnées du centre de courbure sont données par les

équations (11), qui se simplifient grâce à la dernière équation

ci-dessus. Il vient

x^

3i8 CHAPITRE VIII, COURBES PLANES

Substituant les valeurs de y et de x tirées de ces relations
dans l'équation de la parabole, on trouve celle de la développée

,2

2P

/>a* = -^ p

3
III. Ellipse. Considérons la représentation paramétrique

X = a cos t, y = b sin t.
On en déduit

x' = — a sin t, oc" = — a cos t, y = b cos t, y" = — b sin t,
d'où x'y" — y'x" = ab. Il vient donc (n° 3oo)

s' = Va^ sin^f + 6^ cos^f,
_ (a' sin'f + b^ cos^Q^

(ab)^

Les coordonnées du centre de courbure sont :

, 6 cos ^ (a« sin*f + 6^ cos^O a* — 6*

a = a cos f ^ r ^ cos^^,

ao a

Q . . ^ a sin f (a^ sin^t +- 6^ cos^O a" — 6^ . ,,

& = bsint ^ jr-- "= c sin'f .

' ao b

Ces formules fournissent une représentation paramétrique
de la développée. Si l'on élimine t, l'équation de cette courbe
prend la forme

(aa)3 -\-{b^y =(a« — fc«)3

IV. Cycloïde. Considérons la représentation paramétrique

(n° 283)

X = a{t — sin t), y = a(i — cos t).

Nous en tirons

5c' = y = a(i — cos t), x" = y' = a sin t, y" = a cos t,
^it _|_ yi2 ^ 2a2 (i — cos t), x'y" — x"y' = — a* (i — cos t).

Il vient ainsi

E^ _ x' (x'^ + y'^) __ x'^ + y'* _
N "" y{x'y" — x"y')~ x'y"—x"y'~^'

Donc le rayon de courbure de la cycloïde est double de la
normale et il est dirigé dans le même sens.

Les coordonnées du centre de courbure sont fournies par les
équations (18), qui donnent, à cause de la dernière égalité écrite

ci-dessus,

a = x -\- 2y' ^ a{t -\- sin t),

^ — y — 2x' = — a (i — cos t).

COURBURE ET DÉVELOPPÉE Sig

Mais, en posant t =■ n -\- t^, ces équations deviennent

a. = an -]- a{ti — sin ti),
P = — 2a + a (i — cos fi).

Donc la développée est une cycloïde égale à la première mais
déplacée de an dans le sens des x positifs et de 2a dans celui
des y négatifs.

V. Chaînette. Cette courbe a pour équation

X _x

L'axe des x est sa base, la longueur a son paramètre. On trouve

XX XX

d'où 1 -[- y'^ = y^ '. a^ . On en conclut d'abord

(i 4- y'^Y y'
y a

Donc le rayon de courbure de la chaînette est proportionnel
au carré de l'ordonnée.

D'autre part, il vient par la formule (10)

N yy"

Donc, dans la chaînette, le rayon de courbure est égal à la
normale limitée à la base, mais il est dirigé en sens contraire.

302. Coordonnées polaires. — Soit <p l'inclinaison de la tangente
sur l'axe polaire, a celle de la normale. Comme ces deux angles
varient de la même quantité, on a cp' =^ a' et il vient (au signe
près), les accents désignant les dérivées par rapport à 6,

_ ds _ s' _ s'

d(f cp' a' *

Mais on a (n*'^ 287 et 285)

s' = \P^+W, a =- 8 — arc tg — ;

r

d'où, en dérivant par rapport à 8,

rr" — r'2 r^ + ir'^ — rr^'

(20) tp' = a' = I

r* + r'2 r"^ + r'

320 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES

Remplaçant s' et a' par ces valeurs, on trouve
(21) n=± jr^ + n^ ,

Il faut prendre le signe + ou — selon que r^ + '2r'^ — rr",

dot.
donc selon que a' ou-tjt- est > ou < 0, donc selon que R et r

sont du même côté ou de part et d'autre de la courbe.

Les coordonnées cartésiennes a et ^ du centre de courbure
s'obtiennent au moyen des relations (9), d'où l'on déduit

dy ^ (rsinô)'
a = X r- = r cos 9 — ^^ ; — -.

df f

a , c?5C . û I (^C0s9)'

^ = ^ + 5^="-'*''''^ + — ^' •

On aura soin de ne pas confondre a coordonnée du centre de
courbure avec a inclinaison de la normale.

Exemples. I. Spirale logarithmique ■ r = ae^^. — Dans ce cas, l'angle y-
(no 285) est constant ; a étant l'inclinaison de la normale, on a a = 6 — p.
et on en conclut a' = i. Il vient donc

Donc le rayon de courbure est proportionnel au rayon vecteur.

D'autre part, si l'on se reporte à la valeur de la normale polaire N'
(n" 284), on voit que R = N'. Donc le rayon de courbure est égal à la
normale polaire. Le centre de courbure est au point N (fig. 6, p. 3oo).
Si p et -r sont les coordonnées du centre de courbure, on aura

p = N' = wy, T = 6-| — .

2

En éliminant ;- et 6 entre ces équations et celle de la courbe, on
trouve l'équation de la développée

vt(x —-)
p = mae ^ '^ ' .

Cette développée est une spirale égale à la première, car, en faisant tour-
ner dans le sens rétrograde l'axe polaire autour du pôle d'un angle w
défini par l'équation

m e ^ ' =^1,

on retrouve l'équation de la première spirale.

COURBURE ET DÉVELOPPÉE 321

II. Lemniscate de Bernoulli : r"^ = a^ cos 26. — On tire de cette équation

rr' = — a^ sin 2O, r' :r = — tg2^

On en conclut d'abord, a étant l'inclinaison de la normale,

r'
a = 0 — arc tg - = 38.

Donc, dans la lemniscate, l'inclinaison de la normale est triple de celle
du rayon vecteur. On a donc aussi

D'autre part, N' étant la normale polaire, on a

V /7 2

s' = W = \lr'^ + r'-^--

cos 2O r
De là résulte la valeur de K :

tp' 3 3r '

Donc le rayon de courbure de la lemniscate varie en raison inverse du
rayon vecteur et il est le tiers de la normale polaire, ce qui permet de le
construire facilement. .^

Soient maintenant a, p les coordonnées du centre de courbure.
Faisant œ' ^ 3 dans les formules (22), il vient, réductions faites,

a = -— {rr^ cos 6 — rr' sin 6), [3 = -— [rr'^ sin 6 — rr' cos 0).
jr ir

Enfin, en remplaçant r'^ et rr' par leurs valeurs, à savoir a^ cos 2O
et — a* sin 2O, on trouve, après quelques simplifications,

2^2 2û^

a = — - cos^ 6, 8 = -— sin^ 6.

ir 3r

L'équation de la développée s'obtient en éliminant r et 6. On a

d'où

(a3 + ,33^(^a3 -133^2-

2a_

Exercices.

I. Rayon de courbure de la cissoïde (Exercice 2, p. 3o2).

R. La courbe a pour équation ^^ = x^ : (2a — x). On en tire

a'^Ar(8a-3Ar)^

l^{2a — xY

21

322 CHAPITRE VllT. COURBES PLANES

2. Rayon de courbure de la courbe Ht — = i-

R

3

m — I {xy)^-^\ a^"" b'^'"

3. Rayon de courbure et développée de Vastroï'de (hypocycloïde en-
gendrée par un point d'un cercle roulant intérieurement sur un cercle
de rayon quadruple a).

R. Les équations de la courbe s'obtiennent en posant b = h = a : 4
dans celles données à la page 3o3 (Exercice 5). 11 vient

x = — {3 cos / + cos 3i) = a cos^i,

\ ^^4 _ _ _

\ d'où X -^ -\- y -^ ^ a'^ .

f jv ^ — (3 sin / — sin 3t) ^ a sin^t,
^ 4

On en déduit

1 i- —

R=^3{axy)'', a = x -\- 3 {xy^y , P ^ y + 3 {x-'yY^ ,

2 - z.

{a + j3)~ + (a — p)^== 2a^.

En faisant tourner les axes de 450 autour de l'origine, on voit que la
développée est une nouvelle asiroïde, engendrée par des cercles de
rayons doubles des précédents.

4. Rayon de courbure et développée de V épicycloïde.
R. En posant en abrégé {a -\- b) : b = m, les équations de cette courbe
sont (Exercice 4, p. 3o2) :

x = b{m cos t — cos mt), y = b{m sin t — sin mt).
Prenant t comme variable indépendante, on trouve

5' = 2mb c-n ^^^ t, xY -y'x" = 2 (;« + i) {mby sin^ "^ t.
2 2

On en conclut

,. = ^±I, R^4=.-4_^sin^^^.
^ 2 cp' ;» + I 2

Les équations de la développée sont

y' m — l
cf ' m-\- 1

b {m cos t + cos mt),

x' m — I , , • , , • A
-b{ms]n t-\- sin mt).

' -" ' f' fn-{- I

La développée est une autre épicycloïde. Pour ramener ses équations à
la forme normale, comme les équations de l'épi cycloïde proposée, il
sufirt de faire tourner les axes coordonnés d'un angle w = tt : (m — i)
et de changer ^ en t-{- (^.

COURBURE ET DÉVELOPPÉE 323

5. Rayon de courbure et développée de VhyPocycloïde.

R. En posant en abrégé (a — b) :b = m, les équations de la courbe
sont (Exercice 5, p. 3o3) :

x^=b{m cos t -\- cos ml), y = b{m sin t — sin mt).

Ces équations s'obtiennent en changeant les signes de 6 et de w dans
celles de l'épi cycloïde. La solution est donc comprise dans la précé-
dente. La développée sera une autre hypocycloïde.

6. Soient r le rayon vecteur d'un point d'une courbe, p la perpendi-
culaire abaissée du pôle sur la tangente. Montrer que le rayon de
courbure a pour expression

rdr rr'

si la concavité est tournée vers le pôle, et ces expressions changées
de signe si la concavité est tournée en sens contraire.

R. Ce résultat s'obtient en dérivant la valeur de p (no 285) et en la
comparant à celle de R (n» 3o2).

7. Rayon de courbure de la courbe : t-" = a" cos 7/6.

R. C'est une généralisation des résultats obtenus au no 3o2 (II) pour
la lemniscate. On trouve (a étant l'inclinaison de la normale)

a = (« + i)0, R

w + I « + !'"'

8. Rayon de courbure de la podaire d'une courbe donnée.

R. Soient, pour la courbe donnée, r le rayon vecteur, 0 l'angle po-
laire, a l'inclinaison de la normale, s l'arc, R le rayon de courbure.
Affectons de l'indice i les quantités analogues pour la podaire. On
trouve d'abord

«1 = 2a — 6, dsi --= rd<x.

II vient alors facilement

I itti 2

db

2 R ie 2

R^i

Ri ^51 r

rda

r r ds r

y3

9. Rayon de courbure de la développée d'une courbe donnée.
R. Conservons les notations habituelles pour la courbe donnée et
soit Ri le rayon de courbure de la développée. On a

^ da dR „iir^

flcp rfcp ds

Prenant x comme variable indépendante, il vient donc
(I + y")* : y'

R~ s'

~^y —- — —.M

CHAPITRE IX.

Formules fondamentales de la théorie des surfaces
et des courbes gauches.

§ 1. Tangente à une courbe. Longueur d'un arc.
Plan tangent à une surface.

303, Représentation analytique d'une surface. — On peut d'abord
considérer une surface comme le lieu des points du plan dont les
coordonnées cartésiennes x, y et z sont liées par une équation

(1) F{x,y,z) = 0.

Nous appellerons point ordinaire de la surface, tout point où
les trois dérivées partielles F^, F' F^ sont continues et l'une
au moins différente de zéro. Les autres points sont des points
singuliers.

Dans le voisinage d'un point ordinaire où F^ n'est pas nul,
l'équation (1) définit une fonction implicite, z, des deux variables
indépendantes x et y {i\° 170) et, par conséquent, elle peut se
ramener, au moins implicitement, à la forme

(2) z = f{x,y),

la fonction /ayant ses dérivées partielles premières continues.

Si F^ s'annulait en un point ordinaire, une des deux autres
dérivées, F^ ou F' ne serait pas nulle et la résolution de l'équa-
tion (1) pourrait se faire par rapport à :« ou par rapport à y.

Xous mettrons souvent l'équation de la surface sous la forme
(2). Nous supposerons alors l'existence ou la continuité des
dérivées partielles de f{x, y) jusqu'à un certain ordre, qui sera
indiqué dans chaque cas particulier. Nos formules s étendront
aux équations de la forme (1), en vertu des règles de dérivation
des fonctions implicites, à condition de nous borner aux points
ordinaires de la surface et de supposer l'existence ou la conti-

TANGENTE A UNE COURBE

325

nuité des dérivées partielles de F jusqu'à l'ordre requis pour
celles de f.

On peut aussi définir une surface au moyeu d'une représenta-
tion paramétrique. On exprime alors les coordonnées x, y, z de
ses points en fonctions de deux paramètres indépendants u et u.
La surface est alors représentée au moyen de trois équations :

(3) X = f,{u, V), y = Uiii, V), z - /;(«, V).

Quand nous emploierons cette représentation, nous suppo-
serons les trois fonctions f continues ainsi que leurs dérivées
jusqu'à un certain ordre à indiquer.

Nous appellerons points ordinaires de la surface ceux où l'un
au moins des trois déterminants :

du dv
du dv

df.

dh

du

ov

àfs

dfs

du

dv

df^ df,
du dv

du dv

est différent de zéro.

Dans le voisinage d'un point ordinaire ainsi défini, on peut
encore considérer une des trois coordonnées x, y, z comme
fonction des deux autres. En effet, si le premier de ces déter-
minants est différent de zéro, les deux premières équations (3)
définissent u et y en fonction de x, y et, en portant ces valeurs
dans la troisième équation, on obtient z en fonction de x et y,
c'est-à-dire que l'équation de la surface se met sous la forme (2) .

Donc, dans les démonstrations, on pourra supposer à son gré
que la surface soit définie par une équation de la forme (2) ou
par un système de la forme (3). Les démonstrations seront
générales à condition de se borner aux points ordinaires de la
surface.

304. Représentation analytique d'une courbe de l'espace. — En
premier lieu, on peut définir une courbe de l'espace comme
l'intersection de deux surfaces différentes, ou comme le lieu
des points dont les coordonnées vérifient deux équations :

(4) ¥,{x, y, z) = 0, F,{x, y, z) = 0.

Les points ordinaires de la courbe sont ceux où les deux
fonctions F, et Fj sont continues ainsi que leurs dérivées par-

326

CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

tielles premières et où l'un au moins des trois déterminants :

dF,

dF,

ày

dz

dV^

ÔF^

ày

dz

âFj dF\

dz dx

d¥\ dF\

dz dx

dF\ âFj^

dx dy

dF„ dF.,

dx dy

n'est pas nul.

Si le premier de ces déterminants n'est pas nul, les équations
(4) définissent deux fonctions implicites y et z de x et, par con-
séquent, elles peuvent, au moins implicitement, se ramener à
la forme

(5) y = cp(x), z == '^(x),

ces deux fonctions ayant des dérivées premières continues.

Les résultats que nous établirons en raisonnant sur les équa-
tions de la forme (5) s'étendent aux équations de la forme (4), à
condition de nous limiter aux points ordinaires de la courbe et
d'introduire les conditions de continuité des dérivées jusqu'au
même ordre.

On peut, en second lieu, considérer une courbe comme le lieu
des positions successives d'un point mobile, ce qui conduit à
exprimer :x:, y, z en fonction d'une variable indépendante t. On
obtient ainsi une représentation paramétrique de la courbe au
moyen de trois équations :

(6) .x = cp,(0, y-U^), 2 = T3(0-

On appelle alors points ordinaires de la courbe, ceux où les
trois fonctions es sont continues ainsi que leurs dérivées et où
l'une au moins des trois dérivées (fi[, •j)^ ou (pg est différente de zéro.

Dans le voisinage d'un point ordinaire, le système (6) peut
aussi se transformer dans le système analogue à (5). En effet,
si o[{t) n'est pas nul, la première équation (6) définit t en fonc-
tion de X {n° 170), et en portant cette valeur dans les deux
équations suivantes, on obtient y et z en fonction de x.

Donc, dans les démonstrations, on peut choisir le mode de
représentation que l'on veut. Les conclusions seront générales
à condition de se borner aux points ordinaires de la courbe.

C'est le mode de représentation paramétrique qui est le plus
employé, parce qu'il a l'avantage de rendre les formules plus
symétriques. Les formules ainsi établies renferment comme cas

TANGENTE A UNE COURBE 327

. — — 1 '

particulier celles relatives au premier mode de représentation,
car les équations (6) se réduisent à la forme (5) ai t =^ x.

Pour les démonstrations, nous mettrons le plus souvent les
équations de la courbe sous la forme (6) et nous indiquerons
jusqu'à quel ordre nous supposerons l'existence ou la continuité
des dérivées.

Lorsque tous les points d'une courbe sont dans un même plan,
la courbe est plane, elle est gauche dans le cas contraire.

305. Tangente et plan normal à une courbe. — Supposons que la
courbe, rapportée à des axes rectangulaires ou obliques, ait
pour représentation paramétrique

(7) x = f,{t), r-cp,(0, z = <^,it),

La tangente en un point M de coordonnées x, y, z est la
limite d'une sécante passant par ce point et par un autre point
M' qui se rapproche indéfiniment du premier. Soient Af l'ac-
croissement qu'il faut donner au paramètre pour passer de M
à M' ; Aa;, Ay, ^z les accroissements correspondants des coor-
données. Les équations de la sécante MM' peuvent s'écrire
(5, Tj, î^ désignant les coordonnées courantes)

^ ' b^x ^y ^z '

Divisons les dénominateurs par bd et faisons tendre Ai vers 0.
Les quotients ^x : Af, t^y : Af, Az : ^t tendent vers les dérivées
x\ y' , z' , supposées existantes, de x, y, z par rapport à i. On
trouve ainsi les équations de la tangente au point M, à savoir

I9i\ \ — x_-^-yJC,—z

Ces équations supposent toutefois que x\ y', z' ne s'annulent
pas simultanément au point M, et c'est ce qui a lieu en un point
ordinaire de la courbe.

Multiplions par dt les trois dénominateurs des équations (9) ;
les équations de la tangente prennent la forme suivante, indé-
pendante du mode de représentation adopté pour la courbe :

^ ' dx '^ dy ~ dz '

Le plan normal en un point d'une courbe est le plan mené par

328 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

ce point perpendicalairement à la tangente. Nous supposerons
les axes rectangulaires. L'équation du plan normal se déduit
des équations (9) ou (10), car les coefficients de direction de la
tangente sont les coefficients de l'équation du plan normal ;
cette équation sera de l'une des deux formes :

(11) {^-x)x'-h{r,-y)y' -^Ç:-z)z' = 0,

(12) ($ - x) dx + {r, - y) dy + (r _ 2) dz = 0.

306. Longueur d'un arc de courbe. Différentielle de l'arc. — La

longueur d'un arc de courbe AB se définit comme dans le cas
des courbes planes (n'^ 286). C'est la limite, quand elle existe,
du périmètre d'un polygone inscrit dont les sommets se suivent
dans un sens déterminé, lorsque le nombre des côtés augmente
indéfiniment et que chacun des côtés tend vers zéro. Nous allons
démontrer l'existence de cette limite, en supposant que tous les
points de l'arc AB soient des points ordinaires. Nous pouvons
donc admettre que les équations de la courbe soient de la forme

y = 'f{x), z = <{<(5c),

les deux fonctions cp et t{/ ayant des dérivées continues. Les axes
seront supposés rectangulaires.

Soient a et b les abscisses des extrémités de l'arc AB (a < b).
Marquons sur cet arc n + i points (y compris les extrémités).
Soient x^, X2,... Xn+t les abscisses de ces points numérotées par
ordre de grandeur, de sorte que ;x;i = a et Xn+i = b seront celles
des extrémités. Désignons par yi et Zf les valeurs de y et de z
pour X = Xi. Inscrivons dans l'arc AB un polygone ayant ces
71 + 1 points pour sommets. Le côté q qui joint les points
d'abscisses Xi et Xj+i a pour longueur

Ci = \/{Xi+i — XiY + {yi+i — yi)^ + (zi+i — Zif.

Mais la formule des accroissements finis nous donne, X^ et
\i étant compris entre xi et ^,-1-1,

Yi+i — ri = {Xi^i — xi)'f'{Xi), Zi+, — Zi= (Xi+i — Xi) y(^i).

Désignons par M^ et nit les bornes supérieure et inférieure de
la fonction (f'{xY dans l'intervalle {xi, x^^i) et par 0 une quantité
de valeur absolue moindre que i ; nous aurons

^'(X,)2 = cp(i,)'--f 6(M,-/iï,).

LONGUEUR d'un ARC 829

Donc, en posant, en abrégé,

Oj = yXi^i — Xi),
nous pouvons mettre Ci sous la forme

Ci = Sf Vi + ^%y + '^'(^iY + 6(M, - nii).
Mais la racine carrée d'une quantité supérieure à l'unité varie
moins rapidement que cette quantité (*) ; nous avons donc

avec une erreur moindre eu valeur absolue que (M^ — nii) Sj ; et,
en désignant par P le périmètre du polygone inscrit.

P = I 8, Vi 4- ^'{^iY + ^iid',

avec une erreur moindre que S(Mî — mi)hi.

Faisons tendre tous les côtés du polj'gone et, par suite, tous
les 8j vers zéro : il vient par définition de l'intégrale (n° 220)

lim P == 1 dx\Ji -f <f'{xy + <^'{xy,

sans aucune erreur, car, comme la fonction continue f'{xy est
intégrable, les deux sommes SMîôj et Sm^Sî tendent vers la même
limite et 2(Mj — nii)Zi tend vers zéro.

L'arc variable AM, compris entre un point fixe A d'abscisse
a et un point variable M d'abscisse x, est une fonction s de x.
Cette fonction est continue et admet une dérivée. On a, en effet,

(13) s = rdxsji -f ;f'{xy + ^'{xy.

Ja

Ws

La différentielle de l'arc sera donc

(15) ds = dxyJTf^^^WTWY = dx\Ji + {^£j + (^\

Dans les calculs précédents, tous les radicaux ont été pris
positivement, ce qui revient à considérer l'arc s comme crois-

(*; En effet, si a est > i, on a, quel que soit x,

\u-\~x—\a \ = \ x:{\a-{-x-]-\u) \ < \ X

33o CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

sant dans le même sens que x. Dans l'hypothèse inverse, les
radicaux seraient pris négativement. Nous ferons (sauf indica-
tion contraire) la première hypothèse, chaque fois que x sera
pris comme variable indépendante.

307. Théorème — Le rapport d'un arc infiniment petit à la
corde qui le sous-tend a pour limite Vunité.

En effet, soient As la longueur de l'arc, l^x, Ay et A2 les diffé-
rences des coordonnées des extrémités. La corde correspon-
dante c a pour mesure \J^x^ -\- Ar^ -\- àz". Lorsque ces quantités
tendent vers zéro, on a

As ds

. . As _ A^c _ dx

'+Ux;+vd.v

en vertu de la formule (15). Le signe du radical ne donne pas
lieu à discussion, car il ne s'agit dans le théorème que de lon-
gueurs absolues.

308. Dérivée et différentielle de Tare dans le cas d'une représentation
paramétrique. — La formule (15) peut se mettre sous la forme

(16) ds = ± V^^' + dy^ + dzK

Cette formule ne contient plus que les différentielles des
coordonnées et elle ne dépend plus en rien du mode de repré-
sentation choisi pour la courbe. Elle est donc générale et elle
s'applique au cas d'une représentation paramétrique. Les coor-
données X, y, z sont alors des fonctions de t ayant, par hypo-
thèse, des dérivées continues x', y', z'. Remplaçons dx, dy, dz
par x'dt, y'dt, z'dt. La formule (16) devient

(17) ds = ±z dt\/x'^ H- y'2 + z'^

et la dérivée s' par rapport à t sera

(18) s' = ± \/x'^ + y'« 4- z'K

Le signe à donner aux radicaux dépend du sens dans lequel on
compte l'arc. Sauf indication contraire, nous leur donnerons le
signe -\-, ce qui revient à compter l'arc dans le sens où t varie
en croissant.

LONGUEUR d'un ARC 33l

309. Cosinus directeurs de la tangente. — Nous désignerons par
a, (3, y les cosinus des angles que fait la tangente avec les axes
coordonnés, ou les cosinus directeurs de cette droite. Pour les
définir sans ambiguité, considérons la tangente menée au point
M(x, y, z) dans le sens des arcs croissants. Les cosinus direc-
teurs de la droite MM' qui joint le point M au point M' de coor-
données X -f- ^x, y -\- \y, z -\- ^z sont, c désignant la longueur
absolue de la droite MM',

^x Ay Ùlz
~c* V V

Soit As l'arc MM' ; As sera positif si MM' est mené dans le sens
des arcs croissants. Or les expressions précédentes peuvent
s'écrire

bkX As A j As A2; As

As c ' As c ' ^s c '

Quand M' tend vers M, As et c étant positifs, As : r a pour
limite -\~ i (n° 3o8). Les cosinus directeurs de la direction MM'
à la limite sont donc

(19) a=^, p = ^, Y=d;-

Tels sont, en grandeur et en signe, les cosinus directeurs de
la tangente menée dans le sens des arcs croissants.

Dans le cas d'une représentation paraméti'ique, x, y, z sont
des fonctions de f ; on peut, dans les formules précédentes,
remplacer les différentielles par les dérivées et s' par sa valeur
(18) ; il vient ainsi

a _ p _ Y _T _ I

(20)

X' y Z' S' _t y^c'Z _|_ y'« + 2'2

Si le radical est pris positivement, s et t croissent dans le
même sens et la tangente est menée dans le sens où t varie en
croissant.

Remarque. — Les formules précédentes prouvent que toute
courbe dont les tangentes sont parallèles à une direction fixe,
se réduit à une droite. En effet, soient, a, b, c les coefficients de
la direction fixe. On a

SL ~ b ~ c'

332 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

Doue X : a. y : b et z : c, ayant même dérivée, ne diffèrent que
par des constantes et l'on a

^ a c b c

Ce sont les équations d'une droite.

310. Plan tangent à une surface. — Considérons d'abord une
surface définie par l'équation

(21) z = f{x, y).

Théorème. — En tout point M. de la surface où f{x, y) est
diff'érentiable, le lieu géométrique des tangentes menées au point
M à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par ce
point, est un plan auquel on donne le nom de plan tangent à la
surface.

Toute courbe tracée sur la surface et douée d'une tangente,
se projette sur le plan xy suivant une certaine courbe plane
douée d'une tangente. Considérons une représentation paramé-
trique de cette courbe plane

(22) X ^ cp(0, y = HO-

L'ensemble des équations (21) et (22) fournit une représenta-
tion paramétrique correspondante de la courbe tracée sur la
surface, car, en remplaçant x et y par (^{t) et <{/(?), l'équation (21)
donne aussi 2 en fonction de ^

Les équations de la tangente au point M{x, y, z) de cette
courbe sont (n° 3o6)

(23) tz^=^^::zy^^^,

' x' y' z'

Mais, en dérivant totalement l'équation (21) par rapport à t, en
désignant par p, q les dérivées partielles de f{x, y) par rapport
à X, y et en observant que les dérivées x', y' par rapport à t
sont existantes par hypothèse, on a (n° i5o)

z'=px' + qy\

En éliminant x', y', z' entre cette équation et les précédentes,
on trouve la relation

(24) ^-z=^p{^-x)-\-q{ri-y),

PLAN TANGENT A UNE SUBFACE 333

qui est vérifiée par les coordonnées $, in, ^ d'un point d'une tan-
gente quelconque passant par M. Cette équation, étant du pre-
mier degré, est celle d'un plan. Ce plan est le plan tangent à la
surface au point M.

Considérons maintenant une surface définie par l'équation
(25) Fix, y, z) = 0.

Elle admet un plan tangent en tout point ordinaire. En effet,
une des dérivées, F^ par exemple, n'est pas nulle. Alors l'équa-
tion (25) admet une solution z de la forme (21) dont les dérivées
partielles sont

f; F

t/

F' ' ^ F' *

z z

Le théorème précédent s'applique et, par la substitution de
ces valeurs de p, q, l'équation (24) devient

(26) ($-^^)F; + (Ti-y)F; + (J:-^)F;=0.

Donc Véquation du plan tangent en un point ordinaire s'ob-
tient en différentiant totalement l'équation de la surface et en
remplaçant dx, dy et dz par $ — x, n — y et ^ — z.

Considérons enfin une surface définie par une représentation
paramétrique

(27) ;x; = fi{u, v), y = f^{u, v), z = /^(u, v).

Il suffit de faire u et y fonctions d'un paramètre unique t pour
que les équations précédentes soient celles d'une courbe tracée
sur la surface. Les équations de la tangente à cette courbe au
point M sont, les accents désignant sans indices des dérivées

par rapport à t,

k—x^r\—y^^—z
x' y' z' '

Mais, X, y, z étant supposés différentiables en u, v, les coeffi-
cients de directions x\ y' et z' ont maintenant pour expressions :

x' = < m' + < v\ y' = y; u' ■+- y'^ u', z' = < u' + < V ;

et ils sont liés par une relation générale, qui résulte de l'élimi-
nation de u' et v', à savoir

X' y' z'

K y'u «u

K yl ^'v

= 0.

334 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHEH

L'élimination de x', y', z' entre les équations de la tangente et
cette relation fournit une équation vérifiée par les coordonnées
des points d'une tangente quelconque passant par M. C'est
l'équation du plan tangent. Pour l'obtenir, il suffit de remplacer
x', y', z' par ç — x, r^ — j et Ç ^ s dans la relation précédente,
ce qui donne

$ — X Tj — y Ç — ;

(28) K rL Kc = 0.

D'ailleurs, en un point ordinaire, cette équation ne peut pas
se réduire à une identité, car l'un au moins des trois mineurs
relatifs à $ — x, r^ — 3' et Ç — z n'est pas nul (n" 3o3).

311. Normale à une surface (axes rectangulaires). — La normale
en un point M {x. y, z) d'une surface est la perpendiculaire
élevée au plan tangent en ce point. Les équations de la normale
se déduisent immédiatement de celle de ce plan. En effet, les
axes étant rectangulaires, les coefficients de directions de la
normale sont les coefficients de l'équation du plan tangent. La
normale sera représentée par l'un des trois systèmes d'équa-
tions, correspondant respectivement à (24), (26) et (28) :

$ — X _ri — y_C — z
(29)

q -I

F' F' F'

X y z

\ — x 'ti — y __ C — g

y' 2' — 2;'v' z' jc' — x' z* a:' r' — X^ x;'

Les cosinus directeurs X, Y, Z de la normale sont propor-
tionnels aux dénominateurs qui figurent dans chacun des trois
systèmes d'équations. Ils se déterminent donc par l'un des trois
systèmes correspondants :

/ X Y Z . I

(30)

p

q

— I

^ Vi 4- p^

-^q''

X

Y

Z

= ±

I

•

K

vf;^ + F

2/ ' 2

X

Y

Z

ylA

—z

'y'

K.^

V u~'v

~ x' y' —

-y

^1

u~'v

PLAN OSCULATEUR 335

Le double signe du radical correspond aux deux sens opposés
dans lesquels on peut mener la normale.

§ 2. Plan osculateur.
Courbure et torsion des courbes gauches.

312. Représentation de la courbe. — Dans tout le paragraphe
actuel nous considérerons la représentation paramétrique sui-
vante d'une courbe gauche :

(1) x = cpi(0, y = <P2(0. 2 = <p3(0.

Nous admettrons la continuité des dérivées premières et se-
condes de X, y, z par rapport à t, en outre (mais seulement à
partir du n° 820) \ existence des dérivées troisièmes. Les points
seront supposés ordinaires, donc l'une au moins des dérivées
x', y', z' différente de 0.

Nous supposerons les axes coordonnés rectangulaires (*).

313. Plan osculateur. — Le plan osculateur en un point M
d'une courbe gauche est la limite d'un plan passant par le
point M et deux autres points M' et M" de la courbe qui se
rapprochent indéfiniment du premier. — Cherchons-en l'équa-
tion.

L'équation d'un plan quelconque est de la forme

(2) A$ -f Bt. + Cî: + P -= 0.

Posons A, B, C et P désignant des constantes et x, y, z les
fonctions (i) de t écrites ci-dessus,

(3) F(0 - Ax + Br + Cs 4- P.

Soient t, ti et t^ les valeurs du paramètre qui correspondent
aux trois points M, M' et M" : les équations qui expriment que
le plan (2) passe par ces trois points sont :

F(0 = 0, F(^) = 0, F{t,) ^ 0.

Mais alors, en vertu du théorème de Rolle, F' a une racine t
comprise entre t et t^ et une autre racine t' comprise entre t^

(*) On observera cependaut que les n*"* 3i3, 3i4 et 3i5 subsisleut sans
changemenl eu axes obliques.

336 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

et ^2. Pour la même raison, F" a une racine x, comprise entre x
et x'. On a donc les trois équations :

F(0 = 6, F'(x) = 0, F"(xO = 0.

Faisons tendre M' et M" vers M, c'est-à-dire ti et t^ vers t ;
t et Xi tendent aussi vers t et, à la limite, les dérivées étant
continues, les trois équations précédentes deviennent :

(4^) F(0 = 0, F'(0 = 0, F"{t) = 0.

Ce sont les trois équations qui déterminent les coefficients
A, B, C et P de l'équation du plan osculateur (ou, plus exacte-
ment les rapports de ces coefficients). En les développant, il
vient :

/ Ax-\-By-\-Cz + 'P = 0,
(4») Ax' 4- Bj' + Cz' = 0,

( A^" + By" 4- Cz" = 0.

On élimine P en soustrayant de (2) la première des équa-
tions (4) ; on met ainsi l'équation du plan osculateur sous la
forme

(5) A{^-x)-hB{r,-y)-hCÇ:-z)=^0, '

où A, B, C doivent satisfaire aux, deux dernières équations (4^).
Entre celles-ci et (5), on peut éliminer A, B, C et l'on obtient
l'équation du plan osculateur sous forme de déterminant :

(6)

Ç — X T) — y l — z
x' y' z'

x" y" z"

= 0.

Les coefficients A, B, C ne sont déterminés jusqu'ici qu'à un
facteur près. Mais nous conviendrons de désigner par A, B et C
les coefficients qui figurent dans l'équation (6), de sorte que
nous poserons

(7) A = y'z" — z'y", B = z'x" — x'z", C = x'y" — y'x".

Les équations (5) et (6) ne représentent le plan osculateur que
si l'une au moins des quantités A, B et C est différente de zéro.
Si ces trois quantités s'annulaient simultanément en un point,
les deux équations se réduiraient à des identités et l'équation
du plan osculateur devrait être modifiée. Nous laisserons de
côté ces points exceptionnels pour le moment. Il doit donc être

PLAN OSCULATEUR 337

bien entendu à partir d'ici qu'une au moins des trois quantités
A, B, C est supposée différente de 0.

Remarque. — 11 est impossible que A, B, C s'annulent à la fois
tout le long d'une courbe. En effet, on aurait, le long de cette
courbe,

x" y" z"

— - = ^=^—j- ou D Log a;' = D Logy' == D Logz'.

X y z

Donc Log x', Log y', Log z', ayant même dérivée, ne diffé-
reraient que par des constantes et les quantités x\ y', z' seraient
dans un rapport constant. On pourrait donc poser

x' _ y' _ z'

et, la direction de la tangente étant constante, la courbe se ré-
duirait à une droite (n° 309).

314. Théorème. — Le plan mené par la tangente au point M
parallèlement à la tangente au point infiniment voisin M', a
pour limite le plan osculateur.

Soit (2) l'équation de ce plan. La condition de passer par M
donne ¥{t) = 0 ; la condition d'être parallèle à la tangente au
même point M, tangente dont les cosinus directeurs sont propor-
tionnels à x', y', z', donne Ax' + Bj' -f Cz' = 0 ou F'{t) = 0 ; de
même, la condition d'être parallèle à la tangente au point M'
donne F'(f,) = 0. Mais alors, en vertu du théorème de Rolle, F"
a une racine x comprise entre ^ et ^1. Les coefficients du plan
considéré vérifient donc les trois équations :

F{t) = 0, F'(0 = 0, F"(t) - 0.

Quand M' tend vers M, t^ tend vers ^ et t également. Donc
les coefficients du plan-limite vérifient les trois équations qui
déterminent ceux du plan osculateur :

F{t) = 0, F'(0 = 0, F"(0 = 0.

315, Cercle osculateur. — Le cercle osculateur en un point M
d'une courbe gauche est la limite d'un cercle passant par ce
point et par deux autres points M' et M" de la courbe qui se
rapprochent indéfiniment du premier.

22

338 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

Soient x^, y,, z^ les coordonnées du centre et R le rayon du
cercle passant par les trois points M, M' et M". Soient t, t^, f,
les valeurs du paramètre correspondant à ces trois points. Con-
sidérons X, y, z comme les fonctions (1) de ^ et posons

F(0 =- {X - x,y + {y - y,Y + (z - z,y - W.

Les (juantités Xi, )-,, Zi et R vérifieront les trois équations :

r(0-o, F(^)==o, nh)-=o,

qui expriment que le centre (;x;i, y,, 2,) est à la distance R des
trois points M, M' et M". On en conclut, comme dans le cas
d'une courbe plane (n" 294), que les éléments x^, y,, z^ et R du
cercle osculateur vérifient les trois équations :

F(0 = 0, F'(0 = 0, F"{t) = 0.

D'autre part, le cercle osculateur étant dans le plan oscula-
teur, qui est la limite du plan MM'M", les coordonnées du cen-
tre vérifient l'équation (5) de ce plan. On a donc

(8) M^ - ^ô -f B(r - rO + c{z -z,) = o,

l'une des trois quantités A, B, C étant supposée différente de 0
(n°3i3).

Ajoutons à celles-ci les équations F'(f) = 0 et F''{t) = 0, qui
développées deviennent

\x'(x-x,) + y'{y-y,)-^z'{z-z,) = 0.
^^^ ix"{x-x,)+y"{y-y,)-\-z"{z-z,)^-{x''-\-y>^-\-z"').

Nous formons un système de trois équations, résoluble par
rapport à (a: — oc,), (y — yj) et {z — z^), et d'où l'on tire, en ob-
servant que le déterminant du système est A^ + B^ -\- C^, qui
est différent de 0 par hypothèse (n" 3i3),

x^ — x^ yi — y ^ z^ — z ^ x''' + y'^ + z'-
(10) Bz'~Cy' Cx—Az' Ay' — Bx' A- + B^ + C^ *

Ces équations déterminent les coordonnées x^, y^ et z^ du
centre du cercle osculateur.

Le rayon R se détermine ensuite au moyen de l'équation
F{t) = 0, qui donne

n' = {x- x,y + (y - y, Y -i-iz- z,y.

Remplaçons dans le second membre les parenthèses par leurs
valeurs tirées du système précédent, et ayons égard à l'identité

CERCLE OSCULATEUR 339

i (B^' - Cy'y [■ (Cx' - Az'Y + (Ay' - Bx'Y =-
^ ' I (A- -f IV + C^) (.r'2 4- y"-' + z'^)—{Ax' 4-By' + C^')

il viendra, puisque ce dernier carré est nul (4^*),

(12)

Pv2

A2.|-B2 + C« ' sJA^ + B^ + C'-'

On attribue à R une valeur i)Ositive, donc au radical le signe
de s'.

Remarquk. — Le centre du cercle osculaieiir se trouve, comme
on l'a vu plus haut, dans le plan osculateur. Il se trouve aussi
dans le plan normal. En effet, la première des équations (9),
F'(^) -^ 0, exprime que les coordonnées x^, y,, Sj vérifient
l'équation du plan normal.

316. Transformation des formules précédentes. — Pour un instant,
prenons s (îomme variable indépendante : nous aurons s"^ = i
et Ds'- = 0, c'est-à-dire

x'' -f y'- + z'-' = I, x'x" + y'y" + z'z" --^ 0.

Ces formules permettent de simplifer celles du n° précédent.
Nous avons, en effet, eu égard aux valeurs (7) de B et C,

Bz' - Cy' ^ (y'^ + ^")x" - {y'y -h z'z')x'

= (y"^ + z'^)x" — (— X'X'')X' ^ x".

De même,

Cx' - As' = y", Ay' — B^c' = z",

et l'identité (11) se réduit à

A' -f B- -h C2 =- x"' 4- y'"' 4- z"'.

Comme, dans notre hypothèse sur s, les dérivées a;'', y', z"
sont les dérivées premières de et, (3, y (cosinus directeurs de la
tangente), les formnles précédentes deviennent

Bz' - Cr' =^-, CV - Az'^f, Ay' - Bx' = %
ds ds ' ds

A=-.B= + C>.,(-)V(fJ +

m-

Portons ces valeurs dans les formules (10) et (12), nons trouvons

(i2\ •^•'— -^-^ y^—y _ ^i— ^ _ p2 _ <i^^-

(/a cl^ dy doL^ -f d^" + df '

ds ds ds

34o CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

Ces formules (13) ne contiennent plus que des différentielles
premières d'éléments définis sur la courbe, elles sont donc
indépendantes du choix de la variable indépendante et géné-
rales comme (10) et (12).

317. Courbure. Rayon de courbure. — La courbure se définit
dans les courbes gauches comme dans les courbes planes. Con-
sidérons sur la courbe deux points M et M' et menons les tan-
gentes MT et M'T' en ces deux points dans le sens des arcs
croissants. Formons le rapport de l'angle de ces deux tangentes
à la longueur de l'arc ; la limite de ce rapport quand le point M'
se rapproche indéfiniment da point M, s'appelle la courbure de
la courbe au point M.

Le rayon de courbure au point M est le rayon d'un cercle
ayant même courbure que la courbe en ce point ; il est donc
égal à l'inverse de la courbure.

Pour déterminer ce rayon R, désignons par a, ^, y les cosinus
directeurs de la tangente MT au point M {x, y, z), par a + Aa,
[3 -f- Aj3, Y -|- Ay ceux de la tangente M'T' au point M', par f
l'angle des deux tangentes MT et M'T' ; on a

cos <p = a (a + Aa) + p (^ + A^) + y(y + Ay).

Mais les cosinus directeurs de MT et M'T' satisfont aux deux
relations :

a^ + P^ + y' = I, (a + Aa)2 + (P+ ^(3)^ -^ (y + Ay)=^ = i.

En les ajoutant, il vient
2[a(a + Aa) -h (3 (P + A^) + y (y + Ay)] =^ 2 - (Aa^ + A^^ + Ay^) ;
d'où, puisque le premier membre est 2 cos f,

Aa2 f A[32 -f Ay2 = 2 (i — cos<p) = (2 sin ^ j.

Comme le rapport de 2 sin * à ^ a pour limite l'unité quand ^
tend vers zéro, on peut, sans en changer la limite, substituer
ces deux quantités l'une à l'autre dans un rapport d'infiniment
petits. Soit As la longueur de l'arc infiniment petit MM' ; la cour-
bure I : R au point M est égale à la limite de <p : As ; il vient donc

I ,. r^Y r r^^'^2) .. Aa^ + A^^ + Ay^

I dgg + c?P- + dy' _ a'^ + ^''' + y'^
R2~" ds^ ~ s'«

COURBURE DES COURBES GAUCHES 3^1

Donc, en vertu de la formule (]3), le rayon de courbure est
égal au rayon du cercle osculateur.

On considère R comme essentiellement positif, son expression
en fonction des dérivées des coordonnées sera donnée par la
formule (12) :

R *

VA2 4- B2 4- C2

où le radical reçoit le signe de s'.

Lie cercle osculateur, ayant pour rayon le rayon de courbure,
reçoit, à cause de cela, le nom de cercle de courbure et son
centre celui de centre de courbure.

318. Position du rayon de courbure. Normale principale. — On
considère généralement le rayon de courbure comme déterminé
de situation, de direction et de sens. C'est le vecteur mené du
point M au centre de courbure correspondant, dont les coordon-
nées x^, ji et Zi ont été déterminées précédemment (n" 3i6).
Le rayon de courbure est normal à la courbe et situé dans le
plan osculateur, car le centre de courbure se trouve dans le
plan normal et dans le plan osculateur (n° 3i5). On donne le
nom de normale principale à celle qui a cette direction et ce
sens. Ses cosinus directeurs X, [a et v se déduisent, sans ambi-
guïté de signe, des équations (13) en y faisant les substitutions :

Xi — X = RX, y, — y = Rjji, z^ — ^ = Rv.

Il vient ainsi

/i4\ Xi^JL-l K

^^ doL d^ dy ds'

ou encore , en divisant tous les dénominateurs par dt,

V^o; , a' ~ P' ~' y' ~ s''

Comme a', [3' et y' changent de signe en même temps que s',
ces formules mettent en évidence que X, jji, v ne dépendent pas
du sens dans lequel on compte les arcs.

319. Directions principales. Sens de la binormale. — Par le point
M d'une courbe, menons la tangente dans le sens des arcs crois-
sants, la normale principale et la perpendiculaire au plan oscu-

342 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

laieiir. Cette dernière droite, qui est perpendiculaire aux deux
autres, s'appelle, à cause de cela, la binormale. Ces trois droites
forment, en chaque point d'une courbe, le trièdre principal et
leurs directions, qui sont perpendiculaires entre elles, s'appel-
lent les directions principales.

Les cosinus directeurs a, ^ et y de la tangente MT menée
dans le sens des arcs croissants, et ceux X, jjl, v de la normale
principale sont définis sans ambiguïté par les formules (20) du
n*' 309 et (15) du n° 3i8, à savoir

a_p__Y_i X p-_'*' R

Nous désignerons par X, Y et Z les cosinus directeurs de la
binormale MB. Ceux-ci étant proportionnels aux coefficients
A, B et C de l'équation du plan osculateur, nous aurons

(16) X Y Z _ i_

ABC VA2 + B2 + C2"

Le radical est susceptible d'un double signe, qui correspond
aux deux sens opposés dans lesquels on peut mener la binor-
male MB. Pour déterminer ce sens et, par conséquent, le signe
du radical, il faut une nouvelle convention. Nous conviendrons
de mener la binormale MB de telle manière que le trièdre princi-
pal MTNB soit de même rotation que celui OXYZ des axes
coordonnés, c'est-à-dire que ces deux trièdres soient superpo-
sables, MT sur OX, MN sur OY et MB sur OZ. Pour réaliser
cette condition, nous allons montrer qu'il faut donner au radi-
ral qui figure dans les formules (16) le signe de s'.

En effet, considérons le déterminant 8 formé avec les cosinus
directeurs des directions principales et remplaçons-y a, [3, y et
"k, (X, V par leurs valeurs ci-dessus : il vient

S-=

a p y
A u V

R

X y

a' S'

XYZ ' ' X Y Z ^

Substituons encore les valeurs

' - \s' J - s -^^ ' ^ - Y '^^ ' ^ ~ ^' ^"

TORSION

343

il vient, par les propriétés des déterminants,

B =

R

x' y' z'
x"y''z"
X Y Z

R

=.^^(AX+BY I CZ).

Remplaçons X, Y, Z par leurs valeurs (16) ; il vient, le radi-
cal ayant le même signe que -dans ces formnles,

R

8=^VA' + B2 + C2.

Reportons-nous à la valeur (12) de R ; il en résulte que 8 est
égal à + I ou à — I suivant que le radical a le signe de s' ou le
signe contraire (*). Donc, le radical recevant le signe de .s', on

a 8 = + I.

Or t = + 1 est la condition qui exprime que les deux trièdres
MTNB et OXYZ sont de même rotation.

En effet, on peut toujours, par un déplacement continu,
amener MT en coïncidence avec OX et MX en coïncidence avec
OY. Alors MB est dirigé suivant OZ ou en sens contraire :
selon qu'on se trouve dans l'une ou l'autre hypothèse, on a

Z = ± I, d'où

I 0 0

8=OiO =±i.
0 0 ± I
Mais, si 8 était égal à 4- i avant le déplacement, il le sera
encore après, car il ne peut changer brusquement de valeur
pendant le déplacement. Donc MB sera venu en coïncidence
avec OZ.

320. Torsion. Rayon de torsion. — Après avoir considéré l'angle
de deux tangentes menées en deux points différents M et M' de
la courbe, il est naturel de considérer l'angle de deux plans
osculateurs. On arrive ainsi à la notion de seconde courbure ou
de torsion.

Comme nous l'avons déjà dit au n° 3i3, nous admettcms dès
maintenant l'existence des dérivées troisièmes de .v, y, z.

(*) Le déteriuimuit S formé avec les cosiuus dirccteiu-s de trois direc-
tions rectangulaires est toujours égal à + 1 ou à - 1. Ou le vérilic inimé-
diateineut en élcvaui ce dt'termiuaut au carré par la règle couuue.

344 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

Considérons l'angle '\> des plans osculateurs aux points M et
M' ; formons le rapport de cet angle à l'arc MM' : la limite de
ce rapport quand M' tend vers M est la torsion de la courbe au
point M. Le rayon de torsion T au point M est l'inverse de la
torsion en ce point.

Remarquons que l'angle des plans osculateurs aux points M
et M' est le même que celui des binormales en ces mêmes points.
Les cosinus directeurs de la binormale ont été désignés par
X, Y et Z. Donc le même calcul que celui qui a été fait au
n° 3i7 pour déterminer i : R au moyen des cosinus directeurs
a, p et y de la tangente, donnera, dans le cas actuel,

I X'2 + Y'2 + Z'«

(17)

Ts

Cette formule suffit pour déterminer la valeur absolue de la
torsion et du rayon de torsion. Un examen plus approfondi
conduit cependant à donner un signe à la torsion. C'est ce qui
sera fait dans le numéro suivant où nous donnerons en même
temps la valeur de T en fonction des dérivées de x, y, z.

321. Signe de la torsion. Détermination du rayon de torsion en gran-
deur et en signe. — On a les trois équations :

X2 + Y2 + Z" - I, Xx' 4- Yy' + Zz' = 0, Xx" + Y y" + Zz" = 0.

En effet, la première devient identique et les deux suivantes se
réduisent aux équations (4^) quand on remplace X, Y, Z par
leurs valeurs (16). Dérivons ces équations en tenant compte de
la dernière ; il vient

XX' -h YY' 4- ZZ' = 0,

^c'X' + y'Y' + z'Z = 0, .

x"X' + y"Y' + z"Z' - — (Xx'" + Yy'" + Zz'").

C'est un système de trois équations résoluble par rapport à
X', Y', Z' et dont on tire, en observant que le déterminant du
système est AX + BY + CZ (qui est différent de 0 en même
temps que A^ + B^ + C'^),

X; ^ Y' ^ Z' _ — {Kx"' + Yy"'-\-Zz<")

Yz'—Zy'~Zx'— Xz'~Xy>—Yx'~' AX"+BY + CZ '

TORSION

345

Observons que l'on peut remplacer dans le dernier membre
de cette suite d'égalités X, Y, Z par les quantités proportion-
nelles A, B, C et que les dénominateurs des autres membres
sont respectivement Xs', [is', vs', car des égalités entre cosinus
directeurs de directions rectangulaires

la + pip -I- vy = 0, XX + [xY -f vZ = 0,

on tire, grâce à la convention sur le sens de la binormale,

X t^ V X2 4- fJl2 -f v2

yY — pZ aZ - yX (3X — aY

a^y

X |Jl V

XYZ

= I,

d'où

Yz' — Zy' = s'{yY -
Il vient par ces substitutions

en posant en abrégé

j3Z) = Xs', etc..

D

A2 + B2 4-C2'

(18)

D = Ax'" + By'" + Cz'" =

x'
x"

X

Itl

En vertu de la formule (17), chacun des rapports égaux X' : Is',
Y' : [is', Z' : vs' est encore égal, au signe près, à

s'VX^ + Ht^ + v^'" T'

Nous conviendrons de donner un signe à la torsion et de choisir
ce signe de manière que chacun des rapports précédents soit égal,
même en signe, à i : T. Nous avons ainsi le système de formules :

(m x^ _ Y' Z' _ I D

^^' X? lis' vs' T A^ + B^ + C'^'

La dernière montre que T s'exprime rationnellement en
fonction des coordonnées du point M, ce qui n'avait pas lieu
pour le rayon de courbure. Le signe de la torsion est indépen-
dant du sens dans lequel on compte les arcs puisque la der-
nière formule est indépendante de s'.

La dernière formule montre que la torsion s'annule avec le
déterminant I). On appelle plans osculaieurs stationnaires ceux
qui sont menés aux points où B = 0.

346 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

322. Théorème. — La droite, intersection du plan oscillateur
en M (supposé non stationnaire) avec le plan oscillateur en un
point infiniment voisin M', a pour limite la tangente en M.

(/Ommen^îons par une remarque préliminaire. On a

BC' — CB' = B{x'y"' — y'x'") — C{z'x"' — x'z"')
= x'{By" + Cz'") — x"'{By' + Cz').

Mais By' -{- Cz' = — Ax' ; il vient

BC — CB' - x'{Ax"' f By'" + Cz'") = Dx'.

On en déduit par permutation circulaire les deux formules
analogues :

CA' — AC = Dy', AB' - BA' - D^'.

Donc, en un point ordinaire où D n'est ])as nul, une au moins
des trois quantités BC — CB',... est différente de 0.

Arrivons maintenant au plan osculateur. Considérons .v, y, z
et A, B, C comme des fonctions de t définies sur la courbe et
posons (i, Ti, ^ étant indépendants de t)

<D(0 -- A(i - .V) + B(r, - y) + C(C - z).

Les équations des plans osculateurs aux points M et M' de
paramètres t et t -\- ^t seront

<ï>(0 =- 0, m 4- M) = 0.

Les coordonnes i, r\, ^ de Fintersection de ces deux plans
vérifient ces deux équations à la fois, donc aussi leur différence
A<I> = 0 et aussi A<I> : M =-0. Quand M' tend vers M, M tend
vers 0 et ^, -n, ^ vérifient le système

a>(0 =- A(^ - .v) 4- B(n - y) + C(C -z) = 0,
^'(0 = A (i - X) H- B'(t, - y) + C% - z) = 0,

car <I^'(/) se simplifie par la relation A.x' + Hy' + Cz' — 0. Mais
en vertu de notre remarque préliminaire, ce système peut être
résolu })ar rapport à (^ — .v),... et on en tire, en vertu des rela-
tions BC — CB' = Doc',...

î — x^-n — y^^ — z
T)x' Dy' l)z' '

Ce sont les équations de l'intersection-limite (D n'étant pas
nul) et elles se confondent avec celles de la tangente.

TORSION 347

Remarque. — Le théorème subsiste eu général aux points
où I) = 0, mais à condition d'introduire de nouvelles hypothèses
sur l'existence des dérivées d'ordre plus élevé. Nous n'exami-
nerons pas cette question ici.

323. Interprétation géométrique du signe de la torsion. — Il résulte
du théorème précédent que, quand le point M se déplace sur la
courbe dans un sens déterminé, la rotation du plan osculateur
se fait autour de la tangente. Le sens de cette rotation dépend
du signe de la torsion. C'est ce que nous allons montrer.

Soient M un point variable et Mo un point fixe sur la courbe,
'■f l'angle de la binormale en M avec la normale principale en Mo.

On a

cos cp ==- XoX + H^oY 4- VoZ

et, eu différentiant et utilisant les relations (19),

dœ . "XoX' + UoY' 4 VoZ' Xo + iXo\i. + VoV
- cis ^"^ ^== s' = T •

Prenons Mo dans la position actuelle de M ; nous aurons

<p ^ 90", A == Xo,..., donc

(/cp _ I
~ds'' T •

Donc cp et .s- varient en sens contraire si T est positif, et dans
le même sens si T est négatif. Ainsi, lorsque le point M se dé-
place sur la courbe dans le sens des arcs croissants, la rotation
de la binormale autour de la tangente se fait du côté de la nor-
male principale si T est positif, et du côté opposé si T est négatif.

Cette règle s'applique, quel que soit le sens de rotation du
trièdre OXYT.. S'il est donné comme d'habitude, un observateur
qui se tient debout sur le plan YZ du coté de OX, voit la rota-
tion de ()Y vers OZ se faire de gauche à droite (ou dans le sens
des aiguilles d'une montre). Dans ce cas, la règle précédente se
transforme dans la suivante : Un observateur immobile qui
regarde s'éloigner le point M, verra tourner le plan osculateur
dans le sens des aiguilles d'une montre si T est positif et dans le
sens inverse si T est négatif.

On dit que l'allure de la courbe est dextrorsum dans le pre-
miei' cas (T positif) et sinistrorsum dans le second (T négatif).
Cette distinction est indépendante du sens dans lequel se fait

34B CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

le mouvement, car, si ce sens vient à changer, le sens de la
rotation et la position de l'observateur sont renversés en même
temps et les apparences restent les mêmes.

324. Formules de Frenet. — Les formules de Frenet jouent un
rôle important dans la théorie des courbes gauches. Elles ont
pour objet d'exprimer les différentielles des cosinus directeurs
des directions principales en fonction des cosinus eux-mêmes,
de la courbure et de la torsion. Les trois systèmes de formules
sont les suivants :

da d(3 dy ds
X ~ pi ~ V ~R'

(21)

dX dY

dZ ds
V T

d\ a X du
ds~ R T' ds ~

R

Y dv
T' ds~

R T-

(20)
(22)

Les deux premiers nous sont déjà connus, car ils reviennent
à (14) et (19). Pour établir le troisième, on différentie, en tenant
compte des deux premiers, les trois équations :

aX + p|jL + yv = 0, XX + Yfx -h Zv = 0, X^ + jx^ + v^ = i ;

il vient

adX 4- [âdpi + ydv = - ^, XdX + Yd|x + Zdv = - ^,

XdX H- pLd(jL + ^dv = 0.

On ajoute ces équations respectivement multipliées par
a, X, X, ou par (3, Y, (i., ou par y, Z, v, on obtient les formules (22).

On déduit de ces formules d'importantes conséquences, par
exemple les suivantes :

1° Toute courbe dont la courbure est constamment nulle est
une droite.

En effet, les formules (20) donnent dans ce cas da = d^ = dy = 0,
donc a, p, y sont constants et la ligne est droite (n° 809).

2° Toute courbe dontla torsion est constamment nulle est plane.

En effet, les formules (21) donnent alors dX = dY = dZ = 0,
donc X, Y, Z sont constants. On a alors

Xx + Yy -\- Zz = Const.

car le premior membre a pour dérivée 'Xx' + Yy' + Zz' qui est
nul. Donc la courbe est dans le x)lan représenté par cette équa-
tion.

FORMULES DE FRENET 349

325. Expressions des dérivées successives des coordonnées par rapport
à l'arc. — Prenons l'arc s comme variable indépendante. On a d'abord
par les formules de Frenet,

x< = a, ^'_a_— , X -^ j^3 - (^R2+- R2+ rt/

Si l'on continue à dériver de proche en proche, en remplaçant cha-
que fois les dérivées de «, X, X par leurs valeurs tirées des formules de
Frenet, on trouve

;,;(»)= aPi+XPg 4- XP3,

où Pi, P2 et P3 sont des fonctions rationnelles de R, T et de leurs
dérivées successives. Ces mêmes fonctions s'introduisent dans les va-
leurs dey") et de ^-i"', de sorte que l'on a

^^«) = PP, + [XP2 + YP3,

^(»)=yPi + vP2 + ZP3.

En particulier pour les trois premiers ordres, les valeurs de Pi, P2
et P3 se trouvent dans les expressions de x\ x" et x'" écrites ci-dessus.

Pour faire une application de ces formules, plaçons l'origine des
coordonnées à l'origine des arcs, prenons les axes coordonnés sui-
vant les directions principales, OX suivant la tangente, OY suivant la
normale principale, OZ suivant la binormale au point O, et propo-
sons-nous de développer x, y et z suivant les puissances de 5 par la
formule de Maclaurin. Bornons-nous seulement au calcul des trois
premiers termes. Le développement de x est le suivant :

I Xq Xq

x = xos-\ s^ -\ — ^-i^-f-...

2 o

et ceux dejK et ^ sont analogues. Dans le cas actuel, Oq = (Aq = 2o = i
et les autres cosinus directeurs au point O sont nuls. On a donc

<=^'

x'l = 0,

i:'" — — ^ .
^0 - j^2,

>;=o.

Il I

Kl R'

yo - ^,;

^0=0,

.;'=o,

RT-

Par conséquent.

(23) x = s 6R2^^ + -

S2

•' ^=2R-

R' 3 .
-6R^^ +•••' '=■

53

6RT

+ ...

Parmi les conséquences de ces formules, nous indiquerons seule-
ment la suivante : Une courbe traverse chacun de ses plans osculateurs en
son point de contact.

En effet, sauf le cas de R ou bien T infini, la dernière équation
montre que z change de signe avec s. A l'origine, le plan osculateur est

35o CHAPITRE TX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

celui des xy ; la courbe passe donc d'un côté à l'autre de son plan
osculateur. Le point M se mouvant sur la courbe dans le sens des
arcs croissants, passe, par rapport au plan osculateur, du côté de la
binormale si T est négatif, du côté opposé si T est positif.

326. Hélice circulaire. — Cette courbe est décrite par un point M
qui se meut uniformément sur une droite, laquelle tourne elle-même
d'un mouvement uniforme autour d'un axe qui lui est parallèle.
L'hélice est donc tracée sur un cylindre de révolution. Soient r le
rayon de la section droite du cylindre et k une constante. Si l'on prend
l'axe du cylindre pour axes des z et si l'on fait passer l'axe des y par
un point de la courbe, les équations de l'hélice circulaire sont :

x = rs\nt, y = r cos t, z = kt.

Nous compterons les arcs dans le sens où t croît, de sorte que nous
aurons, // désignant une constante positive,

* ? "f? ' h' ^"h'

l_ _ \/a'--|-j3'2-f Y'ii _ jK^

X = R - = , ÎJL -= — , '' = 0.

5 r r

A^ky, B = — kx, C = — r-, y^'ÂTfW^fU = ky .

^ _h V _ ^^ y ^

T V~A2*

Donc : 10 La courbure et la torsion sont constantes ; 2" la tangente, la
binormale et la normale principale font des angles constants avec OZ (le
dernier étant droit) ; 3^ la torsion a le signe de k.

Avec notre convention sur le sens de rotation des axes coordonnés,
les spires, vues de l'extérieur du cylindre supposé vertical, paraissent
monter de gauche à droite si k est positif (dextrorsum) et de droite à
gauche si k est négatif (sinistrorsum).

Les coordonnées du centre de courbure Mi sont (n^ 3i6) :
;,,=;, -|.R2?^=-;r(^-y, vi =-r(^-j , z^=z.

Donc le lieu du centre de courbure est une nouvelle hélice. Le centre de
courbure au point Mi de cette nouvelle hélice est au point M. Les
deux hélices décrites par M et Mi sont réciproques au point de vue
de la courbure : chacune d'elles est le lieu des centres de courbure de

FORMULES DE FRENET 35l

l'autre. C'esfd'ailleurs une propriété générale des courbes à courbure
constante. (Voir l'exercice 4 à la fin du paragraphe).

Réciproquement, toute courbe qui a ses deux courbures constantes est une
hélice (Liouville). Ce théorème sera démontré au n" 328.

327. Hélice quelconque. — Une droite AB qui reste parallèle à OZ
et dont le point A décrit une courbe PQ dans le plan xy, engendre une
surface cylindrique. Supposons que le point M se déplace avec une
vitesse constante sur la droite AB pendant que le point A se déplace
avec une vitesse constante sur la courbe PQ ; le point M décrit sur
la surface du cylindre une courbe appelée hélice. Soit a- l'arc de la cour-
be PQ (section droite du cylindre) ; les équations de l'hélice sont de
la forme [k constant)

X = <p(a), y = (|^(c7), 2 = k<y.

Prenons j comme variable indépendante ; nous avons

x'^-{-y" = i, s' = \lx'^+y'^-\-z'^==\/i-\~k-'.

Donc : i" l'arc s de l'hélice est proportionnel à l'arc a de la section droite
11 vient alors

^ '' \/ï"+T^' ' ''

Donc : 2° la tangente à l'hélice fait un angle constant avec la génératrice
du cylindre ; 3*^ la normale principale à l'hélice est normale au cylindre. Il
vient ensuite

I _ g^g 4- P'2 -f y'^ _ «'^ + P'^

R2~ 5'2 I+/^2 •

Mais a'2 4- ÎJ'2 est le carré de la courbure de la section droite, donc :
4° les rayons de courbure aux points correspondants de l'hélice et de la sec-
tion droite sont proportionnels. En particulier si l'hélice est à courbure
constante, la section droite l'est aussi et devient un cercle (n» 298),
donc : 5° toute hélice à courbure constante est circulaire.

On tire maintenant des deux premières séries de formules de Frenet

(23) RdoL — TdX=0, Rd^-TdY==(), Ed^[—TdZ^O.

La dernière équation montre que dZ s'annule avec dy, donc Z est
constant et : 6° la binormale à l'hélice fait un angle constant avec la généra-
trice du cylindre. Enfin la dernière formule de Frenet devient mainte-
nant (v étant nul)

d^

ds

Y
R

Z

T

= 0,

d'où

R
T

Y
Z

et comme y et Z sont constants, nous voyons que : 7" les rayous de
courbure et de torsion de l'hélice sont dans nn rapport constant.

352 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

Ces diverses propositions admettent des réciproques. C'est ce que
nous allons montrer.

328, Conditions sous lesquelles une courbe est une hélice. — i" Toute
courbe dont la tangente fait nu angle constant avec une droite fixe OZ, est
une hélice.

En effet, prenons s pour variable indépendante, on a £■' = y (con-
stant), donc en faisant passer le plan des xy par l'origine des arcs, z = 75.
On a ensuite

I = x^i +_v'2 + z'^ =- a'2 -f yï, d'où a' = Vl — t,

et en comptant l'arc «r de la section droite à partir du point correspon-
dant à l'origine de l'arc s, on a 7 = \/i — y2 s. Donc, en exprimant x,
j/ et ^ en fonction de o, on a les équations d'une hélice :

X = cf (a), y = <|^(a), 2

Ml -y'

2° Toute courbe dont la normale principale est perpendiculaire à une droite
fixe OZ ; toute courbe dont la binormale fait un angle constant avec OZ,
est une hélice.

Ces propositions se ramènent respectivement à la précédente par
l'une des formules :

dy^~^ ds, R^Y — TdZ = 0,

qui montrent que dy s'annule soit avec v, soit avec dZ, auquel cas y
est constant.

3" Toute courbe dont les deux courbures sont dans un rapport constant est
une hélice.

Posons, en effet,

T T T

«-^X = a, p-±-Y = b, y--^Z = c;

a, b, c seront constants, car leurs différentielles seront nulles en vertu
des équations (23). Additionnons les trois équations ci-dessus respec-
tivement multipliées par a, [3, y, il vient

aa -f èp -f cy = I .

Cette équation exprime que la tangente fait un angle constant avec
une droite de coefficients directeurs a, b, c, ce qui ramène au cas 1°.

4° Toute courbe dont les deux courbures sont constantes est une hélice cir-
culaire.

En effet, c'est une hélice en vertu de la proposition précédente et,
comme elle est à courbure constante, elle est circulaire. (Voir ci-des-
sus, no 327, 5°).

FORMULES DE FRENET 353

329. Courbes de Bertrand. — On appelle courbes de Bertrand celles
dont les deux courbures sont liées par une relation linéaire. On est
conduit à ces courbes quand on se propose le problème suivant :

Trouver une courbe gauche dont la normale principale soit aussi la normale
principale d'une autre courbe.

Soit M{x,y, z) le point qui décrit la première courbe, Mi(a-i ji, Z\)
celui qui décrit la seconde. Nous écrirons sans indice les éléments re-
latifs à la courbe (M) et avec l'indice i ceux relatifs à la courbe (M,).

Soit p la distance MMi et <^ l'angle de la tangente MiTi avec la tan-
gente MT, angle compté positivement du côté de la binormale MB.
Ces deux quantités p et <|/ sont constantes. En effet, on a

<f p2 = d^{x —X,Y== 2^X — x,)dx — 21{X — X,)dXi

et chacune de ces deux sommes est nulle, car M et M i se déplacent
normalement à p', donc dp^ = 0. D'autre part, en vertu des formules
de Frenet, on voit facilement (X, [x, v et Xj, [Xi, vj étant identiques) que
^ad<xi et Sajt^a sont nuls, d'où

dco&'\> = d{(xcii + ppi -\- YYi) = 0,

Donc les trièdres principaux relatifs aux deux courbes sont invariablement
liés entre eux.

D'autre part, en dérivant par rapport à s les trois relations :
X\ ===^ + ^P, Ji = ..., 2i =^- ... où p est constant, il vient

(1) „_ = ,_(^_+_,jp, p. - = ..., T,^ = ...

Multipliant par a, j3, y et ajoutant ; par X, Y, Z et ajoutant, il vient

/o\ '^^i I P dsi . , p

(2) ^cos^^i--, --sm4^ = --^;

d'où
(3)

I _ I COt'j'

7~" rT T"

Donc les deux courbures de la courbe (M) sont liées par une rela-
tion linéaire. La courbe (M) est une courbe de Bertrand et la courbe (Mi)
en est une aussi, pour les mêmes raisons.

Réciproquement, toute courbe de Bertrand (M) est conjuguée à une autre
courbe (Mi) ayant même normale principale.

En effet, si la courbe (M) satisfait à la relation (/>, q constants)
(4) i -^ = 1

je dis que la courbe (M,) que l'on en déduit en portant MM, (ou p)
égal à p sur la normale principale, aura cette normale principale
commune avec (M).

23

354 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

En efïet, p étant constant, on a les équations (1), d'où l'on tire, en
multipliant par X, [x, v et ajoutant, SXaj = 0, ce qui montre que MMi est
une normale à (Mi). Donc on a, comme plus haut, les équations (2)
et (3) et, par comparaison avec (4), cot '^ = q: p. Donc ^ est constant
et il vient, à cause de SXa, = 0,

ds

O^d cos '\> = iSaai :=— -SaXi,

0 = rfsin J^-iSXai =^lXh.

Donc la normale principale à (Mj est normale à MT et à MB et
coïncide avec MMi.

Une courbe qui a ses normales principales communes avec deux autres cour-
bes est une hélice circulaire, et les normales principales sont alors communes
à une infinité d'hélices circulaires.

En effet, R et T, étant alors liés par deux relations linéaires distinctes,
sont constants et la courbe est une hélice circulaire. D'autre part, la
longueur constante MMi peut alors être prise arbitrairement. Toutes
les hélices décrites par Mi sont tracées sur des cylindres concentriques.

Exercices.

1. Appliquer les formules générales à la courbe

y = x^ : 2a, z ==^ x^ : 6a^.

R. En choisissant convenablement le sens des arcs, on a

ds a -\-y

dx a '

Ensuite (e désignant l'unité du même signe que a)

«_P_ï_ I j ^"" ^^' i^- = -(« — ï)' ^==^P;

a X y a+y' ( X = ty, Y = — sp, Z = sa.

_ T = eR = (a +j/)2 : fl.

2. Même question pour la courbe

y = x'^:'5a^, z=a-:2x.

R. On a, en choisissant convenablement le sens des arcs,

ds 2x* -\- a*

dx 2a^x^

Ensuite (s désignant l'unité du même signe que x)

a _ P _ Y _ I . S X = — e(P -[- y), [A = ea, V = sa ;

2fl2;i-2 2X^ a^ 2X* + a*' ( X = ea, Y = sy, Z = ep

T-sR- (^^' + ^')'

FORMULES DE FRENET 355

3. Calculer les dérivées des coordonnées x^,yi, z^ du centre de cour-
bure Ml d'une courbe gauche et celle de l'arc Si décrit par ce point.

R. On dérive les relations Xi — x ^^ RX,... et l'on tient compte des
formules de Frenet, On trouve

x[ = XR' - X ^5', y[ = ^R' -Y ^s', z[^,R' - z~ s',

4. Courbes à courbure constante. — Le lieu du centre de courbure Mi
d'une courbe gauche à courbure constante jouit de propriétés remar-
quables. On tire, dans ce cas, des équations de l'exercice précédent

'1

-)'i h R

X Y Z 1^ ^ ^i-

En affectant de l'indice i les quantités qui se rapportent au lieu du
point Ml, il vient

ai=X, P,=Y, Yi=Z.

Donc la tangente au point Mi est parallèle à la binormale au point
M. On a ensuite les trois relations :

<^X', (3; = y, yi=z'.

On en tire d'abord

«;^+P1^+t:^-X'2 + Y'2 + Z'2, d'où 4 = £ et R, -R;
ensuite, au moyen des formules de Frenet,

Xi= — X, [J.i=— |i, V, =— V.

On en conclut que le point M est le centre de courbure au point Mi
de la courbe décrite par ce centre de courbure. Donc les deux courbes
considérées, la courbe génératrice et la courbe décrite par son centre
de courbure, sont réciproquement les lieux des centres de courbure
l'une de l'autre.

5. Courbes sphériqnes. — On appelle ainsi les courbes tracées sur une
sphère. L'origine étant au centre, on a

^^ + J'^ + ^^ = p^ -■= const.

En dérivant par rapport à 5 et en se servant des formules de Frenet,
on en déduit, de proche en proche,

«^ + h' + -(Z =0, X;t; + (xy -f v^ = — R, Xx^ Yy-\-Zz = — R'T
d'où

^ = _XR + XTR' r = — |xR + YTR', ^=-vR}-ZTR'.

Soit 0 l'angle de la normale principale en M avec la normale inté-

356 CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES

rieuie à la sphère, on conclut, sans peine, des formules précédentes :
jo que l'on a, les dérivées étant toujours prises par rapport à l'arc,

R = P cos 6, I : T = ± 0', R^ + (TR')^ = ?^ ;

2" que toute courbe sphérique à courbure constante est plane et qu'elle
est, par conséquent, un cercle de la sphère.

6. Soit s =^ MM' un arc infiniment petit d'une courbe gauche. Dé-
montrer que : la distance 8 du point M' au plan osculateur en M, la plus
courte distance ô' des tangentes en M et en M', la différence £ entre
l'arc s et sa corde, ont respectivement pour expressions, aux infiniment
petits près du 4« ordre :

8^

6RT' 12RT' 24 R'*

R. Ce sont des conséquences faciles à tirer des formules (23) don-
nées au n° 325, et il en est de même de la proposition formulée dans
l'exercice suivant :

7. Soit s= MM' un arc infiniment petit d'une courbe gauche. Dé-
montrer que la distance du point M' à la tangente MT a pour valeur
s" : 2R, aux infiniment petits près du troisième ordre.

CHAPITUE X.

Calcul des aires, des arcs et des volumes.
Evaluation approchée des intégrales définies.

§ 1 . Quadrature des aires planes.

330. Quadrature des aires planes (coordonnées cartésiennes). — Soit
f{x) une fonction continue dans l'intervalle {a, b) (a < b). Con-
sidérons la courbe plane qui a pour équation

par rapport à deux axes OX et OY se coupant sous un angle A.
Proposons-nous d'évaluer l'aire comprise entre la courbe, l'axe
des A' et les deux droites x = a et x = b.

Supposons, pour commencer, que f{x) soit constamment posi-
tif dans l'intervalle {a, b). Alors le problème à résoudre est celui
que nous avons déjà examiné au n" 222, mais en axes rectangu-
laires. La solution est analogue pour des axes quelconques.
Décomposons l'aire en segments par des parallèles à l'axe des y
d'abscisses successives .Vi = a, A*g, x^... Xi,... Xn+i = b et. soient,
en général, M, et /«, les bornes supérieure et inférieure de f{x)
dans l'intervalle {Xi, Xi+i) d'amplitude 8^. L'aire du segment de
base 5j est intermédiaire entre celles des deux parallélogrammes
de même base S/, l'un inscrit dans le segment et l'autre circons-
crit. Ces parallélogrammes ont respectivement pour mesures
m^i sin X et M^S; sin X. L'aire S à évaluer sera comprise entre
les deux sommes :

n n

sin X E nitZi et sin X E M Si.
1 1

Elle a donc pour valeur la limite commune de ces deux

sommes quand tous les 8^ tendent vers zéro. Il vient ainsi, par

définition de l'intégrale définie (n" 219),

(1) S = sin X f f{x) dx

358 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

Si l'on suppose maintenant que f{x) soit constamment néga-
tif dans l'intervalle (a, b), le raisonnement précédent subsiste,
sauf que que toutes les mesures considérées sont négatives, et la
formule (1) donne pour S une valeur négative. Les aires calcu-
lées par cette formule sont donc positives quand la courbe est
située au-dessus de l'axe des x, et négatives quand la courbe
est située au-dessous.

Enfin, si la courbe traverse une ou plusieurs fois l'axe OX,
la formule fournit seulement la différence entre les aires situées
de part et d'autre de cet axe. Dans ce cas, si l'on veut calculer
l'aire totale, il faut donc évaluer séparément les aires positives
et négatives et faire la somme de leurs valeurs absolues.

Lorsque les axes sont rectangulaires, sin X = i. La formule
se simplifie et prend la forme la plus liabituelle :

(2) S = fV(^) dx = fV dx.

Ja Ja

331. Les formules précédentes permettent d'évaluer l'aire
comprise entre deux courbes. Supposons que ces courbes aient
pour équations :

et que l'on ait constamment fi{x) < f2{x). L'aire S comprise
entre les deux courbes et les deux droites x = a et x — b, sera
la différence algébrique entre les deux aires Sg et Si comprises
entre ces deux droites et l'axe des x, mais limitées respective-
ment à chacune des deux courbes. On a donc S = S2 — Si Si
les axes sont rectangulaires, la formule (2) s'applique au calcul
de Sg et de S j et il vient

(3) S^ {\Ux)-f\{x)]dx.

Ja

Si les axes sont obliques, l'intégrale précédente doit être
multipliée par sin X.

La formule (3) s'emploie pour calculer l'aire d'une courbe
fermée qui n'est rencontrée qu'en deux points par une paral-
lèle à l'axe des y.

Dans ce cas, l'équation de la courbe fournit pour y les deux
valeurs /"i(a'') et fzix) que l'on doit substituer dans la formule, et
l'on prend pour a et 6 les valeurs extrêmes de x sur la courbe.

QUADRATURE DES AIKKS PLANES ^-^9

332. Applications (coordonnées cartésiennes). — 1- Parabole. La
parabole, rapportée à un diamètre OX et à la tangente à l'ex-
trémité de ce diamètre, a pour équation y' = 2px, d'où

f{x) = \/^\/x.

L'aire comprise, au-dessus de l'axe OX, entre cet axe, la
courbe et la corde d'abscisse x, sera donc

S = Vâp sin >. y\lx dx = \/2p sin X | jc - | JC y sin X.

Cette aire vaut donc les deux tiers du parallélogramme con-
struit sur les deux côtés rectilignes, x et y, de l'aire considérée.
La relation analogue existe entre les aires correspondantes
situées au-dessous de l'axe OX. Donc le segment détaché de la
parabole par une corde quelconque est égal aux deux tiers du
parallélogramme construit sur sa corde et sur sa /lèche (portion
du diamètre conjugué intérieure au segment).

II. Cercle. L'équation d'un cercle en coordonnées rectangu-
laires est

y = sja' — x'^.

Le segment situé au-dessus du diamètre OX entre les cordes
jc = 0 et ^c = ^, a donc pour valeur

S = ^dxsj'^^^x'^ ^yiTZ^-l- ±^ arc sin^

Jo

ainsi qu'il résulte de la valeur de l'intégrale indéfinie, calculée

au n» 190.

Si X = a, on obtient l'aire du quart de cercle, Tra" : 4. Donc

Taire du cercle entier est Tca^.

III. Ellipse. L'ellipse étant rapportée à ses axes, son équa-
tion se ramène à la forme

b

y ::^ --y^a^—X^.

a

Le segment situé au-dessus de l'axe OX entre les cordes
<^ ^ 0 et A' = .V, s'obtient en multipliant par b : a l'aire que nous
venons d'obtenir pour le cercle. Donc l'aire de l'ellipse entière
sera r:ab.

IV. Hyperbole. L'équation de l'hyperbole rapportée à ses

axes est de la forme

y =z -\Jx^ — a^.

360 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

L'aire S comprise (fig. 9) entre l'arc de la courbe AM, l'axe
horizontale OX et la verticale MP d'ab scisse
x{x > a) a pour valeur

b C^ .

S = - dx\/x^ — a*.

Calculons d'abord l'intégrale indéfinie.
Une intégration par partie donne

\dx\/x'—a^ = X \/x^ — a2 — (-^LÉ^

^ J \jx^ — a^ ■

Si l'on remplace x'-dx par {x^^ — a:') dx + aMx, la dernière
intégrale se décompose en deux autres, dont celle du premier
membre. On en conclut

2 \dx\Jx^ — a2 := X sjx'- — â^— a^ f ^^

\dx\Jx^ — a^ = ^sj^^~r^_ ^ Log (;x; -}- SJx'^ — a%
j ^ 2

De là résulte facilement la valeur de S :

2a ^ 2 ^ a

et, en se servant de l'équation de la courbe,
ç, xy ab fx V

Le premier terme de S mesure l'aire du triangle OPM (fig. 9).
Donc le second terme, pris en valeur absolue, mesure l'aire
du secteur OAM (secteur liyperbolique).

Si l'hyperbole est rapportée à ses asymptotes, son équation
est xy = k^. L'aire comprise entre la courbe, l'asymptote OX
et deux parallèles à l'autre asymptote d'abscisses Xo et x, a pour
mesure (X étant l'angle des asymptotes)

s = sin x - - dx = k^ sin X Log — .

J^^X ^ Xb

C'est cette propriété des logarithmes népériens qui leur a fait
donner le nom de logarithmes hyperboliques.

On remarquera que l'aire S augmente indéfiniment quand .y
tend vers l'infini ou quand x^ tend vers 0. La portion du plan

QUADRATURE DES AIRES PLANES 36 1

comprise entre une branche de la courbe et ses asymptotes à
donc une aire infinie.

IV. Cycloïde. — Si l'on prend pour variable d'intégration
l'angle t (n° 283), on aura

ydx = a"(i — cos ty dt.

L'aire S de la cycloïde comptée depuis l'origine où ^ == 0 jus-
qu'à l'ordonnée qui répond à l'angle t, aura pour mesure

a 2 T/ *\o 7. .f^i • / I sinfcosA
S = a^ (i — cos ty dt =-■ aM sin t -\ 1 .

Retranchons cette aire OMP (fig. lo) de colle de rectangle
OPFG qui a pour valeur 2ax ou bien y
2a^ {t — sin t), le reste, c'est-à-dire l'aire
OMFG, sera égal à

— ( t — sin t cos t

ce qui est précisément l'aire du segment ^^' ^^'

AMQ déterminé, dans le cercle générateur, par la perpendicu-
laire MQ sur le diamètre AB. On a donc

surf. OMFG = surf. AMQ.

A l'extrémité de l'arcade, f = 27î et S = 37Ta'^. Doncî Faire totale
entre une arcade de cycloïde et sa hase est triple de l'aire du
cercle générateur.

333. Quadrature des secteurs (coordonnées polaires). — Considé-
rons l'équation d'une courbe plane en coordontiées polaires

r = m,

où f{^) est une fonction continue entre 9i et 0 (8, < 0).

Proposons-nous d'évaluer Faire du secteur compi'is entre un
arc de la courbe et les deux rayons vecteurs d'inclinaisons 9i
et 8. Pour cela, décomposons cette aire en secteurs élé-
mentaires par des rayons vecteurs intermédiaires d'inclinai-
sons successives O^,... 9/,.... 6,i, et soit 9„-|_i = 6. L'aire d'un
secteur quelconque, limité par deux ra^'ons consécutifs d'incli-
naisons Oj et Oj_|.i, est comprise entre celles de deux secteurs
circulaires de même ouverture {^i^i — 8<), mais ayant respecti-
vement pour rayons le minime nu et le maxime M» de /'(G)

362 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

dans l'intervalle (0,, ^i+i)- Ces deux secteurs circulaires ont

respectivement pour mesures - in\{^i^i — G^) et - M/ {%+i — %).

Donc le secteur entier de la courbe sera compris entre les deux
sommes :

^ S m?(9,4-i - 0,), 4 ^ ^K^z+i - ^-

2 2=1 2 1=1

Si Ton multiplie indéfiniment le nombre des secteurs élémen-
taires, de manière à faire tendre vers zéro toutes leurs ouver-
tures (6î+i — Gf), ces deux sommes tendent vers une limite com-
mune, qui sera la valeur de S. Cette limite est une intégrale
définie ; on a donc

(4) S = U^f{^yM = l\^r^d^.

Rrmarque I. — On peut appliquer la formule (4) à des cour-
bes qui décrivent plusieurs si>ires autour du pôle. Dans ce cas,
l'intervalle d'intégration peut croître au delà de quatre angles
droits et la formule représente l'aire totale balayée par le rayon
vecteur quand il tourne dans le même sens de 0 à 0. Donc,
quand le rayon tourne de plus d'un tour, les aires décrites se
recouvrent l'une l'autre.

Remarque II. — On peut tra^nsformer la formule (4) de ma-
nière à la rendre immédiatement applicable au cas des coor-
données cartésiennes. On a, en effet,

r'^tZG = {x^ -\- y^)d. arctg ~ = xdy — ydx.

Supposons X et y exprimés en fonction d'une variable t, qui
varie de fj à t^ quand le point {x, y) décrit l'arc limitant le sec-
teur, et prenons t comme variable d'intégration. La formule (4)
se transforme dans la suivante :

(5) s=^r^^-%=^^rf^.

^ ' 2J(^ dt

334. Applications (Coordonnées polaires). — I. Spirale d'Archi-
MÈDE : r = aô. L'aire S depuis l'origine jusqu'au rayon vecteur r,
a pour mesure

ajo 2 jo 6

r

6a

QUADRATURE DES AIRES PLANES 363

Si l'on fait = 2t:, on obtient l'aire entourée par la première

• 4 s 2

spire, a savoir ^"^^ -

II. Spirale logarithmique : r = ae^^- Cette courbe décrit
une infinité de spires autour de l'origine. Cherchons l'aire du
secteur S compris entre un arc de la courbe et les deux rayons
vecteurs Tj et R d'inclinaisons 0, et 0. On aura

-i

Si l'on fait tendre 9; vers — oo, r^ tend vers zéro et S vers
E.^ : ^m. On obtient ainsi la limite de la somme des aires en-
tourées par un nombre illimité de spires qui se rapprochent
indéfiniment du pôle.

III. Lemniscate : r^ = a^ cos 29. Cette courbe se compose de
deux feuilles symétriques. L'aire du secteur compris entre l'axe
polaire et le rayon d'inclinaison 9, sera

S = — cos 29 d9 = -^ sin 29.
2 jo 4

Si l'on fait 9 == ti : 4, on obtient l'aire a} : 4 d'une demi-feuille.
L'aire totale de la courbe est a^.

335. Aire limitée par une courbe fermée. Notion des intégrales
curvilignes. — On appelle contour fermé simple un contour fermé
qui ne se coupe pas lui-même. Un tel contour enferme une aire
que l'on peut se proposer d'évaluer.

Nous savons déjà calculer cette aire lorsque le contour se ré-
duit au quadrilatère curviligne envisagé au 11° 33i. Ce contour
se compose de deux parallèles à l'axe des y d'abscisses a et 6 et
de deux courbes AiBi et AgBg qui ferment le quadrilatère, et qui
ont pour équations dans l'intervalle (a, b) :

Xi = /iC^')' y^ = fii^)^ ri < 72-

L'aire intérieure au contour a, dans ce cas, pour valeur (ii*> 33i)

(6) S = ( y\dx — \ y,dx.

Ja ja

Ces deux intégrales ont la même forme { ydx et, peur ache-
ver de les déterminer, il suffit de faire connaître les arcs A^Bg

364 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRE.S, DES ARCS ET DES VOLUMES

et AjBi que parcourt le point {x, y) pendant l'intégration et le
sens dans lequel se fait le parcours. Nous dirons donc que ces
deux intégrales sont des intégrales curvilignes (*) et nous les
représentons par les notations

ydx, ydx.

Cette notation désigne l'arc par ses extrémités ; on écrit
d'abord le point de départ, ce qui fait connaître le sens du par-
cours. Renverser ce sens revient à intervertir les limites a et ^
des intégrales et, par conséquent, à clianger leur signe. L'équa-
tion (6) peut donc s'écrire maintenant

(7)

S = ydx — ydx = ydx -{- ydx.

JaoB., JajBj JajBj^ Jn^A^

Un contour fermé peut être parcouru dans deux sens diffé-
rents. On appelle seiifi direct celui qui laisse à gauche l'intérieur
de l'aire. L'autre est le sens rétrograde. Donc, dans les dernières
intégrales, les arcs AgB, et BjAi sont parcourus dans le sens
rétrograde.

Considérons maintenant un contour simple C, formé d'un
nombre limité d'arcs successifs sur chacun desquels .v varie
toujours dans le même sens quand on décrit le contour. Ce cas
est évidemment très général. Appelons intégrale efj'eciiiée sur
le contour et désignons par

L

vdx

'(0 -^

la somme des intégrales curvilignes effectuées dans le sens
direct sur chacun des arcs successifs qui composent le contour.
Je dis que l'aire S intérieure au contour aura pour mesure

(8) S = - (* ydx.

J{C)

En effet, en menant des parallèles à l'axe des y par les points
de séparation des arcs successifs, on décompose l'aire S en mor-

(*) Les intégrales curvilignes sont présentées ici au point de vue le plus
élémentaire. La définition générale sera donnée § 3.

QUADRATURE DES AIRES PLANES 365

ceaux, dont les frontières respectives n'empruntent que deux arcs
distincts du contour C et qui s'évaluent, par consécjucnt, par la
formule (7). L'aire de chaque morceau se mesure par la somme
des intégrales effectuées dans le sens rétrograde sur les deux
portions du contour C qui lui servent de frontières. Faisons la
somme de ces aires ; nous obtiendrons l'intégrale effectuée dans
le sens rétrograde sur tout le contour, c'est-à-dire la formule (8).

Remarque I. — Le contour C peut aussi comprendre des por-
tions de droites. Il n'y a de remarque à faire que pour celles
qui seraient parallèles à l'axe des y. Dans ce cas, comme elles
n'interviennent pas dans l'évaluation des morceaux, elles ne
doivent pas intervenir non plus dans l'évaluation de l'aire totale.
Cependant, si l'on attribue la valeur 0 à l'intégrale effectuée sur
ces lignes (ce qui est naturel, x étant constant et dx nul), on
peut étendre l'intégration à tout le contour et considérer la
formule (8) comme générale.

Remarque II. — La formule (8) sera d'une application immé-
diate si X et y sont exprimés en fonctions continues d'une va-
riable auxiliaire t et admettent des dérivées continues par
rapport à t. Supposons, en effet, que le point {x, y) décrive tout
le contour C dans le sens rétrograde quand t varie de /, à T.
Prenons t comme variable d'intégration ; l'aire S intérieure au
contour C s'évaluera par la formule

n dx

(9) """ir^"'-

Remarque HT. Nous avons établi la formule (8) en considé-
rant y comme fonction de x. On peut établir une formule ana-
logue en considérant x comme fonction de y. Mais il faut sup-
poser des conditions correspondantes. Cette formule sera

(10) S = f xdy,

car le contour doit être parcouru dans le sens direct pour que
l'intégrale soit positive.

La combinaison des formules (8) et (10) donne encore une
formule, souvent employée,

^ = li'"'y-li'"''''

366 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

que Ton écrit plus simplement

(11) S = - {xdy — ydx).

2 Je

Ces nouvelles formules s'appliquent avantageusement, comme
la formule (8), au cas où la courbe est donnée par une représen-
tation paramétrique (*). On trouvera dans le n^ suivant l'appli-
cation de ces formules à la démonstration du remarquable
théorème de Holditch.

336. Théorème de Holditch. — Une corde de longueur constante c + c'
se meut d'un mouvement continu en s'appuyant par ses extrémités sur une
courbe fermée donnée, C, qui ne se coupe pas. Si ces deux extrémités font le
tour de la courbe C (on suppose ce mouvement possible avec des rétrograda-
tions au besoin), Faire comprise entre la courbe et le lieu du point M qui
partage la corde en deux segments c et c', a pour mesure ttcc', quelle que soit
la courbe donnée, pourvu que M décrive un contour simple.

J )ésignons par K la courbe décrite par M et supposons que cette
courbe forme un contour simple. Soient {x,, y,) et {x^, y^) les coordon-
nées variables des extrémités de la corde ; celles du point M seront

y ■_ ^^1 + c'Xj _ cy, -t- c'y^

c + c' y c-^c' '

Imaginons que les coordonnées soient exprimées en fonction d'un
paramètre t qui varie de ^i à T quand les extrémités de la corde dé-
crivent la courbe C. Prenons t comme variable. Les aires S et S inté-
rieures aux courbes C et K pourront s'évaluer par les intégrales :

s= Çy.dx^ = Cy^dx, ^ r(^' + <^c')y^d-^ + icc' + c'')y.dx.

ydx =

"^ (O'i + c'y^) jcdxi -{- c'dXj)
{c + cr

où l'on suppose les x et les^v exprimés en fonction de t. On en déduit
par soustraction

ce' C^

Menons, à partir de l'origine, une droite égale et parallèle à la corde.
Les coordonnées de l'extrémité seront r, ^y^, — yi et ; = a-2 — xi. Or
cette extrémité décrit un cercle de rayon {c + c'). L'intégrale qui figure
dans la dernière équation n'est autre chose que l'intégrale de r^dk effec-

(*) Les démonstrations les plus générales des formules (8), (10) et (l l)
seront données au § 4-

QUADRATURE DES AIRES PLANES 867

tuée sur ce cercle. Donc elle mesure l'aire du cercle et sa valeur est
Tt (c + c'Y' Il vient donc

S — S = -Kcc'.

Si les courbes C et K ne se coupent pas, le théorème est donc
démontré. Si elles se coupent, il reste vrai, à condition d'attribuer des
signes contraires aux aires situées de part et d'autre de la courbe C.
Mais le théorème tomberait en défaut si le lieu du point M ne consti-
tuait pas un contour simple. Le théorème suppose encore les courbes
C et K soumises aux conditions que nous avons indiquées au n" pré-
cédent pour que les formules soient légitimes.

Exercices.

I. Aire de la chaînette, comptée de l'axe de la courbe.

y = -\e -{-e J S = —

2 2

2. Aire de la cissoïde :y'^ = x^ : (2a — x).

a"

Si l'on fait x = 2a, on trouve S = Swa^ : 2. Doublant cette valeur, on
trouve 3ua* pour l'espace indéfini compris entre la cissoide et son
asymptote x = 2(1. C'est le triple de l'aire du cercle de rayon a.

3. Aire du limaçon de Pascal : r =^ a cos B + è. ,

4. Aire de la conchoïde \ r = a sec 6 + è.

5. Aire de Vépicycloïde. — On a indiqué (p. 3o2, exercice 4) les équa-
tions de l'épicycloïde engendrée par le roulement d'un cercle de rayon
h sur un cercle de rayon a. Dans ces équations, le paramètre t désigne
l'angle dont le point de contact a tourné sur le cercle fixe. On peut
aussi prendre comme paramètre l'angle 6 dont ce point a tourné sur
le cercle mobile. On a «#= èO. En posant b : a = q,\es équations de
l'épicycloïde s'écriront

x y

— = (i + ^) ccsç'O — (7 cos (i + q)^, — = (i + ?) sinflft — q sin (i + q)^.

a a

L'aire d'un secteur se détermine alors par la formule (5) du n" 333 ;
on trouve

S = -a^q{i+q){i -f 2?) fV +cos 6) ^^0 = — (a^ + 3a6 + 2*^) (0 + sin 6)
2 jo 2a

Si 0 :;- 27:, on obtient l'aire du secteur limité par une arcade entière
de la courbe. Pour obtenir l'aire de l'arcade elle-même, il faut encore

368 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

retrancher l'aire d'un secteur du cercle fixe dont l'arc est 2T:b ; il restera

7rè2

— (3fl+2è).

a

6. Hypocycloïde. — Les équations de l'hypocycloïde s'obtiennent en
remplaçant dans les précédentes q par — q. Problèmes analogues aux
précédents.

7. Courbes unicursales. — Les coordonnées;»? et _v d'une courbe unicur-
sale peuvent s'exprimer en fonction rationnelle d'un paramètre t. Donc
la quadrature de ces courbes dépend dune intégrale rationnelle et
peut toujours se faire sous forme finie. Dans le cas particulier où le
paramètre t est égal ky \ x, onsi xy' —yx' -= x^. L'aire d'un secteur se
calculera par la formule (5) du no 333, qui prendra la forme simple

~(x^dt.

Appliquer cette formule aux cubiques unicursales suivantes, dont
les coordonnées s'obtiennent immédiatement en fonction rationnelle
de^=^:

X

X (x^ +y^) = 2ay^ (cissoïde),

(x -j-a) {x'^ +j/^) = 3ay- (strophoïde),

x'-i -\-y3 = "iaxy (Follium de Descarte).

§ 2. Rectification des courbes.

337. Courbes rectiftables. Rectification des courbes planes. — La
longueur d'un arc de courbe entre deux points extrêmes est, par
définition (n^^ 286 et 3o6), la limite (supposée finie et déterminée)
du périmètre d'un polygone inscrit dans la courbe et dont tous
les côtés tendent vers zéro. Cette limite n'existe pas toujours
et l'on appelle rectiftables les courbes dont l'arc a une longueur
finie et déterminée. Nous renverrons au paragraphe suivant
pour l'étude des caractères les plus généraux des courbes recti-
fiables et nous nous bornerons ici aux conditions sur lesquelles
nous avons fait reposer les formules des n°^ 286 et suivants.

Considérons d'abord une courbe plane, ayant pour équation

y =- f{x) ;
la longueur de son arc depuis un point fixe M^, d'abscisse Xo
jusqu'au point variable M d'abscisse x, s'évalue pour la for-
mule (n° 287)

(1) s = {"'dxsji + y'\

RECTIFICRTION DES COURBES 869

Les formules de rectification qui conviennent aux autres for-
mes d'équations s'obtiennent en changeant de variable dans
l'intégrale définie

l>

Dans le cas d'une représentation paramétrique, on prend t
comme variable ; on sait (n° 287) que ds = dt \Jx'^ -\- y'^. Donc,
to et t désignant les paramètres des extrémités, l'arc aura pour
mesure

(2) s = Çdt \Jx'^ 4- y*.

Dans le cas des coordonnées polaires, ds = \Jdr^ -\- r^dO^
Soient (vo, ^0), {^, ^) les extrémités de l'arc à mesurer. Il vient,
suivant qu'on prend 0 ou r comme variable.

(3) 6 =

rW'-(ij=i.>v-K^)-

338. Exemples de reôtifications (coordonnées rectangulaires). —
I. Chaînette. On a, dans ce cas (n° 3oi, V),

a

Calculons l'arc à partir du sommet A où a; = 0, la formule (1)
donne

XX XX

af a

-w

4- e ]dx^—\e — e

II. Parabole. Prenons l'axe de symétrie pour axe des y et le
sommet pour origine. On aura

X'' = 2py, r =— ' I + r 2 == — ^ti_.

Donc l'arc compté à partir du sommet, a pour mesure

I r^

= - dx\Jx^-\-p^.

s
P.

En remplaçant a^ par — p^ dans l'intégrale indéfinie calculée
au n° 332 à l'occasion de l'aire de l'hyperbole, il vient

J

x

dx\Jx^ + P^= -V^' +/>'+ — Log (x + \Jx^ + P*).

24

370 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

De là, la valeur de s :

-Sjx^ + p* + - Log ' ^ ' ^

2/> '2 p

III. Cycloïde. Considérons la représentation paramétrique
habituelle

X = a{t — sin t), y = a{i — cos t).

L'arc, compté à partir de l'origine où t = 0, a, pour mesure

s ^ a

dt \J(i — cos 0^ + sin^ t = 2a\ sin - dt ^ Aa( i— cos - ).

339. Intégrales elliptiques de Legendre. Eectitlcation de l'ellipse et
de l'hyperbole. — L'arc de ces deux courbes s'exprime par des
intégrales que l'on ne peut pas réduire aux fonctions élémen-
taires, mais on peut les ramener aux deux intégrales définies
suivantes :

¥{k, cp) = f--^-— -, E(/r, cp) = C^Vi-Zc^sin-^T,
.'o VI — /f^sm^œ Jo

où le paramètre A" est < i. Legendre a donné à ces intégrales
le nom d' intégrales elliptiques de première et de seconde espèce.
On a dressé des tables qui permettent de les calculer pour les
diverses valeurs de o et k.

Les intégrales sont dites complètes si cp = - ; elles se dési-
gnent par

.'0 vi — K^sm*^ Jo

Arc d'ellipse. Soit la représentation paramétrique

.v = a sin tp, y = b cos <p.

L'arc BM, compté à partir du sommet B du petit axe où
œ = 0, a pour mesure

s =r d(L Pv^'^-t-y'" = I rfcpVa^ cos^ (p -f fc2 sin2 çp^

jo Jo

L'arc d'ellipse dépend de l'intégrale elliptique de seconde
espèce. Posons, en effet, A'- = (a^ — b'^) : a^ ; il vient

Va^ cos^ cp -f- b- sin^ cp == aVi — A^ sin^ cp,
d'où s = a E(A, cp).

RECTIFICATION DES COURBES 871

Si cp ^ :t : 2, l'intégrale est complète et l'are égal au quart du
périmètre de l'ellipse. Le périmètre total sera donc 4a E,(A-).

Arc d'hyperbole. On peut prendre comme représentation
paramétrique de l'hyperbole rapportée à ses axes, le système

X =■ -7- , y = Z) cot cp,
sm CD -^ ^

car, en éliminant cp, on retrouve l'équation classique de la cour-
ir
be. L'arc AM, compté du sommet où cp == - jusqu'à un point M

ou cp est < -, a pour mesure

■K
S

Une intégration par parties et une décomposition donnent
facilement

,•— 5 r^ fî a^ cos^ cp rfcp

s = cot cp va^ cos^ 9 + t) — — ^— L=i .=

^ ^ Jf Va' cos cp + 62

. - rj ÇT ^?

cot cpya-cos^cp 4- fc2— c/cpya^ cos^ cp + 6^4- 6* I ya^cos^o-f 6^*

Posons k^ ^ a^ : (a^ -f b^), d'où

Va^ cos2 <p 4- 62 = |\/i — k^ sin» cp ;
l'arc s dépend des intégrales elliptiques par la formule
s = cotcpVa^cos^cp -f 6^-^ [E,(/f)-E(;f,cp)] 4-^[F,(/f)-F(A-,cp)].

340. Exemples de rectifications en coordonnées polaires, — Spirale
logarithmique : r = ae^^^ . Prenons r comme variable indépen-
dante ; nous aurons m9 = Log r — Log a, d'où

Donc Varc de la spirale logarithmique varie proportionnelle-
ment au rayon vecteur. Le pôle est un point asymptotique de

372 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

la courbe, car ;• ne s'annule qu'en faisant tendre G vers — 00.
L'arc-liraite, compté de ce point, conserve néanmoins une va-
leur finie :

r.

m

■ II. Spirale d'Archimède : r =^ a^. L'arc compté à partir du
pôle a pour valeur, en intégrant par rapport à r.

C'est la même intégrale que celle à laquelle conduit l'évalua-
tion de l'arc de la parabole (n° 338). De là, le théorème de
Grégoire de Saint Vincent : Les arcs de la parabole x^ == 2ay
et de la spirale r ^ aO ont même longueur, quand on compte le
premier entre les abcisses 0 et x et le second entre les rayons
r = 0 et r = X.

III. Lemniscate : r^ ^ a^ cos 2O. Si l'on prend r comme va-
riable indépendante, on a

I r^ d8 r

= - arc cos . , ,

2 a^ dr

\Ja* — r*
L'arc compté à partir du sommet, où r = a, a donc pour

mesure

//V'

dr J Jr \Ji

i+U^ =a

Ça dr

L \la* — r* '

Donc s = ^ F '

Cette intégrale se ramène à l'intégrale elliptique de première
espèce (n° 339) en posant r = a cos ^ ; il vient ainsi

s^ar~£^i^-ar ^^ =^s ^"^

Jo Vi — cos^cp jo Vi + cos2(p \J2J0 L_l g. j^2 '

341. Rectification des courbes gauches. Exemple. — Lorsque les
coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point de la courbe sont
considérées comme fonctions de t, la longueur de l'arc AB,
compris entre les point dont les paramètres sont a et t, a pour
mesure

s= \ dt yx'2 4- j'2 + a;'*.

Ja

RECTIFICATION DES COURBES 878

Comme exemple, considérons l'intersection des deux cylin-
dres :

a^ b^ 2^

il a a\

\e +e ).

Prenons x comme variable. On tire de la première équation
b ,— ^ ^- , b X

a" •" asjxz — a^'

et de la seconde

x-\-\Jx^ — a^ ,

z ^ a Log . z' =

a \/x^ — a-

Comptons l'arc à partir du point où :v = a ; il viendra

Ja ^ "" a Ja v/«;2— a^

Va* 4- b^ , ,-1

V«;^— a^ a

Exercices

I. Epicycloïdes. — Les équations de l'épicycloïde sont (Exercice 5,
p. 367) ••

- =^ (i + ?) cos q^—q CCS (i + q)^, - = (i + ?) sin ç6 — q sin (i + q)^-

On en tire

ds , L ^ • ^

— == 2^(1 +?) sm — .

a 2

L'arc compté à partir du point de rebroussement où 0 = 0, sera

-^ =2^(1 +^) (^i — cos -J.

Toutefois, comme l'élément ds doit être positif, cette formule n'est
applicable que si 6 varie de 0 à 2tt. Si 8 = 2-k, on obtient le périmètre
d'une arcade entière

* = 4«?(i + ?)=—(« + *).
a

L'arc d'épicycloïde s'exprime algébriquement en fonction du rayon
vecteur r. On a, en eôet,

6

y2 :3^ ^2 j^y'z = (i 4- 2qY — \q{i A- q) cos^ -,

2

d'où l'on tire cos — et, par suite, s en fonction de r.
2

En changeant ^ en — q dans les formules précédentes, on obtient
des résultats correspondants pour Vhypocyclotde.

374 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

Les rectifications de la cardioïde (Exercice 6, p. 3o3) et de Vastroïde
(Exercice 3, p. 322) sont des cas particuliers des précédentes,

2. Cissoïde. (Exercice 2, p. 3o2).

r ^= 2a (sec 6 — cos 0).

R. L'arc compté à partir du pôle a pour valeur

= 2a f tg o^e Vtg^e + 4 = 2a j

Vtê^^« + 4 t.,t

t^ — 3
Intégration facile.

3. Courbes gauches. — Arcs des deux courbes suivantes :

x^ x^ y a a-\- X

y = — > ^ = z~^ et ;i; == a sin -, ^•= - Log — .

2a ba- a ^ ^ a — X

R. L'arc compté de l'origine a pour valeur s = x-\~ z pour les deux
courbes.

§ 3. Courbes continues. Courbes fermées.

342. Lignes continues. Contours fermés, — Considérons deux fonc-
tions contmues de / :

,r = ^(0, y = W),

et faisons varier/ de ^i à T ; le point {x,y) décrit une courbe plane con-
thme ti T.

Si le point M revient à son point de départ pour /= T, la courbe est
fermée. Si x et y ne reprennent le même système de valeurs que pour
les valeurs extrêmes de i, la courbe ne se coupe pas elle-même et nous
dirons qu'elle forme un contour fermé simple ou encore qu'elle est sans
point multiple.

La distance d'un point fixe A ($, tj) au point M {x y) d'une ligne con
tinue est une fonction continue de t. Si le point A n'est pas sur la
courbe, cette fonction ne s'annulera pas ; elle admettra un minime
différent de zéro qu'elle atteindra pour une certaine valeur de t et que
nous appellerons la distance du point A à la courbe.

Si le point A n'est pas fixe, mais seulement assujetti à se trouver sur
une courbe continue ; = ^{u), t) == W{u), la distance des points A et
M est fonction continue de i, u. Si les courbes ne se rencontrent pas,
le minime de cette distance sera différent de zéro et s'appellera la dis-
tance des deux courbes,

La distance maximée de deux points d'une même courbe s'ap-
pelle son diamètre (n» 55),

Nous nous proposons d'étudier les propriétés fondamentales des
courbes fermées. Il est commode pour cela d'analyser les propriétés
de ce que nous appellerons une chaîne de régions du plan.

CONTOURS FERMÉS ^^5

343. Définition et propriétés des chaînes. — Nous appellerons
chaînon une région du plan, d'un seul tenant (no 72), limitée par un
contour polygonal extérieur sans point multiple et éventuellement
percée d'un certain nombre de vides limités par des contours de même
nature que le premiei .

Considérons un certain nombre de chaînons consécutifs, désignés par
leur numéro d'ordre : (i), (2),... («)■ Si deux chaînons consécutifs ont
des points ou des parties communes, tandis que deux chaînons non
consécutifs ne se touchent pas, ces chaînons constituent une chaîne ou-
verte. Les chaînons extrêmes (i) et («) ne se touchent donc pas.

Mais on peut aussi supposer que (i) et («) se touchent, les autres
conditions restant les mêmes. Alors (i) et («) deviennent aussi consé-
cutifs, il n'y a plus de chaînons extrêmes et la chaîne est fermée.

Le domaine contenant tous les points d'une chaîne ouverte, que nous
appellerons aussi, en abrégé, la chaîne, est donc, comme les chaînons
eux-mêmes, un domaine d'un seul tenant limité par un contour poly-
gonal extérieur unique et percé d'un certain nombre de vides.

Nous dirons, en abrégé, qu'une région du plan est intérieure à un
chaînon ou à une chaîne ouverte si elle est enfermée dans leur contour
extérieur, abstraction faite des vides.

Une chaîne sera régulière si un chaînon ne peut être enfermé dans
un autre, ni dans un groupe de deux autres pris dans la chaîne et
nécessairement consécutifs.

Théorème L — Si une chaîne fermée (i), (2),... («) est irrégulière, elle
est intérieure à une chaîne de quatre au plus de ses chaînons.

Puisque la chaîne est irrégulière, elle contient un chaînon intérieur
à un ou à deux autres. Le second cas comprenant le premier, suppo-
sons que les chaînons enveloppants soit (i), (2). Si le chaînon inté-
rieur, (3) par exemple, est contigu au groupe, tous les suivants de (4)
à (« — i), qui ne touchent ni à (i) ni à (2), sont enfermés avec (3). Si
c'est un chaînon {k) non contigu qui est enfermé dans (i), (2), toute la
chaîne (4),... (m — i) qui contient (^) est enfermée avec (^),pour la même
raison. Toute la chaîne est donc, quoi qu'il arrive, intérieure à («),
(I), (2). (3).

Théorème II. — Tout vide d'une chaîne ouverte est dans ("intérieur d'un
groupe de deux consécutifs des chaînons.

Montrons que le théorème, évident par une chaîne de 2 chaînons,
subsiste pour une chaîne de k, s'il est vrai pour une chaîne de ^ — i.

Soit C le contour extérieur de la chaîne (i), (2),... {k — 1). Ajoutons
le chaînon {k). Celui-ci se compose d'une partie {k') intérieur à C et
éventuellement d'une partie extérieure (k"), qui peuvent être chacune
de plusieurs tenants. L'addition de {k') ne fait que réduire des vides
pour lesquels le théorème est déjà vérifié. Il ne reste plus que {k") à
considérer.

376 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMEf

Supposons donc qu'un vide se produise entre C et la frontière de (A").
Je vais montrer qu'il est intérieur au groupe {k — i), {k), et, à cet efïet,
que toute ligne L allant d'un point du vide à l'infini sans toucher {k),
coupe {k — i).

La ligne L sort du vide par une frontière sur C, dont les deux extré-
mités, touchant à (k), sont deux points A et B de (A — i). La ligne L
scinde au moins en deux morceaux le domaine intérieur à C qui ferme
le vide de manière à séparer A de B. Donc {k — i), qui est tout entier
dans l'intérieur de (C), n'est pas tout entier dans le même morceau et il
est scindé par L.

Théorème IIL — Le contour extérieur unique d'une chaîne régulière
ouverte touche à tous les chaînons, tandis que le contour d'un vide en touche
au plus quatre.

Les chaînons qui touchent au contour extérieur forment à eux seuls
une chaîne, ouverte comme la proposée. Cette propriété subsiste si l'on
découpe dans l'intérieur de la chaîne (pour en faire des vides) tous les
chaînons qui ne touchent pas au bord, s'il y en a. Donc (Théor. II) tout
chaînon supprimé est intérieur à deux chaînons du bord, de sorte que,
s'il y en avait, la chaîne serait irrégulière. Donc le contour extérieur
d'une chaîne régulière ouverte touche tous les chaînons.

Par contre un vide, étant intérieur à deux chaînons consécutifs, ne
peut être bordé que par ceux-ci et leurs deux contigus, les seuls qui ne
soient pas extérieurs aux deux premiers.

Théorème IV. — Dans une chaîne régulière ouverte de cinq chaînons au
moins, un vide ne feut toucher en même temps aux deux chaînons extrêmes.

En eftet, il toucherait alors à tous les chaînons, donc à plus de
quatre, ce qui est contraire au théorème III.

Passons maintenant à l'étude d'une chaîne fermée. Cette étude est
simplifiée par un artifice qui la transforme en chaîne ouverte.

Soit (i), (2),... («) une chaîne fermée régulière, de cinq chaînons
au moins. Nous commencerons par remplacer le groupe des trois pre-
miers chaînons par un autre plus simple de même contour extérieur.

Soient C le contour extérieur du groupe (i), (2), (3) et D le domaine
intérieure C. Comme (i) et (3) ne se touchent pas et sont extérieurs
l'un à l'autre (puisque la chaîne est régulière), on peut partager D
par deux transversales en trois morceaux, (I), (II) et (III), le premier
contenant tout (i) sans toucher à (3), le troisième tout (3) sans toucher
à (i) et le second contenant le reste (*).

(*) Par exemple, on peut procéder de la manière suivante. On considère
D comme partagé en morceaux par les frontières extérieures seules des
chaînons (i) et (3). On attribue à (I) les morceaux qui ne touchent pas (3),
à (III) ceux qui ne touchent pas (i), et le reste à (II).

CONTOURS FERMÉS S-J"]

Nous avons ainsi constitué une nouvelle chaîne fermée régulière
'I) (II) (III) (4)... («) du même nombre de chaînons que la première ;
seulement (I) et (II) ne se touchent plus que le long d'une frontière
commune d'un seul tenant, que nous désignerons par ses extrémités, ab.

Pour ouvrir cette chaîne, il suffit de considérer la transversale ab
comme une coupure disjoignant (I) de (II). A cet effet, attribuons deux
côtés à cette ligne l'un a'b' servant de frontière à (I), l'autre a"b" ser-
vant de frontière à (II) et considérons la ligne ab elle-même comme
extérieure à la chaîne. Alors (I) et (II) sont deux chaînons extrêmes et
la chaîne est ouverte.

Soit P le contour extérieur de la chaîne ouverte. Ce contour em-
prunte les deux frontières a'b' et a"b". En effet, dans le cas opposé,
contrairement au théorème IV, ces frontières prises sur chacun des
chaînons extrêmes borderaient un même vide, car on va de l'une à
l'autre en traversant la coupure (donc sans entrer dans là chaîne).

Faisons le tour de P dans un sens déterminé (laissant, par exemple,
l'intérieur à gauche). Comme a'b' et a" b" sont alors parcourus en sens
contraires, le circuit se compose de a'b', de a"b'' et de deux polygones
P] et P2 reliant respectivement a' à a" et b" à b' et passant chacun par
tous les chaînons intermédiaires de la chaîne (I),... (II) ; donc passant
aussi chacun par tous les chaînons (i), (2),... («), car a et 6 sont sur
(2) et l'on ne passe de (III) à (4) que par (3), et de (I) à («) que par (i).

Supprimons maintenant la coupure ab, ce qui revient à souder a'b'
et a"b" ; la chaîne se ferme ainsi que Pi et Po, et elle est enserrée
entre ces deux polygones, dont l'un sera, par conséqrent, intérieur à
l'autre. Nous donnerons à la couronne comprise entre eux le nom
à' anneau.

La chaîne (I), (II),... ne diffère de (i), (2),... que par la suppression
des vides du groupe (i), (2), (3). Rétablissons ces vides et appliquons,
d'autre part, le théorème II à la chaîne ouverte par la coupure. Nous
obtenons le théorème suivant :

Théorème V. — Une chaîne fermée régulière de einq chaînons au moins
se constitue d'un anneau, intérieur à un polygone Pi et extérieur à un poly
gone P^ contenu dans Vintérieur du premier. Outre la région qtiil entoure,
cet anneau peut être percé de vides. Mais ces derniers sont chacun intérieur à
un ou à deux chaînons consécutifs et en touchent quatre au plus. Au con-
traire, les régions intérieure et extérieure à l'anneau touchent chacune, l'une
par Pi, l'autre par Po, à tous les chaînons.

344. Propriétés des contours fermés. — Théorème I. — Un contour
fermé simple peut être enfermé dans une chaîne fermée régulière dont les
chaînons sont de diamètres (*) aussi petits qu'on veut.

(•) Ecart maxime de deux de ses points (n° 55).

378 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

Donnons-nous un S positif inférieur au quart du diamètre du con-
tour. Supposons ce contour décrit par le point ;r, j quand avarie de
t\ à T. Partageons le contour ^iT en tronçons consécutifs par les points
ti, to,... tn, T, suffisamment rapprochés pour que le diamètre de chaque
tronçon soit < Ô : 2. Soit alors 8' la plus petite des distances de deux
tronçons non consécutifs. Couvrons la courbe d'un réseau à mailles
rectangulaires formé par des parallèles aux axes coordonnés, suffisam-
ment rapprochées pour que chaque maille soit de diamètre < 0' : 2.
Cela fait, constituons chaque chainonàes mailles touchées par un même
tronçon et soient respectivement (ij, (2),... (m) les chaînons construits
sur titi, t-zt^,... t„T. Ces chaînons forment une chaîne fermée, car deux
chaînons consécutifs (^-^-i) et (/>^) ont en commun le point tk. Le dia-
mètre d'un chaînon ne surpassera pas S : 2 + °' donc S, car 8' ne peut
surpasser le diamètre ô : 2 d'un chaînon. Enfin cette chaîne est régu-
lière, sinon elle serait intérieure à quatre chaînons et son diamètre
serait < 40, donc inférieur à celui de la courbe. Ceci est évidemment
impossible puisque la courbe est contenue dans la chaîne.

Le vide entouré par l'anneau touche aux chaînons les plus écartés,
il sera de diamètre supérieur à 4S — 2S ou 2S. Au contraire, les vides
de l'anneau lui-même sont mtérieurs à deux chaînons, ils seront de
diamètre < 20. Pour construire l'anneau, il suffit donc d'hachurer
toutes les mailles du réseau rencontrées par la courbe et tous les vides
sauf un, celui dont le diamètre est > 2S et qui constitue la région inté-
rieure à l'anneau.

Théorème IL — La courbe étant enfermée dans cette chaîne dont les
chaînons sont de diamètre < ô, tout point de la courbe est à une distance < S
de chaque bord de l'anneau et tout point de l'anneau est à une distance < 8
de la courbe.

La première proposition est immédiate puisque tout point de la
courbe est dans un chaînon de diamètre < S qui touche aux deux
bords de l'anneau. D'autre part, il est non moins évident que tout point
intérieur à un chaînon est à une distance < 0 de la courbe. Mais je dis
que c'est encore vrai pour un point p qui tombe dans une lacune de
l'anneau, intérieure à deux chaînons consécutifs {k — i) et (k). Ceux-ci
ont en commun le point tj^. Joignons tè à. p par une droite et prolon-
geons celle ci : elle rencontrera l'un des deux chaînons {k — i) ou [k)
qui enferme p. Comme t/i est dans les deux, la distance t^p est infé-
rieure au dramètre 0 du chaînon recoupé.

Théorème II L — Tout courbe fermée sans point multiple décompose le plan
en deux régions, l'une intérieure et l'autre extérieure à la courbe. (C. Jordan).

Soient p un point non situé sur la courbe, S sa distance à la courbe.
Construisons un anneau dont tous les points soient à une distance de
la courbe moindre que S ; le point/», étant exclu de l'anneau, tombera
à l'intérieur ou à l'extérieur de l'anneau. Nous dirons dans le premier
cas qu'il est intérieur à la courbe, dans le second qu'il est extérieur.

CONTOURS FERMÉS 879

Cette distinction ne dépend aucunement de la manière de construire
l'anneau, mais correspond à des propriétés distinctives par rapport à
la courbe. En effet, si le point/» n'est pas entouré par l'anneau, il est
possible de tracer une ligne polygonale partant de /> et s'éloignant à
l'infini sans rencontrer la courbe. Cette possibilité disparaît dès que le
point est entouré par l'anneau. En effet, toute ligne polygonale allant
de p à. l'infini doit scinder la chaîne et, par conséquent, couper un
chaînon en deux, par exemple (i), entre les deux points t^ et t., qui
l'unissent à ses voisins. Le tronçon tit-z, qui est situé tout entier
dans ce chaînon, passe donc d'un morceau dans l'autre et doit ren-
contrer la coupure.

L'ensemble des points intérieurs et l'ensemble des points extérieurs
constituent respeciivement les régions intérieure et extérieure à la courbe.
La région intérieure ne peut pas ss réduire à zéro, car on peut toujours
construire un anneau. Enfin, deux points intérieurs ou deux points
extérieurs peuvent toujours être réunis par une ligne polygonale qui
ne rencontre pas la courbe, car on peut construire un anneau con-
tenant ou excluant les deux points et une ligne qui les réunit sans
rencontrer l'anneau.

Suivant que t varie de ^1 à T ou de T à ti le contour fermé est par-
couru dans deux sens opposés. Nous appellerons sens direct celui qui
laisse à gauche l'intérieur de l'anneau et nous dirons qu'il laisse à
gauche l'intérieur de la courbe. L'autre sera le sens rétrograde.

Théorème IV. — Un contour fermé simple étant partagé en plus de deux
tronçons consécutifs, on petit y inscrire un polygone fermé, sans point multiple,
tel que les sommets se suivent dans le même ordre sur la courbe que sur le
polygone et qu'il y ait au moins un sommet sur chaque tronçon.

Construisons un réseau assez serré pour qu'une même maille ne
puisse s'étendre sur deux tronçons non consécutifs. Comme on peut
décrire toutes les parties du contour situées dans un même maille en
parcourant deux tronçons consécutifs seulement dans le sens direct, on peut
assigner, sans ambiguïté, pour chaque maille mk rencontrée par le
contour, en premier point d'entrée E* et un dernier point de sortie S/;.

L'indice i étant attribué arbitrairement à une première maille wi,
donnons l'indice 2 à celle où le contour pénètre au point Si, puis l'in-
dice 3 à celle où il pénètre au point S2, et ainsi de suite. Considérons
la suite des mailles Wi, m-i,... numérotées de la sorte. Le nombre des
mailles du réseau étant limité, il y a une première maille qui se repro-
duira dans la série. Comme on peut recommencer le numérotage en
partant de celle-là, nous supposerons que ce soit la maille mi et qu'elle
se reproduise pour la première fois à l'indice « + i. Construisons le
polygone SiSo... S» Si ; ce polygone répondra à la question.

En effet, les côtés de ce polygone tombent successivement dans les
mailles différentes m-i, /«a,... m„,mi et ne peuvent se couper. Deux
sommets consécutifs S^et Sk^i, étant sur la courbe Ex+i S>6+i se suivent

38o CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

dans le sens direct sur un même tronçon ou sur deux tronçons consé-
cutifs. Donc, en parcourant la série des sommets Si, S2,..,, on par-
court successivement les tronçons dans le même sens, sans en sauter
aucun, et, comme on revient au point de départ, on les rencontre tous.

Remarque. — Il résulte du théorème précédent que l'on peut inscrire,
autour d'un contour fermé simple, un polygone sans point multiple
dont les côtés soient aussi petits qu'on veut. Il suffit pour cela de
décomposer préalablement le contour en tronçons, par des valeurs
assez rapprochées de t pour que l'écart de deux points situés sur deux
tronçons consécutifs ne surpasse pas la limite voulue.

§ 4. Courbes recti fiables et quarrables.
Intégrales curvilignes.

345. Courbes rectiflables. — Considérons une courbe continue,
définie par les deux équations (*) :

Donnons à /une suite de valeurs ti, 4--- 4, /»+i = T. Soient, en
général, x,- yi les valeurs de x,y pour t=ti. Le périmètre^ du poly-
gone inscrit ayant ces points pour sommets, sera

^ = S V(.^,+i - XiY + {yi+, -yiY.
1

Faisons tendre vers zéro les amplitudes de tous les intervalles
{ti-\-i — ti). Si le périmètre du polygone ainsi construit tend vers une
limite déterminée et unique, quel que soit le mode de subdivision de
l'intervalle {ti, T) en parties infiniment petites, l'arc correspondant de
la courbe est redifiable et la longueur de Varc est égale à cette limite.

Pour que cette limite existe, il faut d'abord que le périmètre consi-
déré ne croisse pas indéfiniment. Or le côté h ^+1 est au moins égal
I ^«-1-1 — ;i^,- I et à I jy»+i — yi \ , mais ne peut surpasser la somme de
ces quantités. Pour que le périmètre reste fini, il est donc nécessaire
et suffisant que les deux sommes

n M

S I Xi+i — Xi I et S I yi+i —yi \

1 1

soient bornées et, par suite, que (p(/) et '\f{t) soient des fonctions à
variation bornée dans l'intervalle (^i T).

Cette condition nécessaire pour que l'arc soit rectifiable est aussi

(*) Si le point {x, y) revient sur lui-même, t continuant à varier dans le
même sens, il décrit une portion de courbe qui se superpose à la précédente.,
mais que l'on considère comme distincte.

COURBES RECTIFIABLES 38l

suffisante. En effet, supposons-la vérifiée et désignons par L la borne
supérieure des périmètres de tous les polygones possibles. Nous allons
montrer que le périmètre du polygone ^i tz... t„+i T tend vers L quand
l'amplitude de tous les intervalles tend vers zéro.

Pour établir ce théorème, il suffit d'observer que le périmètre p reste
stationnaire ou augmente quand on intercale un nouveau sommet
entre h et h+i, mais que cette augmentation, ne pouvant surpasser
la somme des deux nouveaux côtés, est inférieure au double de la
somme des oscillations de x et de y dans l'intervalle {ta, tk+i). Cette
remarque est entièrement analogue au lemme du n» 87 sur lequel
repose la démonstration du théorème I qui le suit. Donc en raisonnant
dans le cas présent, sur p et L comme nous avons raisonné là pour
prouver que t a pour limite T, nous en concluons que p a pour li-
mite L. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

La condilion nécessaire et suffisante pour qu'une courbe continue, dont les
coordonnées sont des fonctions de t, soit rectifiable, est que ces fonctions soient
à variation bornée (Jordan).

L'arc d'une courbe rectifiable possède les propriétés suivantes :

1° Si l'on partage un arc en plusieurs parties, la longueur totale est égale
à la somme des longueurs de chaque partie.

On s'en assure par la considération des polygones inscrits dans
chaque partie et dont l'ensemble est inscrit dans l'arc total.

2° La longueur s d'un arc, comptée d'un point fixe ti a un point mobile t,
est une fonction continue et croissante de t.

L'arc varie en croissant à cause de la propriété précédente et sa con-
tinuité se prouve comme celle de la fonction T considérée au n° 87.

3° Donc t est, réciproquement, une fonction continue et croissante de s. Les
coordonnées x et y, qui sont fonctions continues de t, peuvent donc toujours
être considérées comme fonctions continues de s.

40 Si X et y sont des fonctions absolument continues de t, on a, avec l'in-
tégrale de Lebesgue, en ne considérant les fonctions que là oii elles existent,

^+y'Ut,

donc la fonction s est absolument continue aussi.
Posons, en effet,

Cette fonction est absolument continue comme x et y, car la varia-
tion de cp, ne peut surpasser la somme de celles de x et dey (*). Donc
cette fonction a pour dérivée presque partout

(*) En vertu de la formule | Acpj | ^V'^^" +y' < I ^^ I + I A'' I . qui
exprime que la différence, Acp/, de deux côtés d'un triangle ne surpasse pas
le troisième côté.

382 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

On a, par conséquent (no 265),

fi{t) = r ?'{t) dt < i^Sjx'^ +j/'2 dt,

Donc, en partageant l'intervalle (^i, t) en éléments successifs {U, ^/+i)
infiniment petits, on a

s = lim S<p,(^/+i) < fv^'2 +j/'2 ^^.

Cherchons maintenant une inégalité de sens contraire. Comme s est
une fonction croissante de t, on a (n» aSg), 5' existant presque partout,

s>

f s'dx.

Mais on peut, sans changer cette dernière intégrale, ne considérer que
les points où 5', x' ety' existent à la fois et où l'on a, par conséquent,

As \/^x^-\-^y^

s' = lim ^- > lim ^ ii— ^ = V^'^ +y'^-

On a donc a fortiori, ce qui achève la démonstration,
s> Ç \Jx'^ -i- v'^ dt.

Nous avons considéré une courbe plane, mais les conclusions s'éten-
dent à l'espace, en introduisant une coordonnée de plus.

346. Intégrales curvilignes. — Considérons une ligne continue

^ = ?(0, y = W),

et supposons que le point {x, y) décrive un arc L quand t croît de ty

à T. Soit P [x, y) une fonction continue des deux variables x et y.

Décomposons l'intervalle ^iT par les points ^1, t^,,.. ti,... /«+i = T et

soit 0/ un point arbitraire de l'intervalle tit,+j. Désignons, en général,

par Xi, yi et ;«, t), les valeurs de x, y aux points ti et 6,-. Formons alors

la somme

«

(*) A cause de la relation générale ax' -{-by' ^ \Ja^-\-i^ V^'^+jV'^-

INTÉGRALES CURVILIGNES 383

Si cette somme tend vers une limite déterminée quand les valeurs
successives de t sont infiniment voisines, c'est-à-dire quand les points
successifs {xi.yi) se rapprochent indéfiniment les uns des autres, cette
limite s'appelle l'intégrale de Fdx prise le long de la courbe L dans
le sens ^iT, et se désigne par le symbole

I

P {x, y) dx.

Cette expression est une intégrale curviligne. Lorsqu'elle a un sens,
on dit que la fonction Pdx est intégrable le long de la ligne L.

Théorème I. — La fonction Pdx est intégrable sur toute ligne continue,
dont l'abscisse x = tp(^) est une fonction à variation bornée, et, dans ce cas,
l'intégrale effectuée sur ■ cette ligne se ramène à des intégrales de fonctions
continues, au sens ordinaire, c'est-à-dire effectuées dans un intervalle.

Nous pouvons poser x = u — z,u&iz désignant deux fonctions con-
tinues de t, essentiellement croissantes (n» 88) et qui varient de «i à U
et de ^1 à Z quand t varie de ti à T. Mais alors t est, réciproquement,
une fonction continue constamment croissante de u entre «i et U, et
aussi une fonction continue constamment croissante de z entre Zi et
Z. Donc P, qui est fonction continue de i, peut être aussi considéré
soit comme fonction continue de u, soit comme fonction continue de
z. Soient Ui, zi les valeurs de u, z au point ti ; il viendra

SP (;,-, Ti,) {xiJ^\ — Xt^ = SP (Mî+1 — Ui) — SP {zi^i — z,).

Si l'on prend u comme variable dans la première somme du second
membre, et z comme variable dans la seconde, chacune de ces deux
sommes a pour limite une intégrale définie ordinaire. Passons donc à
la limite dans cette équation ; nous obtenons la formule

C p c?.r = r P iM — r P dz.

Théorème IL — Si, x est fonction absolument continue de t, on a, plus
simplement, avec l'intégrale de Lebesgue,

{'P{x,y)dx= { F[x,y)x'dt.

On a, en effet, dans ce cas (n^ 265)

+i~x, = ' x'dt.

Xi

par conséquent,

SP($,. Ti,) (Ar,+, - ;.;/) - f F{x, y) x' dt = S Ç/^'^'^^^'- "^'^ " ^i^'y)^^^ î

et il suffit de montrer que cette expression tend vers zéro avec les
intervalles {t,;ti+i). Or on peut supposer ceux-ci assez petits pour que

384 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

P(?,, TTj/) — F{x, y) soit < £ en valeur absolue quel que soit i. Alors
l'expression précédente est moindre en valeur absolue que la quantité,
infiniment petite avec t,

Se p'"^' \x' \dt=t r \x' \dt.

Remarque. — L'intégrale curviligne f Qdy se définit d'une manière
semblable à celle de Pdx. L'intégrale plus générale,

I'

(Fdx+Qdy),

est, par définition, la somme des deux précédentes ; elle sera donc bien
déterminée si les fonctions x ety sont à variation bornée, c'est-à-dire
si la ligne d'intégration est reclifiable.

347. Coutours fermés quarrables. — Considérons un contour fermé
simple C et soit A la région intérieure à C.

L On dit que la région A (ou que la courbe C) est quarrable si la borne
supérieure des aires polygonales intérieures à A coïncide avec la borne infé-
rieure des aires polygonales contenant A. Ces aires peuvent être limitées par
un ou plusieurs contours distincts. Cette borne commune est Vaire de A.

Pour que la courbe soit quarrable, il faut et il suffît que, quelque
petit que soit s, on puisse trouver un domaine polygonal F contenu
dans A et un domaine polygonal F' contenant A, tels que F' — F soit
< e. On peut toujours supposer que les contours de P et F' ne ren-
contrent pas la courbe, car il suffit d'une modification aussi petite
qu'on veut pour réaliser cette condition.

Donc, si la courbe est quarrable, elle peut être enfermée (au sens étroit)
dans un domaine polygonal (F' — P) d'aire plus petite que e.

Soit alors S la plus petite distance de la courbe C à F et F'. Tout
anneau (no 344) dont les points seront à une distance < S de la courbe
sera tout entier dans le domaine extérieur à F et intérieur à F' et son
aire sera < t. Donc :

IL Si la courbe C est quarrable, elle peut être enfermée dans un anneau
d'aire infiniment petite.

Cette condition est aussi suffisante pour que la courbe soit quarrable, puis-
que l'aire A est intermédiaire entre celles des deux contours polygo-
naux qui bordent l'anneau.

Couvrons maintenant la courbe C d'un réseau dont les mailles ten-
dent vers 0, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

III. La condition nécessaire et suffisante pour que la courbe C soit quar-
rable, est que la somme des mailles rencontrées par la courbe ait pour limite 0.

COURBES QUARRABLES 385

Cette condition est suffisante, car les mailles intérieures à A forment
une aire polygonale P contenue dans A, et, en ajoutant les mailles
rencontrées par la courbe, on a une aire polygonale P' contenant A,
telles que P' — P tende vers zéro. Cette condition est nécessaire,
puisque les mailles rencontrées par la courbe font toujours partie de
l'anneau qui correspond au réseau.

IV. Le contour fermé simple x = cp(^), y = <];(/)^ sera quarrable si x ou y
est à variation bornée.

Soit ^iT l'intervalle dans lequel i décrit la courbe. Décomposons-le
par les points ti, t^... t„+i = T. Soient s, et tj/ les oscillations de x et y
dans l'intervalle tt ti+i. Le tronçon ti ^j-i-i de la courbe peut être inscrit
dans un rectangle de côtés £<• et ti/. Par conséquent, quand les mailles
tendront vers zéro, la somme de celles qui rencontrent ce tronçon aura
une limite égale ou inférieure au produit £,-n« qui mesure ce rectangle.
La somme des mailles qui rencontrent le contour proposé a donc une
limite inférieure à S£,in,-. Si x, par exemple, est à variation bornée, x est
la difiérence de deux fonctions non décroissantes, u et z, qui varient
de Ml à U et de Zi à. Z dans l'intervalle ^iT, Soit ti la plus grande des
quantités tj,-. On aura

1 £,■ T),- < TlSe,- < T) [U — «1 + Z — ^i].

La somme des mailles rencontrées par la courbe a donc une limite
inférieure à cette dernière quantité. Celle-ci peut être rendue plus
petite que toute quantité donnée, car tj est aussi petit qu'on veut avec
les intervalles des valeurs de t. Donc la somme des mailles rencon-
trées par la courbe a pour limite zéro.

En particulier, toute courbe fermée rectifiable sera quarrable, puisque
ses coordonnées sont à variation bornée.

V. Uaire intérieure à un contour fermé simple et quarrable C peut s'ex-
primer par Vune des trois intégrales curvilignes suivantes :

xdy, — ydx, V {xdy~ydx),

AO J(c) V(c)

ejfectuée sur le contour C dans le sens direct, pourvu toutefois que cette inté-
grale soit déterminée. Cette condition sera d'ailleurs remplie pour la pre-
mière si y est une fonction de t à variation bornée, pour la seconde si x est
à variation bornée, et pour toutes les trois si la courbe est rectifiable.

Considérons d'abord la seconde des intégrales proposées.

Construisons un anneau (no 844) dont tous les points soient à une
distance de la courbe moindre que e. Inscrivons ensuite, tout autour de
la courbe C, un polygone, sans point multiple, dont tous les côtés
soient assez petits pour ne pas sortir de l'anneau (n" 344). La courbe
et le polygone étant tous deux sur l'anneau, la différence des aires
intérieures à l'un et à l'autre sera plus petite que celle de l'anneau et

25

386 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

comme on peut faire tendre cette dernière vers zéro, puisque la courbe
est quarrable, l'aire intérieure au contour sera la limite de l'aire inté-
rieure au polygone inscrit.

Soient {xi, yi), {x-i, y2),-.' les sommets consécutifs du polygone.
L'aire S' du polygone se mesure par l'intégrale deydx effectuée dans
le sens rétrograde sur le contour polygonal (no 335), ce qui revient à
faire la quadrature d'une somme de trapèzes. Il vient ainsi

S' = ^'S{yk+i-\-yji){xji+i—xk).

Quand les sommets consécutifs se rapprochent indéfiniment, chacune
des deux sommes ^jK/î+i (xk+i — x^ ) et ly/i {xk+i — xk) a. pour limite
l'intégrale existante àeydx effectuée dans le sens rétrograde sur le con-
tour C. Donc la seconde intégrale proposée dans le théorème mesure
l'aire intérieure au contour.

On prouve de même que cette aire s'exprime par la première inté-
grale si celle-ci a un sens. Enfin, si elle s'exprime par les deux pre-
mières intégrales, elle s'exprime aussi par leur demi-somme, ce qui
achève la démonstration.

Remarque. — Si enfin x ou y ou bien xety sont des fonctions abso-
lument continues de t, on peut prendre ^ comme variable d'intégration,
et l'aire s'exprime par l'une des intégrales (346, II) :

Cxy'dt, - Cyx'dt, 4 Ci^y' -yx')dt.

§ 5. Volume d'un solide. Aire d'une surface
de révolution.

348. Volumes qui dépendent d'une quadrature. — La définition des
volumes se rattache à la théorie des intégrales multiples et sera
exposée dans le second volume. Nous n'étudions ici qu'un cas
particulier. Considérons une surface dont les sections paral-
lèles à un plan fixe soient des courbes fermées, et supposons
que l'aire d'une section soit une fonction continue, cp(oc), de la
distance x du plan sécant au plan fixe. Limitons un solide à
l'intérieur de la surface, en menant deux plans sécants extrêmes
aux distance» oci et X du plan fixe.

Pour définir le volume du solide compris entre la surface et
ces deux plans, décomposons ce solide en tranches i)ar les plans
consécutifs x^, x^,... Xn. Xn+i =- X. Substituons à chacune des
tranches, un cylindre ayant même base (^{xn) et même hauteur

VOLUME d'un solide 887

{Xfi+i — Xfi) ai faisons la somme de tous ces cylindres. Cette
somme sera

n

1

Faisons décroître d'une manière quelconque l'épaisseur de
toutes les tranches, la somme précédente aura une limite déter-
minée, toujours la même, que l'on appelle le volume du solide.
Cette limite est, en effet, par définition, l'intégrale définie

•X

(f{x)dx.

'i

Cette formule donne le volume compris entre les plans x^ et
X. Si l'on veut calculer le volume V compris entre les plans
Xo et X, il faudra se servir de la formule

(1) V= (%{x).

Jx,,

)dx.

Quand la fonction ^(^c) est connue, cette formule ramène à
une simple intégration la détermination du volume V.

/Y"* 'V"* 2^

349. Exemples. — I. Ellipsoïde : — r + xr-}-— ?-= i. Cherchons

a^ b' c"

le volume compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe
des X. La section par un plan x quelconque est une ellipse dont
les demi-axes ont pour expressions

'V^î^' ^V^l

Donc, d'après la valeur connue de l'aire de l'ellipse (n'' 332),
nous aurons

Le volume compris entre les plans 0 et 5c sera

V = 1.6c JJ(i -Ç)dx = nbc (x - -^y

Si X = a, on obtient la moitié du volume de l'ellipsoïde ; le

A 2

volume total sera donc ~ uabc. Ce volume vaut les ^ du cylindre

6 o

qui a une des sections axiales de l'ellipsoïde pour base et l'axe
normal à cette section pour hauteur, cylindre qui peut être cir-
conscrit à l'ellipsoïde.

388 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

II. Paraboloïde elliptique : -^ 4--^ = 2A-. La section faite par

le plan x est une ellipse, dont les demi-axes sont b\/2x et c \j2x,
et l'aire 2Tzbcx. Le volume du segment détaché du paraboloïde
par un plan a' normal à l'axe, est donc

= tiTzbc xdx — Tzbcx^,

Jo

C'est la moitié de celui du cylindre qui a même base et même
hauteur que le segment du paraboloïde.

350. Solides de révolution. — L'aire qui a été désignée par (f{x)
s'obtient immédiatement dans le cas très étendu des solides de
révolution autour de l'axe des x. Soient f{x) une fonction conti-
nue et y = f{x) l'équation d'une courbe en coordonnées rectan-
gulaires. En tournant autour de l'axe OX, cette courbe engendre
une surface de révolution. La section faite par le plan x est un
cercle de rayon y. Donc (f{x) = Tzy^. Le volume V du segment
compris entre les plans Xo et x, sera donné par la formule

(2) V = TT r y-'dx -= Tz rf{xydx.

Cette formule s'applique aussi aux cas où la courbe est définie
par une représentation paramétrique ou par son équation en
coordonnées polaires. Il suffit d'exprimer y^dx en fonction
de t ou en fonction de 6 et de donner comme limites à l'intégrale
les valeurs limites de t ou de 9.

L'aire qui engendre le volume de révolution peut aussi être
comprise entre deux courbes :

ri = /i(^)> y-z = Ux)^ (yi < rt)-

Dans ce cas, le volume de révolution est la différence des
volumes engendrés par les deux courbes. On a donc

(3) y = '^r(y\-y])dx.

Plus généralement, on peut chercher le volume engendré par
la révolution de l'aire intérieure à une courbe fermée C, entiè-
rement située au-dessus de OX. Supposons que le contour C
puisse se décomposer en un nombre limité d'arcs sur lesquels x

VOLUME d'un solide 889

varie toujours dans le même sens. En raisonnant comme au
n° 335, on verra que le volume de révolution s'exprime par l'in-
tégrale curviligne

(4) V = — 7c r y^dx,

J(C)

le contour C étant parcouru dans le sens direct (*).

361. Exemples de volumes de révolution. — I. Cycloïde. Sui)pO'
sons que la révolution se fasse autour de la base ; on aura

y^dx = a^ (i — cos f)^ dt.

Le volume engendré par l'arc compris entre l'origine et le
point qui a pour paramètre t, sera

V == Tza^ 1 (i — 3 cosf -f- 3 cos-f — cos^t) dt

Jo

.V5t / . . , 3 . , , , sin^t\

Si ^ = 2TZ, on obtient le volume 5n'-a^ engendré par l'arcade
entière.

II. Tore. Le tore est engendré par la révolution d'un cercle
autour d'une droite. Considérons le cercle

•'v- + {y — ^0''' ^ ^^

dont l'équation donne deux valeurs pour y, à savoir

ji = c — Va- — X* y^ = c -\- Va^ — x^

On en tire

yl — yi -- 4 cV«^ — ''^^•
Faisons tourner le cercle autour de l'axe de x, le volume de
la tranche du tore comprise entre les plans 0 et oc s'évalue par
la formule (3). Il vient

roc

V=4tic \Ja^ — xUL\^

2TZC

X

xyja^ — x^ 4- a^ arc sin
^ a

(*) On peut généraliser ce résultat. Eu raisonnant comme au u" 347, on
montre que l'équation (4) subsiste, pourvu que le contour C soit quarrable
et que l'intégrale curviligne ait un sens. Ceci aura lieu si le contour C,
défini par .v = cp(^), y — i^{t), est rectifiable et, plus généralement, si x- seul
est à variation bornée.

SgO CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

Si X = a, on obtient la moitié du volume du tore. Le volume
total sera donc 27t^ca'^.

252. Aire d'une surface de révolution. — Considérons encore la
surface engendrée par la révolution d'une courbe rectifiable
quelconque autour de l'axe des x. Supposons seulement que
l'ordonnée de la courbe soit positive. Prenons comme variable
l'arc s de la courbe compté à partir d'une origine fixe. Les
coordonnées ^ et y d'un point de la courbe seront des fonctions
continues de s.

L'aire de la surface engendrée par la portion de la courbe
comprise entre deux points extrêmes, est, par définition, la
limite de l'aire engendrée par la révolution d'un polygone
inscrit dont tous les côtés tendent vers zéro (*).

Soient s^ et S les valeurs de s aux points extrêmes ; marquons
sur la courbe une suite de points où s prend les valeurs succes-
sives s,, Sg..., Sn , s„+i = s. Soient Xt et jj les valeurs de ;x; ety
quand s == st Inscrivons un polygone ayant ces points pour
sommets et soit q le côté qui joint (xt, y^) à {Xi+i, yt+i). Ce côté
engendre en tournant la surface latérale d'un tronc de cône,
laquelle a pour mesure, d'après la géométrie élémentaire,

•2 ^

L'aire engendrée par le polygone entier s'obtient en sommant
toutes les expressions semblables à la précédente, ce qui peut,
en introduisant des termes qui se détruisent, s'écrire comme
il suit :

,,|ii±i:i±i(,^^, _ s,) _ ^^lyi±yi±L

{^i+i — ^i) — Ci

Considérons d'abord la seconde somme. Comme Ci est la corde
de l'arc Sj+j — 6v, toutes les différences entre crochets sont posi-
tives. Donc, M désignant le maxime de y, cette seconde somme
est moindre que

n n

2TcM 2 [{si+i — Si) — Ci] = 2TtM[S — Si — Scj].

(*j La définition de l'aire d'une surface quelconque sera donnée dans le
second volume.

AIRE d'une surface DE REVOLUTION 89 1

Comme l'arc S — s, est, par définition, la limite du périmètre
Xci, cette expression tend vers 0 avec les côtés Ct. L'aire de la
surface de révolution est donc égale à la limite de la première
somme. Mais la demi-somme de yt et y^+^ étant une valeur
moyenne de y dans l'intervalle (sf, s^+^) de s, la première somme
tend, par définition, vers une intégrale définie quand tous ces
intervalles tendent vers zéro ; et l'on obtient, pour l'aire A de
la surface, la formule

(6) A =- 271 ( y ds.

Cette formule suppose l'arc rectifiable. On peut en déduire
d'autres, applicables aux divers cas dans lesquels s n'est pas la
variable indépendante. Celles-ci se déduisent de la précédente
par un changement de variable, mais il faut des hypothèses
plus restrictives.

Suivant que la courbe sera définie par une représentation
paramétrique, par l'équation y =-- f{x), ou en coordonnées po-
laires, on aura, pourvu que les dérivées représentées par x', y'
et r' existent et soient continues,

ds = dt \'x" 4- r" = dx Vi + r" = d^ V'-' ■+- r'-.
Prenant t, x ou 8 comme variable, on transformera donc,
suivant le cas, la valeur (5) de A dans l'une des suivantes ;

2TC Çysjx'^ + y^dt, 2Tt CyS/i -\- r'* dx, 27: j (r sin ^)\/l^r'^d^,

les limites se rapportant aux extrémités de l'arc. Ce sont ces
formules que l'on applique en pratique.

353. Aire de l'ellipsoïde de révolution. — Nous prendrons pour
variable l'angle cp déjà considéré au n° 389. On a alors

5C = a sin <p, y =^ b cos cp, ds = d<f \Ja^ cos^ cp -f b' sin* cp.

Il y deux cas à distinguer suivant cjue l'ellipsoïde est de révo-
lution autour du grand axe ou du petit.

1° Ellipsoïde surhaussé (a > b). Soit e = (Va' — 6^) : a l'excen-
tricité absolue. Pour obtenir l'aire totale de l'ellipsoïde, il faut
doubler l'aire engendrée par l'arc ayant pour extrémités
cp = 0 et ^ = ir : 2. On aura, par la relation e sin <p = sin t,

392 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

„ - , /*2 , ^ fl-o/) /*arc sin £

S = /iT.ab ) \Ji-t' sin'^ <p cos'f dco = ±^^ cos^ tdt,

c, 2Tzabr^ , . -larcsine

ï5 = Ir + sinfcosn = 2Tzab

arc siii e

Vi— e'

Ce résultat se simplifie par la relation yi — e^ =: 6 : a ; il vient

arc sin e'

S = 271:

b' 4- ab'

2° Ellipsoïde surbaissé (a < b). Soit k = (y^b^—a^) : a ; on aura

S = /^Tzab j Vi + ^^sin^T cos'fdcp = /^Tzabki \/i+ ^^ rf^
Cette intégrale a été calculée au n° 338 ; il vient

S = 2 7r az> rvr+^ + ^ Log (/c + vr+^"2y

et, par relation sji -[- k^ = b : a,

S = 2u

al

b' + — hog{k + \Ji + k')

Ces deux expressions donnent à la limite l'aire de la splière en
faisant tendre b vers a et, par conséquent, e et k vers zéro. On
trouve la valeur connue ^-Ka^.

Exercices.

1 . Calculer les volumes et les surfaces engendrées par les révolutions :

1° d'une chainette autour de sa base ;
2° d'une spirale logarithmique autour de l'axe polaire ;
3o de la cardioïde : r = 2a (i — cos 6) autour du même axe ;
40 de lemniscate : r^ = a2cos26 autour du même axe.

Ces problèmes conduisent à des intégrales qui s'effectuent facilement
sous forme finie.

2. Volumes engendrés par les révolutions :

1° d'une spirale d'Archimède autour de l'axe polaire ;
2° d'une cissoïde autour de son asymptote.

Ces volumes se calculent également sous forme finie.

§ 5. Calcul des intégrales définies par approximation.

354. Principe de la méthode. — Un grand nombre de problèmes
relatifs à la mécanique, à la physique et à l'art de l'ingénieur

CALCUL DES INTEGRALES DEFINIES PAR APPROXIMATION

393

conduisent à des intégrales définies qu'il est impossible d'ob-
tenir rigoureusement- sous forme finie. Pour les calculer, il faut
recourir aux formules d'approximation. Celles-ci sont d'autant
plus avantageuses qu'elles exigent moins de calculs et compor-
tent une exactitude plus grande. Il en existe un grand nombre.
Nous allons faire connaître seulement les plus utiles et les plus
élémentaires.

L'intégrale définie f{x) dx, où nous supposerons f{x) posi-
Ja

tif et 6 > a, représente, comme on l'a vu, l'aire S limitée par la
courbe y = f{x), l'axe OX et les deux droites x ^ a et x = b.
Le problème d'évaluer cette aire est donc le même que celui de
calculer l'intégrale ; et réciproquement, toute détermination
approchée de l'aire S fournira une valeur approximativi^ de
l'intégrale.

355. Détermination de limites supérieures et inférieures d'une inté-
grale définie. — Nous supposerons que, dans tout l'intervalle
(a, b) de l'intégration, la courbe y = f{x) tourne sa concavité
dans le même sens. Si cette condition n'était pas réalisée, il
faudrait commencer par décomposer l'aire en plusieurs autres
pour lesquelles la condition aurait lieu.

Nous supposerons, pour fixer les idées, que la courbe tourne
sa concavité vers le bas. Dans l'hypotlièse inverse, l'ordre des
limites que nous allons obtenir serait interverti. Une limite
supérieure deviendrait une limite inférieure et réciproquement.

Ceci posé, on peut, d'après M. Mansion, procéder comme il suit
pour enfermer l'iritégrale

entre des limites que l'on
sait évaluer :

On décompose l'inter-
valle (a, b) en un nombre 0
pair 2n de parties égales
d'amplitude ft = (6 — a) : 2n Fig, 1 1 .

par les points Xi = a, x^, x^,... x^n+i = b ; p.uis on décompose
l'aire B à évaluer en segments consécutifs u,, «Tg,... <i2„ (fig. 11)
en menant toutes les ordonnées correspondantes jj, jj,... yin+-\-

La courbe tournant par hypothèse sa concavité vers le bas,
tout segment compris eutre deux ordonnées quelconques y, et

394 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

yx surpasse le trapèze que l'on y inscrit en joignant les sommets
des deux ordonnées.

On trouve ainsi, pour le segment (x^ compris entre les ordon-
nées yh et j/i-fj, l'inégalité

(1) ""^ > 2 ^^^ + ^'''+^^'

De même, pour le segment oai + <^2i+i compris entre les or-
données y^i et Jae+g,

(2) <iii + «ï2i+i > h {y^i -f ya+i).

Mais on peut aussi assigner une limite supérieure aux seg-
ments. Tout segment compris entre deux ordonnées verticales
est moindre que le trapèze qu'on lui circonscrit en menant à la
courbe, entre ces ordonnées prolongées, une tangente intermé-
diaire quelconque. En particulier, le segment <^ii—x -\- ^ït compris
entre les ordonnées yu-i et ya+i est moindre que le trapèze
qu'on lui circonscrit en menant la tangente au sommet de l'or-
donnée médiane y^. Ce trapèze a pour mesure sa hauteur 2/i
multipliée par la moyenne jgi de ses bases. On a donc

(3) <s2i-\ + <^2i< ^hy2i.

De là résultent facilement diverses limites supérieures et
inférieures pour l'aire totale S. Pour les écrire plus facilement,
désignons par :

P la somme des ordonnées paires y? + y4 + ••• + y-in ',
I celle des ordonnées impaires y, + jg 4- ••• + y-m+i ;
El celle des ordonnées impaires extrêmes yj -f yz)i+i ;
Ejj celle des ordonnées paires extrêmes y^ + y2n'
On obtient d'abord une limite supérieure L par la formule (3).
On a, en effet,

S = S (a2j_i -f a,,) < 2/îP

i

Par conséquent,

(4) S < L =- 2/iP.

On obtient ensuite une première limite inférieure l par la for-
mule (1), car on a ■

S^Eaft>-(2P + 2l-Ei);
1 2

par conséquent.

(5) S>l = h(Ti-I-^^

'^/

CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES PAR APPROXIMATION SqS

Cette formule donne une valeur approchée / de S ; on f 'ap-
pelle la formule des trapèzes.

Enfin on peut obtenir une seconde limite inférieure V en com-
binant les formules (1) et (2). On a, en effet,

n— 1
1

On remplace ij, et <x2m par leurs limites (1) et les parenthèses
par leurs limites (2), ce qui donne

S>/i^^+^' +/i(2P-E,)
et, en réduisant,

(6) S > /' •-= h

•^-p _ E^-E,

Cette dernière limite a l'avantage de ne pas faire intervenir
les ordonnées intermédiaires d'ordre impair. Quand on se sert
des limites (4) et (6), on peut donc se dispenser de calculer ces
ordonnées.

356. Formules de Poncelet et de Simpson. — Ces formules s'ob-
tiennent par la combinaison des limites précédentes :

1° La formule de Poncelet s'obtient en donnant comme valeur
à S la moyenne arithmétique des valeurs L et Z'. On trouve ainsi

Eg — E,

(7) S = ^^àJL = h

^ ' 2

2P —

L'erreur commise sera moindre en valeur absolue que
L — /'_AEg — El

2 ~2 2 '

mais on en ignore le sens.

Cette limite de l'erreur peut se présenter géométriquement.

En effet, si l'on joint (fig. ii) les sommets A et B des ordon-
nées extrêmes y, et j^n+i et les sommets A' et B' des ordonnées
extrêmes de rang pair y^ et y2„, ces deux droites AB et A'B'
interceptent sur l'ordonnée du milieu y„ un segment PQ qui
est précisément égal à (E^ — Ej) : 2, L'erreur est donc moindre
que la moitié du rectangle construit sur ce segment PQ et la
distance h de deux ordonnées consécutives.

La formule de Poncelet est très suffisamment exacte et elle

396 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

est surtout pratique à cause de sa simplicité. Elle ne nécessite
pas le calcul des ordonnées intermédiaires de rang impair.
2° La formule de Simpson s'obtient en faisant

(8) S = îi^-^^=^|(4P+2l-E0.

La formule de Simpson se montre presque toujours pratique-
ment la plus exacte. Mais les principes qui nous ont servi jusqu'ici
ne suffisent pas pour justifier théoriquement de sa supériorité.
Tout ce que nous voyons pour le moment, c'est que l'erreur ne
peut surpasser

Pour justifier de la supériorité de la formule de Simpson,
nous allons chercher par une autre voie une expression analy-
tique de l'erreur commise. Cette expression pourra servir en
pratique chaque fois que la dérivée quatrième de f{x) sera
connue. Dans» les autres cas, la formule de Poncelet sera pré-
férable à celle de Simpson, car elle donnera un résultat aussi
sûr avec moins de calculs.

357. Reste de la formule de Simpson. — Nous appellerons reste
de la formule de Simpson, la différence entre la vraie valeur de
l'intégi-ale et celle que donne la formule de Simpson. Nous
allons donc chercher une expression commode de ce reste.

Nous pouvons nous affranchir de toutes les conditions que
nous avons imposées à la fonction f{x) dans les numéros précé-
dents. Par contre, nous devons en introduire une nouvelle :
nous supposerons que les dérivées de f{x) sont déterminées et
continues jusqu'au quatrième ordre inclus.

Nous commencerons par former l'expression du reste dans le
cas où le calcul se fait avec deux subdivisions seulement. Il n'y
a alors qu'un seul point de subdivision de l'intervalle d'intégra-
tion, nous le désignerons par ;x; et les valeurs extrêmes seront
X — A, et jc + A.

Soit F{x) une intégrale de f{x). La valeur exacte de l'aire
cherchée sera

F{x + h) — F{x — h),
et celle fournie par la formule de Simpson

I [f{x -rh)+ /'(A- - h) + if{x)].

CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES PAR APPROXIMATION 897

Considérons x comme donné et h comme variable ; les deux
expressions précédentes seront fonctions de h et leur différence,
ou le reste de la formule, pourra se désigner par'^(/i). Il vient ainsi

cf(/i) = F(A- + h) - ¥{x -h)~^ [f{x -f /i) + f{x - /O 4- 4/'(-^)].

Comme le montre un calcul simple, cette fonction s'annule
ainsi que ses dérivées premières et secondes pour /i =^ 0 et la
dérivée troisième a i)Our expression

?"w = - ^ irv + à) - r(x - h)].

Désignons par ^ une quantité inconnue mais comprise entre
X — Il et X -]- h ; le théorème des accroissements finis donne

?"w = --3-r(^).

Multiplions successivemeut par dli et intégrons trois fois de
suite les deux membres de cette équation entre 0 et h. On ]}eut
chatiue fois, en vertu du théorème de la moyenne, et sans qu'il
faille changer le sens général de i, faire sortir le facteur /'^^(i)
du signe J et n'intégrer que la puissance de h. On trouve ainsi,
puisque tp, cp' et f" sont nuls pour h = 0,

<,(/,) = _|r(0^

Telle est l'expression simple et remarquable de l'erreur com-
mise quand on applique la formule de Simpson avec deux sub-
divisions seulement. Si la courbe est une parabole du second
ou du troisième degré, la dérivée 4" de f{x) est identiquement
nulle et la formule de Simpson donne un résultat exact.

Revenons maintenant au cas général, envisagé au n° précé-
dent, dans lequel il y a un nombre pair 211 de subdivisions.
Considérons le segment ^2t-i + »2î de la courbe (n" 354) compris
entre les ordonnées yzi-i et ^2^+). On peut le calculer par la
formule que nous venons d'établir. Il vient ainsi

où Ç est intermédiaire entre x^-^ et x-n+i.
Faisons la somme des résultats précédents pour tous les indi-

398 CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

ces i = I. 2,... n ; il viendra, i étant maintenant compris entre
a et b,

S = I [2I + 4P _ E,] - n| rik) ^,
ou, comme 2nh = b — a,

(9) S = ^ [2I -h 4P _ E J - -^ (6 - a) /•iv(^)

{a<l<b).

Cette formule coïncide avec la formule (8), à part le dernier
terme, ("est la formule de Simpson complétée par l'expression
du reste. Cette expression permet donc d'évaluer une limite de
l'erreur commise par la formule primitive. Si la dérivée qua-
trième ne change pas de signe, le sens de l'erreur sera connu,
puisqu'on connaîtra le signe du reste. Celui-ci pourra même
servir à rectifier dans une certaine mesure le résultat obtenu.

Si h est très petit, l'erreur commise par la formule de Simp-
son sera très petite, car elle est seulement du quatrième ordre
par rapport à h. C'est de là que vient la supériorité de cette
formule sur les autres où l'erreur est d'un ordre de grandeur
plus élevé.

CHAPITRE XI.

Des séries.

§ Généralités sur les séries à termes constants.
Séries positives.

358. Définitions. — On appelle série une suite indéfinie de
quantités, réelles ou complexes, u^, u,^,,.. Un,--. formées suivant
une loi déterminée et que l'on ajoute successivement les unes
aux autres. Le terme iin se nomme le terme général de la série.
Son expression donnée en fonction de n fait connaître toute la
série. Soit

Sn= «1 + «2 -h-.., + Un

la somme des n premiers termes de la série. Si, pour une valeur
indéfiniment croissante de n, la somme s„ tend vers une limite
finie et déterminée s, la série est convergente et s est la somme
ou la valeur de la série. Si Sn ne tend vers aucune limite ou
augmente indéfiniment, la série est divergente. Toutefois si
Sn tend vers + oo ou — oo nous disons que la série est infinie et
a pour somme f oo ou — oo.

Lorsqu'une série est convergente, la différen<}e,

s — Sn = Avn >

entre la se m me de la série et celle des n premiers termes s'ap-
pelle le reste de la série à partir du n'"*^^ terme. Ce reste est la
somme de la série suivante :

qui est donc convergente (ou divergente) en même temps que la
première. Ainsi, on peut toujours dans l'étude de la conver-
gence d'une série faire abstraction d'un nombre limité de termes
au début.

359. Caractère général de convergence. — Pour qu'une série

4oO CHAPITRE XI. DES SERIES

converge, il faut que les sommes successives s,, s^,... Sn,... ten-
dent vers une limite déterminée. De là (n°^ i6 et 46) on conclut
la proposition suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour la convergence
d'une série est qu'à tout nombre positif t si petit qu'il soit, cor-
responde un nombre n tel que r inégalité

I ^n+p — s^ I < e

ait lieu pour tous les indices n +p supérieurs à n.

Ce théorème peut aussi se formuler comme il suit : Pour
qu'une série converge, il est nécessaire et suffisant que l'on ait

n=a.v*'"+^ — 'Sn ) = 0,

p VARIANT d'une MANIÈRE ARBITRAIRE quand n tend vers l'infini.

Corollaire. — Faisons p = 1, le théorème précédent nous
donne, en particulier, la condition suivante, toujours nécessaire,
mais non suffisante pour la convergence :

Dans toute série convergente, le terme général Un a pour
limite zéro pour n infini.

360, Convergence d'une progression géométrique. — Une des
séries les plus utiles à considérer est la progression géométrique

a^ ak + ak^ -\- ... + ak'' + ...
Si k diffère de i, on a ici

Sn=a-\-ak + ... 4- a/c'^-> = ilL~-^.

Si I A: I est < i, /c" tend vers 0 et s„ vers a : (i — A") ; la série
converge.

Si I A" I > I, le terme général aA:" n'a pas pour limite 0, sauf
si a = 0 ; donc la série diverge, sauf si a = 0, auquel cas la série
est nulle.

361. Séries positives. Formation de séries divergentes et conver-
gentes. — Lorsque tous les termes d'une série Su» sont positifs
(ou nuls) la série est dite positive. La somme Sn est alors crois-
sante (ou stationnaire) quand n augmente, de sorte qu'une
série positive est convergente ou infinie.

Il est facile de donner un procédé général pour former des
séries positives convergentes ou divergentes.

SÉRIES POSITIVES AqI

Désignons, en effet, par M„ un nombre qui croît constamment
jusqu'à l'infini avec l'indice n et formons les deux séries à
termes positfs :

(M, — M.) + (M3 — M,) + ... = i:(Mn+, - M„),

m;~mJ+( m;-m3J + - == K~A^~^,

La première est divergente, car Sn = M„+ 1 — Mj augmente à

l'infini avec n ; la seconde convergente, car s» = -^

Ml M„+,
I
converge vers ^rp.

Par exemple, si l'on prend M,, = Log n, on formera la série
divergente

Log(n-j- i)— Log7i ^SLogri4--
si l'on prend Mn = n«(a > 0), on formera la série convergente

S r^ L_i

In^ (n+i)aj'

362. Règles de convergence des séries positives tirées de la compa-
raison des séries entre elles. — I. Soient Sh» et 2y„ deux séries
positives ; supposons qu'on ait constamment, à partir d'une va-
leur suffisamment grande de n,

Un ^ Vn :

1° Si I^Vn converge, Hun converge aussi ; 2« si Ih,i diverge,
2un diverge aussi.

En effet, dans le premier cas, Sy„ étant fini, 2«,j l'est a for-
tiori et, par conséquent, converge ; dans le second, Sun étant
infini, S^n l'est a fortiori et diverge.

II. Si la série Su» converge, la série Hvn obtenue en multi-
pliant chaque terme de la précédente par des facteurs positifs et
inférieurs à un nombre fixe A, converge aussi.

En effet, la série SAa» converge, car elle a évidemment pour
somme ASu», donc Sy» (qui a ses termes moindres) converge
en vertu de la règle précédente. — On prouve de même que :

Si la série X»» diverge, la série Ivn obtenue en multipliant
chaque terme de la précédente par des facteurs supérieurs à un
nombre positif fiiie A, diverge aussi.

26

402 CHAPITRE XI. DES SÉRIES

Ces deux règles inverses renferment évidemment comme cas
particulier la suivante :

III. Si le rapport iin : Vn tend vers une limite finie et différente
de zéro, les deux séries S«n et Hvn sont en même temps conver-
gentes ou en même temps divergentes.

IV. Soient Su» et Sy» deux séries à termes positifs et diffé-
rents de 0 ; supposons qu'on ait constamment, à partir d'une
valeur suffisamment grande de n.

Un Vn ^ ^^

ïln+ 1 Vn+ 1

i'* Si la série "Lvn converge, I.Un converge aussi ; 2° si Sh„ di-
verge, Hvji diverge aussi.

On a, en effet, à partir d'une valeur déterminée de n,

^n Vn+ 1 ^n+ 2

Soit p la valeur du premier cxuotient ; on a, pour m > n,

P

Si Sun et, par suite, Spi^n convergent, Swn converge aussi en
vertu de la règle I ; si ÏUn et, par suite, 2(«n : p) divergent,
Su„ diverge aussi en vertu de la règle I.

363. Exemples. — i° La série dite harmonique

n 234

est divergente (en vertu de la règle III), car le rapport de son
terme général (i : n) à celui de la série divergente £ Logf i -f - j

(n° 36i) a pour limite l'unité.

2° Au contraire, pour toute valeur positive et constante de a,

la série

y J ^T I ' I ^ I ^ 1
n^+a -^"12'+* 3^+°' 41+*

est convergente (en vertu de la règle III), car le rapport de son
terme général à celui de la série convergente (n° 36i)

'{n-i-iri

SÉRIES POSITIVES 4^3

a pour limite i : a. En effet, le terme général de cette dernière
série peut, par la formule des accroissements finis, prendre la
forme a : (/i -h 9)*+'.
3° La série

+ ... = 2:

3Log3 J^JjOg^ 5Log5 *" /iLogn

est divergente. En effet, formons une série divergente par le
procédé du n° 36 1 en prenant M» — Log Log n ; cette série aura
pour terme général M„+i — M„ , c'est-à-dire

Log Log (n + i) — Log Log n

(n4-e)Log(/i+e)'

par la formule des accroissements finis. Le rapport de ce terme
à I : (n Log/i) tend vers l'unité, donc la série S[i : (n Log n)]
diverge par la règle III.

364, Critères de Cauchy, — Nous appellerons critère de conver-
gence ou de divergence toute règle qui permet de décider de la
convergence ou de la divergence d'une série par une propriété
de son terme général, ou par une relation entre le terme géné-
ral et un nombre limité de termes suivants.

Un critère est de première espèce s'il ne fait intervenir qu'un
seul terme, de deuxième espèce s'il en fait intervenir deux, et
ainsi de suite.

Critère de première espèce. — La série S«n converge si
l'expression

n

V«n

a une limite < i pour n infini, ou, plus généralement, finit par
rester inférieure à un nombre A* < i à partir d'une valeur suffi-
samment grande de n. Elle diverge si cette expression ne finit
pas par devenir définitivement plus petite que l'unité.

En effet, dans la première hypothèse, les termes de la série
deviennent inférieurs à ceux de même rang de la progression
géométrique convergente SA" ; donc la série converge. Dans la
seconde hypothèse, le terme général u„ n'ayant pas pour limite
zéro, la série diverge.

Souvent le quotient Un+t : «n a une forme plus simple que Un ,

4o4 CHAPITRE XI. DES SERIES

alors, le critère précédent étant cependant applicable, il est
plus commode de se servir du suivant, qui est de 2^ espèce.

Critère de deuxième espèce. — La série SiZn converge si le
quotient

Un

finit par rester inférieur à un nombre k < i à partir d'une va-
leur suffisamment grande de n. Elle diverge, si ce quotient de-
vient définitivement ^ i.

En effet, dans la première hypothèse, on a, à partir d'un
indice convenable n,

Un + i < kUn, Un+2 < k^Un,... Un+p < kP Un .

Donc les termes de la série commencée à ce terme, sont infé-
rieurs à ceux de même rang de la progression géométrique
convergente

Un-\- kUn+ ...-{- kPUn+ ...

et la série converge.

Dans la seconde hypothèse, m„ cesse de décroître à partir
d'un certain indice et, par conséquent, n'a pas pour limite 0.

Il arrive souvent que le rapport Un+ 1 : «n tend vers une
limite déterminée k quand n tend vers l'infini. La série sera
convergente si A: est < i et divergente si A: est > i. Si /c = i, on
ne peut rien conclure et il faut recourir aux critères de deuxième
espèce suivants :

365. Critères plus précis. — Règle de Raabe. La série positive
2«„ sera convergente, si ion peut poser, à partir d'une valeur
convenable de n, k désignant une constante > i.

Un+i n

Au contraire, elle sera divergente si Von a

"n+ 1 n

En particulier, la série est donc convergente ou divergente

selon que l'expression n (~ i ] a une limite supérieure ou

inférieure à l'unité.

SIORIES POSITIVKS 4^^

Démontrons d'abord la règle de convergence.
Soit a un nombre positif < A- ; considérons la série conver-
gente (no 363)

Ii;n=2-^, d'où J^'i- = fi + i^'^°'

On en conclut

"» "» ;3i+*_^ + 'V+«

Wn+i ""+i 11 \ n

Quand n tend vers l'infini, le second membre a pour valeur

principale par la formule du binôme, il finit donc

par devenir positif, donc le premier membre aussi, ce qui
prouve que la série ILiin converge, en vertu de la règle IV du
n° 362.

Quant à la règle de divergence, c'est un cas particulier de la
suivante qui est plus générale :

La série 'LUn sera divergente si l'on a, à partir d'une valeur
suffisamment grande de n,

Un+i n n Log n

En effet, considérons la série

n Log (n — i) '

qui est divergente comme S(i : /i Log n) (n" 363), car le rapport
des deux termes généraux tend vers l'unité.
Pour la seconde série, on a

J^== Ti + J ^ Log n ^ j I 1 j Log n — Log {n — i)
Vn+i V nJljOg{n—\) n Log(;i — i)

et, par conséquent, i)ar la formule des accroissements finis,
qui donne Log n — Log (n — i) = i : (n — 9),

Vn+i n. n Log (n — i) *

Il vient donc

M TI J J

Vn+i iin+i nLog(n — i) n Log 71
donc la série l^«n est divergente, en vertu de la règle 1 V du
n" 362.

4o6 CHAPITRE XI. DES SÉRIES

Remarque. Les règles précédentes permettent de décider de
la convergence ou de la divergence dans presque tous les cas
qui se rencontrent en pratique. En effet, le quotient Un : Un+^
peut généralement se développer suivant les puissances de i : n.
On obtient alors un développement de la forme

u„+i n 71*

où 0 conserve une valeur finie.

La série sera convergente sia>iousia = i,j3>i; diver-
gente si a < I ou si a = I, P < I.

366. Critère de Kummer. — Soit a^, a^,... an,.., une suite de
quantités positives ; si, n croissant indéfiniment, l'expression

o "»
Un+i

devient définitivement supérieure à un nombre positif fixe a, la
série positive £u„ converge.

Les termes au début de la série n'important pas, nOus pou-
vons admettre que l'expression surpasse a pour toutes les valeurs
de n. Sommons alors, pour n = i, 2,... n, toutes les inégalités :

^ ^n+ 1 "^ ^nUn — an+ i Ujvf i ;

il vient

a(u2 + «3 -I- ... 4- Uu+i) < a^Mj — a„+i Un+i < ai«,,

donc I,Un , étant borné, converge.

Si l'on prend a„ = n, on obtient comme cas particulier la
règle de Raabe (n° 365).

Exercices.

I. Une série positve Sm„ est convergente ou divergente suivant que
l'expression

1 1 — T 1 — T Log n

ni I I — I

L V««+i

tend pour n infini vers une limite supérieure ou inférieure à l'unité.

R. Cas particulier de la règle de Kummer (a« = « Log «) et de la
règle IV du n^ 362.

3. Théorème de Cauchy. — Soit/(;p) une fonction positive décroissante
et ¥{x) une intégrale de f{x), la série S/(«) converge selon que ¥{x)
est fini ou infini pour x infini positif.

SKRIES POSITIVES 4^7

R. En effet, la série qui a pour terme général F(» + i) — F(«) con-
verge ou diverge selon l'hypothèse. Parle théorème des accroissements
finis, ce terme prend la forme f{n -\- 0) ; il est > /(« + i) et < /"(«).
Donc, selon l'hypothèse, ï/(« + i) converge a fortiori ou bien S/(?/)
diverge a fortiori.

3. On considère une série positive divetgente «i + «2 + ••• et une
fonction /(;r) non croissante et tendant vers zéro pour x infini positif.
Soient 5„ la somme des « premiers termes de la série et V{x) une inté-
grale de la fonction. On forme les deux séries :

Montrer : i» que la première converge si F(a:) est borné pour x in-
fini positif ; 2° que la seconde diverge si F(;tr) croit indéfiniment avec x ;
30 qu'elles convergent ou divergent en même temps si Un est borné (*).

R. Démonstration analogue à celle du théorème de Cauchy pour x»
et 2°. On prouve le 3° en montrant que la différence des deux séries
est bornée avec Uu.

4. Cas particuliers du théorème précédent : Si a est positif et u» borné,

S— ^ diverge, S _ converge (Dini).
Sn 51+*

5. On considère une série positive convergente «1 +«? + ... et une
fonction /(;»;) qui augmente à l'infini sans décroître quand x positif
tend vers 0. Soient R« = m»-|-i + ••• le reste de la série et Y{x) une
intégrale de/ (a;). On forme les deux séries :

S/(R„)««, S/(R„_,)««.

La première diverge si F(;tr) est infini pour ;v = 0 ; la seconde con-
verge si F(;*r) est borné pour x = ^ (*).

6. Cas particuliers du théorème précédent : Si a est positif,

1 — - diverge, 1 ^ -3- converge.

7. Soit M« un nombre positif qui croit constamment avec « ; on for-
me l'expression

-rj- Log .

M« Un

Si cette expression devient définitivement supérieure à un nombre
positif fixe a, la série S«« converge ; elle diverge au contraire si l'ex-
pression devient inférieure à un nombre négatif.

(*) Théorèmes publiés d'abord dans la première édition de ce Cours (igoS).
Voir aussi Denjoy, Sur quelques propriétés des séries à termes positifs. Bulletin
de la Soc. Math, de France, t. XI, 1912.

4oB CHAPITRE XI. DES SERIES

R. Dans le premier cas, on a, en effet,

u„< {M„ — M„-i)e-Mn a < T" ^-"^ dx,

ce qui est le terme général d'une série convergente. Le second cas se
traite d'une manière analogue.

^ 8. Soient Pi, Pg,... P„ ... des nombres positifs quelconques, la série
lu„ sera convergente si l'expression

Log (P« u„ )

- + -+ +^

devient définitivement inféi ieure à un nombre négatif fixe.

Ce critère de première espèce, le plus général que l'on puisse for-
mer, n'est qu'une autre forme de la règle précédente.

g. Si Un est constamment décroissant, la condition lim ««„ = 0 est
nécessaire pour que la série positive Sm„ soit convergente.
R. On considère l'inégalité

Un + M«+l + .-, + Un+p > pUn+/ = -~- (k + p) U„+é

n -jr p
et l'on applique le caractère général de convergence.

lo. Plus généralement, si la suite positive [t-i, (Xg,.., \).„ ,... est choisie
de manière que u„ : [a» soit non croissant et tende vers 0, la condition

^:^\^l + l^2 + ■^' + ^^ .

lim u„ = 0

est nécessaire pour que la série positive 2m« soit convergente.
R. En posant an-=u„: [j.„ l'expression proposée s'écrit

hm ( — îfi + -— M2 + ... -I u„-i +u„ ];

elle s'obtient donc en multipliant les termes dellu„ par des facteurs
tous < I et qui tendent tous vers 0, d'où le théorème.

Si l'on fait (j.„ = «/ puis i>.„ = -, on obtient les cas particuliers sui-
vants :

1° S'il existe un nombre positif^, indépendant de n, tel que u„ : «^ soit
non croissant, la condition lim nu„ ^ 0 est encore nécessaire pour que
la série soit convergente.

20 Si nun est non croissant, la condition, lim (« log n)un — 0 est néces-
saire pour que la série soit convergente (Lasker) (*). Généraliser.

(*) Philos. Trans. London 196 A (1901) p. 460.

SÉRIES NUMÉRIQUES QUELCONQUES 4^9

§ 2. Séries numériques quelconques.
Opérations sur les séries.

367. Séries absolument convergentes. — Une série à termes réels
ou complexes est absolument convergente si elle converge après
qu'on a remplacé chaque terme par son module.

Une série Jlunqui est absolument convergente, est convergente.
En effet, soit Pn le module de w„ ; on a

( Un+i + «n+2 4- ••■ + Un+p \ ^ /"n+l + ''n+2 + ... + rn+p.

Le caractère général de convergence (n* SSg) étant vérifié
pour la série Srn , le second membre tend vers zéro pour n in-
fini, donc le premier membre aussi, et le caractère général de
convergence se vérifie pour Swn •

L'étude de la convergence absolue se ramène donc à celle de
la convergence des séries positives.

On a, en particulier, le théorème suivant :

Une série llun est absolument convergente, si, pourn suffisam-
ment grand, ses termes deviennent égaux ou inférieurs en va-
leur absolue aux termes de même rang d'une série positive con-
vergente.

368. Séries non absolument convergentes. — Lorsqu" une série réelle
n'est pas absolument convergente, les termes positifs d'une part
et les termes négatifs changés de signe d'autre part, forment
séparément deux séries positives divergentes.

Soient s„ la somme des n premiers termes de la série, puis
respectivement s'^ et — s'J^ les sommes des termes positifs et des
termes négatifs qui entrent dans Sn , enfin a^ la somme des
valeurs absolues des termes de Sn ; on a

«" = «n-C «^n = «; + <'.

Pour /i infini, s„ est fini et a^ infini par hypothèse, donc (cr,i ± s„)
et, par conséquent, s'^ et s'^ sont infinis, ce qu'énonce le théo-
rème.

369. Addition des séries. —Soient s = E«„ef s' = Sy,j deux séries
convergentes, la série s" -= 2(u„ ± Vn ) obtenue par l'addition ou
par la soustraction terme à terme des deux précédentes, sera
convergente et aura pour somme s ± s'.

4lO CHAPITRE XI. DES SÉRIES

En effet, soient Sn, s'^^, s'^ les sommes des n premiers termes
de chaque série ; on a .9J| = Sn =b s'^^ et, à la limite, a" ^ s ± s'.

Remarque I. — L'addition et la soustraction des deux séries
S et s' peuvent aussi se faire par simple intercalation des termes
de s' entre ceux de s, c'est-à-dire que

s ± s' = Ui ± Wi + «2 ± t'a + «3 ± •••

En effet, la somme des n premiers termes de cette nouvelle
série est s'^ ou s'^ 4- «A-t-i selon que n = 2k ou 2A: + i. Comme
uii+i tend vers zéro, cette somme a donc même limite s" que s^'.

Remarque II. — Si les deux séries s et s' sont absolument
convergentes, il en sera encore de même pour la série s db s'
calculées par l'un des deux procédés précédents.

En effet, soient <i et <j' les séries positives obtenues en rem-
plaçant les termes de s et de s' par leurs modules, la série s ± s'
aura ses termes au plus égaux en valeur absolue à ceux de la
série positive convergente a -j- a'.

370. Changement de l'ordre des termes. — On peut changer l'or-
dre des termes d'une série Hun absolument convergente sans
altérer la valeur de la série.

Soit e un nombre positif aussi petit qu'on veut. Désignons
par r„ le module de Un . On peut, par hypothèse, supposer n
assez grand pour qu'on ait, p restant arbitraij'e,

fn+i + I'n+2 -+-••• rn+p < 6.

Soit s,i la somme des n premiers termes de la série rangés
dans l'ordre primitif et s sa limite. D'autre part, sommons
successivement les termes d'une autre manière quelconque. Il
arrivera un moment où la somme s^ ainsi obtenue comprendra
tous les Un d'indice < n, mais avec d'autres termes d'indices
(n + a), (/! 4- P)... (n -i- p). On aura

\ s'^ — Sn I <r„+a-l-r„+p + ..-. + r„+p<rn-|-i -|-''n+2 + ..-r„4.p< e.

Donc s'^ finit par différer aussi peu qu'on veut de Sn qui dif-
fère lui-même aussi peu qu'on veut de s, et s^ a pour limite s.

Le théorème précédent subsiste si la sommation se fait en par-
tageant les termes Undans un nombre plus ou moins grand ou
même illimité de séries partielles, que l'on ajoute successivement
les unes aux autres.

SÉRIES NUMÉRIQUES QUELCONQUES 4^^^

Soient, en effet, Sj, Sj,... S^,..., les sommes de chacune des
séries partielles. Celles-ci sont absolument convergentes. Pour le
montrer, remplaçons par des zéros les termes de la série totale s
qui n'entrent pas dans Sa • La série modifiée demeure absolument
convergente en vertu du théorème du n" 867. Comme on peut
supprimer les termes nuls, elle se compose des mêmes termes
que Sa et, comme l'ordre des termes est indifférent, les deux
séries sont équivalentes.

Ceci posé, l'expression s — Sj — Sg — ... — Sa peut, par la
règle d'intercalation des termes du n° précédent, se réduire à une
seule série en u„ qui sera absolument convergente en vertu de
la remarque (II) du même numéro. L'ordre des termes étant
arbitraire, on peut supprimer ceux qui se détruisent. On peut
donc supposer k assez grand pour que cette expression ne con-
tienne plus que des termes u d'indices > n. Donc, si n est
choisi comme dans la démonstration précédente, le module de
l'expression sera < e. Faisons tendre e vers zéro, on aura

s = S, + 82 + ... + Sa+...,
comme il fallait l'établir.

Au contraire, la somme d'une série à termes réels non absolu-
ment convergente dépend de l'ordre de ses termes. En modifiant
cet ordre, on peut faire tendre la série vers le nombre que l'on
veut, pourvu que les termes tendent vers 0 (Riemann).

Formons deux séries, l'une avec les termes positifs et l'autre
avec les termes négatifs de la série proposée. Supposons que
ces séries (a) et {b) soient

(a) ai + ag4-a3 4- ... -|-a„+ ...,

(b) —bi — bi — bs— —bn—....

Ces deux séries sont divergentes (n° 368) et an ainsi que bn ont
pour limite 0 quand n tend vers l'infini.

Ceci posé, nous allons montrer qu'on peut intercaler les ter-
mes négatifs entre les termes positifs de manière à former une
série ayant pour somme un nombre quelconque, par exemple
un nombre positif M.

A cet effet, prenons dans la série positive le nombre de
termes strictement nécessaires pour que leur somme surpasse M,
ajoutons ensuite des termes négatifs jusqu'à ce que la somme

4^2 CHAPITRE XI. DES SERIES

soit ramenée au-dessous de M, puis des termes positifs jusqu'à
ce que la somme surpasse de nouveau M, et ainsi de suite, sans
jamais prendre plus de termes qu'il ne faut. On alterne ainsi
indéfiniment les termes positifs et les termes négatifs, car les
deux séries sont infinies, et, par conséquent, tous les termes des
deux séries seront employés. Je dis que la nouvelle série (c)
ainsi formée a pour somme M.

En effet, considérons la différence s'^^ — M entre M et la
somme des m premiers termes de la série (c). Cette différence
change un nombre infini de fois de signe. Si elle est positive,
elle est inférieure au dernier terme a„ qui y entre, et si elle est
négative, inférieure en valeur absolue au dernier terme bn .
Donc cette différence tend vers zéro, car a„ et bn tendent vers
zéro quand le nombre des termes pris dans chacune des séries
(a) ou (b) augmente infiniment.

371. Multiplication des séries. — Si les deux séries s = Hw» et
s' = 2«|^ sont absolument convergentes, la série I,Up u' qui con-
tient tous les produits d'un terme de la première par un terme
de la seconde rangés dans un ordre quelconque, est absolument
convergente et a pour somme ss'.

Je dis d'abord que cette série est absolument convergente.
En effet, soit Irp r^ la série obtenue en remplaçant les u par
leurs modules r. Sommons les jST premiers termes de cette nou-
velle série et soit p. le plus grand indice p ou q qui figure dans
ces N termes. On aura

* M- I;^

^fpfq < z^rp 2.rq,

N 1 l

car le second membre comprend tous les termes du premier et
d'autres termes positifs en plus.

Mais les facteurs du second membre restent finis, par hypo-
thèse, quel que soit \t.. Donc la somme du premier membre est
bornée, et, comme elle augmente avec N, elle converge. Donc
la série ^Up Uq est absolument convergente.

11 en résulte facilement qu'elle a pour somme ss' . En effet, ou
peut, en vertu du théorème du n" précédent, additionner ses ter-
mes dans l'ordre que l'on veut. On peut donc additionner succes-
sivement tous les termes des produits SnSn, puis Sn+iSn+i, etc..
et on obtient ainsi comme limite ss'

SÉRIES NUMÉRIQUES QUELCONQUES 4^^

II. Soient s = S«n et s' == £u„ deux séries convergentes à ter-
mes réels ou complexes, dont la première au moins soit absolu-
ment convergente. Formons la série s" = Ilif„ dont le terme
général,

Wn^ UuVi + Un-iV^ + ... U^Vn,

renferme toutes les combinaisons de deux indices dont la somme
est (n + i)' Cette série converge et a pour somme ss' (Mertens).

Désignons par rn le module de Un , la série Urn sera conver-
gente par hypothèse et aura une somme finie <t. Soient respec-
tivement Sn, Sn, Sn et ffn les sommcs des n premiers termes de
chacune des séries (u), (v), (w) et (r).

Considérons la différence s„ Sn — s„. On peut la mettre sous
la forme

UiV„-\- UsiVn-i -\-Vn)-{- ... + ««K + ^3 "f ••. + "n )
= "2 K - <-i) + «3 K - <-z) + -. + «n « - S[)

Soit n = p -\- q une décomposition de n en deux parties. Nous
pouvons partager la somme précédente en deux parties corres-
pondantes, que nous écrirons chacune sur une ligne :

^^2 (^n Sn-i) + «3 (*'n — Sn—z) + ••> + î^'p+i (^n — ^q)
+ "p+2 {s'n — si_,) + ... ... + Un(Sn — s[).

On peut supposer q assez grand pour que toutes les paren-
thèses de la première ligne aient leurs modules moindres qu'un
nombre donné e si petit qu'il soit. Alors la somme de la première
ligne a son module moindre que

e (^'2 + i's + ... + /p+i) < e^p+j < ea.

Cette somme est donc aussi petite qu'on veut avec e.

Les parenthèses de la seconde ligne ont leurs modules moin-
dres qu'un nombre fixe A, car la série (v) est convergente. La
somme de la seconde ligue a donc son module moindre que

^ (''p+2 + 'p+3 + ... + rp+q ) < A {ip+q — 7p ).

Cette somme a donc pour limite zéro quand/) tend vers l'infini.

En résumé, la différence ««s,, — .s„ se compose de deux par-
ties qui ont pour limite zéro quand p et q tendent vers l'infini.
Comme on peut faire tendre p et q vers l'infini avec n, il vient
donc

lim Sn = lim &'«s,i = ss'.

4^4 CHAPITRE XI. DES SÉRIBS

Remarque. — Le théorème précédent ue subsiste pas en géné-
ral quand les deux séries ^Un et Sw^ ne sont pas absolument
convergentes. Toutefois, si la série I^Wn converge, elle a encore
pour somme le produit des deux précédentes, comme on le mon-
trera plus loin (n° 3q3).

372. Théorème sur les séries alternées. — Une série s = aj — ag -f
ag — ... qui est alternée, c'est-à-dire dont les termes sont réels et
alternativement positifs et négatifs, converge si ces termes vont
constamment en décroissant en valeur absolue et ont pour limite
zéro. Le reste de la série est de même signe et moindre en valeur
absolue que le premier terme négligé.

On a, en effet,

Sin -- («1 — ttg) -I- (ttg — a^) -f ... + (a,H-i — a,„).
Sgn+i = «1 — («2 — «3) — ... — (a2„ — a^n+i).

Toutes les différences entre parenthèses sont positives. Donc
Sin est une somme positive croissante et s^n+i, qui est égale à
Szn 4- «gn+i, une somme positive décroissante. Leur différence
tend vers zéro. Donc elles tendent toutes deux vers une même
limite, intermédiaire entre les sommes paires et les sommes
impaires. Appliquons cette conclusion à la série

Rn == ^ [°'n+ 1 — «n+a + '^n+s + .,.] ,*

on voit que Rn a le signe de son premier terme et est moindre
que lui en valeur absolue.

373. Théorème d'Abel. — Soients =^ Uj + «2 + ••• + "n + ••• une
série convergente à termes réels ou complexes, Sn la somme de
ses n premiers termes, et S la borne supérieure de | s» | . Soient
ensuite ct^, a^,,... a„,... une suite de quantité positives non crois-
santes, ayant par conséquent une limite a, la série

a = aiUi + a^Wg + „. + a„ u,j -f ...

converge vers une somme u de module moindre que Saj.

Soit <Jn la somme des n premiers termes de cette dernière
série. On a, puisque Un^ Sn — «n -1,

(j,i = Si ai + («2 — Si) «2 + ... -f (Sn— Sn-^) «„

et on en tire

<Jn— «««« == «1 (^1 — aa) + s^ (ag — ag) + ... -f Sn-i (a»-i — <^n)-

SÉRIES NUMÉRIQUES QUELCONQUES 4^^

Quand n tend vers l'infini, le second membre de cette équa-
tion a une limite finie et déterminée, car la série qui a pour
terme général s„_i (a„_i — an) est absolument convergente.
Celle-ci a, en effet, son terme général de module moindre que
celui de la série positive convergente

S(ai— a2)+S(a2-a3)4-... = S[(ai-a2)+(a2-a3)-l-...] = S(ai— a).

Donc (7„ — SnOin a une limite déterminée et le module de cette
limite sera < S (a, — a).

Comme, d'autre part, «««„ tend vers sa, <Jn tend vers une
limite déterminée <y et l'on a

I <T I < I sa I -f S (a, — a) < Sa -f S (ai — a) = Sa,.

Remarque I. — La convergence de la série (t) subsiste même
quand Hundiuerg-e, pourvu : i° que \ Sn \ ait encore une borne
supérieure finie S ; 2° que a„ ait pour limite 0.

En effet, la différence t,j — s„ a„ a une limite finie et déter-
minée comme dans le cas précédent. Ensuite | SnO-n \ qui est
< Sa,i a pour limite 0 (même si Sn ne converge pas). Donc <in a
une limite déterminée a.

Remarque II. — La convergence de la série (a) subsiste encore
quand les quantités a,, ct^,... ol^ sont croissantes et bornées, mais
seulement si la série Lun converge.

En effet, soit a la limite (nécessairement existante) de a„ ; la
série (<j) est alors la différence des deux séries convergentes
ci-dessous, la seconde convergente en vertu du théorème d'Abel
puisque a — oc„ est décroissant :

aUi -\- OLU2 -f ... + CtUn + ...,
(a — a,)u, -|-(a — aj)u2 -f ... +(a — a„)u„-i- ....

Exercices.

I. Si les coefficients a« sont non croissants et tendent vers 0 quand «
tend'vers l'infini, les séries

«0 + ai ces X -\- Uz COS 2X -\- ... -\- On COS HX -f- ....

bxsïnx -\-biS\n2X -\- ...bnsxnnx -\- ...

sont convergentes (sauf la première s\ x = 2Atc).
R. Conséquence du théorème d'Abel.

4l6 CHAPITRE XI. DES SERIES

2. Soit Ml, M2,... M« ... une suite positive constamment croissante
jusqu'à l'infini ; si la série 2m« converge, on a (Kronecker)

I "
lim^-j^ S M««« = 0.

«=00 iVi>» /i=sl

R. Démonstration analogue à celle du théorème d'Abel.

3. Si, pour n = ca, les deux expressions :

^l^ku,, !(,,+,, + ... + ,„)

ont des limites finies, la série S«« est convergente. Alors la limite de
la première expression ne peut être que 0 (Exercice précédent).

R. On remarque que 5„ est, à un facteur près qui tend vers l'unité,
la somme des deux expressions considérées.

4. Généralisation du théorème d'Abel. — Soit aj, a.2,... an ... une suite de
quantités positives et bornées ; quand la série Swn est convergente, la
série Sa,îMn l'est encore s'il existe une suite de quantités positives
1^1, H,--- f^n... jouissant des deux propriétés suivantes : 1° l'expression

K-i + t^2 + --- \^n ..

— Un

V-n

garde une valeur finie et 2° l'expressi on

8n= t^i "'i +1^2 «2 + .'• + |^»«n
V-i + V-i + "' + V-n

varie constamment dans le même sens (ou est constante) quand n aug-
mente (La Maestra).
R. Soit M^ = [Xi -[- (J.2 + ... -f- [x^ ; on a identiquement

Sma= S M>4{ —]-\ «n,

1 1 VM-'i l^^+iJ |J-i

ce qui prouve, eu égard à 1°, que la somme

garde toujours une valeur finie. D'autre part, on a aussi
Sa. «* ="S 'M/iîi - ^>. + ^Li „„ p,. ,

Par conséquent, p désignant la limite existante de Pn ,

Quand n tend vers l'infini, le premier terme du second membre
converge (théorème d'Abel) et le second tend vers zéro. Donc ^^nu»
converge. En même temps, on a établi la transformation :

SÉIIIES DE FONCTIONS 4^7

5. Soit «1, «2,... «n,-.. une suite de quantités positives et bornées
dont chacune est inférieure (ou supérieure) à la moyenne arithmétique
des précédentes ; si la série Sm,i converge, la série 2a,iM„ converge
aussi, à condition que nu,i soit borné (La Maestra).

R. Cas particulier du théorème précédent : On fait les [j- égaux à
l'unité ; Pn est la moyenne arithmétique de «i, a^,... «n et l'on a

00 00 00

Sa„M;7= Î3S Wn + 2«(Mn— Mn+i) (Pu— P)-
1 1 1

Le théorème précédent subsiste quand '^Un n'est pas convergent mais
seulement borné, à condition que «u tende vers 0, auquel cas p ^= 0.

§ 3. Séries de fonctions.

374. Convergence uniforme. — Considérons d'abord une série
réelle,

s = u^ -}- Uz-\- ... + "n+ .-. = Sn + ^n ,

dont les termes sont des fonctions d'une variable réelle x. Si
la série converge pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle
(a, b), la somme s de la série sera une fonction de x.

Soit e un nombre positif donné, aussi petit que l'on veut. Pour
chaque valeur déterminée de x, la condition

(1) I Rn I < e

se vérifie pour tous les indices n supérieurs à un nombre fixe
N, car cette condition sert de définition à s. Mais, si on laisse x
variable, il peut se faire que N dépende nécessairement de x.

Si, quelque petit que soit e, la condition (1) se vérifie pour
tous les indices n supérieurs à un nombre N indépendant de x
et pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle (a, b), on dit que
la série converge uniformément dans cet intervalle.

Dans le cas des séries positives, la condition se simplifie. La
convergence sera uniforme si la condition (1) a lieu pour une
valeur de n indépendante de x, ne fut-ce qu'une seule. En effet,
la condition sera vérifiée a fortiori pour les indices plus grands.

La définition de la convergence uniforme s'étend d'elle-même
au cas où les termes de la série sont des fonctions de plusieurs
variables a-, y,... Si l'on peut attribuer à ces variables une infi-
nité de systèmes de valeurs, la convergence sera uniforme si
la condition (1) se vérifie pour tous ces systèmes, quand l'indice
n est supérieur à un nombre N indépendant des variables. Il

4l8 CHAPITRE XI. DES SERIES

suffira d'ailleurs qu'elle ait lieu pour une seule valeur de l'indice
n indépendante des variables si la série est positive.

Enfin les termes de la série peuvent aussi être fonctions d'une
variable complexe z et nous entendons par là que ces termes
sont déterminés pour chaque valeur de z. Quand la série con-
verge pour des valeurs de z en nombre infini, par exemple pour
toutes les valeurs comprises dans un cercle, la convergence
sera uniforme pour cet ensemble de valeurs, si la condition (1)
a lieu pour toutes ces valeurs quand n surpasse un nombre N
indépendant de z.

375. Exemples de séries à convergence non uniforme. — On peut
former facilement des séries qui convergent pour toutes les
valeurs de x dans un certain intervalle, mais non uniformément.
En voici deux exemples remarquables :

I. Considérons d'abord la progression géométrique de raison
(i—x)

s = X -\- x{i — x)-^ x{i — xy -\- ... + ^ (i — xy^ + ...

Cette progression converge pour toutes les valeurs de x dans
l'intervalle (0, i). Si x est > 0, la raison est plus petite que i et
la progression a pour somme l'unité. Si a; = 0, tous les termes
sont nuls et la somme aussi. Donc s est une fonction disconti-
nue de X, qui passe de 0 à i quand x passe de 0 à une valeur
positive si petit qu'elle soit.

Cette série n'est pas uniformément convergente.

En effet, pour les valeurs positives de x, on a

R„ - X (i — x)"[i + (i — x) + (i — xy-i- ...] - (i — oc)" ;

et, si n est constant,

lim Rn = I.

Il est donc impossible de satisfaire à la condition R,j < e <" i
par une valeur de n indépendante de x.

II. Considérons, en second lieu, la série

s = 1: a; [n^e-''^ — (n — i)^ e-("-i)^].

n=l

On a, pour toute valeur positive de x,

Sn = ^xn^e-"^, d'où s = x lim —^ = 0,

SÉRIES DE FONCTIONS 4^9

car une exponentielle est infiniment grande par rapport à une
puissance.

Pour a; = 0, on a Sn = 0 et s = 0.

Donc la série converge et l'on a s = 0 pour toute valeur nulle
ou positive de ;x;. Mais cette série ne converge pas uniformé-
ment. En effet,

iv^i, — S — Sfi — ' »V/1 G •

Si l'on pose X ^ j : n, et qu'on fasse tendre n vers l'infini,
X tend vers 0 et le reste, pris en valeur absolue,

I ^n I = -,

augmente indéfiniment avec n. Donc la convergence n'est pas
uniforme dans un intervalle comprenant le point 0.

376. Critère de convergence uniforme. — Une série de fonctions
réelles ou complexes est uniformément convergente si les mo-
dules de ses termes ne surpassent pas les termes de même rang
d^une série convergente à termes constants et positifs.

Il est clair que, dans ce cas, le reste de la série de fonctions
est de module moindre que le reste de la série à termes con-
stants. Le reste R^ de la série de constantes peut être supposé
< e en donnant à n une valeur convenable. Donc, en prenant
ce nombre n de termes ou davantage dans la série de fonctions,
le reste de cette série sera également de module < e. Donc la
série converge uniformément.

377. Continuité des séries uniformément convergentes, — I. Si les
termes d'une série uniformément convergente sont des fonctions
continues d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes dans
un domaine déterminé, la somme de la série est une fonction
continue dans ce domaine.

Posons s = Sn -\- Rji et désignons par As, Asn et AR,i les ac-
croissements de ces trois quantités pour un système déterminé
d'accroissements de la ou des variables. On a

^S = ^Sn + ARn - àSn + (R„ + AR„ ) — R„ .

Nous allons montrer que les trois termes- dans lesquels on a
décomposé As peuvent être sujjposés ausai p itits qu'on vc it avec

420 CHAPITRE XI. DES SERIES

les accroissements des variables. En effet, la convergence étant
uniforme, on peut prendre n assez grand pour que les deux
restes | R» | et | R^+^ïî-n | soient plus petits qu'un nombre
positif e donné d'avance si petit qu'il soit, quels que soient les
accroissements des variables. Cela fait, s» , qui est la somme
d'un nombre limité de fonctions continues, est une fonction
continue. Donc on peut rendre sa variation absolue < e en ren-
dant les accroissements des variables suffisamment petits. Donc
la variation | As | sera < 3e, quantité arbitrairement petite.
Donc s est une fonction continue.

Quand la convergence n'est pas uniforme, la continuité de la
somme n'est pas une conséquence de celle des termes de la
série. Nous en avons vu la preuve au n° 875 par l'exemple de la
série 1.x (i — oc)" .

La réciproque n'est vraie que pour les séries réelles et
positives :

II. Lorsqu'une série de fonctions continues et positives ne
converge pas uniformément, la somme de la série est discontinue
dans le domaine considéré.

Considérons, pour fixer les idées, des fonctions positives
d'une seule variable x dans un intervalle (a, b) et commençons
par une remarque préliminaire.

Supposons que l'intervalle (a, b) soit partagé en deux parties.
Si, e étant donné, la condition Rn < e se réalise pour une valeur
n' de n indépendante de x dans la première partie, et aussi pour
une valeur n" de n indépendante de x dans la seconde partie,
elle se réalise dans l'intervalle entier pour la plus grande des
deux valeurs n' et n", car, les termes étant positifs, R^ décroît
quand l'indice augmente.

Ceci posé, si la convergence de la série positive n'est pas
uniforme dans l'intervalle (a, b), il existe un nombre positif e
tel que la condition R^ < e soit irréalisable dans cet intervalle
pour une valeur de n indépendante de x. Cette condition res-
tera irréalisable, en vertu de la remarque précédente, dans l'un
des deux intervalles moitiés, puis dans l'un des intervalles moi-
tiés de celui-là, et ainsi de suite. Cette suite illimitée d'inter-
valles où la condition est irréalisable, chacun intérieur à tous
les précédents et dont les amplitudes tendent vers zéro, con-

SÉRIES DE FONCTIONS 4^1

verge, par conséquent, vers un point ^ de l'intervalle (a, b). Ce
point 5, compris dans tous les intervalles précédents, appartient
donc à un intervalle aussi petit qu'on veut où la condition R,j
< e est irréalisable pour une valeur de n indépendante de x. —
Je dis que la somme s de la série est discontinue au point ^ et
que l'oscillation de s en ce point surpasse c.

En effet, on a s = Sn + Rn» donc, s» étant continu au point q,
l'oscillation de s en ce point est la même que celle de R,i quel
que soit n. Mais pour n assez grand, R,j est aussi petit qu'on
veut au point ^ et surpasse toujours e dans son voisinage immé-
diat. Donc l'oscillation de R„ (ou de s) est au moins égal à s.
Ces théorèmes conduisent à la conclusion suivante :
m. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une série
de fonctions continues et positives ait une somme continue, est
que la convergence soit uniforme.

378. Intégration des séries réelles uniformément convergentes. — Si
les termes d'une série réelle, uniformément convergente, sont
des fonctions continues d'une variable réelle x dans l'intervalle
(a, b), l'intégrale de la série dans cet intervalle peut s'obtenir,
par décomposition, en intégrant chaque terme de la série.

D'autre part, si, au lieu d'intégrer dans l'intervalle (a, /)), on
intègre dans une portion variable (a, x) de cet intervalle, la série
intégrale sera encore uniformément convergente dans l'inter-
valle (a, b).

Considérons, en effet, la série

s= II, + «2 4-... 4- «n+ ... =Sn + Ru;
on aura, s et Rn étant continus (n° 877) et, par suite, intégrables,

Çb Çb rb

I S dx =^ \ Sndx -\- \ R,j dx.

Ja ja Ja

Faisons tendre n vers l'infini ; la convergence étant uniforme,
I R„ I devient inférieur à tout nombre positif e, si petit qu'il
soit, quand n tend vers l'infini, auquel cas on a

'•b

i

RnrfjC

< ^{b — a).

Cette intégrale tend donc vers zéro quand n tend vers l'infini,
n vient ainsi

422 CHAPITRE XI. DES SERIES

j S dx = lim 1 Sndx =- \ u^ xd -{- \ u^ dx + >..,

Ja n=oo Ja Ja Ja

Pour démontrer la seconde partie du théorème, on remarque
que l'on peut remplacer dans cette relation b par une valeur ;x;
quelconque de l'intervalle (a, b). Alors le reste de la série inté-
grale a pour valeur absolue

r

Ja

XV J2 CliX

< e(fe — a),

ce qui prouve que la convergence de la série intégrale est uni-
forme.

SÉRIES POSITIVES. — Uiis série de fonctions continues et posi-
tives dont la somme est continue, convergeant uniformément
(ii° 377, III), peut toujours être intégrée terme à terme.

Remarque. — Quand la convergence n'est pas uniforme, l'in-
tégration terme à terme n'est plus toujours légitime. !N'ous
allons le montrer par un exemple.

Reprenons la série, considérée précédemment (n° 875),

s = I.x[n^e-»'' — (n — i)^ e -("-')ar] = 0,
dans laquelle ^c est nul ou positif. On a évidemment

s d^c = 0.

i*

Mais l'intégration terme à terme conduit à un résultat diffé-
rent du précédent. On a, en effet,

Sn^ xn^e^"'^.

Si l'on intègre terme à terme, on trouve

lim I Sndx = lim nx e-^^ ndx = te-^ dt = 1,

n='xJo Jo Jo

tandis que l'intégrale de s est nulle.

379. Dérivation des séries réelles. — Si les termes d'une série
réelle convergente sont des fonctions d'une variable réelle x
ayant des dérivées continues, et si la série de ces dérivées con-
verge uniformément dans un intervalle (a, b), la somme de la
série des dérivées est la dérivée de la somme de la série primitive.

Soient, en effet, s =- Su» la série primitive et a = ISu^^ la série

SÉRIES DE PONCTIONS 4^^

dérivée, dont la somme est fonction continue de x {n" 877).
Faisons varier x de a ii b, on aura, en vertu du théorème pré-
cédent,

fx fx

<jdx=^\ U|,C/X= I[U„— («„)a],
Ja Ja

l'indice a signifiant qu'il faut faire x = a dans la fonction entre
parenthèses. Comme la série primitive converge par hypothèse,
le résultat précédent peut se mettre sous la forme

Ja

«T dx = SWn— ^«M )a = S — (s)a >

et, en égalant les dérivées de deux membres par rapport à x,
a étant continue, on trouve a = s' comme le veut le théorème.

Ce théorème et ceux des trois n°^ précédents sont les cas
particuliers élémentaires de théorèmes beaucoup plus généraux,
qui vont être exposés dans le petit texte qui suit :

380. Convergence uniforme à moins de e près en un point. — Consi-
dérons une série réelle Sm„ dont les termes sont des fonctions de x
dans un intervalle (a, b) ; nous donnerons la définition suivante :

La série converge uniformément à moins de e près en un point ; de l'inter-
valle {a, b), si, le nombre positif s étant donné, on peut lui faire correspondre
un indice n aussi grand qu'on veut et un nombre positif 0, tels que l'on ait

\Rn I < £

pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle (S — 0, Ç + S).

Théorème 1. — Si les termes d'une série convergente Smu sont des fonctions
continues au point ç, et si la série converge uniformément à moins de £ près en
ce point, l'oscillation au point ç, de la somme s de la série est < 2£. — Au
contraire, si la série ne converge pas uniformément à moins de t près au point <i,
r oscillation de s au point \ est au moins égale à £.

On a, en effet, s = 5n+ Rn . Comme Sn est continue au point ç, l'os-
cillation de s en ce point est la même que celle de Rn quel que soit n.
Il suffit d'examiner celle-ci.

Si la série converge uniformément à moins de t près, | Rn 1 devient
inférieur à e dans tout l'intervalle ($ — S, ; + 0) pour certaines valeurs
de n, auquel cas l'oscillation de Rn au point ç est < 2e.

Si la série ne converge pas uniformément à moins de e près, | Rn |
surpasse toujours e dans le voisinage immédiat de ?, tandis qu'il tend
vers 0 au point ; quand « augmente indéfiniment, donc l'oscillation
de R>j au point S est au moins égale à e.

De là découle immédiatement le théorème suivant :

4^4 CHAPITRE XI. DES SÉRIES

Théorème II. — Lorsque les termes d'une série sont des fonctions conti-
nues de X au point ?, la condition nécessaire et suffisante pour que la somme
de la série soit aussi continue en ce point, est que la convergence soit uni-
forme à moins de t près en ce point, quelque petit que soit s.

La définition et les théorèmes précédents s'étendent d'eux-mêmes
aux fonctions de plusieurs variables réelles ou complexes et nous ne
nous arrêterons pas davantage à cette généralisation.

381. Convergence quasi-uniforme. Continuité des séries. — Considé-
rons encore une série réelle dont les termes sont fonctions de x dans
un intervalle {a, b). Nous dirons (Borel) que la convergence de la série
est quasi uniforme dans V intervalle [a, b), si à tout système de deux nombres
positifs £etp le premier aussi petit, le second aussi grand qu'on veut, on peut
faire correspondre un nombre q > p tel que la condition

I Rn I < e

puisse se réaliser pour une valeur de n, variable avec celle de x dans l'inter-
valle {a, b), mais toujours comprise entre les deux nombres fixes p et q.

Pour les séries à termes positifs, la convergence uniforme se con-
fond évidemment avec la convergence quasi-uniforme, car, si les con-
ditions précédentes sont vérifiées, Kn , qui décroît quand n augmente,
sera < e quel que soit x ^\ n est ^ q.

Théorème. — Si, quelque petit que soit e, une série Y^un converge uni-
formément à moins de e près en chaque point de l'intervalle {a, b), la conver-
gence sera quasi-uniforme dans l'intervalle {a, b).

En eftet, supposons, par impossible, que la convergence ne soit pas
quasi-uniforme dans l'intervalle {a, b). Nous pouvons assigner deux
nombres £ et p tels que la condition | Rn | < e soit impossible pour
n > p et borné quand x varie dans l'intervalle {a, b). Partageons cet inter-
valle en deux autres, cette impossibilité subsistera dans un des deux
intervalles moitiés du précédent, puis dans la moitié de cette moitié,
et ainsi de suite indéfiniment. Nous formerons ainsi une infinité d'in-
tervalles indéfiniment décroissants, chacun intérieur à tous les précé-
dents et tendant vers un point ; de l'intervalle {a, b). Ce point I tom-
berait donc dans un intervalle aussi petit qu'on veut où l'on ne pourrait
avoir | Rn | < e pour « > ^ et borné. Cette conclusion est contraire
à l'hypothèse que la série converge uniformément à moins de e près
au point ^

Corollaire. — En comparant le théorème précédent au théorème II
du no 38o, on en conclut immédiatement le suivant : Une série de fonc-
tions continues dont la somme est une fonction continue de x dans un inter-
valle {a, b), converge quasi-uniformément dans cet intervalle.

La réciproque est vraie :

Une série de fonctions contifiues de x qui converge quasi-uniformément dans
un intervalle {a, b), a pour somme une fonction continue de x.

SÉRIES DE FONCTIONS 4^5

En effet, soit $ un point de l'intervalle ; montrons que la série est
continue en ce point.

Prenons d'abord l'indice p assez grand pour que l'on ait, au point
déterminé ;,

I Rn(?) I < e, si « > ^.

Soit q le nombre qui correspond au système £ et^ ; on aura, pour
une valeur de n comprise entre p et q, mais qui dépend de x,

RnW < e.
On aura donc (« dépendant toujours de x)

S{X)-S il) = s [Uh {x) - UK (0] H- Rn W - Rn (^)
et a fortiori, puisque « est < (/ et | Rn | < s,

I 5(;tr) — 5(?) I <!; I «/{ (;tr) — Uh (0 I + 2e.

Quand ;ir tend vers $, la somme des q termes Uh{x) — ma (0 tend vers
zéro, donc la limite du premier membre est < ae. Elle est donc nulle,
puisque e est arbitraire, donc s est continue au point \.

De là le théorème suivant de M. Arzela :

Théorème. — ha condition nécessaire et suffisante pour qu'une série de
/onctions contitmes soit elle-même continue dans un intervalle {a, b), est que la
convergence de la série soit quasi-uniforme dans cet intervalle.

Encore une fois, les définitions et les théorèmes qui précèdent
s'étendent facilement aux séries dont les termes sont des fonctions de
plusieurs variables réelles ou complexes.

382. Intégration et dérivation des séries réelles. — Soit Swn une sé-
rie convergente de fonctions de x bornées et mesurables. Si les sommes
successives 5i, s-i,... Sn,-.. sont aussi bornées dans leur ensemble, on
a, comme on le sait, avec l'intégrale de Lebesgue, (n" 25o, I),

I 5i;tr = lim I Sndx= I Ui dx -\- l u^dx -\- ...

J a Ja Ja Ja

et la série peut être intégrée terme à terme.

Remarquons que, si les sommes Sn (et, par suite, 5) sont bornées
dans leur ensemble, les restes Rn le sont aussi, et réciproquement. On
a donc le théorème suivant :

Théorème I. — Une série convergente de fonctions bornées et mesurables
dans un intervalle {a, b) peut être intégrée (L) terme à terme comme un poly-
nôme si le reste Rn de la série est borné quels que soient n et x.

Le théorème précédent se généralise en remplaçant le théorème de

426 CHAPITRE XI. DES SÉRIES

M. Lebesgue par le théorème II du n" 25o qui est plus général. On
obtient ainsi l'énoncé suivant :

Théorème II. — Utie série convergente de fonctions sommables peut être
intégrée (L) terme à terme dans un intervalle {a, b), si Sn, ou (ce gui revient
au même) si Rn est, quel que soit n, de module inférieur à une fonction
positive sommable '^{x).

Ces théorèmes subsistent si l'intégration se fait, non dans un inter-
valle, mais sur un ensemble mesurable.

Ces théorèmes fournissent des théorèmes réciproques relatifs à la
dérivation des séries. Nous énoncerons seulement le réciproque du
premier.

Théorème III. — Soit l^un une série de fondions continues et dérivables,
convergente dans un intervalle {a, b) ; on pourra la dériver terme à terme en
un point x, si la série dérivée 1'^,^ converge et a son reste Rn borné dans un
intervalle {x — S, ^ + S) si petit qu'il soit ; et si, de plus, la somme de cette
série est continue au point x.

Quand les dérivées M„ sont continues au point x, il faudra, pour que
cette dernière condition soit réalisée, que la série dérivée converge
uniformément au point x à moins de s près quelque petit que soit e
(no 38o, II).

Ce théorème s'établit par la même voie que celui du no 379.

Cas des séries positives. — Si la somme d'une série positive est

bornée, le reste Rn l'est a fortiori. Donc une série de fonctions positives

et intégrables (L) qui a une somme bornée dans un intervalle (a, b), peut
toujours être intégrée (L) terme à terme.

Plus généralement, en vertu du théorème III du n" 25o : Une série
de fonctions positives sommables peut toujours être intégrée (L) terme à terme,
seulement, si la somme de la série n'est pas sommable, son intégrale est infinie.

% 4. Séries potentielles.

383. Définition. — Les séries potentielles sont celles qui sont
ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une
variable réelle ou complexe {z — a). Elles sont de la forme

ao +ai(2 — a) + aj^z — af -\- ... -f a„(2; — a)"+ ...

En posant z — a ^ x, elles prennent la forme

(1) ao 4- a^x -f- a^x- -f- ... + anX'^-\- ... == "LanX^^ .

C'est sous cette forme que nous allons les étudier. Ces séries

SÉRIES POTENTIELLES 4^7

jouissent de propriétés qui leur sont propres et elles ont une
importance exceptionnelle.

Dans les démonstrations suivantes, nous désignerons en géné-
ral par r le module de x et par ao, aj,... «„ ceux de ao, a^,... an.

384. Cercle de convergence.— Considérons la suite des quantités :

Pj = ai, pz = V*2>--- P" =" \J<^n,"-

Trois cas peuvent se présenter :

1° Si pn a pour limite zéro pour n infini, la série positive
Su„ = Sa„r» converge pour toute valeur positive de r en vertu
du critère de première espèce de Cauchy (n'' 364), car on a, quel
que soit r,

lim "V"" = lini "V^'^" = 1"" p„r = 0.

Donc la série I>anX'^ est absolument convergente pour toute
valeur réelle ou complexe de x. On dit, dans ce cas, que la sé-
rie (1) est une fonction entière de x.

2° Si p,î peut surpasser tout nombre assignable, la série
Sa„x" diverge pour toute valeur de x autre que zéro, carie
module, (p„ r)" , de son terme général n'a pas pour limite zéro.

3° Quand aucune de ces deux hypothèses ne se présente, p„ a
une plus grande limite (n"' i5) finie et positive L, c'est-à-dire
que pn devient définitivement inférieur à L + e et ne devient
jamais définitivement inférieur à L — e quel que petit que soit
le nombre positif t. Posons L -= i : R ; je dis que la série positive
2u„ =- Sa^r» converge si r est < R et diverge si r est > R.

En effet, si r est < R, on peut poser r = j^ , d'où

n. I 9n

V«n=pnr=j^.

Cette expression devenant définitivement inférieure à un nom-
bre fixe < I, la série converge en vertu du critère de Cauchy.

Au contraire, si r > R, on a r = ;p , d'où

Cette expression ne devenant jamais définitivement < i, u„
n'a pas pour limite 0.

Donc la série Ia„A:„ est absolument convergente pour toute

4^^ CHAPITRE XI, DES SÉllIES

valeur réelle ou complexe de x dont le modale est < R et elle
diverge pour toute valeur dont le module est > R (le terme
général n'ayant pas pour limite zéro).

Le cercle de rayon R décrit autour de l'origine s'appelle le
cercle de convergence : la série Xa„.A:» est absolument conver-
gente à l'intérieur et divergente à l'extérieur. Sur la circonfé-
rence elle-même, il y a doute ; la série converge ou diverge
suivant le cas.

D'après ce qui précède, le rayon du cercle de convergence est
l'inverse de la plus grande limite de "yôn • Donc, en particulier,
si '\ci.n a une limite, cette limite est l'inverse du rayon de con-
vergence.

Kkmarque. — Le rayon de convergence est aussi égal à la li-
mite, quand elle existe, du rapport an : oin + i. Jin effet, soit R
cette limite ; le critère de seconde espèce de Caucliy s'applique
alors à la série !«„= 2a,jr'S il vient

Un a„ R'

donc la série converge ou diverge selon que r < ou > R.

385. Théorème. — Une série potentielle converge uniformé-
ment dans tout cercle de rayon p < R décrit autour de l'origine,
et elle a, par conséquent, pour somme une fonction continue de
X dans ce cercle.

En effet, la série à termes constants et positifs Sa^p» est
convergente par hypothèse, puisque p < R. Les modules des
termes de la série lanX'^ ne peuvent surpasser les termes cor-
respondants de la série précédente dans le cercle de rayon p.
Donc cette série converge uniformément (n° 376).

386. Fonctions analytiques. — A l'intérieur du cercle de conver-
gence, une série potentielle définit donc une fonction de la
variable complexe x. Les fonctions qui peuvent être ainsi défi-
nies par des séries potentielles, portent le nom de fonctions
analytiques. Ce sont les plus importantes, mais leur étude ne
sera pas approfondie dans ce cours.

La dérivée f'{x) d'une fonction analytique f{x) est, par défi-
tion, la limite du quotient

f{x)-\-h)-f(x)
h

SÉRIES POTENTIELLES 4^9

quand h tend vers zéro par une suite de valeurs réelles ou com-
plexes quelconques. Le théorème suivant prouve l'existence
de la dérivée pour toute fonction analytique :

387. Théorème. — Soit f{x) = SânX" une série convergente
dans un cercle de ray^on ^ ; la série dérivée Sna,iX"^' sera
convergente dans le même cercle que la première et aura pour
somme f'{x).

Soit X un point quelconque situé dans le cercle de conver-
gence. Considérons la série convergente à termes positifs

F(r) = Sa„r".

Donnons à r un accroissement positif B, assez petit pour que
r 4- 8 soit encore < R. La série F(r -f- 8) sera encore conver-
gente et l'on aura

F(r + 8) — F(r) _ (r + 8)"— r»

(1) = £a^

+ ^^(^^^^8r"-+..'

nr

1.2

Donnons à 5C un accroissement variable h, réel ou complexe,
et formons l'expression, analogue à la précédente,

f{x -f- h) — f{x) „ (.V + h)^— x^
h ^^^"— 7z

(2) = Han ïnx^-' + ^^^j~l ^^ hx^"^ + ...]■

La comparaison des séries (1) et (2) montre immédiatement
que, si I A 1 est < 8, tous les termes de la série (2) ont leurs
modules moindres que les termes de la série (1) qui sont con-
stants et positifs. Donc, si h tend vers zéro, la série (2) con-
verge uniformément (n° 876) et est fonction continue dc/î (n°377).
Sa limite pour /i = 0 se confond avec sa valeur pour h = 0. En
faisant tendre h vers zéro, l'équation (2) donne donc, à la limite,

f'{x) = "LnanX"^-'.

388. Théorème d'Abel. — Si la série £a„ a^" converge pour une
valeur réelle 5c, de x, elle converge uniformément dans l'inter-
valle {0, x^) et elle a pour somme une fonction continue de x
dans cet intervalle.

43o CHAPITRE XI. DES SERIES

Le reste R^ n'est autre chose que la série

La série proposée étant convergente pour x =^ x^ par hypo-
thèse, à tout nombre positif e donné, si petit qu'il soit, corres-
pond un entier N assez grand pour que la condition

I anX,''+an+iX,^+' + ... -h an+pX.'^+P I < e

ait lieu, quel que soit p, pourvu que n soit > N.

D'autre part, si l'on a soit 0 ^ x ^ x^, soit a^j ^ «; ^ 0, la suite

est positive, stationnaire ou décroissante. Donc la série

converge (n'' 378) et sa somme est < e ( -7- j et a fortiori < 3.

On a donc | Rn | < e, quel que soit x, et la série proposée
converge uniformément dans l'intervalle (0, x,).

389. Sur l'emploi du théorème précédent — Le théorème d'Abel
sert le plus souvent à étendre aux points de la circonférence
du cercle de convergence des relations établies dans l'intérieur
seulement de ce cercle.

Supposons qu'on ait, dans l'intérieur du cercle,

f{x) =- I,an x^

et que f{x) soit continue en un point X de la circonférence. La

relation précédente subsistera au point X, pourvu que la série

converge en ce point.

Soit, en effet, r une variable réelle comprise entre 0 et i ; on

a, par hypothèse,

/■(rX) = I(a„X«)r«.

Faisons tendre r vers l'unité ; on aura, en vertu du théorème
d'Abel,

/•(X) = Sa^X'^

390. Application à la multiplication des séries. — Considérons
deux séries convergentes à termes réels ou complexes :

s = liUn, a' = 2i;„.

SÉRIES POTENTIELLES 4^1

Formons la série s" = ^iVn , dont le terme général est

Wn= lliVn+ UzVn-i + ••• + UnV^.

Théorème. — .Si la série Su; converge, elle a pour somme ss\
En effet, les deux séries :

sont convergentes pour x = i. Donc leur rayon de convergence

est au moins égal à i et elles sont absolument convergentes si

\ X \ est < I. On a donc, sans difficulté si | ;x; | est < i (n° 871),

Faisons tendre revers l'unité. On aura, par le théorème d'Abel,
lim f{x) = s, lim <\>{x) -= s', lim I,WnX"^+ ' = I.Wn = s".
Donc s" = ss'.

39 1 . Théorème. Série illimitée de Maclaurin. — Une fonction réelle
ou complexe ne peut être développée en série potentielle que
d'une seule manière.

En effet, soit f{x) la somme d'une série potentielle, conver-
gente dans un cercle de rayon R :

f{x) -- ao + a,x + a.^x^ + 33^' + ...

En dérivant successivement, il vient, dans le même cercle,

f'{x) = ai + 232^ + Sa^x^ + ...,

/•"'(oc)==2.3a3 + ....

Posant x = 0 dans ces équations, on en tire successivement

ao = m, a, = r(o), ^.-^-Y§-' «3 = Ç^...

Donc tous les coefficients de la série sont déterminés. En
substituant ces valeurs dans la série, il vient

f{x) =- m + ^ /-'(o) + fj"{0) + j^ /-'"(o) + ...

C'est la série illimitée de Maclaurin. Nous retrouvons donc,
par une autre voie, la loi de formation de s coefficients succes-
sifs obtenue au n° i25. Tandis que nous avons raisonné là sur

4^2 CHAPITRE XI. DES SERIES

un nombre limité de termes, nous avons raisonné iei sur des
sommes prolongées à l'infini. Mais tandis que, les variables
étant réelles, la formule limitée du n° i25 ne suppose que l'exis-
tence des dérivées de f{x), celle que nous venons d'obtenir n'est
nullement démontrée pour une fonction f{x) quelconque. Elle
ne l'est que pourvu que le développement soit possible.

392. Nouvelles expressions du terme complémentaire de la formule
de Maclaurin. — Le procédé qui se présente immédiatement à
l'esprit pour reconnaître si une fonction f{x) d'une variable
réelle peut s'exprimer en série potentielle, consiste à la déve-
lopper par la formule limitée de Maclaurin et à vérifier si le
terme complémentaire tend vers 0 quand le nombre n des termes
augmente indéfiniment. S'il en est ainsi, en faisant tendre n
vers l'infini, on obtiendra l'expression de f{x) en série illimitée.

Ceci nous amène à. chercher une nouvelle forme du terme
complémentaire ou du reste. Nous allons l'obtenir en nous ser-
vant du calcul intégral.

Soit f{x) une fonction, continue ainsi que ses dérivées jusqu'à
l'ordre n, d'une variable réelle x. En faisant une première
intégration par parties, on a

f{x) - f{0) = |7'(x - t)dt = xf{0) + jj"{x - t)tdt.

On peut faire une nouvelle intégration par parties portant
sur tdt, et continuer ainsi de suite, en faisant toujours porter
l'intégration sur la puissance de t. Après n — i intégrations par
parties consécutives, on obtient

(1)

( f{x) = m 4- xf'io) + ^ f"{0) + •..+(£!:^/^"-^'(0) + R«

C'est la formule de ]V[aclaurin avec V expression exacte du
reste. Par le changement de variables t ^-= x{i — u), le reste
s'écrit aussi

Au moyen du théorème de la moyenne, on peut obtenir des

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES POTENTIELLES 4^3

expressions plus simples du reste, mais qui ont l'inconvénient
de renfermer une quantité inconnue 9 comprise entre 0 et i. Si
l'on fait sortir (^"^{ux) du signe d'intégration, on trouve

Rn=ff/-("'(eoc).

C'est l'expression connue (n° i25).

§ 5. Développement des fonctions réelles en séries
potentielles. Discussion du reste.

393. Considérations générales. — Lorsqu'on se propose de déve-
lopper en séries potentielles des fonctions qui déj^endent d'une
variable complexe, il existe des principes généraux qui permet-
tent de supprimer à peu près toute discussion. Ces principes
font l'objet de la théorie des fonctions d'une variable complexe.
Pour le moment, nous considérons exclusivement les variables
réelles. Pour obtenir le développement de f{x) en série poten-
tielle, le procédé le plus élémentaire consiste à passer de la
formule limitée de Maclaurin à la formule illimitée en faisant
tendre n vers l'infini.

Il faut démontrer que le terme complémentaire tend vers zéro.
C'est à cela que servent les expressions générales de ce terme
que nous avons fait connaître au n° précédent. Mais la discus-
sion eët loin d'être toujours facile sur ces expressions générales.
Elle est simple pour les fonctions e^, sin x, cos x. Elle l'est
déjà moins pour les autres fonctions élémentaires, et pour les
fonctions plus compliquées, elleest le plus souvent impraticable.

Heureusement, pour la plupart des fonctions, on trouve des
expressions particulières de Rn , non comprises dans les for-
mules générales, et qui se prêtent à une discussion plus facile.
C'est ce que nous nous proposons de montrer dans le paragraphe
actuel.

A côté du procédé qui consiste à passer de la série limitée à
la série illimitée, il y en a un autre, infiniment plus riche en
ressources. On pose a priori la série illimitée et on démontre
directement au moyen de ses propriétés particulières qu'elle a
pour somme f{x). Ce procédé est moins élémentaire que le pre-
mier, mais, pour en faire saisir la portée, nous commencerons
par l'appliquer aux fonctions e'^, sin x et cos x. 28

434 CHAPITRE XI. DES SÉRIES

394. Fonction exponentielle. — Considérons la série

-Y* -v*2 \*}X

rw = i + f+~+...+^+...

En vertu du second critère de Cauchy (n" 364), ^^^^ ^^^ abso-
lument convergente pour toute valeur de x. En effet, le module
de Un+ 1 : Un est égal à | .v | : n et tend vers zéro avec i : n, quel
que soit x. Cette série jouit de la propriété de se reproduire
par dérivation et l'on a f{0) = i. Ces deux propriétés suffisent
pour montrer que la série a pour somme e^ . En effet,

D. f{x)e-^ - [f'{x) — f{x)]e-^= 0.

Donc f{x)e-^ est une constante. Faisant .v = 0, on voit que
cette constante est i. Donc f{x) — e^ .

395. Fonctions circulaires. — Considérons les deux séries, dont
la seconde est la dérivée de la première,

Elles convergent pour toute valeur de .v comme la précédente,
et l'on a

^"{x) = -<f{x), cp(0)=^0, cp'(0) = i.

Je dis qu'il en résulte ^(.v) =-- siiiA*.

Il suffit de remarquer que l'on aura nécessairement

f{x) cos AT — (p'(jc) sin .V = 0, (f{x) sin x + cp'(.Y) cos x = i.

En effet, les premiers membres sont des constantes, car
leurs dérivées s'annulent en vertu des propriétés de ^. En fai-
sant X = 0, on voit que ces constantes sont 0 et i. On tire alors
des deux équations précédentes <f{x) = sin x et f'{x) = cos x.

396. Séries logarithmiques. — Pour développer Log (i + x),
cherchons une expression particulière du reste En. Pour cela,
partons de l'identité

_L_ _ 1 - {- X)n -\- {- x)n _ n-i (- ^T

1 + X I-(-A') o ^ ''' "^ I-f .-V •

Intégrons les deux membres de 0 à x, ce qui suppose x > — i ;
l'intégrale du dernier terme sera Rn» H vient ainsi

(1) Log(i + X) = .V -^H-"^- ... + (- if-^ ^ + I^n.

DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SERIES POTENTIELLES 4^5

Servons-nous du théorème do la moyenne pour simplifier R,j ;
nous pouvons écrire

Donc Rw tend vers 0, si | x | est < i ou si ^ = i. Si a* = — i,
la série devient En-* et diverge. Donc le rayon de convergence
de la série (1) est égal à l'unité.

La fonction Log (i + ^) est donc exprimable en série illimitée
de Maclaurin si l'on a ( — i < «: < i), et la série illimitée diverge
dans les autres cas.

Faisant x = i, on obtient la série (non absolument conver-
gente)

T 1,1

Log2=i--+3-...

Le développement de Log peut se déduire de celui de

I — X

Log (i 4- x). On peut aussi l'obtenir par un raisonnement ana-
logue au précédent. On a

T T V^^l-l- v^w «—1 /y'in

I — ^' r — x'- o I — x^

On multiplie par 2 et l'on intègre de 0 à x ; il vient

(2) Logi-t5 _ J.V + f + Ç + ... + fZl'

I — AT I 6 5 2/1 — I

4-Rn

Rn = 2 = -

jo I — X- I

X^n+i

Lx^ 2n +1*

et R„ tend vers 0 si x est compris entre — i et -f i. Dans les
autres cas, la série infinie diverge.

C'est la série (2) qu'on applique au calcul des logarithmes des
nombres entiers. On fait

d ou ^ '

+ • VA V/U.

9 q i—x'

et l'on choisit les entiers p et q de manière que | a- | soit < i .

Cette formule suffit pour le calcul des logarithmes des nom-
bres entiers, car elle fait dépendre le calcul du logarithme de7>

4-36 CHAPITRE XI. DES SERIES

de celui d'un nombre inférieur q, et le logarithme de i est con-
nu. En particulier, nip = ^i, q ^ i, il vient

Log 2 = 2

3^3 3^ "^5 35 ^ '"

Cette série, à convergence rapide, convient beaucoup mieux
au calcul de Log 2 que la première qui converge lentement.

397. Développement de l'arc-tangente. — Ce développement s'ob-
tient comme le précédent. Partons de l'identité

I + .X2 i-(-xO ~ o ^"''^ +"TT^~'

Intégroiis-la de 0 à a* ; il vient (0 < 6 < i)

X^ X^ JC^'^~*

(3) arc tgx = ;x: - + -^-_ ... + (_ i)n-i_____ + r^^^

jo I -h ^^ I + B^C^

;^ in + I

Le reste R,î est inférieur en valeur absolue au premier terme
négligé ; il tend vers 0, si | x | ne surpasse pas l'unité. Donc
arc tg .V est représenté par la série illimitée si .v varie entre
— I et I, limites comprises. Le rayon de convergence est égal
à l'unité, car c'est celui de la série dérivée D( — ^c^)" .

En particulier, pour a- -- i, on trouve la formule de Leibniz

TC _ I I

^-1-3+^-...

Calcul de tc. — La série (3) peut servir au calcul de tz de la
manière suivante. On calcule d'abord l'arc (f dont la tangente
est I : 5. La formule donne

•f=^-^ffj+.-liJ+-

On a ensuite

, 2 tg 9 5 ^ , 2 tg 29 120

te- 2 CD = 5_r_ ^ — ^o' / çp = P- — î — = ,

^ ' I — tg**© 12' ^^^ I— tg2 2(p 119'
d'où

f, 7t\ tg49 — I I

47 i + tg4<p 239

On conclut de là, ]jar la formule (3),

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SERIES POTENTIELLES 4^7

On obtient ainsi la formule de Machin :

i6

Hai^-

-4

— -¥— Y

289 3 V 2897

+

398. Série du binôme. — Si m est égal à 0 ou à un entier posi-
tif, on sait par l'algèbre que (i 4- x)'^ se réduit à i ou se déve-
loppe en un polynôme ordonné suivant les puissances de x.
Laissons ce cas de côté. Soit m un nombre positif non entier ou
un nombre négatif. Considérons la série illimitée

^Un = I + niiX + /HgX* + ... --h ninX^ -\- ...
dont les coefficients, formés comme ceux du binôme, sont

m.

m {m — i) ... (m — n + i)
i.2...n '

aucun des coefficients ne sera nul.

Le rayon de convergence est égal à la limite du rapport de
deux coefficients consécutifs pris en valeur absolue (n° 384). ^1
est donc égal à l'unité, car on a, pour n infini,

n 4- I

lim

m,

mn+

= lim

m — n

I.

La série converge si | x \ est < i et diverge si | .v | > i. Quant
au cas où X = zb I, nous l'examinerons au n** 4t^0'

Nous allons maintenant prouver que st | x | est < i, /a série
du binôme a pour somme (i -|- ;x;)'" et en déterminer le reste Rn .

A cet effet, soit f{x) la somme des n. premiers termes :

f{x) = I + m^x -\- m^x^ + ... -f mn-iX'^~K

En observant que deux coefficients consécutifs satisfont à la
condition

nmn — (m — n -|- i) mn-i ^ 0,

on vérifie de suite l'identité

mf{x) — (i -}- x) f'{x) = {m — n -\- i) /«„_i.y"-i = n /n„ .y"-*.

En vertu de cette identité, on a

n f^^) = (i + x) f'{x) — m f{x) ^ jï/nnA:"-' .
(i -hAry»î (i + x)^+^ (i + «;)»»+"' '

d'où, eu intégrant de 0 à .v (ce qui suppose x > — i si m est > 0),

438 CHAPITRE XI. DES SERIES

,., f(x) r^ x""-' dx

et, en remplaçant f{x) par son développement,

/ (i + x)»" =^ I + m,x 4- m,x' -h .,. + mn- ,x''- ' + Rn

En faisant sortir le dénominateur du signe d'intégration
par le tliéorème de la mo^^enne, on obtient l'expression simpli-
fiée (0 < ô < i)

(6) E,„=m„5C

(i + tx)"^+' '

Si X est > — I, cette expression montre que ll„ tend vers
zéro, avec le premier terme négligé m.nX'^ , dans tous les cas de
convergence, donc, en particulier, si x est aussi < ;i.

Cas particulier. — Si (m -\- i) est positif et < i, on peut
encore mettre l'expression du reste sous une forme utile. Sup-
posant toujours X > — I, on a, par le cliangement de la variable
d'intégration x en tx, et grâce aux deux hypothèses précédentes,

dt A-xY

Jo(i + xr+' "" )o{i-\-txr^' "" Jo(i-

la dernière intégrale se calculant par parties.

Portant cette valeur dans (5), on obtient la formule suivante,
qui suppose donc m négatif et > — i :

(7) ^n = ô(— ^)"(i + xY^ (0 < e < I).

399. Ordre de grandeur des coefficients de la formule du binôme. —
Nous allons montrer que l'on peut poser

(8) l«'n|==-,^T>

hn tendant vers une limite finie et différente deO quand n tend
vers l'infini.

A cet effet, observons que l'on a (n étant supposé > m -j- i)

m,

ïi

HL+^^eM^-"^)

ITlu-

D'ailleurs, eu développant suivant les puissances de (i : n) par

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES POTENTIELLES 4^9

la formule de Taylor et en s'arrêtant au deuxième ordre, on peut
poser, \n gardant une valeur finie quand n tend vers l'infini.

Il vient donc

m,

^n / „ Nm+i h"

^, (- + OLo«(^';+-^-^/__n_N-+»^^

\n -\- ij

lUn- 1

Faisant n = 2, 3,... n et multipliant les résultats entre eux,
on a

m,

m,

n-\-i

m+i S

A2
es:

d'où, en comparant à la formule (8),

Cette quantité tend pour n -= 00 vers une limite finie et non
nulle, car 2/1 : (n + i) tend vers 2 et la série S(X„ : n^) est con-
vergente comme S(i : n}). Notre formule (8) est donc justifiée.

400. Cas de convergence de la série du binôme quand x = ±1. —
Si l'on fait x -^ ± 1 dans la série du binôme, elle devient (les
signes se correspondant)

I rb /ïïi + /Hs; ± /Hg -\- m^± ...

Si m est positif, la série est absoliimeut convergente comme
la série S(/i„ : n^+*).

Si m est < — i, le rapport | lUn : m»-, | est ^ i, les termes ne
tendent pas vers 0 et la série est divergente.

Reste donc à examiner le cas où m est compris entre — i et 0.
Dans ce cas, les termes vont constamment en décroissant en
valeur absolue, car le rapport | m„ : nin-i \ est < i ; et les termes
tendent vers 0 comme hn- n^+', de sorte que la convergence ne
peut être absolue. La série converge pour x = + i, auquel cas
les termes sont à signes alternés ; elle diverge si x = — i,
auquel cas les termes sont tous positifs.

Remarque. — Si m est positif et a* égal à — i, l'expression (5)
de R,j (n'' 898) prend la forme O.oo , ce qui permet de se débar-
rasser du signe d'intégration. Ou fait tendre x vers — i et l'on

44o CHAPITRE XI. DES SERIES

applique la règle de l'IIospital à l'expression mise sous la forme
oo : 00 ; on trouve

(9) R„ = n.„li.n&-+^_:|'!=^ = ,™„tj)'l.

401. Développement de l'arc-sinus. — Remplaçons x par — x-,
faisons m = — - dans la formule du binôme et prenons la va-

2

leur (7) du reste ; nous trouvons

(10)

I , "-1 (2^ — 1)!! ,^. , eA:2«

Vl — ^-^ 1 (2^')- \Jl—X^'

en désignant par A'!! le produit des entiers non supérieurs à k
et de même parité que k (n" 235). Intégrons de 0 à 5C, il vient

, V(2/f — i)!! A^'"'+* , .C''x^''dx

(11) arc sm oc = a: 4- S ^ / , xir rn h^ -

^ ' 1 (2A-)!! 2A:4-i Jo \li—x''

ce qui montre que l'arc sinus est développable pour toutes les
valeurs de a* entre — i et 4- i. Mais le développement reste
légitime à ces limites, car, si a* = i, on a (n" 236)
'^x^'^dx (2/1 — i)!!k

r

)o\JÏ—x^ (2n)!! 2

et cette quantité tend vers 0 avec le coefficient de a:'^" dans la
série (10).

On peut donc faire a^ = i et l'on trouve la série :

71 _ « (2A: — i) !! I

2 ~ ^ "^ T (2A:)!! 2Â+1"

402. Développements en séries des intégrales elliptiques complètes
(n" 339). — Soit A-2 une quantité < i ; en remplaçant .v par
Asincp dans la formule (10), il vient

-^z:^=:^=.-z=L = I 4- - A^ sin"cp -I V ^* sin* <o + •••

\Ji — k-' sin^ <f> 2 T^ 2.4

Cette série converge uniformément dans tout intervalle en
vertu du théorème du n'^ 376, car elle converge si sin cp = i, ce
qui maxine tous les termes. Intégrons-la donc de 0 à tt : 2, il
vient

F,(A.) ^ p____iL=^_ ^'!r, + r.' Y k' + (^yk'+..:

FONCTIONS ENTIÈRES. EXPONENTIELLES IMAGINAIRES 44^

D'autre part, en remplaçant x par — k^ siu^ tp dans le dévelop-
pement de S/l -\- X, on trouve la série, uniformément conver-
gente pour toute valeur de <f>,

i.i , . . . I.I.3,

\/i — k^ sin^ cp ^ I Ai^'sin^cc ^k*sin*(û ^-^/c^sinV — ...

^ '2 2.4 ' 2.4.6 ~

et, en intégrant de 0 à tt : 2,

Mt^)-l

Toutes ces séries convergent rapidement si A" est petit.

§ 6. Fonctions entières élémentaires.
Exponentielles imaginaires.

403. Définitions. Formules d'Euler. — Nous savons (n°^ 894 et SgS)
que, z étant réel, on a

CD ^n 00 5;2n 00 zin-Jfi

(1) e'= s ^, cos^= S(- i)\-^, sinz =i:(-i)"7;

Ces séries convergent pour toutes les valeurs réelles ou com-
plexes de z. Elles définissent donc des fonctions entières
(n'' 384). Il ®^* naturel de conserver, pour représenter ces fonc-
tions, les mêmes symboles dans le cas où la variable est com-
plexe que dans celui où elle est réelle. Nous prendrons donc les
équations (1) comme définitions de e^ , sin z et cos z pour toutes
les valeurs, réelles ou complexes, de z.

On vérifie directement par ces définitions que l'on a

(2) cos ( — z) = cos z. sin ( — z) = — sin z,

(3) e*' == cos z -H I sin z, e-^* -= cos z — i sin z.

De là, les formules fondamentales d'Euler :

(4) cos 2 = - (e" + e-^'), sinz = -r- (e^* — e-"),

qui ramènent les fonctions circulaires à la fonction exponen-
tielle.

404. Généralisation des propriétés fonctionnelles de l'exponentielle et
des fonctions circulaires. — En dérivant les séries (1), ou obtient
immédiatement, comme pour z réel,

(6) D.e* <= e' , D.cos z = — sinz, D sin z = cos z.

^^2 CHAPITRE XI. DES SÉRIES

Les règles de dérivations des fonctions composées subsistent
sans difficulté quand les variables s nt complexes, car la défini-
tion générale de la dérivée est la même que quand les variables
sont réelles.

Remplaçons, dans la série e^ , z par la somme z + z' de deux
quantités complexes. On peut ordonner la série ainsi obtenue
suivant les puissances de z. En effet, quand on a remplacé toutes
les puissances de (z + z') par leurs développements, la série
demeure absolument convergente. Elle converge effectivement
quand on remplace z et z' par leurs modules r et r', ce qui
donne une série à termes positifs. Or, dans une série absolu-
ment convergente, l'ordre des termes est indifférent (n'' 378).

Le développement de e'+^' suivant les puissances de z est
donné par la formule de Maclaurin. Comme toutes les dérivées
sont égales à e^' pour z ~ 0, il vient

(6) e^+'' = e^'fi-\---]- — ^ = e^ e^'.

Donc toutes les propriétés fonctionnelles de l'exponentielle
réelle s'étendent à l'exponentielle imaginaire, car elles se dé-
duisent de l'équation précédente et de la condition e" = i.

On vérifie l'exactitude des équations :

r-v sin {z + z') = sin z cos z' + cos z sin z',

cos {z + z') -= cos z cos z^ — sin z sin z',

en remplaçant les sinus et cosinus par leurs expressions (4) et
en tenant compte de l'équation (6). Donc toutes les propriétés
fonctionnelles des lignes trigonom étriqués réelles s'étendent au
domaine complexe, car elles se déduisent des relations précé-
dentes en y joignant les équations (4) et les conditions :

sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin-=i, cos - = 0.

2 2

405. Décomposition des fonctions précédentes en leurs parties réelles
et imaginaires. — Soit z = x -\- yi, x et y étant réels. Il vient,
par les équations (6) et (3),

(8) e^ = e^+i^i = e^evi = e^ (cos y + i sin y).

Cette formule montre que e^ a pour module e^ et pour argu-

FONCTIONS ENTIÈRES. EXPONENTIELLES IMAGINAIRES 44^

ment y. Comme e^ne peut s'annuler .y étant réel, e^ ne peut
s'annuler pour aucune valeur réelle ou complexe de z.

L'équation (8) montre que e^ est une fonction périodique de
période 2Tti, c'est-à-dire que, si k est entier, l'on a

(9) e^+2*^' = e^ .

Réciproquement, si l'on a e*+^ ^ e^ , z sera un multiple de 27t/.
En effet, cette équation donne

e* {e- — i) = 0, d'où e^ = i, e^(cos y -f i sin r) ^ i,

d'où ;x = 0 et y = ^k-n.

Les équations (7) et (4) donnent maintenant :

sin (a: + yi) = sin :v cos yi + cos a- sin yi

ev -f e-v , . ey — e-v
= sin X h i cos X .

2 2

COS {x -f yi) ■= cos x cos yi — sin x sin yi

ev -f e-v . . ev — e-y
= cos a: — isiua; .

2 2

Les modules du sinus et du cosinus se déduisent de là :

ey-^e'y\ . , fev — e-v^"^

, oxxx ^ -p, , COS^ X

'2 J V 2

ev — e-y\ , . „

4- sin^A",

cos^ z\ =\ ■- I cos^a: -f f ; 1 sin^ a*

^ ) + cos^v.

Ces formules montrent ([ue le sinus et le cosinus ne peuvent
s'annuler que si 3' = 0. Donc toutes les racines de ces fonctions
sont réelles et, par conséquent, elles sont connues.

406. Fonctions hyperboliques. — On appelle sinus et cosinus
hyperboliques les deux fonctions :

ntw Cl sin 12 e^ — e-^ ^, . e' + e--»

(10) Shz = r = . Ch2 = C0S2I^ .

^ ' 12' a

Ces fonctions ont pour dérivées :

D. Shz = Chz, D. Chz - Shz.

444 CHAPITRE XI. DES SERIES

Elles satisfont à toute une série de formules analogues à
celles de la trigonométrie ordinaire, La trigonométrie hyper-
bolique n'est pas distincte de la trigonométrie ordinaire. A toute
formule de celle-ci correspond une formule de la première, qui
s'obtient en rendant les variables purement imaginaires. En
vertu des formules (10), le principe de transformation est celui-ci:

Toute formule de la trigonométrie du cercle en donne une de
la trigonométrie hyperbolique en y remplaçant cos z par Chz
et sin z par i Shz.

Bien entendu, cette règle ne s'applique qu'aux fonctions ra-
tionnelles en sin z et cos z. Ainsi, on tire des formules (7)

Sli(2+s')=Sli2Cliz'-Cli0Sli0, Ch{z-]-z')=^ChzChz'-]-BhzShz',

et la relation sin^ z -\- coa^z = i donne

Ch^^— 811^2= I.

Les fonctions étudiées dans les numéros précédents sont les
plus simples des fonctions d'une véritable complexe. La théorie
générale de ces fonctions ne sera pas exposée ici.

ERRATA.

Errata du tome I (3^ édition)

pages lignes (*)

62

4

a« lieu de

inferteure

lisez

inférieure

72

5'

»

Net, T

»

NetT,

169

16

j)

JOUNG

»

YOUNG

202

1' et 2'

))

arcs tangents

»

arcs tangentes

3g2

3'

»

§5

»

§6

399

3

»

§

))

§ I

Suite de Terrata du tome II (2"= édition).

pages lignes

I y au lieu de Ce contour enveloppe lisez Ce contour C enve-

une portion C loppeuneportionD

10 8 » i\j^'^^ " \\/^^'^^

53 3' Supprimez dans l'énoncé les mots : toujours non croissante

ou et complétez cet énoncé en faisant suivre la formule
(2) des mots : 5i fix) était non croissante, la formule sub-
sisterait sauf qu'il faudrait y permuter A et B.

,76 dernière Ajoutez les mots : si la série converge liniformément pour
un choix arbitraire de bi, b-z,... bn ,..., l'intégrale con-
verge aussi uniformément.

91 9 Ajoutez à l'énoncé du lemme les mots : // suffit pour cela

que les côtes du polygone soient suffisamment petits.
III i3 à 40 Dans l'énoncé et la démonstration de cette proposition

préliminaire, il faut remplacer la fraction j par y (donc

3 8 \

quart par neuvième et — par — ), D'autre part, l'ensem-

4 Q/

ble E« pouvant n'être pas mesurable (**), il faut rempla-
cer mKn] par w^En .

(*) L'accent signifie qu'il faut compter en remontant.

(") C'est M. Caratheodory qui m'a fait cette remarque, ce dont je le remer-
cie. Il est encore facile de voir que iiieEn tend vers wtE, parce que chaque
En est contenu dans un ensemble E„ mesurable (B) et de mesure m«En
(t. I, n» 80). Si les mesures des E„ (qui croissent quand ^n décroît) avaient
une limite < wtE, l'ensemble limite restreint de la suite E[ , E^,-.. ferait
aussi de mesure < mE (t. II n° 90 ou t. I n* 81), ce qui est impossible car
il con tient E.

446 ERRATA

pages lignes

112 7'

au

lieu de

e>0

lisez

e = 0

118 y

»

annulle

»

annule

128 7

»

X infini

»

n infini

129 5' et 10'

»

Pr,

»

DPPn

i32 14 et i5

»

a b

»

fl' b'

i35 18

»

(l — bm) cos mx »

bm{i — COS mx)

i38 I

»

1733

»

1753

142 8 » » j

149 6 Ajoutez : En effet, — — da revient à la difïérence

r-i:

't^' sin a

û?a de deux intégrales positives, cha-

cune

< I qui mesure la première arcade de la courbe
Jo
y = sin a : a formée d'arcades décroissantes de signes

alternés.
i55 4 au lieu de F(2tt) — F(0) lisez F(27r)

» 5 Api^ès le mot « bornée » ajoutez : et s'annulant aux li-

mites 0 et 2"^,
i56 II au lieu de positifs lisez positifs et ^ i,

» 4' Permutez les Z dans chaque parenthèse.

l6o 5' au lieu de dx lisez da

170 10 » Scharz » Schwarz

a, / ^, (X — Xo)^

» 3 » (x — xoY^ » .

171 I » /(^o) » que/(;«r)]

172 l' » Rn+i— R?i » Rn— Rn+i

173 7 et 8 Changez les signes de tous les R.

ig6 5 au lieu de \Jx^-{-y^ lisez Sjx^ -\-y^ dx

ao8 i5' » Pa » px

223 12 » Vu » jv"

243 7' » e^^ w e''^

zady _ zady

272 12 » ± — — » =F — -

y y

3oi II' » {i= 1, 2...n) » (î = i, 2,...« — i)

r » r

3q4 II

3o5 8 » Xa » ;i^7i

^/ d

—^~ » - —

dxft ûxh

329 10 » +^n;r^ » +ûn3^-

325 dernière

MODIFICATIONS A APPORTER AUX RENVOIS DU TOME 11 AU TOME I 447

pages lignes

333 12

Donnez le n» 8 à cette équation.

362 i3

Remplacez Ap et A9 par yP et v«

363 i6

au lieu de 2°) Usez

1°)

363 dernière

» xiP) ;t(P+«) »

xiP] ;»;[l'+i].

409 20

» (a) »

a

Modifications à apporter aux renvois du t. II au t. I
pour les mettre d'accord avec la 3« édition.

Nouvelles références

§9
§3 et 4
346
170
202
33g

232

233

377 à 379

238

2l3

346

23g

242
241
240

54
Intr. § II

77
78

8i(*)
85
82
84
82, 247, 253
245
Supprimez les notes
^) théor. VI (no 263
257
236
237
Intr. § i3
88

{♦) Les ensembles Ei, E2,,.. étant supposés mesurables dans la 3e édit. du
tome I, on se bornera aussi à ce cas dans l'énoncé du tome II et on con-
sidérera la mesure existante des ensembles-limites.

Pages

Lignes

Anciennes références

I

l'

§11

2

l'

§4

i3

20

357

21

16

175

38

i3'

208

40

10

348

53

i3

244

64

8

245

78

2'

288 et 28g

79

14

25o

80

14

220

91

2

357

97

i'

253

99

4' et 12'

258

14

256

100

6'

255

ICI

19

5g

io3

14'

Chap. VI, §3

104

7

266

—

14

267

—

23

270

■ —

3o

271

io5

18'

273

—

10'

273

106

3

274

107

16

275

108 et log

117

8

théor. VII (n0 2i

124

22

282

126

17

248

—

23

249

147

2'

Chap. IX, § 3

—

i'

36i, 60

448 MODIFICATIONS A APPORTER AUX RENVOIS DU TOME II AU TOME I

Pages

Lignes

170

6

270

81

196

14

161

i63

273

8 et 5'

3i4

3o2

295

9'

i57

i59

38i

i3

367

356

382

14

175

169

384

i'

403

392

398

6'

3i6

304

406

2

282

321

412

5

P

. 3o2

p. 322

4i3

II'

P-

304

p. 323

—

9'

284, 3o2

3o3, 322

420

7'

327

320

436

5'

33i

3x8

ADDITION AU TOME II (2« ÉDITION)

Complément au § 7 du chapitre IV :
Unicité du développement trigonométrique.

Les résultats que nous avons exposés sur cette question dans la
deuxième édition du tome II peuvent être considérablement généra-
lisés, comme nous l'avons reconnu depuis et montré dans notre récent
Mémoire Sur l'Unicité du développement trigonométriqne (*). Il suffit, pour
cela, de s'appuyer sur les théorèmes relatifs à la dérivée seconde géné-
ralisée auxquels nous avons consacré le § 4 du chapitre VIII du
tome I (3e édition).

Nous allons exposer ici ces généralisations, en indiquant les addi-
tions qu'il convient de faire à cet effet respectivement aux n*» i5o, i63
et 168 du tome II (2^ édition). On suppose ces additions intercalées
respectivement dans le texte à la suite de chacun de ces r\^.

Addition au 11° 160. — Voici un autre théorème, analogue au théo-
rème précédent de M. Lebesgue :

Théorème. — Une série trigonométrique dont le terme général est
pm cos m{x — (Xni) a l'une au moins de ses limites d'indétermination infinie
presque partout si pm nest pas borné (**).

Soit Sm la somme des m premiers termes de la série. Si Sm était bor-
né quel que soit m, le terme général (qui est la différence de deux Sm
consécutifs) le serait aussi. Il suffit donc de prouver que 5» pm n'est pas
borné quel que soit m, le terme général pm cos m{x — «m) ne peut l'être que
pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle.

Si Pm n'est pas borné, on peut extraire de la suite positive pi, pi,...
une suite constamment croissante. Il suffit de démontrer la proposition
par celle-ci. Admettons donc tout de suite que pm croisse avec m.

Soit Em l'ensemble des points de l'intervalle (o,27t) pour lesquels on a
I pm COS m {x — im) I > \)pm OU COS m{x — a,«) > — ^zr..

(♦) Bulletin de V Académie royale de Belgique. (Classe des sciences) n» n, 1912
et no I, 1913.

(•♦) C. de la Vallée Poussin, Bulletin de F Académie royale de Belgique. (Classe
des sciences), igi3, n" i, pp. 9-14.

45o

ADDITION AU TOME 1 1

La mesure de Km tend évidemment vers 2^: quand m et pm avec lui
tendent vers l'infini.

Or Pm CCS m{^ — a,,,) ne peut être borné quel que soit w si ;*; appar-
tient à une infinité d'ensembles de la suite Ei, Eg,... c'est-à-dire à
l'ensemble limite complet E de cette suite. Mais, quelque petit que
soit e, cette suite contient une infinité d'ensembles de mesures
> 27T — e, donc E est de mesure > air — s (t. I, n° 8i) et, par consé-
quent, de mesure 2-^, puisque e est arbitraire. Ainsi son complémen-
taire (qui contient tous les points où pm est borné) est de mesure nulle,
C. Q. F. D.

Addition au n» 163. — Remarque. — On démontre d'une manière
analogue la proposition suivante :

Si, pour une valeur donnée de x, la somme Sn des n premiers termes de la
série (1) est bornée quel que soit «, l'expression (3) le sera aussi quand a. ten-
dra vers 0 et ses limites d'indétermination ne surpasseront pas en valeur abso-
lue l'expression kS, oit k est un facteur numérique indépendant de x et S la
plus grande limite de \ Sn \ .

En effet, en subsdtuant Sn-\- 1 — 5n à An , l'expression (3) devient

\

S Sn

sin(« — i)a\^ /sin «a\2

(,« — ija

Pour déterminer les limites d'indétermination de cette somme, on
peut faire abstraction d'un nombre de termes aussi grand qu'on veut
au début, car tous ces termes tendent vers 0. On peut donc raisonner
comme si tous les Sn ne pouvaient surpasser qu'infiniment peu S. Les
limites d'indétermination ne surpasseront donc pas en valeur absolue

is r d('-^y <sr\d(

, /sina\2

\ "^

ce qui prouve la proposition.

Addition au n^ 168. — La démonstration de ce théorème de M. Le-
besgue résulte naturellement des principes exposés dans les nos précé-
dents. Mais on peut aller beaucoup plus loin, à la condition d'utiliser
les théorèmes plus généraux sur la dérivée seconde généralisée, ex-
posés dans le tome I (Chap. VIII, §4). On a, en eftet, le théorème
suivant :

Théorème. — Si une fonction finie et sommable f{x) de période 21:
admet un développement trigonométrique, ce ne peut être que celui de Fourier.

Comme /(at) est la dérivée seconde généralisée de la fonction ¥{x)
définie par (2) en chaque point de convergence de la série (1) (n" i63),
le théorème précédent n'est qu'un cas particulier du théorème plus
général que voici :

ADDITION AU TOME II 45l

Théorème. — Soit toujours Sn la somme des n premiers termes de la série
trigonométrique quelconque (1), convergente ou non. Si, n fendant vers Vinfini,
les plus grande et plus petite limites de Sn sont des fonctions finies et somma-
bles de X, la série trigonométrique (1) est la série de Fourier de chacune des
dérivées secondes généralisées (supérieure et inférieure) de F (;«;).

Soient 4'i(^) et '^z{x) les limites d'indétermination (fonctions de x) de
sn quand n tend vers l'infini. Elles sont donc finies et sommables par
hypothèse.

La fonction ¥{x) construite par la formule (2) sera continue (n» 162),
parce que les coefficients an et bn seront bornés par hypothèse (en
vertu du théorème indiqué ci-dessus comme addition au n» 160) et,
par conséquent, la série (2) sera uniformément convergente.

Considérons, pour fixer les idées, la dérivée seconde généralisée
supérieure de ¥{x). Cette fonction <ifi{x) est la plus grande limite de
A2F(Ar) : 4»^ quand a tend vers 0 ; elle est donc finie et sommable, parce
qu'elle ne peut surpasser la fonction sommable k \ <\>i \ -{- k \ <\i2 \ en
vertu de la remarque ajoutée ci-dessus au no i63.

La primitive de fi{x) se construit donc par le théorème du no 276 du
tome I (en y remplaçant/ par cpi) ; il vient ainsi

F{x)= ] dx \ (fi{x)dx-\-px-^q,
Ja Ja

F'(;r)= fV(^)+l>.
Ja

Soient «m et Pm les constantes de Fourier de fiix), à savoir

I f27V j /-Î7C

am==-| <fi{x) cos mxdx, Pm = - 1 <fi{x) sinmx dx.
''^Jo ''^Jo

Multiplions par - cos mx dx les identités

A2F(Ar)= \¥\x^t) — W{x — t)'\dt=^\ dt\ <p,(Ar + «)rf«;
Jo Jo J-t

puis intégrons les deux membres extrêmes par rapport à a? de 0 à 2it.
Observons que l'intégration peut se faire sous le signe f et que <pi
étant périodique, on a

— \ ^\{'(-\-u)cosmxdx = ~\ <fi(x)cosm{x — u)dx
= «m COS mu + Pm sin mu ;
nous trouvons ainsi (l'intégrale du sinus étant nulle)

I /•2'^ fî» C^ sin'^»»a

-1 i!^^F{x) cos mx dx = oL„i \ dt \ cos mu du = j^am 1 — •

'^^o jo J-t '»

4^2 ADDITION AU TOME II

D'autre part, en remplaçant ^^F{x) par son développement unifor-
mément convergent tiré de (3), à savoir

i^^b{x) = 4.1 (an cos nx + bn sm «;ir) ,

0 V « y

nous trouverons comme valeur de la même intégrale

I r2-

- A2F(.

X) cos w;»; fïX = 4am ^.3 — .

Comparant les deux résultats, il vient um = a^j ; de même, bm = pm-
Donc la série (1) est la série de Fourier de tpi(Ar). C. Q. F. D.

Le théorème précédent peut encore être généralisé de la manière
suivante :

Théorème. — Considérons une série trigonométrique (1) dont les coe-ffi-
cients tendent vers 0. 5» les plus grande et plus petite limites de Sn pour u
infini sont des fonctions sommables de x, finies sauf peut-être dans un ensem-
ble E, la série trigonométrique sera la série de Fourier de chacune des déri-
vées secondes généralisées ds V{x), pourvu que Vensemble E n'ait pas la
puissance du continu ou ne contienne pas d'ensemble parfait.

Ce théorème se démontre comme le précédent en substituant seule-
ment au théorème du n» 276 du tome I celui du no 277. On observe que,
an et bn tendant vers 0 par hypothèse, ¥{x) vérifie la condition (K)
invoquée dans ce théorème, en vertu du deuxième théorème de Rie-
mann (n» 164).

Ce théorème fournit, en particulier, l'extension suivante du théorème
d'unicité de Heine-Cantor (no i65) :

Corollaire. — Une fonction f{x) périodique de période 2Tr ne peut ad-
mettre deux développements trigonométriques qui convergent partout et cela
vers f{x), sauf dans un ensemble n'ayant pas la puissance du continu ou ne
contenant pas d'ensemble parfait {en particulier, dans un ensemble dénom-
brable).

On se débarrasse ainsi, comme on le voit, de la condition de réduc-
tibilité admise au no i65.

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